respuesta en frecuencia de sistemas lineales, invariantes en el ...

Universidad Nacional de San Juan
Facultad de Ingeniería
Departamento de Electrónica
y Automática
“RESPUESTA EN FRECUENCIA DE SISTEMAS LINEALES,
INVARIANTES EN EL TIEMPO.”
Cátedra: Control I.
Carreras: Ingeniería Electrónica y Bioingeniería.
Autores:
Ing. Mario Alberto Perez.
Ing. Analía Perez Hidalgo.
Dra. Bioing. Elisa Perez Berenguer.

Respuesta en Frecuencia de Sistemas Lineales
Control I
RESPUESTA FRECUENCIAL
1- Introducción.
Ya se ha investigado la respuesta de componentes y sistemas a varios tipos de
entradas en el dominio temporal. Se vio que la función respuesta c (t)
contiene
dos términos, un término transitorio (la solución complementaria) y un
término de estado estacionario o constante (la solución particular), obtenidos
ambos por la solución de la ecuación del sistema, cuando es aplicada una
excitación en la entrada.
El presente capítulo se dedicará al estudio de la respuesta en estado estable
de componentes y sistemas cuando sean excitados por una señal senoidal de
amplitud fija pero con una frecuencia que varía en un cierto rango.
Este concepto se ilustra en la figura 1, en la cual un sistema lineal es excitado
por una señal sen t
b ( ω ) sen ωt
+ φ(
ω)
.
a ω , la respuesta es [ ]
Figura 1.
La forma de las ondas de entrada y salida se ilustran en la figura 2.
Figura 2.
Este resultado obtenido concuerda totalmente con lo ya visto como solución
particular de un sistema cuando era excitado por una señal armónica de la
forma r( t)
= H senωt
, donde H es la amplitud constante y ω la frecuencia
angular de entrada, estando el sistema en estado estacionario.
Para el caso de un sistema de primer orden la solución particular era:
- 1 -

Respuesta en Frecuencia de Sistemas Lineales
Control I
K H
c ( t)
= sen t
φ = arctg ω
1
2 2
( 1+
ω T )
( ω − φ)
Como se ve, tanto la amplitud de la respuesta c
1(
t ) como la fase son ambas
funciones de la frecuencia ω de la entrada, lo que corrobora lo dicho
anteriormente.
El siguiente gráfico ilustra lo que se acaba de mencionar:
- 2 -
Figura 3.
Es común en el análisis frecuencial que el interés se centre en el estudio de las
siguientes relaciones:
a) La relación de amplitud b a
la designa como M (ω)
.
, que se la denomina relación de magnitud y se
b) El ángulo de fase φ (ω)
. Un ángulo de fase negativo recibe el nombre de
retardo de fase, y un ángulo de fase positiva es denominado adelanto de fase.
Se tratará ahora la determinación de información sobre la respuesta a la frecuencia,
de un modo analítico, aunque tales datos se pueden obtener
experimentalmente si el sistema existe.
Las mediciones de respuesta en frecuencia en general son simples y pueden
ser efectuadas con exactitud usando generadores de señal senoidales
fácilmente obtenibles y equipos de medición precisos.
Frecuentemente se pueden determinar experimentalmente, las funciones
transferencia de componentes complicados en prueba de respuesta de
frecuencia. Además, el método de respuesta de frecuencia tiene la ventaja de
que se puede diseñar un sistema de manera que los efectos del ruido
indeseable sean despreciables, y de que ese análisis y diseño pueda
extenderse a ciertos sistemas de control no lineales.
Obtener la respuesta frecuencial es importante puesto que proporciona medios
convenientes para obtener la respuesta en el estado estable pera cualquier
sistema lineal sujeto a una señal senoidal. También está relacionado
íntimamente con el método de análisis frecuencial que se verá más adelante.
El procedimiento simple para obtener la respuesta a la frecuencia, contenido
en cuatro pasos, es el siguiente:
1 - Se obtiene la función de transferencia para el componente o sistemas a
analizar. Es decir:

Respuesta en Frecuencia de Sistemas Lineales
Control I
C(
s)
F ( s)
=
R(
s)
Donde C (s)
es la transformada de la salida y R (s)
la transformada de la
entrada, y donde se han despreciado todas las condiciones iniciales porque se
vio no afectada la respuesta en estado estable.
2 - En la función de transferencia se sustituye s por j ω . La justificación de
esta sustitución se hará más adelante.
3 - Para varios valores de la frecuencia ω , se determina la relación de
magnitud M (ω)
y el ángulo de fase φ (ω)
.
4 - Se grafican los resultados de 3 en coordenadas polares o rectangulares.
Estas gráficas no solamente san medios convenientes para presentar los datos
de respuesta a la frecuencia, sino que también son la base para los métodos
de análisis y diseño que se verán en capítulos posteriores.
Aunque la respuesta de frecuencia de un sistema de control de una imagen
cualitativa de la respuesta transitoria, la correlación entre frecuencia y
respuestas transitorias, es indirecta, excepto en el caso de sistemas de
segundo orden. Al proyectar un sistema de lazo cerrado, se puede ajustar la
característica de respuesta de frecuencia, usando diversos criterios de diseño
para obtener características de respuesta transitoria aceptables.
Una vez entendida la correlación indirecta entre diversas mediciones de la
respuesta transitoria y la respuesta de frecuencia, puede utilizarse
ventajosamente el método de respuesta de frecuencia.
El diseño de un sistema de control basado en este procedimiento, se funda en
la interpretación de las características de respuesta a la frecuencia. Este
análisis de un sistema de control, indica gráficamente qué modificaciones hay
que hacer en la función de transferencia de lazo abierto para obtener las
características deseadas de respuesta transitoria.
Lógicamente se podría hacer la pregunta de por qué es tan importante el
análisis de la respuesta de sistemas a una señal senoidal, cuando en la
práctica, los sistemas de control raramente están expuestos a señales
armónicas. La respuesta es que la información obtenida por el análisis
senoidal puede usarse para establecer la naturaleza de la respuesta a una
gran variedad de señales. Además, el análisis es conveniente para manejarlo
matemática y experimentalmente.
- 3 -

