ejercicios1

Este Cuaderno de ejercitación de Matemática 4º Básico pertenece a:
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• Te lo ha hecho llegar gratuitamente el Ministerio de Educación a través del
establecimiento educacional en el que estudias.
• Es para tu uso personal tanto en tu colegio como en tu casa; cuídalo para
que te sirva durante varios años.
• Si te cambias de colegio lo debes llevar contigo y al fi nalizar el año,
guardarlo en tu casa.

Autores: Scott Foresman–Addison Wesley
Adaptadora: María Brunilda Rodríguez
Matemática 4º Educación Básica
Cuaderno de ejercitación
1ª Edición
Pearson Educación de Chile Ltda. 2012
ISBN: 978-956-343-296-1
Datos de catalogación
Formato: 21 x 27,5 cm Páginas: 144
Matemática 4º Básico
Cuaderno de ejercitación
Spanish language edition published by Pearson Educación de Chile Ltd.,
Copyright © 2012 Pearson Education, Inc. or its affi liates.
Authorized adaptation from the U.S. Spanish language editions, entitled:
Scott Foresman-Addison Wesley Matemáticas Refuerzo Fotocopiables/
Cuaderno, Grado 4 and Scott Foresman-Addison Wesley Matemáticas
Práctica Fotocopiables/Cuaderno, Grado 4, Copyright © Pearson
Education, Inc. or its affi liates. Used by permission. All Rights Reserved.
Pearson is a trademark in the US and/or other countries, of Pearson
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Inc.,Rights Management and Contracts, One Lake Street, Upper Saddle
River, N.J. 07458 U.S.A.
This book is authorized for sale in Chile only.
Edición en español publicada por Pearson Educación de Chile Ltda.,
Copyright © 2012 Pearson Education, Inc. or its affi liates.
Adaptación autorizada de la edición en español, titulada: Scott Foresman-
Addison Wesley Matemáticas Refuerzo Fotocopiables/Cuaderno,
Grado 4 and Scott Foresman-Addison Wesley Matemáticas Práctica
Fotocopiables/Cuaderno, Grado 4, Copyright © Pearson Education, Inc.
o sus fi liales. Autorización de publicación. Todos los derechos reservados.
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Se autoriza la venta de este libro en Chile solamente.
Especialistas en Matemática responsables de los
contenidos y su revisión técnico-pedagógica:
Obra original: Scott Foresman–Addison Wesley
Adaptación: María Brunilda Rodríguez
Revisores: Deborah Agar, Viviana Carín, Arturo Espín, Edith Guzmán,
Santa Spector, María T. Blayter, Leonor Lopetegui, Georgina Méndez,
Ofelia Hurley, Cristina M. Vásquez.
Edición y Arte
Gerente Editorial: Cynthia Díaz
Edición: Lissette Vaillant
E-mail de contacto: lissette.vaillant@pearson.com
Corrección de estilo y ortotipográfi ca: Equipo editorial
Diseño: Equipo de diseño y editorial Pearson Chile
Diagramación: Claudio Silva, María Isabel Olivera, Francisca Urzúa,
Dirección Regional América Latina
Dirección K-12: Eduardo Guzmán Barros
Dirección de contenidos K-12: Clara Andrade
PRIMERA EDICIÓN, 2012
D.R. © 2012 por Pearson Educación de Chile Ltda.
José Ananías 505, Macul
Santiago de Chile
Nº de registro propiedad intelectual: 198.384
Número de inscripción ISBN: 978-956-343-296-1
Impreso en Chile en RR Donnelley
“Se terminó de imprimir esta 1ª edición de 216.300 ejemplares, en el
mes de diciembre del año 2012.”
Reservados todos los derechos. Ni la totalidad ni parte de esta publicación
pueden reproducirse, registrarse o transmitirse, por un sistema de
recuperación de información en ninguna forma ni por ningún medio, sea
electrónico, mecánico, fotoquímico, magnético o electroóptico, por fotocopia,
grabación o cualquier otro, sin permiso previo por escrito del editor.

Cálculo mental: descomponer números ................... 4
Antes, después y entre .............................................. 5
Los miles .................................................................... 6
Números en los miles ................................................ 8
En la recta numérica ................................................ 10
Adición y sustracción .............................................. 12
Ordenar números ..................................................... 14
Patrones numéricos ................................................. 16
Encontrar la resta o diferencia................................. 18
Estimar sumas ......................................................... 19
Estimar diferencias .................................................. 20
Escoger una operación ........................................... 22
Contar dinero ........................................................... 23
Patrones de valor posicional ................................... 24
Leer para comprender ............................................. 26
Buscar un patrón ..................................................... 28
Multiplicar por 10, 11 y 12 ....................................... 30
Ejercitar por 10, 11 y 12........................................... 31
Escribir cuentos de multiplicación .......................... 32
Encontrar una regla ................................................. 33
Operaciones de multiplicación ................................ 34
Estimar productos ................................................... 36
Descomponer números para multiplicar ................. 38
Multiplicar números de dos dígitos ......................... 40
Multiplicar números de tres dígitos ......................... 42
Multiplicar números de tres dígitos por números de
un dígito ................................................................... 44
Practicar operaciones de multiplicación ................. 46
Signifi cados de la división ....................................... 48
La división como resta repetida .............................. 50
Operaciones de división .......................................... 52
Dividir por 2 y 5 ........................................................ 54
Dividir por 3 y 4 ........................................................ 56
Dividir por 6 y 7 ........................................................ 58
Dividir por 8 y 9 ........................................................ 60
Relacionar la multiplicación y la división ................. 62
Convertir palabras en expresiones ......................... 66
Probar, comprobar y revisar .................................... 68
Escoger una operación ........................................... 70
Usar objetos para dividir ......................................... 74
Hacer un dibujo ....................................................... 75
Descomponer números para dividir ........................ 76
Hacer un dibujo ....................................................... 78
Actividades de
reconocimiento y
práctica de números
ÍNDICE
Actividades
de operatoria
Resolución
de problemas
visuales
Representar ............................................................. 80
Gatos ........................................................................ 82
La revista .................................................................. 83
Planear y resolver .................................................... 84
Área .......................................................................... 86
¡A calcular! ............................................................... 88
Representaciones .................................................... 90
Información que sobra o que falta .......................... 92
Partes iguales .......................................................... 94
Razonamiento visual ............................................... 95
Fracciones unitarias ................................................. 96
Fracciones no unitarias ........................................... 98
Fracciones de un conjunto .................................... 100
Partes de una región ............................................. 102
Partes de un conjunto ........................................... 104
Fracciones, longitud y recta numérica .................. 106
Usar el sentido numérico al comparar
fracciones............................................................... 108
Números mixtos y fracciones impropias .............. 110
Décimas ................................................................. 112
Centésimas ............................................................ 113
Comparar y ordenar decimales ............................. 114
Más sobre decimales ............................................ 116
Valor posicional de los decimales ......................... 118
Comparar y ordenar decimales ............................. 120
¡Cuánto sé! ............................................................. 122
Pictogramas ........................................................... 124
Diagrama de puntos .............................................. 126
Gráfi co de barras ................................................... 128
Localización en un gráfi co ..................................... 130
Hacer gráfi cos de localización .............................. 132
Datos de encuestas ............................................... 134
Aplicaciones ........................................................... 138
Vistas de los cuerpos geométricos:
perspectiva ............................................................ 139
Vistas de los cuerpos geométricos:
modelos planos ..................................................... 140
Traslaciones, refl exiones y rotaciones .................. 141
Traslaciones ........................................................... 142
Refl exiones ............................................................ 142
Rotaciones ............................................................. 143
Simetría .................................................................. 144
Actividades de
elaboración de
gráfi cos
Evaluación
Actividades
de geometría
Resolución
de problemas
3

4
Cálculo mental: descomponer números
Puedes descomponer números para ayudarte a sumar mentalmente.
Encuentra 31 + 45 usando cálculo mental. Hay dos maneras.
Una manera Otra manera
Primero, descompón los números en decenas y
unidades.
decenas unidades
31 = 30 + 1
45 = 40 + 5
Suma las decenas: 30 + 40 = 70.
Suma las unidades: 1 + 5 = 6.
Por último, sumas las decenas y las unidades:
70 + 6 = 76,
por lo tanto 31 + 45 = 76.
Descompón sólo un número.
45 = 40 + 5
Luego, suma 40 + 31 = 71.
Después suma el 5 a 71:
71 + 5 = 76,
por lo tanto 31 + 45 = 76.
1. Encuentra las sumas usando cálculo mental.
a) 52 + 12 = b) 24 + 71 = c) 36 + 43 =
d) 47 + 50 = e) 54 + 23 = f) 24 + 72 =
g) 33 + 46 = h) 22 + 64 = i) 34 + 53 =
2. Sentido numérico. Para sumar 32 + 56, Juanita primero
sumó 32 + 50. ¿Qué debe sumar después?
3. En junio se vendieron 46 autos. Se habían vendido 12 autos
en abril. ¿Cuántos autos más se vendieron en junio?
4. Para descomponer el número 42, ¿qué números usarías?
A. 40 + 20 B. 35 + 3 C. 40 + 2 D. 20 + 4
5. Escritura en matemáticas. Explica cómo usas el cálculo mental para sumar 14 + 71.

Antes, después y entre
Piensa en el orden de los números.
Piensa en el orden de los números.
450 451 452 453 454 455 456 457 458 459
460 461 462 463 464 465 466 467 468 469
450 451 452 453 454 455 456 457 458 459
Piensa en el orden de los números.
452
452
452
452
450 451está 452 antes453 que 453. 454 455 456está 457 después 458 que 459
Piensa en el orden de los números.
467.
1.
a)
b)
c)
461
461
461
461
468
468
468
468
460 461 462 463 464 465 466 467 468 469
460 461 462 463 464 465 466 467 468 469
450 451 452 453 454 455 456 457 458 459
está antes que 453. está después que 467.
está entre 460 y 462.
460 461 462 463 464 465 466 467 468 469
está antes que 453. está entre 460 está y 462. después que 467.
Escribe los números que van antes, después y entre.
Escribe está los números antes que que 453. está van entre antes, 460 después está y 462. después y entre. que 467.
800 801 802 803 804 805 806 807 808 809
810 811 812 813 814 815 816 817 818 819
800 801 802 803 804 805 806 807 808 809
Escribe los números que está van entre antes, 460 después y 462. y entre.
810 811 812 813 814 815 816 817 818 819
está antes que 814. está después que 804.
Escribe 800 801 los números 802 803que 804 van antes, 805 después 806 807 y entre. 808 809
810 está 811 antes 812 que 813 está 814. 814entre 815803 816 y está 805. 817 después 818 que 819 804.
800 801 802 803 804 805 806 807 808 809
está antes que
está
814.
entre 803 y
está
805.
después que 804.
810 811 812 813 814 815 816 817 818 819
750 751 752 753 754 755 756 757 758 759
está antes que está 814. entre 803 y está 805. después que 804.
760 761 762 763 764 765 766 767 768 769
750 751 752 753 754 755 756 757 758 759
760 761 762 763 764 765 766 767 768 769
750 751 752 753 754 755 756 757 758 759
está antes que está 765. entre 803 y 805. está después que 758.
está antes que está 765. entre 752 y está 754. después que 758.
760 761 762 763 764 765 766 767 768 769
750 751 752 753 754 755 756 757 758 759
está antes que
está
765.
entre 752 y
está
754.
después que 758.
760 761 762 763 764 765 766 767 768 769
930 931 932 933 934 935 936 937 938 939
está antes que está 765. entre 752 y está 754. después que 758.
940 941 942 943 944 945 946 947 948 949
930 931 932 933 934 935 936 937 938 939
940 941 942 943 944 945 946 947 948 949
930 931 932 933 934 935 936 937 938 939
está antes que está 949. entre 752 y 754. está después que 930.
está antes que está 949. entre 941 y 943. está después que 930.
940 941 942 943 944 945 946 947 948 949
930 931 932 933 934 935 936 937 938 939
está antes que
está
949.
entre 941 y 943.
está después que 930.
940 941 942 943 944 945 946 947 948 949
está antes que está 949. entre 941 y 943. está después que 930.
está entre 941 y 943.
5

6
Los miles
Éstas son diferentes maneras de representar 2 263
Bloques de valor posicional:
Descomponiendo en sumandos: 2 000 + 200 + 60 + 3
Número: 2 263
1. Escribe cada número en forma estándar.
a)
b)
c)
d) 7 000 + 400 + 40 + 8
e) 9 000 + 600 + 50 + 4
f) Cinco mil setecientos cincuenta y cinco.
g) Ocho mil setecientos catorce.
Dos mil doscientos sesenta y tres.

2. Escribe cada número descomponiendo en sumandos.
a) 1 240
b) 6 381
c) 1 069
d) 2 002
3. Sentido numérico. Escribe un número de cuatro
dígitos con un 7 en el lugar de los miles y un 6 en
el lugar de las unidades.
4. Razonamiento. Jacinta va a formar un número con los
dígitos 4, 7, 2 y 6. ¿En qué orden debe poner los dígitos
para formar el número más grande que sea posible?
5. Francisco quiere formar 1 412 usando bloques. No tiene ningún bloque de miles.
¿Cuántos bloques de centenas deberá usar?
A. 41 B. 14 C. 4 D. 1
6. Escritura en matemáticas. Escribe el número cuyo:
• Dígito de las unidades es 5.
• Dígito de las unidades de mil es uno más que el dígito de las unidades.
• Dígito de las centenas es 7.
• El dígito de las decenas es el mismo que el de las centenas.
¿Qué número es?
7

8
Números en los miles
Aquí hay varias maneras de representar 2 352
1. Bloques de valor posicional: 2. Descomposición en sumandos:
2 000 + 300 + 50 + 2
2 unidades de mil + 3 centenas + 5 decenas
+ 2 unidades
(2 1 000) + (3 100) + (5 10) + (2 1)
3. Número: 2 352 4. En palabras: Dos mil trescientos cincuenta y dos
Cada dígito en 2 352 tiene diferente posición y valor.
El dígito 3 está en la posición de las centenas y tiene un valor de 300.
1. Escribe los números.
a)
b) 4 unidades de mil + 9 centenas
+ 4 decenas + 7 unidades
c) 5 unidades de mil + 8 centenas
+ 1 decena + 0 unidades
d)
2. Indica el valor del dígito subrayado en cada uno de ellos
a) 4 632
b) 7 129

c) 3 572
d) 6 239
e) 3 774
3. Sentido numérico. Escribe un número de cuatro dígitos con un 5 en la posición de las
unidades de mil y un 2 en la posición de las unidades.
4. Sentido numérico. Escribe el número que tiene 652 en el período de las unidades y 739
en el período de los mil.
5. Un fin de semana se vendieron 875 boletos en el cine Mundial. Suma lo siguiente al
número de boletos vendidos
a) 100 boletos b) 300 boletos
6. ¿Cuál de los números siguientes tiene un 5 en la posición de las unidades de mil
A. 3 341 B. 2 341 C. 2 451 D. 5 401
7. Escritura en matemáticas. Explica cómo sabes que en el número 2 364, el 6 no está en
la posición de las unidades de mil.
9

10
En la recta numérica
1. Ubica en la recta numérica los siguientes números.
2 000 6 000 8 000 5 000 4 000
1 000 3 000 7 000 9 000
2. Completa las rectas numéricas, descubre las claves o patrón numérico.
a)
b)
c)
1 000 1 500 2 000 2 500
Patrón numérico:
2 000 4 000 8 000 10 000
Patrón numérico:
2 200 2 800 3 700 4 000
Patrón numérico:
3. Crea tu propio patrón numérico y completa la recta numérica.
Patrón numérico:

4. Roberto se puso como meta nadar 1 000 vueltas en la piscina de su barrio durante las
vacaciones de verano. Roberto ha nadado 642 vueltas. ¿Cuántas vueltas más debe nadar
para alcanzar su meta?
5. ¿Es razonable? Lily restó 940 – 138. ¿Debe ser su respuesta mayor o menor que
800? Explícalo.
6. Calcula para encontrar la diferencia de altura entre
a) Ángel y Tugela.
b) Yosemite y Kukenán.
7. ¿Cuál de los siguientes resultados muestra 808 – 523?
A. 201
B. 285
C. 703
D. 800
Cataratas más altas del mundo
Nombre Altura (metros)
Ángel 979
Tugela 948
Yosemite 739
Kukenán 610
8. Escritura en matemáticas. Si 694 – 72 = , entonces 622 + = 694.
Explica el proceso que usaste para comprobar tu trabajo.
11

12
Adición y sustracción
Una ecuación es una oración numérica que indica que dos expresiones numéricas tienen el
mismo valor.
7 + 5 = 12
12 = 12
Algunas ecuaciones tienen variables, como n + 20 = 100. Para resolver la ecuación debes
hallar el número que la variable representa. Resuelve n + 20 = 100.
Paso 1
Cálcula mentalmente.
¿Qué número más 20 es igual a 100?
Prueba varios números.
Prueba n = 70.
70 + 20 = 90
1. Resuelve las ecuaciones.
Paso 2
Fíjate si el número funciona.
Si no, prueba otro número.
¿Es 70 + 20 =100?
No.
Prueba n = 80.
80 + 20 = 100
Por tanto n = 80.
a) a + 5 = 12 b) n + 9 = 18
c) e – 6 = 60 d) j + 100 = 126
e) w – 200 = 100 f) 88 + t = 100
g) d – 12 = 12 h) 82 + b = 90
i) f + 50 = 300 j) q – 800 = 200
k) 9 + k = 18 l) 90 – w = 88
2. Sentido numérico. ¿Es la solución de 100 – f = 60 mayor o menor que 60? Explica cómo
lo sabes.

