2º Regla de la cadena y derivación implícita

empezar, debemos dibujar un diagrama que exprese la dependencia de T
respecto de las coordenadas polares ρ y ω a través de x e y
T
x
y
Vemos que para llegar desde T , tanto a ρ como a ω, hay dos caminos,
pues x = ρ · cos ω e y = ρ · sen ω. Por tanto, cada derivada parcial ∂T
∂ρ y
∂T
∂ω
consta de dos sumandos, uno por cada camino. Al camino T → x → ρ
corresponde el sumando ∂T
∂x
sumando de la forma ∂T
∂y
· ∂y
∂ρ
∂T
∂ρ
∂T
∂ω
r
w
r
w
∂x · , mientras que el camino T → y → ρ aporta un
∂ρ
. En definitiva, se tienen las siguientes relaciones
= ∂T
∂x
= ∂T
∂x
∂x ∂T
· +
∂ρ ∂y
∂x ∂T
· +
∂ω ∂y
· ∂y
∂ρ
· ∂y
∂ω .
Pasamos ahora a obtener las relaciones anteriores haciendo uso de la ex-
presión matricial de la regla de la cadena. Denotamos por g la función que
cambia de coordenadas
(ρ, ω) ∈ (0, +∞) × [0, 2π] → (x, y) =
= (ρ · cos ω, ρ · sen ω) ∈ R 2 .
50