Respuesta en Frecuencia de Sistemas Lineales
Control I
2- Justificación de la Sustitución de s por jω.
Ya se ha visto que para realizar el análisis frecuencial es necesario sustituir s
por j ω en la función de transferencia. Esta sustitución será ahora justificada.
El procedimiento consistirá en trabajar con una función de transferencia
general, obteniendo primero la respuesta en el estado estable a una señal
senoidal usando la transformada de Laplace, y después haciendo la sustitución
de s por j ω .
Si ambas soluciones resultan idénticas la sustitución es válida. Se supone una
función de transferencia general con un numerador N (s)
y un denominador
D (s) .
C(
s)
N(
s)
F ( s)
= =
(1)
R(
s)
D(
s)
La señal de entrada será una senoide con amplitud igual a uno ( senω t ). La
transformada de R (s)
es:
s
2
ω
2
+ ω
; por lo tanto:
N(
s)
ω N(
s)
ω N(
s)
C( s)
= R(
s)
=
=
(2)
2 2
D(
s)
s + ω D(
s)
( s + jω)( s − jω) D(
s)
Hay que recordar que todas las condiciones iniciales pueden despreciarse porque
éstas no afectan la respuesta en el estado estable.
Desarrollando en fracciones parciales:
C(
s)
=
C
+
C
+
C
1 2
3
2
.......
( s + jω) ( s + jω) ( s + r ) ( s + r ) ( s + r )
1
+
C
2
+
+
C
n
n−2
(3)
s + , …., son factores de D (s)
. Para un sistema estable los
C3
transitorios desaparecen (o sea las transformadas inversas de … se
( s + r1)
anulan conforme t → ∞ ) y la respuesta en el estado estable es:
Donde ( s + r 1
), ( r 2
)
C
− jω
t
SS
( t)
= C1e
+
C
2
e
jω
t
Las constantes C
1
y C
2
se determinan por el método:
(4)
C
n
⎡ N(
s)
= lim
S→
r
⎢
n
⎣ D(
s)
⎤
( s + r ) ⎥⎦
n
o sea para este caso:
C
1
=
N(
s)
D(
s)
( s + r )
1
C
N(
s)
=
ω
ω
s + jω
N(
− jω)
=
( )( ) ( ) s + j s − jω
D(
− jω)
− jω
1
D(
s)
2
S =−r
S =− jω
1
∴
ω
- 4 -

Respuesta en Frecuencia de Sistemas Lineales
Control I
1 N(
− jω)
∴ C1
= −
(5)
2 j D(
− jω)
N(
s)
ω
C2 =
s + jω
=
D(
s)
N(
jω)
ω
( )( ) ( ) s + jω
s − jω
D(
jω)
jω
2
S = + jω
1 N(
jω)
∴ C
1
=
(6)
2 j D(
jω)
Como alternativa, la fracción
N(
jω)
D(
jω)
puede expresarse de la siguiente forma:
N(
jω)
= A(
ω)
+ jB(
ω)
(7)
D(
jω)
N(
− jω)
= A(
ω)
−
D(
− jω)
jB(
ω)
(8)
Donde A (ω)
y B (ω)
son números reales y son funciones de la frecuencia. Por lo
tanto:
1
1
C1 = − [ A(
ω)
− jB(
ω)
] y C
2
= [ A(
ω)
+ jB(
ω)
]
2 j
2 j
Sustituyendo estos valores en la ecuación (4):
C
SS
1
− jω
t 1
+ jω
t
( t)
= − [ A(
ω)
− jB(
ω)
] e + [ A(
ω)
+ jB(
ω)
] e
(9)
2 j
2 j
C
A(
ω)
2 j
B(
ω)
2 j
A(
ω)
2 j
− jω
t
− jω
t
jω
t
SS
( t)
= − e + j e + e +
B(
ω)
j e
2 j
jω
t
(10)
C
SS
( t)
=
⎡e
A(
ω ) ⎢
⎣
jω
t
− e
2 j
− jω
t
jω
t
⎤ ⎡ e + e
⎥ + B(
ω)
⎢
⎦ ⎣ 2
− jω
t
⎤
⎥
⎦
∴ ( t)
= A(
ω)
senω
t + B(
ω)
cosω
t
(11)
C SS
La respuesta en estado estable se ve que está compuesta por una senoide
más una cosenoide. La suma de estas dos ondas se lleva a cabo por adición
vectorial como se muestra en la figura 4.
- 5 -