3. ¿Es razonable? Marisa resolvió la ecuación d + 71 = 87 y obtuvo d = 12. ¿Es razonable
esta solución? Explícalo.
4. Sentido numérico. ¿Es la solución de 25 + n = 30 mayor o menor que 30? Explica cómo
lo sabes sin resolverlo.
5. Andrés compró un modelo de avión para armar. También compró un tubo de pegamento
por $600. Gastó $22 000. Usa la ecuación a $600 = $22 000 para encontrar el precio del
modelo de avión.
6. ¿Cuál es el valor de la variable en la ecuación r – 126 = 19?
A. 245
B. 145
C. 107
D. 49
7. Escritura en matemáticas. Explica cómo la variable b tiene dos valores diferentes en las
dos ecuaciones.
6 – b = 5 b = 1 b + 5 = 15 b = 10
13

14
Ordenar números
Puedes usar una recta numérica para ordenar
números de mayor a menor o de menor a mayor.
Ejemplo 1
Estos números, en orden de menor a mayor, son:
105, 135 y 160.
Ejemplo 2
También puedes usar el valor posicional para ordenar
números. Primero, comparas pares de números para
encontrar el mayor. Luego comparas los otros
números.
194 > 127
¿Es 194 también mayor que 143?
194 >
Sí, por tanto 194 es el mayor.
143 >
Por lo tanto 127 es el menor.
1. Escribe los números ordenados de menor a mayor.
a) 560 583 552
b) 583 575 590
c) 576 580 557
d) 216 208 222
e) 210 219 211
550 555 560 565 570 575 580 585 590 595
2. Escribe los números ordenados de mayor a menor.
a) 973 1 007 996
b) 5 626 5 636 5 616
135 160
100 150
200
Edificios Altura total
Titanium La Portada 194 m
Torre Entel 127 m
Torre Telefónica 143 m
600

c) 445 455 450
d) 633 336 363
e) 5 000 50 500
3. Representaciones. Jaime tiene 9 años, Aldo tiene 12 años, David tiene 3 años y Naomí
tiene 6 años. Marca en la recta las edades de los niños de menor a mayor.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
4. Representaciones. Dibuja una recta numérica. Asegúrate de mostrar los siguientes
números en la recta: 1 472 1 560 1 481.
5. Ordena la longitud de los ríos de menor
a mayor.
6. ¿En qué número tiene 4 el mayor valor?
Los ríos más largos del mundo
Río Longitud (en kilómetros)
Amazonas 7 020
Yangtze (o Azul) 6 380
Mississippi-Missouri 6 270
Nilo 6 671
A. 9 499 B. 4 391 C. 2 240 D. 1 944
7. Escritura en matemáticas. Sara dice que el número con más dígitos es siempre el
mayor. ¿Estás de acuerdo? Explica tu respuesta.
15

16
Patrones numéricos
Puedes usar una recta numérica para encontrar un patrón numérico.
Encuentra el patrón. Encuentra los siguientes dos números: 17, 14, 11, 8, ,
– 3 – 3
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Una tabla de 100 puede ayudarte a encontrar
39 – 12 usando patrones de valor posicional.
Empieza en 39 y muévete una fila hacia arriba
para restar 10. Luego, muévete dos columnas
a la izquierda para restar 2 unidades.
39 – 12 = 27.
1. Continúa los patrones.
1
11
21
31
41
51
2
12
22
32
42
52
3
13
23
33
43
53
4
14
24
34
44
54
5 6 7 8
a) 4, 8, 12, , b) 7, 14, 21, ,
c) 90, 80, 70, , d) 25, 50, 75, ,
e) 15, 30, 45, , f) 30, 24, 18, ,
g) 3, 6, 9, 15 h) 220, 230, 240, ,
2. Usa patrones de valor posicional para encontrar cada suma o diferencia.
a) 18 + 20 b) 21 + 7 c) 46 – 12
d) 890 – 300 e) 150 + 200 f) 470 – 350
15
25
35
45
55
16
26
36
46
56
17
27
37
47
57
18
28
38
48
58
9 10
19
29
39
49
59
20
30
40
50
60

g) 32
64
+ 71
k) 156
2561
+ 213
h) 127
39
+ 87
l) 2241
4421
+ 1124
ñ) 58 + 28 = o) 13 + 72 =
3. Sentido numérico. A la derecha se muestran
los bloques de valor posicional de Mario.
a) ¿Qué números está sumando?
b) ¿Cuál es la respuesta a la adición de Mario?
m) 1098
312
+ 175
4. ¿Es razonable? Constanza sumó 65 + 26 y obtuvo 81.¿Es un resultado razonable?
Explica tu respuesta.
n) 420
318
+ 4196
________________________________________________________________________________
5. Usa la lista de precios de la tabla
a) Hoy haces dos tareas. ¿Cuánto dinero ganarías
si pasearas al perro e hicieras tu cama?
b) Jaime lavó los platos e hizo su cama. ¿Cuánto
dinero ganó?
i) 17
68
+ 32
j) 358
427
+ 27
Tarea Paga
Pasear al perro $1 000
Lavar los platos $1 250
Hacer la cama $500
6. Amanda recibe $3 000 por semana. Sus padres quitan dinero de esa cantidad, si ella no
cumple con sus tareas. Esta semana, Amanda se olvidó de hacer la cama dos veces.
¿Cuánto dinero recibirá esta semana?
________________________________________________________________________________
17

18
Encontrar la resta o diferencia
Encuentra 726 – 238.
Estima: 700 – 200 = 500; por tanto la respuesta debe ser aproximadamente 500.
Paso 1
Primero resta las unidades.
Reagrupa si es necesario.
1 16
726
– 238
8
Reagrupa 1 decena como
10 unidades.
1. Encuentra la resta.
a)
e)
228
– 123
321
– 176
Paso 2
Resta las decenas.
Reagrupa si es necesario.
11
6 1 16
726
– 238
88
Necesitarás reagrupar, porque 3
decenas > 1 decena.
Reagrupa 1 centena como 10
decenas. Esto te da un total de
11 decenas.
b)
f)
291
– 187
716
– 99
c)
g)
Paso 3
Resta las centenas.
11
6 1 16
726
– 238
488
¿Es correcta tu respuesta?
Comprueba sumando:
488 + 238 = 726.
Se comprueba.
336
– 275
543
– 268
i) 175 – 156 = j) 327 – 159 =
2. Observa la tabla y responde.
a) ¿Cuál es la diferencia entre el mayor y el
menor número de páginas que leyeron los
niños?
b) ¿Leyó Karen más páginas que Francisco y
Luis juntos? ¿Cuántas páginas más o
menos que los dos niños leyó Karen?
d)
h)
Registro de lectura
Nombre Páginas leídas
Karen 716
Carola 614
Francisco 337
Felipe 791
Luis 448
512
– 299
133
– 27

Estimar sumas
Supón que tu clase está reuniendo 275 cupones de cajas de cereal para una colecta de
dinero. Tu clase tiene 139 cupones de cereal con frutas y 152 cupones de cereal de salvado.
¿Tiene la clase suficientes cupones? Como sólo necesitas saber si el número de cupones es
suficiente, puedes estimar
Éstas son algunas maneras en que puedes estimar
Redondear: Redondea cada sumando a la centena más cercana o a la decena más cercana.
Luego, suma y compara.
Redondea a la centena más cercana: Redondea a la decena más cercana:
152 ⇒ 200
+ 138 ⇒ 100
= 300
Como 300 > 275, tienen suficientes. Como 290 > 275, tienen suficientes.
1. Usa cualquier método para estimar las sumas.
a) 167 + 449
b) 387 + 285
2. Redondea a la decena más cercana para estimar las sumas.
152 ⇒ 150
+ 138 ⇒ 140
= 290
a) 37 + 117 b) 42 + 98 c) 145 + 239
3. Estimar las sumas.
a) 240 + 109 b) 87 + 588 c) 126 + 223
4. ¿Es razonable? Sandra estimó 270 + 146 y obtuvo 300. ¿Es razonable su respuesta? Explica.
5. ¿Cuál de las siguientes alternativas muestra una estimación de 287 + 491 usando números
compatibles?
A. 200 + 500 B. 300 + 500 C. 280 + 400 D. 290 + 490
6. Escritura en matemáticas. ¿Cómo usarías el redondeo para estimar 331 + 193?
19

20
Estimar diferencias
Los miembros del club de biología atraparon 136 saltamontes y 188 mariposas. ¿Cuántas más
mariposas más que saltamontes atraparon?
Éstas son cuatro maneras diferentes de estimar diferencias
Redondea a la centena más cercana: Redondea a la decena más cercana:
188 se redondea a 200
– 136 se redondea a 100
188 se redondea a 190
– 136 se redondea a 140
Aproximadamente 100 mariposas más. Aproximadamente 50 mariposas más.
1. Usa cualquier método para estimar las diferencias
a) 442 – 112 b) 346 – 119
c) 692 – d) 231 – 109
2. Redondea a la decena más cercana para estimar las diferencias
a) 677 – 421 b) 296 – 95
3. Redondea a la centena más cercana para estimar las diferencias
a) 236 – 119 b) 558 – 321
4. Escritura en matemáticas. Camilo estimó 287 – 29 y obtuvo una diferencia aproximada
de 200. ¿Es razonable la estimación? Explica tu respuesta.
5. ¿Qué número no es compatible con 76?
A. 80 B. 75 C. 70
D. 60
6. Escritura en matemáticas. A continuación se muestran las estimaciones de Pablo y de
Mateo para 177 – 129. ¿Cuál de los dos dio la estimación más cercana a la respuesta
exacta? Explica tu respuesta.
• Pablo: 180 – 130 =

7. Sentido numérico. ¿Podrías dividir 14 camisas en 2 grupos iguales? ¿Por qué?
8. Sentido numérico. Una caja contiene 12 barras de cereal. Hay dos barras en cada
paquete. ¿Cuántos paquetes hay en cada caja de barras de granola?
9. Isabel y sus 5 amigos fueron a un concierto en la escuela. Gastaron un total de $4 200 en
las entradas. Las entradas tenían el mismo precio. ¿Cuánto costó cada entrada?
10. Un profesor le dio 3 carpetas a cada miembro del club del anuario escolar. En total, el
profesor les dio a los estudiantes 27 carpetas. ¿Cuántos estudiantes había en el club del
anuario?
11. ¿Cuál es el resultado de 20 : 5?
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
12. Escritura en matemáticas. Tania y su familia fueron a comprar helado. Pidieron 10 bolas
de helado. A cada persona le tocaron 2 bolas de helado. Explica cómo calcularías el
número de personas que hay en la familia de Tania. Luego, escribe la respuesta.
21

22
Escoger una operación
Se usan distintas operaciones para resolver diferentes problemas.
Escribe el signo que muestra la operación que usarás para resolver el problema; +, –, ó :
Hay 5 jaulas en una tienda de mascotas.
Hay 4 cachorros en cada jaula.
¿Cuántos cachorros hay en la tienda de mascotas?
Piensa en lo que te dice el problema.
Hay 5 jaulas. Hay 4 cachorros en cada jaula.
¿Qué te pide el problema que encuentres?
Cuántos cachorros hay en la tienda de mascotas
¿Qué operación debes usar? X
Encierra en un círculo la oración numérica que resuelve el problema.
5 4 = 20 5 + 4 = 9 5 – 4 = 1
Por tanto hay 20 cachorros en la tienda de mascotas.
1. Escribe el signo que muestre la operación que debes usar. Encierra en un círculo la
oración numérica que resuelve el problema.
Una jaula tiene 9 pájaros. Oscar compra 3 pájaros.
¿Cuántos pájaros quedan?
¿Qué operación debes usar?
9 + 3 = 12 9 – 3 = 6 9 3 = 27
Quedan pájaros en la tienda de mascotas.

Contar dinero
Recuerda que para obtener una cantidad de dinero usando la menor cantidad posible de
billetes y monedas, comienza con el billete de mayor valor que sea menor que la cantidad que
quieres obtener. Por ejemplo, para obtener $42 250, empieza con el billete de mayor valor que
es menor que $42 250. Luego, sigue usando los billetes o monedas de mayor valor. Por tanto
necesitamos dos billetes de $20 000, dos billetes de $1 000, 2 monedas de $100 y 1 moneda
de $50 para obtener $42 250.
1. Cuenta el dinero. Escribe las cantidades.
a) 3 billetes de $10 000, 4 monedas de $500, 6 monedas de $100
b) 3 billetes de $5 000, 8 monedas de $500, 2 monedas de $10
2. Explica cómo obtener las cantidades de dinero con la menor cantidad de billetes y
monedas.
a) $5 220
b) $16 510
3. Sentido numérico. El Sr. Garrido tiene $500 en una bandeja sobre su escritorio. Tiene
dos monedas de $100 más que monedas de $50. ¿Qué monedas tiene?
*Monedas y billetes a escala solo como referencia.
23

24
Patrones de valor posicional
Estas son dos maneras
diferentes de mostrar 1 400
Estas son dos maneras
diferentes de escribir 660:
1. Expresa cada número de dos maneras diferentes.
a) 700
b) 1 700
c) 300
d) 2 400
e) 7 000
2. Sentido numérico ¿Cuántas decenas hay en 6 430?
A B
un mil, cuatro centenas catorce centenas
un mil, cuatro centenas catorce centenas
660 seiscientos sesenta 660 sesenta y seis decenas
3. La cafetería tiene 900 bandejas de comida. ¿Cuántas pilas de bandejas habrá si las
bandejas se apilan en:
a) centenas? b) decenas?

4. Carlos tiene una colección de 1 742 estampillas. Si obtiene 300 más, ¿cuántas tendrá?
5. Busca un patrón. Encuentra los tres números que siguen.
a) 2 950 3 050 3 150
b) 1 211 1 221 1 231
c) 4 017 4 027 4 037
d) 1 213 1 313 1 413
6. Razonamiento. José tiene 1 300 estampillas en su colección. Piensa poner su colección
en un álbum de estampillas. ¿Cuántas páginas llenará si pone:
a) 10 estampillas en cada página?
b) 100 estampillas en cada página?
7. ¿Cuáles son los tres números que siguen en el patrón: 2 071 2 141 2 211?
A. 2 021 2 041 2 061
B. 2 261 2 311 2 361
C. 2 281 2 351 2 421
D. 2 311 2 411 2 511
8. Escritura en matemáticas. Describe los bloques de valor posicional que puedes usar
para representar 1 415.
25

26
Leer para comprender
Siete días Una semana tiene 7 días. Cada día tiene un cierto número de letras. ¿Qué día de la
semana tiene el mayor número de letras?
Lee para comprender
Paso 1: ¿Qué sabes?
• Explica el problema en tus propias palabras.
• Identifi ca datos clave y detalles.
• Una semana tiene siete días, y cada uno de ellos
tiene un cierto número de letras.
Paso 2: ¿Qué quieres averiguar?
• Di qué se pide en la pregunta.
• Queremos saber qué día de la semana tiene el mayor
número de letras.
Respuesta: Miércoles tiene el mayor número de letras.
1. Miembros del equipo. Martín, Carolina, Antonia, Felipe, Amanda, Nicolás, Roberto,
Josefi na y Susana son los jugadores de un equipo de fútbol. ¿Hay más niños o niñas en el
equipo?
a) Identifica los datos clave y detalles.
Días Nº de letras
Lunes 5
Martes 6
Miércoles 9
Jueves 6
Viernes 7
Sábado 6
Domingo 7
b) Resuelve el problema. Escribe tu respuesta en una oración completa.

2. Una granja tiene 9 vacas, 3 caballos, 15 pollos y 12 cabras. ¿Cuántos animales hay en
total?
a) Explica el problema con tus propias palabras.
b) Identifica datos clave y detalles.
c) ¿Cuántos pollos y cabras hay?
d) ¿Cuántos más pollos que caballos hay?
e) Resuelve el problema. Escribe la respuesta en una oración completa.
3. Para los ejercicios 9 y 10 usa la siguiente tabla
a) ¿Cuántos libros más necesita Eliana para
tener la misma cantidad que Juan?
b) ¿Cuántos libros tienen en total Eliana, César
y Juan?
Nombre Número de libros
César 7
Eliana 4
Juan 9
27

28
Buscar un patrón
¿Qué patrón ves?
1 A 2 B 3 C 4 D 5 E 6 F
Los números se alternan con letras del alfabeto, en orden.
El patrón continuaría así:
7 G 8 H 9 I
¿Qué patrón ves?
A B C
1 1 1
2 2 4
3 3 9
4 4 16
5 25
El número de la columna A se multiplica por el número de la columna B.
El producto es la columna C.
El ultimo número de la columna B sería el 5.
1. Busca el patrón. Dibuja las dos fi guras que siguen.
a)
b)
c)
SF_RT04_02_16
SF_PR04_02_07
SF_PR04_02_08

2. Busca el patrón. Escribe los números que faltan.
a) 2, 4, 6, 8, , ,
b) 2, 7, 12, 17, , ,
c) 60, 52, 44, 36, , ,
d) 88, 77, 66, 55, , ,
e) 5, 8, 11, 14, 17, ,
f) 4, 6, 10, 16, 24, ,
3. Busca un patrón. Completa cada oración numérica.
a) 80 + 8 = 88 b) 10 + 1 = 11
808 + 80 = 888 100 + 1 = 101
8 008 + 880 = 1 000 + 1 =
4. Busca un patrón. Escribe los números que faltan.
Hugo fue a comprar baldosas para el piso de su cocina. Midió el piso para encontrar
cuántas baldosas necesitaba para cubrirlo. Hugo decidió hacer un patrón. Escogió 10
baldosas rojas, 20 baldosas marrones, 30 baldosas blancas, baldosas negras y
baldosas grises para completar el patrón del piso de la cocina.
5. Razonamiento. Completa las
cantidades que faltan para poner al día
la libreta de ahorros de Carlos.
Cuenta de ahorros de Carlos
Fecha Depósito Saldo
4/7 $250 $9 450
4/14 $9 950
4/21 $250
4/30 $50
5/7 $10 950
29

30
Multiplicar por 10, 11 y 12
Aquí tienes algunas maneras fáciles de multiplicar números por 10, 11 y 12.
Múltiplos de 10 Múltiplos de 11 Múltiplos de 12
Cualquier número entero multiplicado
por 10 es igual a ese mismo número
con un cero adicional en el lugar de las
unidades.
Por ejemplo: 2 10 = 20,
22 10 = 220 y
220 10 = 2 200.
También puedes descomponer las
ecuaciones como ayuda para encontrar
el producto.
1. Encuentra el producto.
04954_PM12_04e_EPS
Para encontrar 12 11,
piensa en 11 como 10 + 1.
12 10 = 120,
12 1 = 12,
120 + 12 = 132,
por tanto 12 11 = 132.
04954_PM12_04f_EPS
Para encontrar 6 12, piensa
en 12 como 10 + 2.
6 10 = 60,
6 2 = 12,
60 + 12 = 72,
por tanto 6 12 = 72.
a) 5 11 = b) 12 4 = c) 10 9 =
d) 7 12 = e) 12 11 = f) 8 10 =
2. Sentido numérico. Explica cómo 9 10 puede ayudarte a encontrar 9 11.
3. Completa las oraciones numéricas.
a) b)
3 = = 15 5 = 25

Ejercitar por 10, 11 y 12
1. Encuentra el producto.
a) 4 10 = b) 12 2 = c) 10 6 =
d) 11 1 = e) 4 12 = f) 8 11 =
g) 9 10 = h) 12 3 = i) 10 7 =
j) 11 5 = k) 10 5 = l) 6 12 =
2. Sentido numérico. Beatriz multiplicó 10 9. Para encontrar la respuesta rápidamente,
puso un 0 después del 9 y obtuvo 90. ¿Es esto razonable?
3. En un año hay 12 meses. ¿Cuántos meses hay en
a) 2 años?
b) 3 años?
c) 5 años?
4. En el salón de clases hay 5 mesas redondas. En cada mesa hay 4 estudiantes. ¿Cuántos
estudiantes hay en total en las mesas?
5. ¿Cuánto dinero son 12 monedas de $ 500?
A. $6 000 B. $1 000 C. $12 000 D. $20 000
6. Escritura en matemáticas. Explica cómo encontrar 7 11 y 11 7.
31

32
Escribir cuentos de multiplicación
Cuando escribes un cuento de multiplicación debes:
• Terminar siempre el
cuento con una pregunta.
• Hacer un dibujo para
mostrar la idea principal.
Josefina les dio 45 uvas en total.
Ejemplo
Escribe un cuento de multiplicación para 5 9.
Josefi na invita a 5 amigos. A cada amigo le da 9 uvas. ¿Cuántas
uvas en total les dio Josefi na a sus amigos?
SF_RT03_05_12
SF_RT03_05_12
1. Escribe un cuento de multiplicación para cada ejercicio. Haz un dibujo para encontrar
cada producto.
a) 4 3
b) 5 2
c) 1 6
2. Sentido numérico. Jacinta compró 7 cintitas para el pelo. Pagó $5 por cada una. Escribe
una multiplicación que muestre cuánto gastó.

