Pruebas de Acceso a la Universidad Ejercicios Resueltos ...

32 1. Análisis
- Solución:
el eje OX y las rectas x = 0, x = 1.
b) (1,5 puntos) Hallar el valor de c para el cual el área obtenida en el apartado
a) es mínima.
a) Como f(x) no se anula en el intervalo [0,1], el área pedida es 1
0 f(x)dx.
El área es:
1
0
b) Llamamos:
f(x)dx =
1
0
cx 4 + 1
c x2
+ 1 dx = c
5 x5 + 1
3c x3 1 + x =
0
c 1
+ + 1
5 3c
c 1
+ + 1
5 3c
A(c) = c 1
+
5 3c + 1 ; A′ (c) = 0 ⇒ 1 1
−
5 3c2 = 0 ⇒ 5 = 3c2
5
⇒ c = ±
3
Como el enunciado pide c > 0, sólo estudiamos con A ′′ la solución positiva.
A ′′ (c) = 2
= 0 ⇒ A′′
3c3 Por lo tanto c = 1, 291
1.3.7. Calcular la integral:
- Solución:
(2 puntos).
5
5
> 0 ⇒ A tiene un mínimo en c = = 1, 291
3
3
F (x) =
x
t
0
2 e −t dt
Comenzamos calculando la integral indefinida por partes:
I =
Volvemos a integrar por partes:
I = −t 2 e −t
+
Resolvemos la integral definida:
F (x) ==
x
0
t 2 e −t dt = −t 2 e −t
+
u = t 2 ⇒ du = 2tdt
te −t dt
dv = e −t dt ⇒ v = e −t dt = −e −t
te −t dt = −t 2 e −t
+ 2 −te −t
+
u = t ⇒ du = dt
dv = e −t dt ⇒ v = e −t dt = −e −t
(Junio 2008)
(Junio 2009)
e −t
dt = −t 2 e −t − 2te −t − 2e −t + C
t 2 e −t dt = −t 2 e −t − 2te −t − 2e −t x
0 = −x2 e −x − 2xe −x − 2e −x + 2e 0 ⇒