Respuesta en Frecuencia de Sistemas Lineales
Control I
Figura 4.
Aquí un vector o fasor de magnitud A (ω)
se considera que esta girando en
dirección contraria a las manecillas del reloj con una frecuencia ω . La
proyección de este vector sobre el eje imaginario produce la senoide
requerida. Un vector de magnitud B (ω)
se muestra adelantado 90° con
respecto al primer vector, su proyección sobré el eje imaginario produce la
cosenoide requerida, Los dos vectores pueden reemplazarse par un solo
vector de magnitud:
2
A ( ω)
+ B
2
( ω)
Y ángulo de fase:
B(
ω)
φ(
ω)
= arc.
tg
A(
ω)
Por lo tanta la (10) puede escribirse como:
C SS
2
2
( t)
= A ( ω ) + B ( ω)
sen t +
( ω φ(
ω)
)
Donde:
B(
ω)
φ(
ω)
= arc.
tg
(12)
A(
ω)
Hay que recordar que la señal de entrada era una senoide can amplitud
unitaria Por tanto, la relación de magnitud, es decir el cociente entre las
amplitudes de salida y entrada es:
2
2
M ( ω)
= A ( ω)
+ B ( ω)
(13)
Y el ángulo de fase:
B(
ω)
φ(
ω)
= arc.
tg
(14)
A(
ω)
Debe reconocerse que el ángulo de fase también puede ser negativo.
- 6 -

Respuesta en Frecuencia de Sistemas Lineales
Control I
Habiendo completado la solución usando transformada de Laplace, falta
demostrar que el mismo resultado puede también puede obtenerse
directamente haciendo la sustitución de s por jω en:
Cs () Ns () C( j ) N( j )
A( ) jB( )
Rs () = Ds () → ω ω
ω ω
R( jω) = D( jω)
= + (15)
C( jω)
2 2
= ⎡A ( ω) + B ( ω) ⎤ sen ωt+
φ( ω)
R( jω)
⎣ ⎦
( )
2 2
∴ M( ω) = ⎡
⎣A ( ω) + B ( ω)
⎤
⎦ (16)
⎡B( ω)
⎤
φω ( ) = arctag ⎢ A ( ω)
⎥
⎣ ⎦
(17)
Que es el mismo resultado obtenido anteriormente, ahora con menos
esfuerzo.
- 7 -

Respuesta en Frecuencia de Sistemas Lineales
Control I
3- Respuesta de Frecuencia a partir de los Diagramas de Polos y
Ceros.
Se puede determinar gráficamente la respuesta de frecuencia a partir de los
diagramas de polos y ceros de la función de transferencia. Sea la siguiente
función de transferencia:
Gs () =
Ks ( + z)
ss ( + p)
(18)
Donde p y z son reales. Se puede obtener la respuesta en frecuencia de esta
función de transferencia de la relación:
G( jω)
=
K( jω
+ z)
s( jω
+ p)
(19)
Los factores jω + z , jω + p son magnitudes complejas como puede verse en la
figura 5.
Figura 5: Determinación de la respuesta de frecuencia en el plano complejo.
La amplitud de G( jω ) es:
G( jω)
=
K jω
+ z
jω
jω+
p
(20)
KAP
G( jω ) = (21)
OP BP
- 8 -

Respuesta en Frecuencia de Sistemas Lineales
Control I
Y el ángulo de fase de G( jω ) es:
G( jω)
= jω+ z− jω− jω+ p
(22)
⎡ω
⎤
⎡ω
⎤
G( jω) = arctag
⎢
−90º
−arctag
z ⎥
⎢
p
⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦
(23)
G( jω)
= φ−φ − φ
(24)
1 2
Donde los ángulos φ , φ 1
y φ 2
están definidos en la figura 5. Se hace notar que
se define como sentido positivo para la medición de ángulo a la rotación anti
horaria.
Del análisis de la respuesta transitoria de los sistemas de lazo cerrado, se
sabe que un par de polos complejos conjugados cercanos al eje jω produce
un modo altamente oscilatorio de la respuesta transitoria. En el caso de la
respuesta frecuencial, un par de polos así ubicados han de producir una
respuesta de pico elevado.
Sea, por ejemplo, la siguiente función de transferencia:
K
Gs () =
( s+ p ) + ( s+
p )
1 2
(25)
Donde p
1
y p
2
son complejos conjugados como se ve en la figura 6. Se puede
hallar la respuesta en frecuencia de esta función de transferencia.
Figura 6: Determinación de la respuesta en frecuencia en el plano complejo.
G( jω)
=
K
jω+ p jω+
p
1 2
(26)
- 9 -