Encontrar una regla
David está haciendo panqueques. Hace 3 panqueques para cada miembro de su familia. Hoy
tiene que hacer panqueques para 9 personas, pero no está seguro de cuántos panqueques
tiene que hacer en total. Si usara una tabla, podría ver la regla del patrón para el número de
panqueques y el número de personas que comen.
Número de personas 1 2 3
Número de panqueques 3 6
La regla para el patrón es multiplicar por 3. Para preparar panqueques para 9 personas, se fija
en el número de personas (9) y sigue la regla (multiplicar por 3). Así sabe que debe preparar 27
panqueques.
1. Escribe una regla para cada tabla. Completa la tabla.
a)
b)
c)
Número de tiendas de campaña 1 2 3 4 5
Número de caminantes 4 8 12
Entrada 3 4 1 2 7
Salida 15 20 5
Entrada 2 4 6 8 10
Salida 14 28
2. Sentido numérico. Leo puede lijar 7 tablones en 1 hora. ¿Cuántos tablones podrá lijar en
3 horas?
33

34
Operaciones de multiplicación
1. Encuentra los productos. Elige un método.
a) 19 4 b) 23 7 c). 51 6
d) 392 5 e) 104 3 f) 530 2
g) 165 5 h) 800 3 i) 210 4
2. Encuentra 7 22.
A. 54 B. 144 C. 152 D. 154
3. Encuentra 915 6.
A. 4 890 B. 5 480 C. 5 409 D. 5 490
4. Resuelve.
a) Un camión de basura grande usa aproximadamente 18 litros de bencina en 1 hora de
trabajo. ¿Cuántos litros de gasolina se necesitan para que el camión trabaje durante
5 horas?
b) Claudio sembró 4 filas de semillas de tomate. En cada fila hay 120 semillas.
¿Cuántas semillas de tomate sembró Claudio?
c) Un escritorio en un salón de clases tiene 4 patas. ¿Cuántas patas tienen 5 escritorios
en total?

5. Escritura en matemáticas. Cristóbal tiene 6 veces más bolitas que su hermana Paz.
Paz tiene 34 bolitas. Leo tiene 202 bolitas. ¿Quién tiene más bolitas, Cristóbal o Leo?
Explica cómo encontraste la respuesta.
6. Compara. Usa o = para completar cada
a) 7 6 5 7 b) 2 7 14 c) 9 4 4 9
d) 4 4 2 8 e) 7 8 9 5 f) 48 6 7
7. Si hay 11 jugadores por cada equipo de fútbol durante un partido, ¿cuántos jugadores
habría en:
a) 4 equipos b) 10 equipos
c) 8 equipos d) 6 equipos
8. Observa la tabla y responde.
a) ¿Cuántas tarjetas de fútbol hay en 4
paquetes?
Objeto
b) ¿Cuántas calcomanías recibes si compras 9 paquetes?
9. ¿Cuál es el valor del número que falta?
9 = 36
A. 6 B. 4 C. 3 D. 2
Cantidad en cada
paquete
Tarjetas de fútbol 15
Calcomanías 20
10. Escritura en matemáticas. Macarena necesita encontrar el producto de dos números. Uno de
los números es 9. La respuesta debe ser 9 también. ¿Cómo resolverá el problema? Explícalo.
35

36
Estimar productos
Puedes redondear o usar números compatibles para estimar productos.
Estima 7 28
Redondeando los números Usando números compatibles
Redondea 28 a 30.
7 30
7 30 = 210
1. Estima cada producto.
Sustituye 28 con 25.
7 25
7 25 = 175
a) 6 88 está cerca de 6 b) 59 4 está cerca de 4
c) 7 31 d) 38 5
e) 21 6 f) 3 53
g) 5 790 h) 488 6
i) 7 42 está cerca de 7 j) 9 511 está cerca de 9
k) 5 79 l) 6 32
m) 4 63 n) 8 102
ñ) 9 354 o) 3 428
p) 7 493 q) 5 814
r) 2 354 s) 8 783
2. Sentido numérico. Estima para decir si 5 68 es mayor o menor que 350. Explica cómo
lo determinaste.

3. Observa la tabla y responde.
a) Estima cuántas piezas C se fabricarían
en 4 meses.
b) Estima cuántas piezas B se fabricarían
en 3 meses.
Número de piezas
3 500
3 000
2 500
2 000
1 500
1 000
c) Estima cuántas piezas A se fabricarían en 9 meses.
4. Responde.
a) Un perro pesa 17 kilogramos. Un
jugador de fútbol americano pesa 9
veces lo que pesa el perro.
¿Aproximadamente cuántos kilogramos
pesa el jugador de fútbol americano?
500
0
Piezas fabricadas
en un mes
2 850
1 510
Pieza A Pieza B Pieza C
SF_RT04_05_02
934
b) Natalia tiene 872 estampillas en su
colección. Su madre tiene 8 veces la
cantidad de estampillas de su hija.
¿Aproximadamente cuántas
estampillas tiene la madre de Natalia?
5. Ana viajó 324 km para visitar a su abuela. Leo viajó 5 veces esa distancia para ver a su
tío. ¿Aproximadamente cuántos kilómetros viajó Leo?
A. 150 km B. 1 500 km C. 6 000 km D. 5 000 km
6. Escritura en matemáticas. Laura encontró la respuesta exacta para 6 623. Su
respuesta exacta era menor que su estimación de 3 600. ¿Es correcta la respuesta exacta
de Laura? Explícalo.
37

38
Descomponer números para multiplicar
Puedes simplificar una multiplicación descomponiendo los números más
grandes según su valor posicional.
Encuentra 4 23
23 es lo mismo que 20 + 3
Primero multiplica las unidades, luego multiplica las decenas.
4
Luego suma los productos: 80 + 12 = 92
Por lo tanto, 4 23 = 92.
1. Encuentra los productos.
20 3
4 • 20 = 80 4 • 3 = 12
a) 21 6 = b) 43 5 =
c) 16 8 = d) 38 9 =
e) 62 4 = f) 2 19 =
g) 4 22 = h) 5 21 =
i) 63 4 = j) 18 7 =
k) 42 9 = l) 88 2 =
m) 2 72 = n) 3 49 =
ñ) 6 31 = o) 3 82 =
4

2. Sentido numérico. Tomás dijo: “Para encontrar 6 33, puedo sumar 18 y 18”. ¿Estás de
acuerdo? ¿Por qué?
3. Resuelve.
a) Cada tabla de madera mide 6 m de ancho. Se necesitan exactamente 19 tablas para
cubrir las paredes de un cuarto. ¿Cuál es el perímetro del cuarto?
b) Un carpintero hace sillas con listones de madera en
el respaldo, como muestra el dibujo. Cada silla lleva
7 listones. El carpintero tiene que hacer 36 sillas.
¿Cuántos listones de madera tendrá que hacer?
4. ¿Cuál es igual a 5 25?
listones
A. 25 + 10 B. 105 C. 30 D. 100 + 25
5. Escritura en matemáticas. Susana dice: “Puedo encontrar 12 8 sumando 80 + 16”.
¿Estás de acuerdo? ¿Por qué?
39

40
Multiplicar números de dos dígitos
Puedes reagrupar decenas y unidades para multiplicar números de dos dígitos.
Encuentra 36 3.
Paso 1
Paso 2
Por lo tanto 36 3 = 108.
Lo que piensas
Multiplica las unidades. Reagrupa si es necesario.
6 3 18 unidades. Reagrupa 18 unidades como
1 decena y 8 unidades.
Multiplica las decenas. Suma las decenas reagrupadas.
3 3 decenas 9 decenas.
9 decenas 1 decena 10 decenas.
1. Encuentra los productos. Determina si tus respuestas son razonables.
Lo que escribes
1
3 6 · 3
8
3 6 · 3
1 0 8
a) 21 6 b) 14 3 c) 32 4 d) 57 5
e) 62 8 f) 33 5 g) 43 8 h) 28 6
i) 43 2 j) 12 9 k) 19 4 l) 22 7
m) 45 6 n) 96 3 ñ) 27 5 o) 12 8
p) 55 4 q) 14 5 = r) 6 51 = s) 63 4 =
1

2. Sentido numérico Un muñeco de nieve tenía casi 38 m de altura. ¿Cuánto miden en
total 5 muñecos de nieve iguales al anterior?
3. En Noruega hay una región que en el verano recibe la luz del sol todo el día durante 14
semanas seguidas. ¿Cuántos días de luz solar continua tiene la región?
4. La longitud de un estacionamiento es de 92 m. ¿Cuántos metros de largo tienen 3
estacionamientos iguales?
5. ¿Cuál es el producto de 82 7?
A. 434
B. 494
C. 564
D. 574
6. Escritura en matemáticas. Explica cómo una matriz de 5 46 te ayudaría a encontrar el
producto de 5 46.
41

42
Multiplicar números de tres dígitos
Un número de tres dígitos se multiplica de la misma manera que un número de dos dígitos.
Encuentra 523 7.
Paso 1
Multiplica las
unidades. Reagrupa
si es necesario.
2
5 2 3 • 7
1
Paso 2
Multiplica las decenas.
Si reagrupaste decenas,
súmalas ahora.
Reagrupa si es necesario.
1 2
5 2 3 • 7
6 1
Estima para comprobar. 523 • 7 = 500 • 7 = 3 500
3 661 se aproxima a 3 500, por lo tanto la respuesta es razonable.
Paso 3
Multiplica las centenas.
Si reagrupaste centenas,
súmalas ahora.
1 2
5 2 3 • 7
3, 6 6 1
Recuerda que es importante empezar siempre por la posición de las unidades, y continuar hacia
los valores posicionales más grandes. Cualquier reagrupación que se necesite debe hacerse
del menor al mayor valor.
1. Encuentra las respuestas. Estima para comprobar si son razonables.
a) 221 4 b) 342 5 c) 402 4 d) 610 2
e) 531 3 f) 213 8 g) 231 2 h) 420 3
i) 613 5 j) 308 7 k) 501 8 l) 914 9
m) 392 6 = n) 104 9 = ñ) 444 4 = o) 121 6 =
2. Sentido numérico. La placa tectónica Tonga, cerca de Samoa, se desplaza 240 mm por
año. A ese ritmo, ¿cuántos milímetros se desplazará en 5 años?

3. Hay 365 días en 1 año. ¿Cuántos días hay en 3 años?
4. Una tabla tiene 144 cm de largo. ¿Cuántos cm de largo tienen 8 tablas iguales a la
anterior?
5. Sentido numérico. ¿Es lo mismo 721 3 que 2 100 60 3? Explica tu respuesta.
6. ¿Cuál es el producto de 828 5?
a) 4 040
b) 4 100
c) 4 140
d) 4 840
7. Escritura en matemáticas. Ismael multiplicó 362 4.
Explica el error que cometió y da la respuesta correcta.
2
362 4
1 248
43

44
Multiplicar números de tres dígitos por
números de un dígito
Así se multiplican números más grandes.
Paso 1 1
Multiplica las las unidades.
Reagrupa si si es es
necesario.
Paso 2 2
Multiplica las las decenas.
Suma cualquier decena
adicional. Reagrupa si si
es es necesario.
Paso 3 3
Multiplica las las centenas.
Suma cualquier centena
adicional.
Ejemplo AA Ejemplo BB
1 1
1
154
154 4
xx 44
6
6
212
1
154 21 154
xx154 44
4
16 16 16
212
1
154 21 154
xx154 44
4
616
1. Encuentra los productos. Estima si son razonables.
SF_RT04_05_08
214 2214
x214 x 7
77
8
8
a) 185 4 b) 517 4 c) 741 3 d) 413 6
e) 625 6 f) 381 5 g) 711 8 h) 802 5
i) 352 3 j) 385 4 k) 482 5 l) 632 5
m) 219 6 n) 768 7 ñ) 521 4 o) 848 9
2 2
2 2
214 2214
x214 x 7
77
98 98 98
2 2
214 2
xx214 77
7
1,498 1 1,498 498

2. Sentido numérico ¿Cómo puedes usar el producto de 108 y 4 para encontrar el
producto de 324 y 4?
3. Una fábrica puede hacer 241 pelotas de fútbol en 1 semana. ¿Cuántas pelotas
puede hacer en 9 semanas?
4. Si los jugadores de béisbol de la tabla anotan la misma cantidad de carreras cada
temporada, ¿cuántas carreras anotará
a) el jugador A en 5 temporadas?
b) el jugador C en 8 temporadas?
Carreras anotadas en 2001
Jugador Carreras anotadas
A 128
B 113
C 142
5. ¿Cuántas botellas de agua vendería Tomás si vendiera 212 botellas por semana durante 4
semanas?
A. 800 B. 840 C. 848 D. 884
6. Escritura en matemáticas. Si sabes que 8 300 = 2 400, ¿cómo puedes encontrar
8 320? Explícalo.
45

46
Practicar operaciones de multiplicación
Puedes usar más de una estrategia para encontrar una misma operación de multiplicación.
Encuentra 6 4.
En un problema de multiplicación, puedes cambiar el orden de los factores y aun así obtener
el mismo resultado:
6 4 es lo mismo que 4 6.
Si sabes que la operación 4 6 = 24, sabes también que la operación 6 4 = 24. A esto se le
llama la propiedad conmutativa de la multiplicación.
Para encontrar operaciones que no sabes, puedes sumar operaciones que ya conoces.
Puedes combinar 5 4 y 1 4 para encontrar 6 4. 5 4 = 20 y 1 4 = 4; por lo tanto 6 4 =
24.
Algunas operaciones pueden duplicarse para encontrar operaciones que no sabes.
Puedes duplicar operaciones del 2 para encontrar operaciones del 4.
Puedes duplicar operaciones con 4 para encontrar operaciones con 8.
6 4 es lo mismo que 4 6. Duplica la multiplicación de 2 por 6; 6 2 = 12.
12 duplicado es 24. 6 4 = 24.
1. Resuelve.
a) 2 9 = b) 5 7 = c) 5 8 =
d) 7 8 = e) 8 3 = f) 4 7 =
g) 6 8 = h) 5 9 = i) 7 8 =
j) 5 7 = k) 6 2 = l) 4 60 =
m) 10 0 = n) 13 1 = ñ) 14 0 =
2. Sentido numérico Daniel no sabe cuál es el producto de 6 5. Explica dos maneras en
que podría encontrar la respuesta sin tener que sumar cinco veces 6.

3. Sentido numérico. ¿Cómo usarías las operaciones de multiplicación del 3 para encontrar
las operaciones de multiplicación del 9?
4. Leonardo pone 4 servilletas en cada bandeja.
a) Completa la siguiente tabla.
b) ¿Cuántas servilletas tendrá
Leonardo en 10 bandejas?
Bandejas 1 2 3 4 5
Servilletas 4
5. A Constanza le pagan $600 por cada perro que pasea. Ayer sacó a pasear a 5 perros; hoy
sacó a pasear a 2. ¿Cuánto ganó Constanza en los dos días?
A. $1 200
B. $3 000
C. $4 200
D. $4 800
6. Escritura en matemáticas. Describe una manera de ayudarte a encontrar el producto de
8 6 sin usar la suma repetida.
47

48
Signifi cados de la división
Cuando divides, separas cosas en grupos iguales
Doris está preparando 8 almuerzos, todos con la misma cantidad de frutillas. Tiene un total de
32 frutillas. ¿Cuántas frutillas deben ir en cada almuerzo?
Lo que piensas: Lo que muestras: Lo que escribes:
Doris tendrá que poner un
número igual de frutillas
en cada almuerzo. Debe
poner 32 frutillas en 8
grupos iguales. ¿Cuántas
frutillas habrá en cada
grupo?
8 grupos iguales
Cuando se dividen 32 frutillas en 8 grupos,
quedan 4 frutillas en cada grupo
1. Haz un dibujo para resolver cada problema.
a) Pones 15 bolitas en 3 grupos. ¿Cuántas bolitas hay en cada grupo?
32 : 8 = 4
32 es el dividendo, el
número que es dividido.
8 es el divisor, el número
por el que se divide.
4 es el cuociente o la
respuesta al problema de
división.
Cada almuerzo debe tener
4 frutillas.
b) Necesitas poner 20 cubos de hielo en 5 vasos. ¿Cuántos cubos deben ir en cada
vaso?

c) Hay 12 bolsitas de regalos. En cada bolsita cabe 1 juguete y algunas calcomanías.
Hay 36 calcomanías. Si se pone igual cantidad de calcomanías en cada bolsita,
¿cuántas calcomanías habrá en cada bolsita?
d) En un envase de huevos de cartón caben 12 huevos. ¿Cuántos envases podrías
llenar con 60 huevos?
e) En la clase del señor Méndez hay 21 estudiantes. Los estudiantes se dividieron en 3
grupos. ¿Cuántos estudiantes hay en cada grupo?
2. Cecilia leyó en su libro de ciencias sociales un capítulo de 18 páginas en 2 horas. Si leyó
la misma cantidad de páginas cada hora, ¿cuántas páginas leyó por hora?
A. 3 páginas. B. 6 páginas. C. 9 páginas. D. 12 páginas.
3. Escritura en matemáticas. La clase está planificando una fiesta. La pizzería corta cada
pizza en 8 porciones. Hay 32 estudiantes. ¿Cuántas pizzas debe pedir la clase para que
cada estudiante obtenga una porción? Explícalo.
49

50
La división como resta repetida
También puedes pensar
en la división como
resta repetida. Éste
es un ejemplo:
Marcos tiene 15 suéteres.
Los está guardando en cajas.
En cada caja entran
3 suéteres. ¿Cuántas
cajas necesita Marcos?
Empieza con 15 suéteres.
Resta 3 cada vez hasta
que no sobren suéteres.
Luego, cuenta las restas.
15 – 3 = 12
12 – 3 = 9
9 – 3 = 6
6 – 3 = 3
3 – 3 = 0
También puedes usar la división.
15 : 3 = 5
Quince dividido por 3 es igual a 5.
Marcos necesita 5 cajas.
1. Usa fichas o haz dibujos para resolver los problemas
a) Hay 10 marcadores. Hay 5 marcadores en cada caja.
¿Cuántas cajas hay?
b) Hay 20 libro. Hay 5 libros en cada estante.
¿Cuántos estantes hay en total?
c) Hay 8 hámsters. Hay 2 hámsters en cada jaula.
¿Cuántas jaulas hay?
d) Hay 35 calcomanías. Hay 5 calcomanías en
cada plancha.¿Cuántas planchas hay?
e) Hay 40 flores. Hay 4 flores en cada florero.
¿Cuántos floreros hay?
Puedo Puedo restar restar 5
tres 5 veces
veces el número
y me quedan
cero tres suéteres. y me quedan
cero suéteres.
2. Escritura en matemáticas. Muestra cómo usarías la resta repetida para calcular cuántos
grupos de 3 hay en 18. Luego, escribe la división que corresponde al problema.