Respuesta en Frecuencia de Sistemas Lineales
Control I
K
G( jω ) = (27)
AP BP
G( jω)
=−φ − φ
(28)
1 2
Donde los ángulos φ 1
y φ 2
están definidos en la figura 6. Como AP BP es muy
pequeño en la cercanía de ω = ω1
, G( jω
1)
es muy grande.
De manera que un par de polos complejos conjugados cerca del eje jω ha de
producir una respuesta de frecuencia de pico elevado. Inversamente, si la
respuesta de frecuencia no es de picos elevados, la función de transferencia
no ha de tener polos complejos conjugados cerca del eje jω . Una función de
transferencia así no ha de presentar respuesta transitoria altamente
oscilatoria.
Como la respuesta en frecuencia indirectamente describe la posición de los
polos y ceros de la función de transferencia, se pueden estimar las
características de respuesta transitoria del conocimiento de sus características
de respuesta de frecuencia (esto se entenderá más claramente cuando se
estudie el concepto de estabilidad relativa).
- 10 -

Respuesta en Frecuencia de Sistemas Lineales
Control I
4- Especificaciones en el Dominio Frecuencial.
Se ha puesto de manifiesto anteriormente que la información que se busca en
el análisis de un sistema de control es normalmente la respuesta temporal.
Sin embargo, en general, la respuesta temporal es difícil de obtener
analíticamente a causa de la cantidad de cálculos que implica. Por
consiguiente, la respuesta frecuencial de un sistema de control se obtiene a
menudo por medio de métodos gráficos (representaciones polares y
rectangulares tales como los diagramas de Nyquist y Bode que se estudian
más adelante) y luego, la interpretación del comportamiento del sistema en el
dominio temporal se basa en las relaciones entre ambos dominios, temporal y
frecuencial.
El punto de partida para el análisis en el dominio frecuencial es la función de
transferencia. Para un sistema de control con realimentación unitaria, la
función de transferencia de lazo cerrado es:
C(
s)
R(
s)
G(
s)
= (29)
1+
G(
s)
En condiciones de régimen sinusoidal,
s =
jω
, la ecuación 29 se convierte en:
C(
jω)
G(
jω)
= M ( jω)
=
(30)
R(
jω)
1+
G(
jω)
Cuando M ( jω)
se escribe en forma de amplitud y fase, se tiene:
M( jω) = M( ω) φ ( ω)
(31)
Donde:
m
G(
jω)
M ( ω)
= (32)
1+
G(
jω)
Y
φm ( ω) = G( jω) − 1 + G( jω)
(33)
El significado de M ( jω)
en un sistema de control es similar a la ganancia o
amplificación de un amplificador electrónico. En un amplificador de
audiofrecuencia, por ejemplo, el criterio ideal de proyecto es que el
amplificador tenga una curva de ganancia plana para las audiofrecuencias. En
los sistemas de control, sin embargo. La situación ideal en algunas ocasiones
es que la salida siga a la entrada en todo instante o, simplemente, que el
módulo de M ( jω)
sea igual a la unidad para todas las frecuencias. Pero en la
expresión de la ecuación 32 se ve que M ( jω)
solo pede ser igual a la unidad
cuando G ( jω)
es infinito o, en otras palabras, la ganancia del sistema debe ser
infinita para todas las frecuencias. Esto es imposible de conseguir en la
práctica y además no es conveniente puesto que la mayoría de los sistemas
de control resultan inestables para valores elevados de ganancia. Además,
- 11 -

Respuesta en Frecuencia de Sistemas Lineales
Control I
todos los sistemas de control están sujetos a ruidos, es decir, además de
responder a la señal de entrada los sistemas deben ser capaces de rechazar y
suprimir los ruidos y las señales involuntarias. Esto significa que, en general,
la respuesta en frecuencia de un sistema de control debe de tener un punto de
corte característico y, algunas veces una banda pasante o no pasante
característica.
Figura 7: Comparación de las características de magnitud y fase de un filtro pasa bajo ideal
(a) y de un sistema de control típico (b)
La característica de fase de la respuesta en frecuencia tiene también su
importancia. La situación ideal es que la fase sea una función lineal de la
frecuencia dentro de la banda de la señal de entrada. La figura 7 representa
las características de ganancia y de fase de un filtro pasa bajo ideal, imposible
de realizar físicamente. Las características típicas de amplitud y fase de un
sistema de control están dibujadas en la figura 7b. Se ve que la ganancia
disminuye al crecer la frecuencia. Ello es debido a los efectos de las inercias e
inductancias de los sistemas físicos, por lo que toda respuesta cesa cuando la
frecuencia tiende a infinito.
Las especificaciones más usadas de las características de un sistema de
control en el dominio frecuencial son las siguientes;
1- Ancho de banda. El ancho de banda, A. B., se define como la frecuencia a
la cual el módulo de ( ) M jω vale el 70.7 % del nivel a frecuencia cero o 3 dB
por debajo del nivel de frecuencia nula (figura 8). En general, el ancho de
banda indica les características de filtraje de ruido del sistema. El ancho de
banda da, también, una mecida de las propiedades de la respuesta transitoria.
Un ancho de banda largo indica, normalmente, que las señales de alta
frecuencia pasarán a la salida. Es decir, la respuesta transitoria debe de tener
un tiempo de subida rápido acompañado de un amplio rebase.
- 12 -

Respuesta en Frecuencia de Sistemas Lineales
Control I
Por el contrario, si el ancho de banda es chico, solo pasarán las señales de
baja frecuencia; por consiguiente, la respuesta temporal será lenta.
2- Factor de resonancia ( M
r
). Se define como el valor máximo de M ( ω ),
que proporciona además indicación de la estabilidad relativa del sistema. Si se
recuerda la figura 10 y como se verá más adelante, cuando se estudió el
diagrama de Bode de un sistema de segundo orden se obtienen distintas curvas
de respuesta para distintos valores de δ .Es evidente que a valores
elevados de M corresponden amplios rebases de la respuesta temporal.
r
Cuando se proyecta se admite, generalmente, que el valor oprimo de
estar comprendido entre 1.1 y 1.5.
M
r
debe
Figura 8: Curva de amplitud de un sistema.
3 — Frecuencia de resonancia ( ω r
). Es la frecuencia para la que se produce
el factor de resonancia.
4 - Razón de corte. A menudo para frecuencias elevadas es importante la
razón de corte de la curva de respuesta, en frecuencia, puesto que indica la
capacidad del sistema para distinguir la señal de ruido. Sin embargo, las
características de corte agudo sen acompañadas normalmente de valores
elevados de M , lo que significa que el sistema es poco estable.
r
5 - Margen de amplitud y Margen de fase. Estas dos cantidades que son
una medida de la estabilidad relativa de un sistema. Serán definidos más
adelante cuando se estudien los diagramas de Bode y Nyquist.
- 13 -

Respuesta en Frecuencia de Sistemas Lineales
Control I
4.1- Especificaciones En El Dominio Frecuencial Para Un Sistema De
Segundo Orden
En un sistema de segundo orden, el factor de resonancia M
r
y la frecuencia
de resonancia ω depender, únicamente riel coeficiente de amortiguamiento δ
r
y de la frecuencia natural sin amortiguamiento ω
n
del sistema. Si se considera
la función de lazo cerrado de segundo orden:
2
ω
n
M ( jω)
= (34)
2
( jω)
+ 2δω
( jω)
+ ω
n
2
n
1
M ( jω)
=
(35)
⎛ ω ⎞ ω
1 + 2 j
⎜ δ −
ω
⎟
⎝ n ⎠ ω
n
Al utilizar la frecuencia reducida
expresión:
ω
u = , el módulo de M ( jω ) toma la
ω
n
1
M ( u)
= (36a)
2 2
( 1−
u ) + ( 2δu
) 2
Y la fase de M ( jω ):
−1
2δu
M ( jω ): φ
m(
u )
= −tg
(36b)
2
1−
u
La frecuencia de resonancia se determina derivando M ( u ) con respecto a u e
igualando a cero, es decir:
∂M
u)
1
= −
∂u
2
2
−
2
2
[( ) ( ) ] 3 2 3
1−
u + 2δu
( 4u
− 4u
+ 8uδ
) = 0
( 2
(37)
De donde:
3
2
4u − 4u
+ 8uδ
= 0
(38)
Por consiguiente:
u = 0
(39)
Y
u =
u r
=
ω
ω
2 r
1 − 2δ =
(40)
n
- 14 -

Respuesta en Frecuencia de Sistemas Lineales
Control I
La solución dada en la ecuación 39 indica meramente que la pendiente de la
curva M ( ω ) vale cero para ω = 0 0; no es un máximo. De la ecuación 40 se
obtiene la frecuencia de resonancia que vale:
ω
2
r
= ω n
1−
2δ
(41)
2
Evidentemente, la ecuación 41 es válida solamente para 1 ≥ 2δ
o δ ≤ 0. 707 ,
puesto que de otra manera ω r
sería imaginario. Esto significa simplemente
que para todos los valores de δ > 0. 707 no hay resonancia (o M
r
= 1) en la
curva M (ω)
en función de ω . La curva M (ω)
es inferior a uno para todos los
valores de ω > 0 si el coeficiente de amortiguamiento es mayor que 0.707
Sustituyendo la ecuación 40 en la 36a y simplificando se obtiene:
1
M
r
=
(42)
2
2δ 1− δ
Es importante observar que M
r
es función de δ solamente, mientras que ω r
es función de ω y δ . Las figuras 9 y 10 representan respectivamente las
curvas de M
r
y de u r
en función de δ .
Figura 9:
M
r
en función de δ para un sistema de segundo orden.
- 15 -

Respuesta en Frecuencia de Sistemas Lineales
Control I
Figura 10:
u
r
en función de δ para un sistema de segundo orden.
En resumen se observa que a medida que el factor de amortiguamiento δ
tiende a cero, la frecuencia de resonancia tiende a ω r
. Para 0 < δ < 0. 707 , la
frecuencia de resonancia ω es menor que la frecuencia natural con amortiguamiento
ω
n
= ω d
r
2
1−
δ , que aparece en la respuesta transitoria. Para
δ > 0.707 no hay pico resonante, la amplitud de G ( jω)
decrece
monótonamente cuando la frecuencia ω crece. Esto significa que no hay pico
en la curva de respuesta para δ > 0. 707 (La amplitud es menor que 0 dB para
todos los valores de ω > 0 . Debe recordarse que para 0 .707 < δ < 1, la respuesta
escalón es oscilatoria, pero las oscilaciones son muy bien amortiguadas y
apenas perceptibles.
Cuando δ tiende a cero M
r
tiende a infinito. Esto significa que si el sistema
no amortiguado es excitado a su frecuencia natural, la magnitud de G ( jω)
se
hace infinito.
Se puede obtener el ángulo fase de G( jω ), a la frecuencia que se produce el
pico de resonancia.
2
−1 1−
2δ
G( jω)
=− tg
(43)
δ
- 16 -