3. En Villarrica, la gente arrienda bicicletas para pasear por la costanera. El cuadro muestra
el número de personas que anduvieron en bicicletas cada mes. En cada bicicleta van dos
personas. ¿Cuántas bicicletas de este tipo se arrendaron cada mes?
a) Mayo
b) Junio
c) Julio
d) Agosto
e) ¿Cuántas bicicletas fueron alquiladas en total?
Personas que
arrendaron bicicletas
Mes Personas
Mayo 8
Junio 24
Julio 16
Agosto 22
Septiembre 14
4. Carlos tiene que llevar 24 cajas a su cuarto. Puede llevar 3 cajas a la vez. ¿Cuántas veces
tendrá que ir a su cuarto para llevar todas las cajas?
A. 7 veces.
B. 8 veces.
C. 9 veces.
D. 10 veces.
5. Escritura en matemáticas. Tamara dice que 15 : 3 = 5. ¿Es correcto? Explica cómo lo
sabes.
51

52
Operaciones de división
Pensar en operaciones de multiplicación puede ayudar cuando quieres dividir. Por ejemplo:
Carla y su padre están embalando naranjas. Tienen 42 naranjas. Cada caja puede contener
6 naranjas. ¿Cuántas cajas necesitan?
Lo que piensas Lo que dices Lo que escribes
¿Qué número multiplicado es igual a 42?
6 = 42
7 veces 6 es igual a 42 7 6 = 42
1. Encuentra el cuociente.
¿Cuánto es 42
dividido por 6?
a) 16 : 2 = b) 12 : 4 = c) 50 : 5 =
d) 24 : 8 = e) 30 : 5 = f) 49 : 7 =
g) 56 : 7 = h) 64 : 8 = i) 9 : 3 =
j) 21 : 7 = k) 30 : 5 = l) 56 : 8 =
m) 72 : 9 = n) 48 : 8 = ñ) 81 : 9 =
o) 54 : 6 = p) 49 : 7 = q) 27 : 3 =
2. Razonamiento. ¿Cuánto es 66 : 11, si 66 : 6 = 11? Explícalo.
o
¿Cuántas veces
cabe 6 en 42?
42
– 42
0
6 7
42
: 7 = 7
Dividendo 42
Divisor 6
Cuociente 7
Resto 0

3. Razonamiento. Si 44 : 4 = 11, ¿cuánto es 44 : 11? Explícalo.
4. Elige la alternativa correcta.
a) ¿Cuál es el cuociente de 48 : 6?
A. 8 B. 6 C. 4 D. 9
b) ¿Cuál es el cuociente de 25 : 5?
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
c) ¿Cuál es el cuociente de 28 : 4?
A. 9 B. 6 C. 7 D. 8
5. Resuelve.
a) Pedro compró un CD por $1 000.
¿Cuántos CDs puede comprar por
$4 000?
b) Cristián hizo un pedido al club de lectura.
Compró 2 libros por $3 000 cada uno y un
juego para hacer sellos por $5 000.
¿Cuánto gastó en total?
6. Escritura en matemáticas. Si 9 8 = 72, ¿qué número da 72 dividido por 8? Explica
cómo lo sabes sin encontrar los cuocientes.
7. Si 7 7 = 49, ¿qué número da 49 dividido por 7? Explica cómo lo sabes sin encontrar
cuocientes.
53

54
Dividir por 2 y 5
Pensar en la multiplicación puede ayudarte a dividir por 2 y 5.
Por ejemplo:
Daniel y Mónica tienen 16 hojas de cartulina para su proyecto de arte. Los dos recibirán el
mismo número de hojas. ¿Cuántas hojas recibirá cada uno?
1. Resuelve.
Lo que piensas. Lo que escribes.
Encuentra 16 : 2.
¿Qué número
multiplicado por 2 es
igual a 16?
2 8 16
16 2 = 8
Por tanto cada uno
recibirá 8 hojas
de cartulina.
a) 30 : 5 = SF_RT03_07_05 b) 12 : 2 = c) 35 : 5 =
d) 16 : 2 = e) 20 : 5 = f) 16 : 2 =
g) 12 : 2 = h) 40 : 5 = i) 25 : 5 =
j) 8 : 2 = k) 30 : 5 = l) 10 : 2 =
2. Sentido numérico. Escribe la familia de operaciones que te ayudaría a resolver 15 : 5 = n.
3. Observa la tabla y responde.
a) ¿Cuántas monedas de 50 equivalen a una de $500?
b) ¿Qué operación de multiplicación puedes usar para
ayudarte a resolver este problema?
Monedas
Moneda de 10 $10
Moneda de 50 $50
Moneda de 100 $100
Moneda de 500 $500

c) ¿Cuántas monedas de 100 equivalen a 500?
d) ¿Qué operación de multiplicación puedes usar para ayudarte a resolver este problema?
e) ¿Cuántas monedas de 10 equivalen a 500?
4. Sentido numérico. Explica cómo usarías la multiplicación para ayudarte a encontrar 20 : 5.
5. Las arañas tienen 8 ojos y 8 patas. ¿Cuántas arañas habría si hubieran 16 ojos y 16 patas?
6. Guillermo tiene 1 moneda de $500, 2 de $100 y 1 de $50. Abigail tiene $50 más que
Guillermo y tiene sólo monedas de 50. ¿Cuántas monedas de $50 tiene Abigail?
7. Gabriela y 4 amigos se reparten por igual un paquete de 15 barras de pegamento.
¿Cuántas barras le tocan a cada persona?
8. Jorge tiene 25 lápices de colores. Si los divide por igual entre 5 personas, ¿cuántos
lápices le tocan a cada uno?
A. 2 lápices. B. 4 lápices. C. 5 lápices. D. 7 lápices.
9. Escritura en matemáticas. Francisco dice que si divide 50 por 5, le da 10. Jorge dice
que la respuesta debería ser 9. ¿Quién tiene razón? Explícalo.
55

56
Dividir por 3 y 4
Puedes usar las operaciones de multiplicación del 3 y del 4 para ayudarte a dividir por 3 y 4.
Problema Pedro tiene 32 tablones. Si
los pone en 4 pilas iguales,
¿cuántos tablones habrá en
cada pila?
Lo que
piensas
Lo que
escribes
¿Qué número multiplicado por
4 es igual a 32?
4 8 = 32
32 : 4 = 8
Habrá 8 tablones en cada pila.
Puedes escribir un problema de división de dos maneras distintas:
8 8cuociente
cuociente 8 cuociente
32 : 4 32 8: 4 32 8: 4 ó8
ó 4 32 ó 4 32 4
32
dividendo dividendo divisor dividendo divisor cuociente divisor cuociente cuociente divisor divisor dividendo divisor dividendo dividendo
1. Resuelve.
Camila y sus dos amigas tienen 21
caramelos. Si a las tres les tocan el
mismo número de caramelos, ¿cuántos
caramelos recibe cada una?
¿Qué número multiplicado por 3 es
igual a 21?
3 7 = 21
21 : 3 = 7
Cada niña recibe 7 caramelos.
a) 30 : 3 = b) 20 : 4 = c) 15 : 3 =
d) 40 : 4 = e) 18 : 3 = f) 28 : 7 =
g) 9 : 3 = h) 40 : 4 = i) 21 : 3 =
j) 32 : 4 = k) 30 : 3 = l) 18 : 3 =
m) 20 : 4 = n) 24 : 3 = ñ) 36 : 4 =
o) 28 : 4 = p) 30 : 5 = q) 16 : 4 =

2. Sentido numérico. ¿Qué multiplicación te ayudaría a encontrar 27 : 3?
3. La clase de la Sra. Pérez tiene 24 estudiantes. ¿Podría la Sra. Pérez dividir su clase en 3
grupos iguales?
4. ¿Cuántos estudiantes habría en cada uno de los 3 grupos?
5. Sentido numérico. Explica cómo usarías 4 5 = 20 para encontrar 20 : 4.
6. La clase de tercer año está preparando una exhibición de ciencias. La cartulina que están
usando para pegar los carteles tiene 36 cm de largo. El profesor va a cortarla en 3 partes
iguales. ¿Qué longitud tendrá cada parte?
7. ¿Cuál es el resultado de 40 : 4?
A. 7 B. 8 C. 9 D. 10
8. Escritura en matemáticas. Alejandro tiene una caja con 32 cerezas. Reparte las cerezas
por igual entre él y 3 amigos. Felipe recibe 7 cerezas. Pero Felipe piensa que debería
haber recibido 1 cereza más. ¿Tiene razón? Explícalo.
57

58
Dividir por 6 y 7
Cuando divides, separas cosas en grupos iguales.
Encuentra 35 : 7.
Paso 1 Paso 2 Paso 3
Hay 35 Hay círculos. 35 círculos.
Hay 35 círculos.
Divídelos Divídelos en en Hay 5 Hay círculos 5 círculos
Divídelos 7 grupos 7 en grupos iguales. 7 grupos iguales. iguales. en cada en grupo. Hay cada 5 grupo. círculos en cada grupo.
Por tanto Por tanto
Por tanto 35 : 7 = 5
35 : 7 35 = 5:
7 = 5
1. Resuelve.
a) 30 : 6 = b) 28 : 7 = c) 42 : 6 =
d) 49 : 7 = e) 24 : 6 = f) 12 : 6 =
g) 36 : 6 = h) 42 : 6 = i) 70 : 7 =
j) 60 : 6 = k) 56 : 7 = l) 49 : 7 =
m) 6 : 6 = n) 28 : 7 = ñ) 18 : 6 =
o) 24 : 6 = p) 35 : 7 = q) 30 : 6 =
2. Sentido numérico. Escribe un número que pueda dividirse tanto en grupos de 6 como de 7.

3. Hay distintas maneras en que un equipo de fútbol americano puede obtener puntos. La
tabla muestra dos de esas maneras.
a) Si un equipo de fútbol ha anotado 3 veces más puntos y ha
conseguido un total de 18 puntos, ¿cuánto anotó cada vez?
b) Si un equipo de fútbol ha anotado 3 veces más puntos y ha
conseguido un total de 19 puntos, ¿Cuánto anotó cada vez?
Jugada Puntos
Touchdown 6
Touchdown
con punto
adicional
4. Sentido numérico. ¿Cuántos grupos de 6 hay en 36? Explica cómo lo sabes.
5. Consuelo tenía 48 manzanas. Repartió las manzanas por igual en 6 cajas. ¿Cuántas
manzanas puso en cada caja?
6. Una clase de karate dura 56 días. ¿Cuántas semanas dura la clase?
7. La clase de tercer año de Jaime está saliendo de excursión. Van 32 personas en total. El
grupo irá en camionetas con capacidad para 8 personas cada una. ¿Cuántas
camionetas necesita la clase?
A. 4 camionetas. B. 5 camionetas. C. 6 camionetas. D. 7 camionetas.
8. Escritura en matemáticas. Carlos dice que febrero tiene exactamente 4 semanas. ¿Es
correcto lo que dice? Explícalo.
7
59

60
Dividir por 8 y 9
Recordar las operaciones de multiplicación puede ayudarte a dividir por 8 y 9.
¿Qué operación de multiplicación puede ayudarte a encontrar 24 : 8?
8 1 = 8 8 6 = 48
8 2 = 16 8 7 = 56
8 3 = 24 8 8 = 64
8 4 = 32 8 9 = 72
8 5 = 40 8 10 = 80
Si 8 3 = 24, entonces 24 : 8 = 3.
¿Qué operación de multiplicación puede ayudarte a encontrar 27 : 9?
9 1 = 9 9 6 = 54
9 2 = 18 9 7 = 63
9 3 = 27 9 8 = 72
9 4 = 36 9 9 = 81
9 5 = 45 9 10 = 90
Si 9 3 = 27, entonces 27 : 9 = 3.
1. Resuelve.
a) 32 : 8 = b) 54 : 9 = c) 48 : 8 =
d) 72 : 9 = e) 63 : 9 = f) 56 : 8 =
g) 27 : 9 = h) 45 : 9 = i) 72 : 8 =
j) 81 : 9 = k) 24 : 8 = l) 63 : 9 =
m) 64 : 8 = n) 36 : 9 = ñ) 48 : 8 =
o) 18 : 9 = p) 40 : 8 = q) 72 : 9 =

2. Sentido numérico. ¿Qué operación de multiplicación podrías usar para encontrar un
número que pudiera dividirse tanto por 8 como por 9?
3. Pedro Pablo dibujó 48 estrellas. Las 48 estrellas estaban divididas en 6 hileras iguales.
¿Cuántas estrellas había en cada hilera?
4. Sentido numérico. ¿Qué operación de multiplicación te ayudaría a encontrar 32 : 8?
5. Nicolás anotó 16 goles en los primeros 8 partidos que jugó. Si anotó el mismo número de
goles en cada partido, ¿cuántos goles anotó en cada partido?
6. El Sr. Soto llevó 32 lápices a la escuela. Los repartió por igual entre los 8 estudiantes del
grupo de matemáticas. ¿Cuántos lápices recibió cada estudiante?
A. 2 lápices.
B. 3 lápices.
C. 4 lápices.
D. 5 lápices.
7. Escritura en matemáticas. Nicolás hizo 19 pajaritos de papel el lunes y 8 el martes. Los
repartió por igual entre 9 amigos. ¿Cuántas pajaritos le dio a cada amigo? Explica cómo
encontraste la respuesta.
61

62
Relacionar la multiplicación y la división
Puedes usar lo que sabes sobre la multiplicación para comprender la división. Las familias de
operaciones muestran cómo ambas se relacionan
Ésta es la familia de operaciones para 3, 8 y 24
3 • 8 = 24
8 • 3 = 24
factor • factor = producto
24 : 3 = 8
24 : 8 = 3
dividendo : divisor = cuociente
1. Completa los ejercicios. Usa fichas o haz dibujos para resolver.
a) 3 = 6
6 : 3 =
c) 5 = 20
20 : 5 =
e) 4 = 20
20 : 4 =
g) 9 = 72
72 : 9 =
i) 6 = 54
54 : 6 =
b) 7 = 14
14 : 7 =
d) 4 = 24
24 : 4 =
f) 8 = 56
56 : 8 =
h) 7 = 42
42 : 7 =
j) 2 = 10
10 : 2 =
2. Sentido numérico. ¿Qué otro número forma parte de esta familia de operaciones? 3, 4,

3. Hay 28 días en 4 semanas. ¿Qué familia de operaciones usarías para calcular el número
de días en una semana?
4. Hay 12 lápices en 1 caja. ¿Qué familia de operaciones usarías para calcular el número de
lápices en 2 cajas?
5. Sentido numérico. Escribe la familia de operaciones de 3, 6 y 18.
6. Patricio compró 8 libros en la librería. Necesitaba 4 libros para cada uno de sus proyectos
escolares. ¿Cuántos proyectos tenía?
7. Una tienda de fotocopias cobra $3 000 por 100 copias en papel blanco y $3 500 por 100
copias en papel de color. Marcela pagó $10 000 por 300 copias. ¿Cuántas copias hizo en
papel de color?
A. 100 copias.
B. 200 copias.
C. 300 copias.
D. 500 copias.
8. Escritura en matemáticas. Esteban le dijo a sus compañeros de clase que los miembros
de su familia suman 14 piernas en total. Ignacio dijo que entonces la familia de Esteban
debe tener 7 personas. ¿Es correcto lo que dijo Ignacio? Explica por qué.
63

64
La multiplicación y la división están relacionadas, al igual que la suma y la resta
Ésta es la familia de operaciones para 5, 6 y 30:
5 6 = 30
6 5 = 30
30 : 6 = 5
30 : 5 = 6
9. Completa cada familia de operaciones.
a) 2 = 10 10 : 5 =
= 10 10 : =
b) 9 = 27 27 : 3 =
= 27 27 : =
c) 8 = 72 72 : 8 =
= 72 72 : =
d) 6 = 48 48 : 8 =
= 48 48 : =
e) 7 = 42 42 : 6 =
= 42 42 : =
f) 9 = 36 36 : 4 =
= 36 36 : =
10. ¿Qué oración numérica completa la familia de operaciones?
a) 9 6 = 54 54 : 9 = 6 54 : 6 = 9
A. 9 9 = 81 B. 6 9 = 54 C. 6 6 = 36 D. 8 6 = 48
b) 9 6 = 54 54 : 9 = 6 54 : 6 = 9
A. 9 9 = 81 B. 6 9 = 54 C. 6 6 = 36 D. 8 6 = 48

11. Escritura en matemáticas. Encuentra dos maneras de dividir 16 en partes iguales. Explícalo.
12. Sentido numérico. ¿Qué operaciones de multiplicación son parte de la familia de
operaciones de 12 : 3 = 4?
13. Escribe una familia de operaciones para cada grupo de números.
a) 6, 3, 18
b) 5, 5, 25
14. Razonamiento. ¿Por qué la familia de operaciones de 81 y 9 tiene sólo dos oraciones
numéricas?
15. Escritura en matemáticas. Encuentra dos maneras de dividir 16 en partes iguales.
Explícalo.
65

66
Convertir palabras en expresiones
La Familia de Katy tiene 5 tías menos que
primos. Tiene 15 primos.
Escribe una expresión numérica para indicar
cuántas tías y cuántos primos tiene Katy en
total.
Las palabras del problema te dan pistas sobre
la operación.
Palabra o frase Usa
Total 1
Diferencia de 2
Veces 3
Mitad; en grupos iguales 4
Como Katy tiene 15 primos y 5 tías menos que primos, debe de tener 10 tías. La expresión
numérica que indica el número total de tías y primos que tiene Katy es 10 + 15.
1. Escribe la expresión numérica que corresponda a cada frase verbal.
a) 14 tarjetas de básquetbol separadas en 2 grupos iguales.
b) 12 más que 85.
c) 6 veces una longitud de 7 cm.
d) 3 veces mayor que alguien de 5 años.
e) El total de 4 gatos y 15 perros
f) 214 menos que 144
g) 42 pelotas de tenis menos 10
h) Cuatro veces más crayones que 4 lápices de colores
i) 99 menos que 25
j) 15 juguetes repartidos por igual entre 5 estudiantes
k) 12 veces una longitud de 2 m
l) 4 personas que se reparten por igual 8 panecillos

2. Hay 12 tazas en un paquete. Escribe la expresión numérica que indique cuántas habría si
hubiera:
a) 2 tazas menos.
b) 8 tazas más.
c) 6 veces el número de tazas.
d) la mitad de ese número de tazas.
3. Escoge la expresión numérica que corresponda a la situación.
a) Carlos se come todas sus 5 zanahorias.
A. 5 + 5
B. 5 – 5
b) Dos perros reciben 10 huesitos.
A. 10 2
B. 10 2
4. Escritura en matemáticas. Escribe la frase verbal que corresponda a la expresión
numérica: 8 5.
5. Escritura en matemáticas. Describe dos situaciones en las que se usaría la expresión
numérica 27 : 9.
67

68
Probar, comprobar y revisar
Sorpresas de cumpleaños
Andrés gastó $260 en la venta de objetos
para sorpresas de cumpleaños. Compró tres
artículos. ¿Qué artículos compró?
Sorpresas de cumpleaños
Binoculares $12
Lentes $3
Bola de boliche $8
Botas militares $5
Máquina de fotos $6
Lee para comprender Planea y resuelve Vuelve y comprende
Paso 1: ¿Qué sabes?
Él compró tres objetos.
Gastó $260.
Paso 2: ¿Qué quieres
averiguar?
¿Cuáles son los tres
artículos que Andrés
compró?
Paso 3: ¿Qué estrategia usarás?
Estrategia: Prueba, comprueba y revisa
Muestra la idea principal.
$260 $26
? ? ?
Prueba: Los binoculares cuestan $120.
Los probaré junto a otros dos artículos.
SF_RT04_05_??
Comprueba: Comprueba usando $120 +
$80 + $50 = $250. Es muy poco.
Revisa: Dejaré los binoculares y la bola
de boliche, pero probaré la máquina de
fotos en lugar de las botas militares.
Usa las pruebas anteriores:
$120 + $80 + $60 = $260
¡Eso es!
Respuesta: Andrés compró los
binoculares, la bola de boliche y la
máquina de fotos.
¿Lo has hecho bien?
Sí, la suma es $260 y
compró tres artículos.
1. Usa la primera prueba como ayuda para hacer una segunda prueba. Termina de resolver
el problema.
a) El papá de Enrique compró 27 tornillos y clavos en la ferretería. Compró el doble de
tornillos que de clavos. ¿Cuántos compró de cada uno? Prueba con 8 tornillos.
8 2 = 16 tornillos. 16 + 8 = 24. Es muy poco.

) Antonio dividió 35 bolitas en partes iguales en 5
frascos. En cada frasco caben 5 bolitas grandes o 7
bolitas pequeñas. ¿De qué tamaño eran las bolitas
que Antonio puso en los frascos?
2. Prueba, comprueba y revisa para resolver cada problema. Escribe SF_PR04_05_12 la respuesta en
una oración completa. Utiliza los datos de la tabla.
a) Leonor gana $600 por hora y gana $800 por hora. Leonor y María trabajaron la misma
cantidad de horas. Leonor ganó $540. ¿Cuánto ganó María?
b) Tomás leyó 3 libros. Leyó un total de 272
páginas. ¿Qué libros leyó?
5 frascos
5 bolitas grandes
––––
25
No es suciente.
Libro Páginas
Misterios ocultos 87
Historia de Francia 146
Cuentos de superhéroes 72
Artistas esenciales 113
c) Hugo leyó 2 libros. También leyó un libro de música de 211 páginas. En total leyó 429
páginas. ¿Qué libros leyó?
69

70
Escoger una operación
Comprender cuándo escoger la operación adecuada te ayuda a resolver problemas.
Lee para comprender
Muestra la idea
principal.
Planea y resuelve
Escoge una operación.
Una jirafa macho es 3 veces más
alta que Ramón. Ramón mide 3
metros de altura. ¿Cuánto mide
la jirafa macho?
Altura
de Ramón
Multiplica para encontrar el
número
de veces de la altura de Ramón.
Altura
de Ramón
Altura de la jirafa:
3 veces más
2 3 = 6
Veces
más alta
Altura
de la jirafa
Un pez dorado llamado Tish
vivió desde 1956 hasta 1999.
¿Cuántos años vivió Tish?
Resta para comparar los
números.
1. Haz un dibujo para mostrar la idea principal. Luego escoge una operación y resuelve el
problema.
1956
Año
en que
murió
?
Año
en que
nació
1999
Años
transcurridos
a) Si hay 4 litros de leche en 1 galón y 2 porciones en 1 litro, ¿cuántas porciones hay en
4 galones?
b) El año pasado el corredor A corrió 844 metros. El corredor B corrió 1 063 metros.
¿Cuántos metros más que el corredor A corrió el corredor B?

c) En una bolsa de papas de 20 kilogramos caben 200 papas. En una bolsa de
manzanas de 20 kilogramos caben 325 manzanas. ¿Cuántas manzanas más hay en
una bolsa de 20 kilogramos?
d) Jorge tiene 35 láminas de fútbol y 5 veces más láminas de tenis en su colección de
láminas de deportes. ¿Cuántas láminas de tenis tiene?
e) Un kilo de duraznos cuesta $1 290. ¿Cuánto cuestan 4 kilogramos de duraznos?
f) La primera computadora electrónica moderna se llamaba ENIAC y fue desarrollada
en 1946. Las computadoras personales no aparecieron sino hasta 28 años después.
¿En qué año aparecieron las computadoras personales?
71

72
Nuevo restaurante Se ha abierto un nuevo restaurante y durante los primeros 6 días han
contratado a 2 personas nuevas por día. ¿Cuántas personas nuevas se contrataron?
Lee para comprender
Día 1 Día 2 Día 3
Día 4 Día 5 Día 6
Planea y resuelve
Elige la operación.
Día 1 Día 2 Día 3
Día 4 Día 5 Día 6
Multiplica para encontrar el total cuando juntas grupos iguales: SF_RT03_06_20
6 2 = 12
Por lo tanto se contrataron 12 personas nuevas.
1. Haz un dibujo para SF_RT03_06_20 representar la idea principal. Elige la operación y resuelve el problema.
A. A cada uno de los estudiantes que lograron recaudar más de $1 000 para la campaña
escolar, se le han regalado 4 entradas de cine. Hubo 8 estudiantes en la escuela que
recaudaron más de $1 000. ¿Cuántas entradas de cine se regalaron?

2. Samuel se anotó en un club de cine que le da 4 puntos
por cada película en DVD que compra. Con los puntos
que acumule, Samuel puede obtener las cosas que
aparecen en el volante.
a) Samuel ha comprado 7 películas en DVD.
¿Cuántos puntos ha ganado?
80
puntos
6
puntos
20
puntos
Cartel de
película
Entrada
Pass
Entrada
SF_PR03_06_13
48
puntos
b) Samuel cambia algunos de los puntos que ganó por las entradas al cine. ¿Cuántos
puntos le quedan?
c) Samuel quiere la gorra de su equipo favorito. Puede usar los puntos que le quedan.
¿Cuántos puntos más necesita para obtener la gorra?
73

74
Usar objetos para dividir
Cómo usar bloques de valor posicional para representar divisiones con números
grandes.
Encuentra 45 : 3.
Paso 1
Usa bloques de valor
posicional para
representar 45. Dibuja
3 círculos para
representar cuántos
grupos iguales harás.
Paso 2
Divide las decenas.
Coloca el mismo
número de decenas
en cada círculo.
Sobra 1 decena.
Paso 3
Reagrupa las decenas
que sobran como unidades.
1 decena 10 unidades.
Combínalas con las unidades
que ya estaban en los círculos.
Coloca el mismo
número de unidades en cada círculo.
Puedo colocar 1 decena y
5 unidades en cada grupo.
1 decena + 5 unidades = 15.
Por tanto 45 : 3 = 15.
1. Usa bloques de valor posicional o haz dibujos para encontrar los cuocientes.
a) 46 : 2 = b) 48 : 4 = c) 72 : 3 =
d) 39 : 3 = e) 60 : 4 = f) 98 : 7 =
g) 88 : 4 = h) 51 : 3 = i) 57 : 3 =
j) 96 : 6 = k) 64 : 4 = l) 94 : 2 =
m) 51 : 3 = n) 80 : 5 = ñ) 91 : 7 =
o) 80 : 8 = p) 96 : 8 = q) 87 : 3 =
r) 88 : 4 = s) 57 : 3 = t) 57 : 3 =

Hacer un dibujo
El puesto de frutas "El Rincón" está vendiendo 18 sandías. Si vendiera 7 por la mañana y 6
más en las primeras horas de la tarde, ¿cuántas sandías más podría vender para el final del
día?
Lee para comprender Planea y resuelve Vuelve y comprueba
Paso 1: ¿Qué sabes?
"El Rincón" está vendiendo
18 sandías. Ha vendido 7
por la mañana y 6 por la
tarde.
Paso 2: ¿Qué quieres
averiguar?
Total Cuántas sandías más
Total puede vender antes
Mañana
del final del día.
Mañana
Quedan
Quedan
¿Qué estrategia usarás?
Estrategia: Hacer un dibujo.
Respuesta: "El Vergel" aún puede
vender 5 sandías más antes del final
del día.
Total
Total
Mañana
Total
MañanaTarde
Quedan
Mañana
Quedan Tarde
Tarde
Tarde
1. Termina el dibujo de este problema. Escribe SF_RT03_03_08 la respuesta en una oración completa.
SF_RT03_03_08
Quedan
El Sr. Guzmán está haciendo un sendero
SF_RT03_03_08
de piedras en su jardín. Está usando un
patrón de colocar 1 piedra y luego 2.
¿Cuántos grupos de ese patrón puede
hacer con 15 piedras?
SF_RT03_03_08
SF_RT03_03_08
¿Es razonable tu
respuesta?
A partir del dibujo,
puedo ver que 7 + 6
+ 5 = 18.
Tarde
SF_PR03_03_09
75

76
Descomponer números para dividir
Puedes descomponer números en grupos de decenas y unidades para dividir.
Encuentra 42 : 2.
Paso 1:
Descompón 42 en decenas y
unidades.
42 es lo mismo que 4 decenas
y 2 unidades.
42 = 40 2
Paso 2:
Divide las decenas, luego
divide las unidades.
Decenas: 40 : 2 = 20
Unidades: 2 : 2 = 1
1. Usa el método para descomponer números para encontrar los cuocientes. Puedes hacer
dibujos como ayuda.
a) 55 : 5 = b) 48 : 4 = c) 82 : 2 =
d) 93 : 3 = e) 46 : 2 = f) 66 : 3 =
g) 63 : 3 = h) 88 : 4 = i) 24 : 2 =
j) 44 : 4 = k) 96 : 3 = l) 66 : 6 =
m) 60 : 3 = n) 60 : 4 = ñ) 72 : 3 =
o) 95 : 5 = p) 64 : 4 = q) 64 : 2 =
Paso 3:
Suma los dos cuocientes.
20 1 = 21
Por tanto 42 : 2 = 21.
2. Sentido numérico. Nico tiene 28 lápices. Los está separando en grupos iguales para
guardarlos en dos cajones. ¿Cuántos lápices habrá en cada cajón?

3. Julieta tiene 57 peces en su pecera. Quiere pasarlos a 3 peceras más pequeñas. Si pone
el mismo número de peces en cada una de las 3 peceras más pequeñas, ¿cuántos peces
habrá en cada una?
4. En una sala hay suficiente espacio para 5 filas de sillas. En la sala tienen que sentarse 75
personas. ¿Cuántas sillas habrá en cada fila?
5. ¿Cuál tiene el mayor resultado?
A. 75 : 3
B. 96 : 4
C. 82 : 2
D. 48 : 3
6. Escritura en matemáticas. Explica cómo usarías el método para descomponer números
para resolver 84 : 4.
77

78
Hacer un dibujo
La reja. Una reja tiene una longitud de 20 m. Tiene postes en cada extremo y también cada 4
cm a lo largo. ¿Cuántos postes tiene la reja?
Lee para comprender
Paso 1: ¿Qué sabes? Paso 2: ¿Qué quieres averiguar?
La cerca tiene una longitud de 20 cm.
Cuántos postes tiene la cerca.
Hay postes en cada extremo.
Hay postes cada 4 m a lo largo de la cerca.
Planea y resuelve
Paso 3: ¿Qué estrategia usarás?
Estrategia: Hacer un dibujo.
Hay 6 postes en total.
Vuelve y comprueba
4 m 4 m 4 m
4 m 4 m
1 2 3 4 5 6
Paso 4: ¿Lo has hecho bien?
Sí, el dibujo muestra que hay un total de 6 postes en la reja.
1. Resuelve el problema. Escribe la respuesta en una oración completa.
a) Tomás, Catalina y Ana están trabajando juntos para escribir un informe de 4
páginas. Cada estudiante escribirá la misma cantidad. ¿Qué parte del informe
entero debe escribir cada uno?Lee con atención.
b) Tres amigos dividieron una pizza en 12 trozos. Si dividieron la pizza en partes
iguales, ¿qué fracción de la pizza recibirá cada amigo?

c) Matilde está haciendo una frazada para su hermano ayudado por su abuela. Cada fila
de la frazada tiene 6 cuadrados. Hay 8 filas. 1 de los cuadrados son azules.
2
¿Cuántos cuadrados azules hay en la frazada?
d) Julio sacó la maleza del jardín 7 veces. le pagaron $500 cada vez que sacó la maleza
por menos de 1 hora y $600 cada vez que sacó la maleza por más de 1 hora. Si
Julio recibió $3 900, ¿cuántas veces sacó la maleza por más de 1 hora?
e) Nelson debe cortar 3 tablas largas en 9 tablas más pequeñas. La primera mide
10 metros, la segunda mide 16 metros y la tercera mide 18 metros. La tabla muestra
la cantidad de tablas más pequeñas que necesita Nelson. Haz un dibujo para
mostrar cómo se pueden dividir las 3 tablas sin que sobre nada.
10 m
16 m
18 m
Longitud de la
tabla
Cantidad
necesaria
4 m 3
5 m 4
6 m 2
79

Base: 9
80
Representar
Ladrillos. Jorge quiere saber cuántos ladrillos hay en la pila, y sabe que la pila está llena.
¿Cuántos ladrillos hay en la pila?
Lee para comprender Planea y resuelve Vuelve y comprueba
Paso 1: ¿Qué sabes?
La base de ladrillos tiene
3 ladrillos de ancho y 3
ladrillos de largo. El nivel
del medio tiene 2 ladrillos
de ancho y 2 ladrillos de
largo. Arriba hay un solo
ladrillo.
Paso 2: ¿Qué quieres
averiguar?
El número total de ladrillos
en la pila.
Base: 9
SF_RT03_08_08
1. Representa los problemas para resolverlos. Escribe tus respuestas en oraciones
SF_RT03_08_09
completas.
Cuando la construcción de la pared haya llegado al quinto nivel, ¿cuántos bloques
cilíndricos se habrán usado?
SF_RT03_08_10
Paso 3: ¿Qué estrategia vas a usar?
Estrategia: Representarlo.
9 + 4 + 1 = 14
Respuesta: Hay un total de 14
ladrillos en la pila.
Base Base: 99
Medio: 4 Arriba: Arriba 1
Medio: Medio 4
Arriba: 1
SF_RT03_08_09
Medio: 4 Arriba: 1
SF_RT03_08_09
Paso 4: ¿Es razonable
tu respuesta?
Sí. La base tiene 9, el
nivel del medio tiene 4,
y arriba hay 1 ladrillo.

2. Katy construyó con cubos las 3 casas de abajo.
¿Cuántos cubos usó para cada casa?
a)
b)
c)
SF_PR03_08_10
SF_PR03_08_11
3. Jaime y Pedro estaban jugando a un juego de ritmos.
Cada vez que SF_PR03_08_12
Jaime aplaudía, Pedro zapateaba dos veces.
a) Si Jaime aplaudió 8 veces, ¿cuántas veces zapateó Pedro?
b) Si Pedro zapateó 12 veces, ¿cuántas veces aplaudió Jaime?
4. Si se vendieran lápices en paquetes de 4, ¿cuántos lápices habría en 6 paquetes?
5. Tomar decisiones. Si compras el doble de lápices que tiene una persona que compró 8
lápices. ¿Cuántos paquetes de lápices compraste?
81

82
Gatos
Los gatos son mascotas populares. Los científi cos estiman que hay más de 100 millones de
gatos en los Estados Unidos.
Los gatos necesitan hacer aproximadamente 70 minutos de ejercicios por semana. Estima
cuántos minutos de ejercicio debe hacer un gato en un año. Recuerda que hay 52 semanas en
un año.
Redondea
70 52
↓ ↓
70 50 = 3 500
Por tanto los gatos deben hacer 3 500 minutos de ejercicio por año.
1. El dueño de una tienda de animales pidió 98 paquetes de golosinas para gatos. Cada
paquete contiene 115 golosinas. ¿Cuál es el número total de golosinas pedidas?
2. Un criador de gatos vende gatos de raza por $297. Si vende 24 de estos gatos, ¿cuánto
dinero ganará?
3. Javiera tiene una nueva gatita. Quiere darle un primer y un segundo nombre. Sus
opciones para el primer nombre son Negra y Blanca. Sus opciones para el segundo
nombre son Celeste, Carla y Pelusa. ¿Cuántas combinaciones diferentes de nombres
puede hacer? Organiza la información en una lista para resolver este problema.