Respuesta en Frecuencia de Sistemas Lineales
Control I
5 - Gráficas Polares
Como se había mencionado anteriormente, para varios valores de ω se obtienen
los valores de M (ω)
y φ (ω)
los que podían ser graficados en coordenadas polares
o rectangulares. Se verá a continuación la primera de estas formas de
representación frecuencial.
El diagrama polar de una función de transferencia senoidal G ( jω)
es un diagrama
de la amplitud de G ( jω)
en función del ángulo de G ( jω)
en coordenadas polares al
variar ω desde cero a infinito. Se hace notar que en los diagramas polares, se
mide un ángulo 'de fase positivo (negativo) en sentido antihorario (en sentido
horario) desde el eje positivo real. El diagrama polar frecuentemente recibe el
nombre de diagrama de Nyquist. En la figura 11 hay un ejemplo de ese diagrama.
Cada punto del diagrama polar de G ( jω)
representa el punto terminal de un
vector pera un valor determinado de ω . En el diagrama polar es importante
mostrar la graduación de frecuencia sobre el diagrama. Las proyecciones de G ( jω)
en los ejes real e imaginario son sus componentes real e imaginario. Tanto la
amplitud G ( jω)
como el ángulo de fase G( jω ) deben ser calculados directamente
para cada frecuencia ω para peder construir los diagramas polares. Sin embargo,
como el diagrama rectangular logarítmico que se verá posteriormente es fácil de
construir, la información necesaria para trazar el diagrama polar puede ser
obtenida directamente del diagrama logarítmico si se dibuja previamente aquél y
se convierte decibeles en una magnitud ordinaria usando la figura 33.
Figura 11.
- 17 -

Respuesta en Frecuencia de Sistemas Lineales
Control I
Pera dos sistemas conectados en cascada la función de transferencia total de la
combinación, en ausencia de efectos de carga, es el producto de las dos
funciones de transferencia individuales. Si se necesita la multiplicación de dos
funciones de transferencia senoidales, esta puede lograrse multiplicando las funciones
de transferencia senoidales en cada frecuencia realizando la multiplicación
con álgebra compleja.
Es decir, si:
G ( jω)
= G1 ( jω)
G2
( jω)
Entonces:
G( jω) = G( jω) G( jω)
(44)
Donde:
G
jω)
= G ( jω)
− G ( j )
(45a)
(
1 2
ω
G( jω) = G ( jω) + G ( jω)
(45b)
1 2
En la figura 12 se muestra el producto de G jω).
G ( j )
1( 2
ω
Figura 12.
En general, si se desea un diagrama polar de G
1( jω).
G2
( jω)
es conveniente trazar
un diagrama logarítmico de G jω).
G ( j ) y luego convertirla en un diagrama polar
1( 2
ω
- 18 -

Respuesta en Frecuencia de Sistemas Lineales
Control I
en lugar de dibujar los diagramas polares G ( j ) y de G ( ) 2
jω multiplicando estos
dos en el plano complejo.
1
ω
Una ventaja de usar un diagrama polar es que presenta las características de
respuesta de frecuencia de un sistema en todo el rango de frecuencias en un único
diagrama. Una desventaja es que el diagrama no indica claramente las
contribuciones de cada uno de los factores individuales de la función de transferencia
de lazo abierto.
5.1- Factores Integral Y Derivativo
( ω)
± 1
j .
El diagrama polar de G ( jω)
= 1 es el eje imaginario negativo, pues:
1 1 1
G( jω) = j 90º
jω =− ω = ω
(46)
El diagrama polar de
G ( jω)
= jω
es el eje positivo imaginario, pues:
G( jω) = jω = ω 90º
(47)
±
5.2- Factores De Primer Orden ( ) 1
1+ jω T
Para la función de transferencia senoidal:
1 1
1+ jωT
1+
ω T
−1
G( jω)
= = −tg ωT
2 2
(48)
Los valores de G ( jω)
en ω = 0 y
ω = 1 son respectivamente:
T
G( j 0) = 1 0º
(49)
Y
⎛ 1 ⎞ 1
G⎜
j ⎟ =
⎝ T ⎠ 2
45º
Al tender ω a infinito:
(50)
G( j∞ ) = 0 − 90º
(51)
El diagrama polar de esta función de transferencia es una semicircunferencia al
variar la frecuencia desde cero a infinito, como se ve en la figura 13a. El centro
está ubicado en 0.5 sobre el eje real y el radio es igual a 0.5.
- 19 -