La revista
1. Una revista tiene 11 editores que supervisan la redacción de distintas secciones de la
revista. Cada editor supervisa a 28 trabajadores.
a) Estima cuántos trabajadores hay en total. Explica tu estimación.
b) Encuentra el número de trabajadores para los 11 editores.
2. La compañía que edita la revista publica 56 números al año. ¿Cuántos números publicará
la compañía en
a) 8 años?
b) 15 años?
c) 27 años?
3. Cada número de la revista cuesta $459. ¿Cuánto costarían
a) 6 números?
b) 11 números?
c) 23 números?
4. Un suscriptor recibe la revista cada semana en su casa. Los suscriptores pagan $204 por
número. ¿Cuánto pagan los suscriptores por
a) 24 números?
b) 52 números?
5. Un puesto de revistas vende 716 números de la revista por semana. ¿Cuántos números
vende el puesto en 1 año?
83

84
Planear y resolver
Muchas palabras. Cada renglón impreso de un libro infantil tiene aproximadamente 10 palabras.
Cada párrafo tiene aproximadamente 10 renglones. Cada página tiene aproximadamente 3
párrafos. ¿Cuántas palabras aproximadamente hay en 10 páginas de un libro?
Aquí están los pasos que hay que seguir cuando planeas resolver un problema
Paso 1
Escoge una estrategia
• Muestra lo que sabes. Haz un
dibujo, organiza la información en
una lista, haz una tabla, haz una
gráfi ca, represéntalo o usa objetos.
• Busca un patrón.
• Prueba, comprueba y revisa.
• Escribe una oración numérica.
• Usa razonamiento lógico.
• Resuelve un problema más sencillo.
• Empieza por el fi nal.
Paso 2
¿En aprietos?
No te rindas. Intenta esto
• Vuelve a leer el problema.
• Explica el problema con
tus propias palabras.
• Explica lo que sabes.
• Identifi ca datos clave y
detalles.
• Prueba una estrategia
diferente.
• Comprueba cada paso.
Paso 3
Responde la pregunta del
problema
• ¿Qué estrategia se
puede usar para resolver
el problema de Muchas
palabras?
• Se puede usar una
tabla para organizar la
información y hacer el
problema más fácil.
Número de palabras
1 renglón 10
1 párrafo 100
1 página 300
10 páginas 3 000
Respuesta: Diez páginas es igual a aproximadamente 3 000 palabras.
1. Diarios. Por lo general, Claudio reparte diariamente 22 diarios. Un día, 5 de sus clientes
suspendieron el reparto del diario porque se iban de vacaciones esa semana. El jefe le dijo
a Claudio que 2 clientes nuevos querían el diario esa semana. ¿Cuántos diarios repartió
Claudio el primer día de esa semana?
a) ¿Qué estrategia se puede usar para resolver el problema?
b) Escribe la respuesta en una oración completa.

2. Conejos. En la tienda de mascotas de Juan, la jaula
de conejos tiene 25 conejos. Doce de los conejos
son café, 2 son negros y 4 son blancos. El resto son
multicolores. ¿Cuántos conejos multicolores hay en
la jaula?
a) Escribe la estrategia que usó Juan para resolver el problema.
b) Da la respuesta del problema en una oración completa.
3. Helado de yogur. Bárbara vende helado de yogur en
vasos y conos. Los sabores del helado son chocolate,
vainilla, caramelo y frutilla. ¿De cuántas maneras
diferentes puede comprar el helado un cliente usando
un sabor y una manera de servirlo?
a) Escribe qué estrategia usó Bárbara para resolver
el problema.
b) Da la respuesta del problema en una oración completa.
c) ¿Qué otra estrategia pudo haber usado Bárbara?
El trabajo de Juan
25
12 4 2 ?
25 - (12 + 4 + 2) = 7
Helados de yogur
Vaso Cono
Chocolate Chocolate
Vainilla Vainilla
Caramelo Caramelo
Fresa Frutilla
8 maneras diferentes
85

86
Área
¿Cuál es el área de este rectángulo?
Usa la fórmula A = largo ancho
A = 8 5
A = 40
El área es de 40 metros cuadrados.
¿Cuál es el área de esta fi gura?
8 m
4 m
4 m
6 m
10 m
4 m
Puedes dibujar segmentos para dividir la
fi gura en rectángulos. Luego encuentra el
área de cada rectángulo y suma.
1. Encuentra el área de cada fi gura.
a)
9 m
2 m
4 m
4 m
4 m
A
8 m
4 m
6 m
B
10 m
5 m
Rectángulo A Rectángulo B
A = la A = la
A = 4 4 A = 4 10
A = 16 A = 40
4 m
16 + 40 = 56, por tanto el área de la fi gura
original es de 56 metros cuadrados.
b) 4 m
10 m
4 m
6 m
10 m
10 m
6 m
10 m

c)
5 cm d)
5 cm
e) f)
20 m
20 m
5 cm
2 cm
20 m
20 m
Dormitorio
Dormitorio
9 cm
2 cm
4 cm
6 cm
2 cm
2 cm
2. Razonamiento. El área de un rectángulo es de 56 cm cuadrados. El ancho del rectángulo
es de 8 cm. ¿Cuál es la longitud?
3. Calcula.
a) ¿Cuál es el área de los dos dormitorios?
b) ¿Cuál es el área de toda
la casa?
4 cm
32 m
Sala
30 m
28 m
Garaje
4. ¿Cuál es el área de un rectángulo con una longitud de 26 cm y un ancho de 34 cm?
A. 992 cm. B. 884 cm. C. 720 cm. D. 324 cm.
5. Escritura en matemáticas. Explica cómo encontrarías la longitud de un lado de un
cuadrado si el área es de 16 unidades cuadradas.
30 m
87

88
¡A calcular!
Hay dos maneras de encontrar el área de una figura.
Una manera Otra manera
Una unidad cuadrada es un cuadrado con
lados que miden 1 unidad de largo.
Cuenta las unidades cuadradas en
el rectángulo sombreado. Como hay
24 cuadrados, el área del rectángulo
es 24 unidades cuadradas.
Puedes pensar en los cuadrados de
la cuadrícula como si fueran una matriz.
Cada fi la tiene 7 cuadrados. Para encontrar
el área del rectángulo, multiplica. 3 7 21,
por tanto el área del rectángulo es
21 unidades cuadradas.
1. Encuentra el área de cada fi gura sombreada. Escribe la respuesta en unidades
cuadradas.
a) b)
c) d)

e) f)
g) h)
2. Razonamiento. Usa la cuadrícula. Dibuja dos figuras distintas, cada una con un
perímetro de 14. Encuentra el área de cada una.
3. ¿Cuál es el área de esta figura?
A. 27 unidades cuadradas
B. 26 unidades cuadradas
C. 25 unidades cuadradas
D. 24 unidades cuadradas
4. Escritura en matemáticas. Explica por qué sería importante saber el área de un cuarto
en el que se van a poner muebles nuevos.
89

90
Representaciones
Encuentra el perímetro y el área de la figura.
3
Lee para comprender Planea y resuelve Vuelve y comprueba
El perímetro es la distancia
alrededor de la fi gura.
El área es el espacio que hay
dentro de la fi gura.
cm
Suma las longitudes de los lados
para encontrar el perímetro.
4 3
cm
cm cm
4 3
14
4
4
cm = cm
cm
cm
Cuenta las unidades cuadradas
que hay dentro de la fi guras.
El área de esta fi gura es de
unidades cuadradas.
3
cm
¿Sumaste todos los lados?
¿Contaste todas las unidades
cuadradas?

1. Encuentra el perímetro y el área de la figura.
a)
cm
6
cm
cm
cm
cm + cm + cm + cm = cm
El perímetro es de cm.
El área es de unidades cuadradas.
b) c)
Perímetro: cm. Perímetro: cm.
Área: unidades cuadradas. Área: unidades cuadradas.
d) e)
Perímetro: cm. Perímetro: cm.
Área: unidades cuadradas. Área: unidades cuadradas.
2. Escritura en matemáticas.
¿Cómo puedes encontrar el número
de unidades cuadradas que hay
dentro de este paralelogramo?
91

92
Información que sobra o que falta
Mariposas. La mariposa más grande es la mariposa hembra Alas de pájaro de la Reina Alejandra,
cuyas alas miden 32 cm. La siguiente mariposa más grande es la Alas de pájaro Goliat, cuyas
alas miden 28 cm. La mariposa más pequeña es la Pigmea azul del oeste, cuyas alas miden sólo
2 cm. ¿Cuántos centímetros más largas las alas de la mariposa más grande que las alas de la
mariposa más pequeña?
Lee para comprender
Paso 1: ¿Qué sabes?
La Alas de pájaro de la Reina Alejandra
es la mariposa más grande y tiene una
envergadura de alas de 32 cm.
La Pigmea azul del oeste es la mariposa
más pequeña y tiene una envergadura de
alas de 2 cm.
Paso 2: ¿Qué quieres averiguar?
¿Cuánto más larga que la de la mariposa
más pequeña es la envergadura de alas de
la mariposa más grande?
Planea y resuelve
Paso 3: Encuentra y usa la información
necesaria.
32 cm 2 cm 30 cm. La diferencia entre la
envergadura de alas más larga y la más corta
es de 30 cm.
La envergadura de la Alas de pájaro Goliat era
información que sobraba.
1. Determina si sobra o falta información para resolver el problema. Indica la información
que no se necesita o la información que falta. Resuélvelo si tienes información sufi ciente.
a) Un grupo de 12 adolescentes fue a esquiar. Tres de ellos tomaron una telesilla
para subir la colina y el resto uso la barra T. El pase de la telesilla cuesta $300
más que el de la barra T. ¿Cuántos adolescentes usaron la barra T?

2. Dibuja un rectángulo, pinta azul el área,
luego dibuja 3 triángulos iguales entre
sí y en el centro de cada uno dibuja una
circunferencia.
3. Dibuja 2 cuadrados el primero con una
circunferencia en su interior que no tope
sus lados, dentro de ésta un triángulo; en
el segundo dibuja 4 circunferencias que
estén en los angulos del cuadrado sin
tocarlo y en el centro de éste un triángulo.
4. Dibuja un ángulo recto, un ángulo agudo
y un ángulo obtuso, mídelos con un
transportador.
5. Resueve los problemas siquientes.
a) Don Pablo quiere poner una reja en su antejardín, este es rectangular. Calcula el
perímetro y el área del lugar si sus lados miden 15 m y 8 m.
Operación: _______________________ Respuesta: _______________________
b) El perro de Gabriel tenía la mitad de la masa de su amo, en el verano. Se
enfermo, perdió 4 kg. Ese verano la masa de Gabriel era de 46 kg. ¿Cuál fue la
masa del perro antes y después de su enfermedad?
Operación: _______________________ Respuesta: _______________________
6. ¿Cuántas caras tiene una caja de fósforos?
7. Explica si una circunferencia es semejante a una esfera. ¿Por qué sí o por qué no?
93

94
Partes iguales
Las partes iguales tienen el mismo tamaño y la misma forma.
2 3 4
partes iguales partes iguales partes iguales
mitades
tercios
1
1 2
cuartos
2 3
1. ¿Cuántas partes iguales hay? Escribe el número de partes y encierra en un círculo
mitades, tercios o cuartos.
a) Partes iguales b) Partes iguales c) Partes iguales
Mitades
Mitades
Mitades
Tercios
Cuartos
d) Partes iguales e) Partes iguales f) Partes iguales
Mitades
Mitades
Mitades
Tercios
Cuartos
g) Mitades h) Mitades i)
Tercios
Cuartos
mitades
tercios
cuartos
Tercios
Cuartos
Tercios
Cuartos
Tercios
Cuartos
1 4
2 3
Tercios
Cuartos
mitades
tercios
cuartos
Tercios
Cuartos
Mitades
Tercios
Cuartos

Razonamiento visual
1. Dibuja líneas para mostrar 2 partes iguales.
2. Traza una o más líneas para mostrar partes iguales.
a) cuartos b) mitades
c) tercios d) cuartos
3. Traza una línea más para mostrar cuartos.
95

96
Fracciones unitarias
Una fracción puede nombrar una de las partes iguales
de una figura entera.
1
2
1
parte sombreada parte sombreada parte sombreada
2 3 4
partes iguales partes iguales partes iguales
está sombreado. está sombreado. está sombreado.
1. Colorea una parte. Escribe cuántas partes coloreadas y cuántas partes iguales hay.
Escribe la fracción.
a) b)
parte coloreada
partes iguales
está coloreado.
1
3
1 1
1
4
parte coloreada
partes iguales
está coloreado.

2. Escribe la fracción para la parte sombreada de cada figura.
a) b) c)
1
4
d) e) f)
3. Colorea para mostrar la fracción.
a) 1
8
b)
1
2
c) 1
3
4. Razonamiento visual. ¿Qué fracción del cuadrado representa cada triángulo?
5. Razonamiento visual. ¿Qué fracción del rectángulo representa cada cuadrado?
97

98
Fracciones no unitarias
Una fracción puede nombrar dos o más partes iguales de una figura entera.
partes sombreadas
partes iguales
1. Colorea de rojo las partes. Escribe la fracción de la parte coloreada.
a) Colorea 4 partes. b) Colorea 2 partes.
4
6
partes son rojas.
partes iguales.
partes son rojas.
partes iguales.
c) Colorea 5 partes. d) Colorea 3 partes.
8
2
3
partes son rojas.
partes iguales.
2
4
2
3
partes son rojas.
partes iguales.
están sombreados

2. Escribe la fracción para la parte sombreada de cada figura.
a) b) c)
2
4
d) e) f)
3. Colorea para mostrar la fracción.
a) 2
5
4. Razonamiento visual. Traza una línea para mostrar 2
4 .
5. Razonamiento visual. Traza 2 líneas para mostrar 4
8 .
b)
2
6
c) 3
4
99

100
Fracciones de un conjunto
Una fracción puede nombrar las partes iguales de un conjunto o grupo.
pelotas sombreadas
pelotas en total
1. Colorea las partes. Escribe la fracción de la parte que coloreaste.
a) Colorea de azul dos partes.
b) Colorea de verde 3 partes.
c) Colorea de rojo 5 partes.
2
5
2
6
estrellas azules
estrellas en total
globos verdes
globos en total
manzanas rojas
manzanas en total
2
5
de las pelotas están
sombreados.
de las estrellas son
azules.
de los globos son
verdes.
de las manzanas
son rojas.

d) e)
f) g)
2. Colorea para mostrar la fracción.
a) b)
6
8
de los calcetines son rojos.
c) d)
3
6
de los pantalones cortos son rojos.
3 4
7
10
1
2
de los mitones son rojos.
de los zapatos son rojos.
3. Sentido numérico. Susana tiene 9 calcomanías. Le da 4 calcomanías a su hermano.
a) ¿Cuántas calcomanías le quedan a Susana?
b) ¿Qué fracción de las calcomanías tiene Susana?
101

102
Partes de una región
El número de arriba, o numerador, indica cuántas partes iguales se describen. El número de
abajo, o denominador, indica cuántas partes iguales hay en total.
2
3
del círculo están sombreados.
1. Escribe una fracción para la parte que está sombreada en la región.
a) b)
c) d)
e) f)
2. Dibuja un modelo para representar cada fracción.
a) 5
15
c) 2
4
2
3
Numerador. Hay 2 partes sombreadas.
Denominador. Hay 3 partes en total.
b) 7
9
10
d)
25

3. Razonamiento. Tania dice que 1
ensalada es siempre la misma cantidad. Laura dice que
2
pueden ser diferentes cantidades dependiendo del tamaño de la ensalada. ¿Quién tiene
razón? ¿Por qué?
4. Observa el gráfico y responde.
a) ¿Qué fracción de la pizza es de queso?
b) ¿Qué fracción de la pizza es de champiñones?
5. Una región tiene 12 cuadrados iguales. ¿Cuál es el número de cuadrados que hay en 1
3
de la región? Dibuja para resolver.
A. 3 B. 4 C. 6 D. 9
7. Escritura en matemáticas. Explica por qué 1
2
de la Región B.
de la Región A no es más grande que 1
2
Región A
queso
pimientos
verdes
champiñones
Región B
103

104
Partes de un conjunto
Una fracción puede describir una parte de un conjunto.
¿Qué fracción de
cada conjunto está
sombreada?
Dibuja un conjunto de círculos con 3
9 sombreados.
El denominador indica cuántos círculos hay en el
conjunto: 9, por tanto dibuja 9 círculos.
El numerador indica cuántos círculos deben estar
sombreados: 3, por tanto sombrea 3 círculos.
1. Escribe la fracción de cada conjunto que está sombreada.
a) b) c)
d) e) f)
g) h) i)
Hay un total de 5 cuadrados. 3 de
ellos están sombreados, por tanto 3
5
de los cuadrados están sombreados.
Hay un total de 7 triángulos. Los 7
están sombreados, por tanto 7
7 de
los triángulos están sombreados.

2. Dibuja un modelo para representar cada fracción como parte de un conjunto.
a) 2
9
c) 3
6
4
b)
6
2
d)
5
3. Razonamiento. Anita tiene una colección de 12 CDs. De los 12 CDs, 7 son de música
clásica. Escribe una fracción que represente cuántos de los CDs son de música clásica.
4. Sentido numérico. 5
5
autos?
5. ¿Qué fracción de los semicírculos está sombreada?
A. 1
8
de los modelos que tiene Javier son aeroplanos. ¿Cuántos son
1
B.
2
6. Escritura en matemáticas. Carlos dijo que 1
2
sombreados. ¿Tiene razón? Explícalo.
3
C.
4
2
D.
8
de los cuadrados de la derecha están
105

106
Fracciones, longitud y recta numérica
Cómo mostrar fracciones en una recta
numérica:
A B
0 1 3 4 1
6 6 6
La recta numérica está dividida en 6
longitudes iguales, ya que el denominador
es 6. Los numeradores van en orden de 1 a
6. En el punto A se debe escribir 2
6 .
En el punto B se debe escribir 5
6 .
1. Escribe una fracción para la parte sombreada de cada longitud.
a) b)
c) d)
e) f)
g) h)
i) j)
Cómo escribir una fracción para la parte de
la longitud que está sombreada:
La longitud ha sido dividida en 9 partes
iguales. 9 es el denominador de la fracción.
Como 5 de las longitudes están sombreadas,
5 es el numerador de la fracción. Por tanto 5
9
están sombreadas.

2. ¿Qué fracción se debe escribir en cada punto?
a)
A B C
b)
0 1
4 1
6
6
A A
B B
C C
A B C
0 3 6 1
7 7
3. Sentido numérico. Para representar 4
en una recta numérica, ¿cuántas partes iguale
5
debe haber entre 0 y 1?
4. Razonamiento. Escribe las fracciones que faltan.
0 1
5. ¿Qué fracción podría ir en una recta numérica en lugar de 1?
A. 0
7
5
B.
7
7
C.
7
1
D.
2
6. Escritura en matemáticas. Explica por qué el punto A puede escribirse como 1
y como
4
2
8 .
A
0 1
107

108
Usar el sentido numérico al comparar fracciones
Leonor quería comparar 4
6
y 3
. Usó tiras de fracciones como ayuda.
4
Ella comparó las cantidades sombreadas en cada dibujo. Como la cantidad sombreada en 3
4
es mayor que la cantidad sombreada en 4
, ella supo que
3
es mayor que
4
6 4 6 .
Por tanto 3
>
4
4 6 .
1. Escribe > o < en cada . Usa tiras de fracciones u otro dibujo.
a) 5
6 2
3
d) 3
4 1
4
g) 6
9 7
9
j)
8
9 5
9
m) 3
5 1
3
1
6
1
4
1
6
b) 1
5 2
8 c) 9
10 6
8
e) 8
9 5
10 f) 2
5 2
6
h)
2
10 3
5
k) 3
8 11
22
n)
1
4 2
4
4
6
3
4
i)
l)
ñ)
1
2 3
13
3
3 7
8
5
6 5
8

3. Escribe las fracciones siguientes en la recta numérica.
a) 3
6
b)
5
6
4. Ordena las fracciones de menor a mayor:
3
8
7
8
1
8
8
8
c)
1
6
2
8
_____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____
5. Compara dibujando y coloca > , < o = .
a) 3
4
_____ 2
7
b)
4
5
_____ 1
10
d)
4
8
4
6
5
8
c) 5
7
e)
6
8
_____ 2
8
2
6
9
8
f)
d) 7
2
6. Haz un dibujo para mostrar las siguientes fracciones de un conjunto.
a) Un cuarto de los animales son perros.
b) Siete octavos de las figuras son estrellas.
c) Dos tercios de las figuras son círculos.
7. Resuelve el problema dibujando.
a) Diego tiene una caja de 24 lápices de colores,
le prestó un cuarto de la caja a Sandra
¿Cuántos le quedaron a Sandra?
b) De los lápices que le quedaron a Sandra,
Andrés le pidió un medio de ellos.
¿Cuántos lápices se llevó Andrés?
c) Le devolvieron todos los lápices a Sandra,
los dividió en cuatro grupos iguales
¿Cuántos lápices hay en cada grupo?
d) Le regalaron el doble de los lápices que tenía
¿Con cuántos se quedó ahora?
6
6
____ 5
3
109

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110
© Pearson Education, Inc. 4
Nombre
Números mixtos y fracciones impropias
Números mixtos y
fracciones impropias
Cómo escribir números mixtos como
fracciones Cómo impropias: escribir números mixtos como
fracciones impropias:
1
Escribe Escribe 3 3 como una fracción impropia.
5
Primero multiplica el denominador por
el número entero.
1
3 5 3 15
5
1
como una fracción impropia.
3
Primero multiplica el denominador por el número
entero.
Suma Suma el numerador el numerador
a este a total. este total. 15 + 1 = 16
Escribe la suma
Escribe la suma como el numerador.
como el numerador. 16
Usa el denominador de la fracción.
Usa el denominador 5
de la fracción.
1 16
Por tanto 3 .
= 516
5
Por tanto 3 1
5
5
15 1 16
Escribe cada número mixto como fracción impropia.
1. 2 1 3 2. 4 1 5 3. 2 3 4 4. 5 2 6
1. Escribe cada número mixto como fracción impropia.
Escribe cada fracción impropia como número mixto o
número entero.
a) 2 1
3
b) 4
1
5
c) 2
3
4
5. 1 1 3 2 6. 5 1 0 0 7. 2 1 3 0 8. 1 1 7 5
9. Escritura en matemáticas ¿Es 45
e) 3
5 igual a un número entero o
a un número mixto? Explica cómo lo sabes.
2
f) 6
1
g) 2
1
5 4 12
3
4
R 9-10
Cómo escribir fracciones impropias como
números Cómo escribir mixtos: fracciones impropias
como números mixtos:
7
Escribe como un número mixto.
4
Primero divide el numerador 1
por el denominador. 4 7
4
3
El cociente es
el número entero.
El residuo es
el nuevo numerador.
El denominador
permanece igual.
7 3
Por tanto 1 .
1
3
4
7
como un número mixto.
4
Primero divide el numerador
por el denominador.
El cuociente es
el número entero.
Por tanto 7
7 : 4 = 1
– 4
3
= 1
3
4 4
1 3
4
El residuo es el
nuevo numerador.
El denominador
permanece igual.
2. Escribe cada fracción impropia como número mixto o número entero.
a) 13
12
e) 12
5
b) 50
10
f) 27
9
c) 23
10
g) 32
3
4
4
d) 5
2
6
h) 2 7
9
d) 17
15
h) 20
12
Usar con la Lección 9-10. 119

3. Escritura en matemáticas. ¿Es 45 igual a un número entero o a un número mixto?
Explica cómo lo sabes. 5
4. Sentido numérico. Luis tenía que escribir 2 6
como fracción impropia. Escribe cómo le
9
dirías a Luis el modo más fácil de hacerlo.
5. Juan tiene 4 barras de granola. Cada barra pesa 2
gramos. Escribe el peso de las barras
3
de granola de Juan como fracción impropia y como número mixto.
6. ¿Cuál no es una fracción impropia equivalente a 5?
A. 24
3
B.
49
7
C.
56
7
D. 40
8
111

112
Décimas
En fracciones, cada una de las 10 partes iguales de un entero se llama décimo.
En decimales, cada una de las 10 partes iguales de un entero se llama décima.
Fracciones y
decimales:
Números
mixtos y
decimales:
1. Escribe una fracción y un decimal para las partes sombreadas.
a) b) c)
2. Escribe las siguientes cantidades como decimales.
a) 6
10
b) 1 6
10
Fracción: 1
; un décimo.
10
Decimal: 0.1; una décima.
Fracción: 1 6
; uno y seis décimos.
10
Decimal: 1.6; uno y seis décimas.
c) 4 6
10
d) Uno y tres décimas 8. e) Seis y una décima
f) Ocho décimas 10. g) Nueve y nueve décimas
3. Sentido numérico En los Estados Unidos, 6
de todos los derivados de la papa vienen
10
de Idaho. Escribe el decimal que muestra cuántos derivados de la papa en los Estados
Unidos vienen de Idaho.

04_01_17
Centésimas
En fracciones, cada una de las 100 partes iguales de un entero se llama centésimo.
En decimales, cada una de las 100 partes iguales de un entero se llama centésima.
Escribir
centésimas como
fracciones:
Escribir
centésimas como
números mixtos:
1. Escribe una fracción o número mixto y un decimal para cada parte sombreada.
a)
c)
SF_PR04_01_17
b)
d)
SF_PR04_01_17
SF_PR04_01_17
2. Escribe los siguientes números como decimales.
a) 62
100
SF_PR04_01_17
SF_PR04_01_17
Hay 100 cuadrados. Cada cuadrado es una
centésima. 53 cuadrados están sombreados.
Fracción: 53
; cincuenta y tres centésimos
100
Decimal: 0,53 ; cincuenta y tres centésimas.
En la cuadrícula de la izquierda, 100 de los 100
cuadrados están sombreados. Eso es un
entero, o 1.
Fracción: 1 17
100
; uno y diecisiete centésimos
Decimal: 1,17 ; uno y diecisiete centésimas.
SF_PR04_01_17
b) SF_PR04_01_17SF_PR04_01_17
1 97
c) Siete centésimas
100
113

114
Comparar y ordenar decimales
Puedes usar cuadrículas de centésimas para comparar decimales.
62
100 sombreados
0,62
Hay más cuadrados sombreados
en 0,62 que en 0,58,
por tanto 0,62 es mayor.
0,62 > 0,58
1. Compara. Usa < , > o =.
Puedes usar rectas numéricas para ordenar
decimales.
Ordena 0,22; 0,13; y 0,37 de menor a mayor.
0 0,10
0,13 0,22 0,37
58
100 sombreados
0,58 Escribe los números en la recta numérica.
El número que está más a la derecha es el
mayor. El número que está más a la izquierda
es el menor.
0,13 < 0,22 < 0,37
0,30 0,40
Por tanto los números en orden de menor
a mayor son 0,13; 0,22; y 0,37.
a) 0,10 0,09 b) 0,6 0,60 c) 0,78 0,68
0,20

2. Usa la recta numérica para ordenar los decimales de menor a mayor.
a)
b)
0 0,15 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40
0,22 0,27 0,19
0,04 0,40 0,21
0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4 0,45 0,5
0,15 0,5 0,25
0,47 0,35 0,4
3. Ordena los decimales de menor a mayor.
a) 0,34 0,42 0,36
b) 0,07 0,7 0,71
4. En una recta numérica, ¿cuál de los siguientes decimales iría entre 0,12 y 0,2?
A. 0,09 B. 0,18 C. 0,22 D. 0,91
5. Escritura en matemáticas. Explica cómo compararías 0,34 y 0,27.
115

116
Más sobre los decimales
Se puede usar una cuadrícula para mostrar
décimas y centésimas. Para mostrar 0,3 debes
sombrear 3 de 10 partes.
Para mostrar 0,30 debes sombrear 30 de 100
partes.
Una parte de la cuadrícula de centésimas se
puede comparar con una moneda de 100, ya
que una parte de la cuadrícula es igual a 0,01
y una moneda de 100 es igual a una centésima
de mil.
0,3
3 de 10
partes están
sombreadas.
0,30
30 de 100
SF_RT04_01_22 partes están
sombreadas.
Las décimas y las centésimas se relacionan. En los ejemplos de arriba, 3 décimas y 30
centésimas de las cuadrículas están sombreadas, es decir SF_RT04_01_23
0,3 y 0,30. Estos números son
iguales: 0,3 = 0,30.
1. Escribe el nombre de las partes sombreadas en decimales.
a)
c)
SF_RT04_01_24
SF_PR04_01_15
b)
d)
SF_RT04_01_25
SF_PR04_01_17

2. Sombrea la cuadrícula para representar cada decimal.
a) 0,57
SF_RT04_01_32
b) 0,4
3. Sentido numérico. ¿Cuál es mayor, 0,04 ó 0,4? Explica tu respuesta.
SF_RT04_01_33
4. Para cada dato, sombrea la cuadrícula para representar qué parte de la población de
cada país vive en ciudades.
a) En Jamaica, 0,5 de b) Únicamente el 0,11 c) En Noruega, el 0,72 de
la población vive de la población de la población vive
en ciudades. Uganda vive en ciudades. en ciudades.
5. ¿Qué cuadrícula SF_PR04_01_22 muestra catorce centésimas? SF_PR04_01_24 SF_PR04_01_25
A.
SF_PR04_01_26
B.
SF_PR04_01_27
C.
D.
SF_PR04_01_28
SF_PR04_01_29
117

118
Nombre
Valor posicional de de los los decimales
Hay diferentes maneras de de representar el el decimal decimal 1,35. 1.35.
Recta Recta numérica:
Tabla de valor posicional:
Tabla de valor posicional: Unidades
Unidades Décimas
1 .
1 3
Décimas
Centésimas
3
5
Centésimas
5
Forma desarrollada: 1 0.3 0.05
Descomposición Forma estándar: en 1.35 sumandos: 1 + 0,3 + 0,05
Número: En palabras: 1,35 uno con treinta y cinco centésimas
En palabras: Uno con treinta y cinco centésimas
Escribe cada número en forma estándar.
1. Dos con diecisiete centésimas
1. Escribe cada número.
2. 80 7 0.09
a) Dos con diecisiete centésimas
Escribe cada número en palabras e indica el valor posicional
del dígito b) 80 subrayado. + 7 + 0,09
3. 4.16
c) Dos con tres décimas
d) 200 + 8 + 0,5 + 0,06
4. 2.08
2. Indica el valor posicional del dígito subrayado.
a) 4,16
5. 9.94
b) 2,08
La galleta para perros más grande del mundo tenía 2.35 m de largo,
577 cm de ancho y 2.54 cm de espesor.
6. Escribe el espesor del bizcocho en forma desarrollada.
c) 9,94
138 Usar con la Lección 11-2.
1,30 1.30 1.31 1,31 1.32 1,32 1.33 1,33 1,34 1.34 1,35 1.35 1.36 1,36 1.37 1,37 1,38 1.38 1.39 1,39
R 11-2
© Pearson Education, Inc. 4

d) 2,19
e) 40,62
3. La galleta para perros más grande del mundo tenía 2,35 metros de largo, 577 centímetros
de ancho y 2,54 centímetros de espesor. Escribe el espesor de la galleta en forma de
descomposición en sumandos.
4. Sentido numérico. ¿Cuántas décimas hay en veinte centésimas?
5. ¿Cuánto es 160 + 18 + 0,1 en palabras?
A. Ciento sesenta y ocho y un décimo.
B. 178,1
C. Ciento sesenta y ocho y un centésimo.
D. 1 781
6. ¿Cuánto es 60 + 5 + 0,09?
A. Sesenta y cinco con nueve centésimas
B. 65,09
C. 65,9
D. 659
7. Escritura en matemáticas. Explica cómo escribir ocho con diecinueve centésimas en
número.
119

120
Comparar y ordenar decimales
Compara 0,87 con 0,89.
Comienza por la izquierda. Encuentra la primera posición en que los dígitos sean diferentes.
0,87
0,89
Los números son iguales en la posición de las décimas, por tanto busca en la siguiente
posición.
La primera posición en la que los números son diferentes es la posición de las centésimas.
Compara 7 centésimas con 9 centésimas.
0,07 < 0,09, por lo tanto 0,87 < 0,89
1. Compara. Escribe > , o < = en cada .
a) 0,36 0,76 b) 5,1 5,01 c) 1,2 1,20
d) 6,55 6,6 e) 0,62 0,82 f) 4,71 4,17
g) 0,31 0,41 h) 1,9 0,95 i) 0,09 0,1
j) 2,70 2,7 k) 0,81 0,79 l) 2,12 2,21
2. Ordena los números de menor a mayor.
a) 1,36 1,3 1,63
b) 0,42 3,74 3,47
c) 6,46 6,41 4,6
d) 0,3 0,13 0,19 0,31

e) 0,37 0,41 0,31
f) 1,16 1,61 6,11
g) 7,9 7,91 7,09 7,19
h) 1,45 1,76 1,47 1,67
3. Sentido numérico. ¿Cuál es mayor 8,0 ó 0,8? Explícalo.
4. Margarita tiene tres perros. Sofía pesa 4,27 kg, Tigre pesa 6,25 kg y Fanta pesa 4,7 kg.
a) ¿Qué perro pesa más?
b) ¿Qué perro pesa menos?
5. ¿Qué grupo de números está ordenado de menor a mayor?
A. 0,12 1,51 0,65
B. 5,71 5,4 0,54
C. 0,4 0,09 0,41
D. 0,05 0,51 1,5
6. Escritura en matemáticas. Darrin ordenó los números 7,25 5,27 7,52 y 5,72
de mayor a menor. ¿Lo hizo bien? Explícalo.
121

122
¡Cuánto sé!
1. Escribe cada decimal como fracción o número mixto:
a) 0,23 b) 1,5 c) 23,8
d) 0,9 e) 0,253 f) 0,003
2. Escribe el decimal que corresponde:
a)
d)
12
100 b)
51
100 e)
3. Elige la alternativa correcta.
El número decimal 0,045 se lee:
5
100 c)
3
10 f)
14
100
56
100
A. Cuarenta y cinco centésimos C. Cuarenta y cinco milésimos
B. Cero coma cuarenta y cinco D. Cuarenta y cinco
4. El número 12,4 se lee:
A. Doce y cuatro centésimos C. Doce coma cuatro
B. Doce y cuatro décimos D. Ciento veinticuatro
5. El número setecientos trece milésimos se escribe:
A. 7, 013 B. 0, 703 C. 0, 713 D. 7, 130
6. La fracción 3
como decimal se escribe:
100
A. 0,3 B. 3 100 C. 3,3 D. 0,03
7. El número decimal 0,79 es:
A. Mayor que 0,08 C. Menor que 0,77
B. Mayor que 0,99 D. Menor que 0,80
8. Ubica los siguientes decimales en la recta numérica:
1,58 1,55 1,50 1,59 1,60 1,54 1,51 1,52 1,56 1,53 1,57 1,49

9. Escribe el lugar del valor posicional de cada dígito subrayado.
a) 4,61 b) 0,05
c) 1,243 d) 71,00
10. Ordena los números de mayor a menor.
7 6,9 5,99 7,5 7, 59 7, 9 7,09 6,899
11. Resuelve los siguientes problemas.
Se miden cinco niños y niñas. Daniel mide 1,60, Mario mide 1,59. Laura mide 1,6, Antonia
mide 1,59 y Manuel mide 1,65.
a) ¿Quién es el o la más alto/a? ¿Por qué?
b) ¿Antonia tiene la misma estatura que Mario? ¿Por qué?
c) ¿Manuel mide lo mismo que Daniel? ¿Por qué?
d) ¿Daniel mide lo mismo que Laura? ¿Por qué?
12. ¿Cuántas décimas hay en treinta centésimas?
13. En un parque de juegos hay 5
3
de columpios, de refalines y el resto de ruedas
10 10
giratorias. ¿Cuántas ruedas giratorias hay?
14. Carolina tiene que recortar una cinta de 100 cm en 10 partes iguales, ella toma una de
esas partes para un moño. Escríbelo como fracción y número decimal.
123

124
Pictogramas
Un pictograma usa dibujos o símbolos para representar datos.
Grupo
Anbios
Arácnidos
Crustáceos
Reptiles
Especies en peligro de extinción
en los Estados Unidos
Cada = 2 animales
Número
SF_RT04_04_19
Lo
que
piensas
Lo
que
escribes
Ejemplo
¿Cuántos tipos de
arácnidos están en
peligro de extinción?
Fíjate en la la que dice
arácnidos. Hay 6 patas.
Cada = 2 animales.
2, 4, 6, 8, 10, 12
Hay 12 tipos de arácnidos
en los Estados Unidos
que están en peligro de
extinción.
SF_RT04_04_20
1. Observa el pictograma y responde. ¿Aproximadamente cuántas personas prefi eren
comunicarse por
a) correo electrónico?
b) teléfono?
c) carta?
Formas favoritas de comunicarse
con un amigo a larga distancia
Correo electrónico
Teléfono
Carta
Cada = 100 personas
SF_RT04_04_21
d) ¿Aproximadamente cuántas personas prefieren usar el correo electrónico más que
las cartas?