Respuesta en Frecuencia de Sistemas Lineales
Control I
Figura 13. a: Diagrama polar de
1
(1
+
jωT )
, b: Diagrama de G ( jω)
en el plano x-y.
Para probar que el diagrama polar es una semicircunferencia se define:
G ( jω ) = X + jY
(52)
Donde:
X
1
2
1+
ω T
= 2
=
Parte real de G ( jω)
(53)
Y
− ωT
2
1+
ω T
=
2
=
Parte imaginaria de G ( jω)
(54)
Entonces se obtiene:
⎛
⎜ X
⎝
1 ⎞
− ⎟
2 ⎠
2
+ Y
2
⎛ 1 1−
ω T
=
⎜
2
⎝ 2 1+
ω T
2
2
⎞
⎟
⎠
2
⎛ − ωT
+ ⎜
2
⎝1+
ω T
2
2
⎞
⎟
⎠
⎛ 1 ⎞
= ⎜ ⎟
⎝ 2 ⎠
2
(55)
- 20 -

Respuesta en Frecuencia de Sistemas Lineales
Control I
Entonces en el plano x-y, G ( jω)
es un círculo con centro en X=1/2; Y=0 y
con un radio igual a 1/2 como puede verse en la figura 13b. La
semicircunferencia inferior corresponde a 0 ≤ ω ≤ ∞ y la semicircunferencia
superior corresponde a − ∞ ≤ ω ≤ 0 .
El diagrama polar de la función de transferencia 1 + jωT
es simplemente la
mitad superior de la línea recta que pasa por el punto (1,0) en el plano
complejo y paralelo al eje imaginario, como puede verse en la figura 14. El
Diagrama polar de 1 + jωT
tiene un aspecto totalmente diferente al de
−
( 1+ T ) 1
jω .
Figura 14: Diagrama polar de
1 + jωT
Si:
2 2 1
G( jω) 1 jωT ω T tg − ωT
= + = 1+ (56)
Para ω = 0 : G( j 0) = 1 0º
(57)
Para
ω = ∞ : G( j∞ ) =∞ 90º
(58)
5.3- Factores Cuadráticos
2
⎡ ⎛ ω ⎞ ⎛ jω
⎞ ⎤
⎢1
+ 2δ
j
⎜
⎟ +
⎜
⎟ ⎥
⎢⎣
⎝ ωn
⎠ ⎝ ωn
⎠ ⎥⎦
Las porciones de alta y baja frecuencia del diagrama polar de la función
de transferencia senoidal siguiente:
± 1
- 21 -

Respuesta en Frecuencia de Sistemas Lineales
Control I
1
G( jω) = δ > 0
2
⎛ ω ⎞ ⎛ ω ⎞
1+ 2δ
⎜ j ⎟+
⎜ j ⎟
⎝ ωn
⎠ ⎝ ωn
⎠
Están dadas respectivamente por:
(59)
lim G( jω) = 1 0º y lim G( jω) = 0 − 180º
ω→0
ω→∞
El diagrama polar de esta función de transferencia senoidal comienza en
1 0º y finaliza en 0 180º − al aumentar ω desde cero a infinito.
Así, la porción alta frecuencia de G( jω ) es tangente al eje real negativo.
Figura 15.
Los valores de G( jω ) en el rango de frecuencias de interés pueden ser
catalogados directamente.
En la figura 15, hay ejemplos de diagramas polares de la función de transferencia
recién analizada. La forma exacta de un diagrama polar depende del
valor de la relación de amortiguamiento δ , pues la forma general es la
misma, tanto para el caso subamortiguado ( 0< δ < 1) como para el caso
sobreamortiguado ( δ > 1).
Para el caso subamortiguado en ω = ωn
se tiene G( jω)
= 1
j2δ
y el ángulo de
fase es - 90°. Por tanto, se puede ver que la frecuencia a la cual el lugar
G( jω ) intersecta al eje imaginario es la frecuencia natural no amortigua da
ω
n
. En el diagrama polar, el punto de frecuencia cuya distancia desde el
- 22 -

Respuesta en Frecuencia de Sistemas Lineales
Control I
origen es máxima, corresponde a la frecuencia de resonancia ω
r
. Se obtiene
el valor pico de G( jω ) como la relación entre el módulo del vector a la
frecuencia de resonancia y el módulo del vector en ω = 0 . Se indica la
frecuencia de resonancia en el diagrama polar como puede verse en la
figura 16.
Figura 16: Diagrama polar que muestra el pico de resonancia y la frecuencia de resonancia
ω
Para el caso sobreamortiguado, cuando δ es bastante mayor que la unidad
el lugar de G( jω ) se aproxima a una semicircunferencia. Se puede ver esto
del hecho de que para un sistema fuertemente amortiguado, las raíces
características son reales y es una mucho más pequeña que la otra. Como
para un valor de δ suficientemente grande el efecto de la raíz más grande
en la respuesta se hace muy pequeña, el sistema se comporta como un
sistema de primer orden.
Para la función de transferencia senoidal:
r
⎛ ω ⎞ ⎛ ω ⎞
G( jω) = 1+ 2δ
⎜ j ⎟+
⎜ j ⎟
⎝ ωn
⎠ ⎝ ωn
⎠
2
⎛ ω ⎞ ⎛2δω
⎞
∴ G( jω) = ⎜1− j
2 ⎟+
⎜ ⎟
⎝ ωn
⎠ ⎝ ωn
⎠
2
(60a)
(60b)
La porción de baja frecuencia de la curva es:
lim G( jω) = 1 0º
(61)
ω→0
- 23 -