2. Usa el pictograma de Libros favoritos para el ejercicio 3.
¿Cuántas personas prefieren libros
a) del Viejo Oeste?
b) de misterio?
c) ¿Aproximadamente cuántas personas
prefieren leer más un libro de
aventuras que un libro de ciencia ficción?
Misterio
SF_PR04_04_14
d) Sentido numérico. Las personas que prefieren leer ciencia ficción que biografías,
¿son más o menos del doble?
3. Sentido numérico. Si cada símbolo en un pictograma es igual a 100 personas, ¿cuántos
símbolos necesitarías para representar 750 personas?
4. Haz un pictograma de los datos sobre la colección
de hojas de Ángela.
Viejo Oeste
Ciencia cción
Biografías
Aventuras
Libros Favoritos
Cada = 10 personas.
Colección de hojas de Ángela
Alerce 11
Raulí 07
Roble 05
Arce 10
Peumo 15
5. ¿Qué tipo de libros fue elegido por aproximadamente 15 personas?
A. Aventuras B. Biografías C. Misterio D. Ciencia ficción
6. Escritura en matemáticas. Escribe un problema para el pictograma que hiciste y
resuélvelo.
125

126
Diagrama de puntos
Un diagrama de puntos representa datos a lo largo de una recta
numérica. Cada X representa un número en los datos.
x x
x
x
x x x x x
x
20 25 30 35 40
Edades de 10 jugadores profesionales de fútbol
Como hay una X sobre el 22, uno de los jugadores profesionales de fútbol tiene 22 años.
Como hay 3 X sobre el 26, tres de los jugadores profesionales de fútbol tienen 26 años de
edad.
SF_RT04_04_22
El jugador más viejo tiene 41 años y el más joven 21.
El jugador de 41 años de edad es más viejo que cualquiera de los otros jugadores. Este
número es un valor extremo, dado que es muy diferente del resto de los números.
1. Observa el diagrama de puntos y
responde.
¿Cuántos estudiantes de cuarto año vendieron
a) 15 números para la rifa?
b) 20 números para la rifa?
c) ¿Cuántos números vendió la mayoría de los estudiantes?
x
x
x
x x x
x x x
x x x x
x x x x
x x x x
x
10 15 20 25 30 35 40 45 50
Números de la rifa vendidos por los
estudiantes de cuarto año.
SF_RT04_04_23

2. Observa el diagrama de puntos de la derecha y responde. ¿Cuántos equipos de fútbol
anotaron
a) 5 goles?
b) 2 goles?
c) 3 goles?
0 1 2 3 4 5 6 7 8
Número de goles en fútbol
SF_PR04_04_16
3. Sentido numérico. ¿Hay algún valor extremo en el conjunto de datos? Explícalo.
4. Sentido numérico. El diagrama de puntos fue hecho a mitad de la temporada.
¿Cuántos goles predices que anotarán al final de la temporada los equipos que anotaron
7 goles?
5. Haz un diagrama de puntos de los gramos de
proteína en los alimentos que se muestran.
Gramos de proteína en una porción
Alimento Gramos
Tocino 6
Porotos 15
Pizza 15
Jaiba 23
Croquetas de pescado 6
Lentejas 14
6. Usa el diagrama de los goles de fútbol de arriba para responder los ejercicios a y b.
a) ¿Cuántos equipos hay en el diagrama de puntos?
A. 18 B. 19 C. 20 D. 21
b) Escritura en matemáticas. ¿Hay algún valor extremo en el conjunto de datos?
Explícalo.
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
127

128
Gráfi co de barras
A continuación se explica cómo hacer un gráfi co de barras para representar datos.
Paso 1: Escoge una
escala.
Mascotas 4º Básico
Mascota Cantidad
Gato 48
Perro 30
Canario 40
Tortuga 35
Paso 2: Dibuja y
rotula el costado y
la parte de abajo del
gráfico.
Cantidad
60
50
40
30
20
10
0
1. Usa los datos a la derecha. Dibuja un gráfico
de barras, colocando el número de puntos
anotados en el eje vertical y el nombre de
los jugadores en el eje horizontal. Pon un título
al gráfico.
Gato Perro Canario Tortuga
Mascota
Paso 3: Dibuja una
barra en SF_RT04_04_24
el gráfico
para cada número
del archivo de datos.
Mascotas de 4º Básico
Paso 4: Pon un título
al gráfico. El título
debe describir el
tema del gráfico.
Jugador Puntos anotados
Víctor 30
Raúl 25
Patricio 35

2. Gráficos de barras ¿Cuántos tiros libres encestó
a) Gabriela?
b) Rodrigo?
c) ¿Quién encestó 35 tiros libres?
d) ¿Quién encestó 15 tiros libres?
Número de tiros
50
45
40
35
30
25
20
15
10
5
0
Tiros libres
Ricardo Gabriela Ámbar Rodrigo Lucía
Estudiantes
SF_PR04_04_18
3. Sentido numérico. ¿Cómo puedes saber fácilmente quiénes encestaron
aproximadamente el mismo número de tiros libres?
129

130
Localización en un gráfi co
Para identificar la ubicación de la estrella en la cuadrícula:
Paso 1
Paso 2
Comienza en (0, 0).
Muévete 3 espacios hacia
la derecha.
La estrella está en (3, 4).
El primer número de un par ordenado indica cuántos
espacios hay que moverse hacia la derecha. El segundo
número indica cuántos espacios hay que moverse
hacia arriba. Identifica el par ordenado del círculo. (6, 7)
Un par ordenado identifica un punto en la cuadrícula.
1. Usa el gráfico de la derecha para responder.
a) Identifica la localización de cada punto.
C D
K H
b) Escribe la letra del punto que representa
cada localización.
(5, 5) (6, 6) (2, 4)
2. Usa el gráfico de la derecha para responder.
a) Identifica la localización de cada punto.
P H
L F
K Z
b) Escribe la letra del punto que representa cada
localización.
(7, 8) (10, 1) (2, 8)
Paso 3
Muévete 4 espacios
hacia arriba.
0 1 2 3 4 5 6 7 x
SF_RT04_04_28
y
11
10
B
H I
9
8
S
C
7
6
T P
5
4
3
F L
2
1
K
Z
M
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11x
SF_PR04_04_21
(0, 6) (10, 10) (1, 10)
y
7
6
5
4
3
2
1
y
6
5
4
3
2
1
0
P
A E
K F H
G C
M
B
L
J D
1 2 3 4 5 6 x
SF_RT04_04_29

3. Marca los siguientes puntos en la
cuadrícula de coordenadas de abajo.
a) W (2, 4)
b) X (5, 6)
c) Y (3, 0)
d) Z (6, 1)
4. Sentido numérico. ¿Cómo se relacionan las coordenadas SF_RT04_04_30
(1, 2) y (3, 2)?
5. ¿Qué letra representa (9, 3)?
A. A
B. B
C. C
D. D
6. Escritura en matemáticas. Explica cómo marcar el punto G (2, 7) en una cuadrícula de
SF_PR04_04_23
coordenadas.
y
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
y
6
5
4
3
2
1
0 1 2 3 4 5 6 x
A
C
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10x
D
B
131

132
Hacer gráficos de localización
5
4
3
2
1
Parque de diversiones Cómo designar un punto:
Los autitos chocadores están en el punto (3, 2)
Montaña rusa de la cuadrícula. Empieza en (0, 0). Cuenta 3
lugares hacia la derecha y 2 lugares hacia
arriba. (3, 2) se llama un par ordenado.
Caminata lunar
Feria de comida
Autitos
chocadores
0 1 2 3 4 5
1. Escribe la localización de cada punto.
a) A
b) B
c) C
d) D
2. Escribe la letra del punto indicado.
a) (0, 5)
b) (8, 5)
c) (1, 3)
d) (6, 4)
La caminata lunar está en (1, 3) y la montaña
rusa está en (2, 4).
Cómo ubicar un punto:
¿Qué es lo que está en (1, 1)?
Cuenta 1 espacio hacia la derecha y 1 espacio
hacia arriba.
Estás en la feria de comidas, que está en (1, 1).
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
F
E
A
I
B
D
J
H
C
G
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
SF_RT03_04_29
3. Escritura en matemáticas. Describe la diferencia entre localizar un punto en (1, 3) y un
punto en (3, 1).
K

4. Escribe la localización de cada punto de interés.
a) Elefantes
b) Estación de trenes
c) Hipopótamos
5. Explica qué punto de interés denomina cada localización.
a) (3, 8) b) (7, 3)
6. ¿Qué punto de interés está más cerca del centro de la cuadrícula?
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
Mapa del zoológico
Leones
Hipopótamos
Aves
Serpientes
Monos
Elefantes Estación
Entrada de trenes
Jirafas
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
SF_PR03_04_23
7. El paseo en tren empieza en la estación de trenes y para en cada punto de interés, en el
siguiente orden: monos, aves, leones, hipopótamos y elefantes. Escribe en orden las
paradas del tren.
8. ¿Qué punto está en (7, 2)?
A. A
B. B
C. C
D. D
0 2
1
9. Escritura en matemáticas. Carlos dice que, en la cuadrícula de arriba, el punto E es
SF_PR03_04_24
(1, 5). ¿Estás de acuerdo? Explica tu respuesta.
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
C
A
B
E
D
3 4 5 6 7 8 9 10
133

134
Datos de encuestas
Para hacer una encuesta, haz la misma
pregunta a diferentes personas y anota sus
repuestas. Por ejemplo: Ema preguntó a sus
compañeros de clase: “¿Cuál es tu sabor
favorito de helado de yogur?” A continuación
se muestran sus resultados:
1. Observa la tabla de la derecha y responde.
a) En la encuesta, ¿cuántas personas
prefirieron el fútbol?
b) ¿Cuántas personas fueron encuestadas?
c) Según la encuesta, ¿cuál es el deporte
favorito de la mayoría de las personas?
Sabores favoritos de helados de yogur
Vainilla llll 4
Chocolate llll llll 9
Frutilla lll 3
Naranja l 1
Podemos ver que los compañeros de clase de Ema prefi eren el helado de yogurt de
chocolate.
Deportes favoritos de los Juegos
Olímpicos de invierno
Fútbol llll lll
Natación ll
Basquetbol llll llll
Patinaje de velocidad lll
2. Sentido numérico. Si se encuestaran cinco veces la cantidad de personas, ¿cuántas
crees que dirían que su deporte favorito es la natación? Explícalo.

3. Usa los datos de la tabla de conteo para
responder.
a) ¿A cuántas personas de la encuesta les
gustaba más el helado de yogur de frutilla?
b) ¿Qué sabor de helado de yogur recibió
más votos?
c) ¿A cuántas personas les gustaba más el
helado de yogur de vainilla?
d) ¿Cuántas personas fueron encuestadas?
Helado de yogur favorito
Plátano lll
Damasco llll llll ll
Frutilla llll
Vainilla llll lll
4. Sentido numérico. ¿Podría la encuesta sobre helados de yogur ayudar a los
restaurantes a elegir los sabores? Explícalo.
5. ¿Cuál es el último paso para hacer una encuesta?
A. Explicar los resultados.
B. Contar las marcas de conteo.
C. Escribir una pregunta para una encuesta.
D. Hacer una tabla de conteo y hacer la pregunta.
6. Escritura en matemáticas. Escribe un ejemplo de un tema para una pregunta de
encuesta en la que los resultados de las respuestas pudieran ser parecidos.
135

136
7. Usa la tabla para responder.
a) ¿Cuántos metros más largo es el tiburón ballena que el peregrino?
b) ¿Cuántos centímetros más largo es el tiburón blanco que el pigmeo?
c) Si dos tiburones blancos se ponen uno detrás del otro ¿cuánto
medirían en total? ¿Sería esta medida igual al de otro tiburón? ¿Cuál?
d) Observando la tabla, al ponerse dos tiburones uno detrás del otro
¿logran tener una longitud mayor o igual al tiburón ballena?
8. Según los datos de la tabla.
Clase de tiburones Longitud aproximada en metros
Tiburón ballena 15 m
Tiburón blanco 6 m
Tiburón peregrino 12 m
Tiburón pigmeo 21 cm
Número de personas Frutas preferidas
15 Sandías
10 Mandarinas
5 Peras
8 Manzanas
5 Papayas
a) ¿Cuál es la fruta preferida?, ¿cuál es la que menos gusta?
b) ¿Hay algunas frutas que las personas prefieran por igual?, ¿cuáles?

9. Según los datos del gráfico.
a) ¿Si la librería D vende la misma
cantidad al mes siguiente, cuánto
vendería entonces en total?
b) ¿Y la librería A en un año?
c) ¿La librería D en 10 meses?
Libros vendidos
5 000 500
4 000 400
3 000 300
2 000 200
1 000 100
Libros vendidos en un mes
A B C
Librerías
D
SF_RT04_04_37
d) ¿Cuánto será la diferencia entre cada tienda en 10 meses? ¿Qué librería venderá
más? ¿Cuánto más?
e) ¿Cuál venderá menos si durante un año venden la misma cantidad que en un mes?
0
137

138
Aplicaciones
Se les preguntó a los estudiantes cuál era su tipo de perro favorito.
El pictograma muestra cuántos estudiantes
escogieron cada tipo de perro como su favorito.
Usa el pictograma para responder cada
ejercicio.
¿Cuántos estudiantes escogieron el beagle? 6
estudiantes.
¿Qué perro obtuvo 5 votos? El pastor.
Tiempo Puntos anotados
1 er 7
2 o 3
3 er 10
4 o 6
12
10
8
6
4
2
0
Perros favoritos de los estudiantes
Beagle
Collie
Pastor
Poodle
Dálmata
Perro Número
Cada = 2 votos.
1. La tabla de abajo muestra cuántos puntos obtuvo un equipo de basquetbol en cada uno
de los cuatro cuartos de un partido.
a) Completa el gráfico de barras.
b) ¿Cuántos puntos anotaron en el tercer y en el cuarto tiempo?
c) ¿Cuántos puntos anotaron en todo el partido?
1er 2o 3er 4o

Vistas de los cuerpos geométricos:
perspectiva
1. Dibuja la perspectiva de la fi gura.
a) La vista superior de
una pirámide.
d) La vista lateral de un
cubo.
g) La vista superior de un
prisma.
b) La vista lateral de una
pirámide.
e) La vista superior de un
prisma triangular.
h) La vista lateral de un
prisma.
c) La vista superior de
un cubo.
2. Diego y Bruno quieren construir una pirámide cuadrangular con bloques. Ambos hacen
un dibujo de la pirámide desde la vista lateral. Diego dibujó un cuadrado con un punto en
el medio. Bruno dibujó un triángulo, ¿qué dibujo es correcto?
3. ¿Cuál de las siguientes opciones da el número de caras, aristas y vértices de una
pirámide?
A. 5, 8, 5 B. 4, 7, 4 C. 6, 12, 8 D. 8, 10, 8
f) La vista lateral de un
prisma triangular.
i) La vista lateral de
una pirámide.
4. Escribir para explicar. ¿Cuál es la diferencia entre la forma de una vista lateral de una
pirámide y una vista superior de una pirámide?
139

140
Vistas de los cuerpos geométricos:
modelos planos
1. Resuelve.
a) ¿Cuáles son las
fi guras de las caras de
un prisma?
d) ¿Qué fi guras tienen
los lados de una
pirámide?
g) ¿Qué fi gura tiene 6
rectángulos en sus
caras?
b) ¿Qué fi gura tiene un
prisma triangular que un
prisma no tiene?
e) ¿Cuántos vértices más
tiene un prisma triangular
que una pirámide?
h) ¿Qué fi gura tiene 2 caras
triangulares y 3 caras
rectangulares?
c) ¿Cuántos vértices
más tiene
una pirámide
cuadrangular que
una pirámide?
f) ¿Cuántos vértices
tiene un prisma?
i) ¿Cuántos vértices
más tiene un prisma
rectangular que una
pirámide?
2. Josefa hizo una alcancía en forma de prisma. Quiere pintar cada cara de un color
diferente, ¿cuántos colores necesitará?

Traslaciones, refl exiones y rotaciones
¿Es esto una traslación, una reexión o una rotación? Encierra en
¿Es esto una traslación, una reexión o una rotación? Encierra en
un círculo la respuesta.
un círculo la respuesta.
1. ¿Es esto una traslación, una refl exión o una rotación? Encierra en un círculo la respuesta.
a)
c)
e)
deslizamiento inversión giro deslizamiento inversión giro
deslizamiento inversión giro deslizamiento inversión giro
traslación refl exión rotación
deslizamiento inversión giro deslizamiento inversión giro
deslizamiento inversión giro deslizamiento inversión giro
traslación refl exión rotación
deslizamiento inversión giro deslizamiento inversión giro
deslizamiento inversión giro deslizamiento inversión giro
traslación refl exión rotación
Razonamiento visual
Observa el patrón.
2. Observa el patrón.
Dibuja la fi gura en la posición siguiente.
Encierra en un en círculo un círculo la respuesta.
la respuesta.
Encierra en un círculo la respuesta.
traslación deslizamiento refl exión inversión rotación giro
deslizamiento inversión giro
b)
d)
f)
traslación refl exión rotación
traslación refl exión rotación
traslación refl exión rotación
141

142
Traslaciones
1. Señala si las fi guras se relacionan por traslación.
a) b) c)
d) e) f)
2. Escribir para explicar. ¿Una traslación puede hacer una fi gura más grande o más
pequeña?
3. ¿Cuál opción es una traslación de la fi gura dada?
a) b) c) d)
Refl exiones
1. Señala si las fi guras se relacionan por una refl exión.
a) b) c)
d) e) f)
2. Escribir para explicar. Mira las efes del violín. ¿Se
relacionan por una refl exión? Explica tu respuesta.
3. ¿Cuál opción es una refl exión?
a) FF
b) c) d)
efe
efe

Rotaciones
1. Señala si las fi guras se relacionan por rotación.
a) b)
c) d)
e) f)
2. Escribir para explicar. ¿Cómo pueden cuatro giros poner una fi gura en su posición
original?
143

144
Simetría
1. Señala si cada recta es un eje de simetría.
a) b) c)
2. Señala cuántos ejes de simetría tiene cada fi gura.
a) b) c)
3. Dibuja ejes de simetría.
4. ¿Cuántos ejes de simetría tiene un rombo que no es un cuadrado?
a) 0 b) 1 c) 2 d) 3
SF_PR04_08_48
5. Escribir para explicar. Explica por qué un cuadrado es siempre simétrico.