Respuesta en Frecuencia de Sistemas Lineales
Control I
Y la porción de alta frecuencia es:
lim G( jω) =∞ 180º
(62)
ω→∞
Como la parte imaginaria de G( jω ) es positiva para ω > 0 y es
monótonamente creciente; la parte real de G( jω ) es monótonamente
decreciente desde la unidad, la forma general del diagrama polar de G( jω )
de la ecuación 60a es como puede verse en la figura 17.
El ángulo de fase está entre 0 o y 180°.
Figura 17: Diagrama polar de
⎛ ω ⎞ ⎛ ω ⎞
G( jω) = 1+ 2δ
⎜ j ⎟+
⎜ j ⎟
⎝ ωn
⎠ ⎝ ωn
⎠
2
Ejemplo 1: Sea la siguiente función de transferencia de segundo orden:
1
Gs () =
sTs
( + 1)
Trazar un diagrama polar para esta función de transferencia.
En primer lugar se escribe la función de transferencia senoidal:
1 T
1
G( jω)
= =− − j
( jω) jωT 1 1 ω T ω 1 ω T
2 2 2 2
( + ) + ( + )
El tramo de baja frecuencia de la curva es:
lim G( jω) =−T − j∞=∞ − 90º
ω→0
El tramo de alta frecuencia de la curva es:
lim G( jω) = 0 − j0 = 0 − 180º
ω→∞
- 24 -

Respuesta en Frecuencia de Sistemas Lineales
Control I
En la figura 18 se muestra la forma general del diagrama polar G( jω ).El
diagrama de G( jω ) es asintótico a la recta vertical que pasa por el punto (-
T, 0). Como esta función de transferencia involucra integración ( 1 s
), la
forma del diagrama polar difiere sustancialmente de las funciones de
transferencia que no tienen integración.
5.4- Retardo De Transporte.
Figura 18.
Algunos elementos en los sistemas de control se caracterizan por su tiempo
muerto o retraso de transporte, durante el cual no dan salida a la señal de
entrada que se les haya aplicado; hay un periodo muerto de inactividad que
demora la transmisión de la señal recibida. La figura 19 muestra el
diagrama de bloques del elemento demorador.
Figura 19.
La figura 20 indica la salida ct () = rt ( −T). ut ( − T)
que tiene la misma forma
que la entrada, pero demora un tiempo T. La demora es una característica
no lineal que, afortunadamente, puede ser representada por su
transformada de Laplace. Así:
Cs () −st
Gs () = = e
(63)
Rs ()
- 25 -

Respuesta en Frecuencia de Sistemas Lineales
Control I
Figura 20.
− j T
∴ G( jω)
= e ω
(64)
Puede ser escrito:
G( jω) = 1 cosωT − jsenωT
(65)
Como el módulo G( jω ) es simple la unidad y el ángulo de fase varía
linealmente con ω , el diagrama polar del retardo de transporte es un círculo
de radio unitario, como puede verse en la figura 21.
Figura 21: Diagrama polar del retardo de transporte.
- 26 -

Respuesta en Frecuencia de Sistemas Lineales
Control I
A frecuencias bajas, el retardo de transporte
− j T y el retardo de primer
orden 1(1 + jωT
) se comportan en forma similar, lo que puede verse en la
figura 22.
e ω
Figura 22: Diagramas polares de
j T
e ω
− y 1 (1 + jωT
)
j T
e ω
Los diagramas polares de
− y 1 (1 + jωT
) son tangentes entre sí en ω = 0 .
Puede verse esto del hecho que para ω 1 T :
− jωT
1
e = 1− jωT
y 1 jωT
1+
jω
T
= −
Sin embargo, para ω 1 T ; hay una diferencia esencial entre
1(1 + jωT
) como puede verse también en la figura 22.
j T
e − ω
Ejemplo 2: Obtener el diagrama polar de la siguiente función de
transferencia
− jωL
e
G( jω)
=
1 + jωT
Se puede escribir:
− jωL⎛ 1 ⎞
G( jω)
= e ⎜ ⎟
⎝1+
jωT
⎠
y
- 27 -

Respuesta en Frecuencia de Sistemas Lineales
Control I
El módulo y el ángulo de fase son respectivamente:
− jωL
1 1
G( jω) = e . = 1 + jωT
1+
ω T
2 2
Y
1
( ) j ωL
G jω e −
−
= + 11+ jωT = ωL−
tg ωT
Figura 23.
Como el módulo disminuye desde la unidad en forma monótona y el ángulo
de fase también disminuye monótona e indefinidamente, el diagrama polar
de la función de transferencia dada es una espiral, como puede verse en la
figura 23.
5.5- Formas Generales De Los Diagramas Polares
Los diagramas polares de una función de transferencia de la forma
G( jω)
=
G
K( + jωTa)( + jωTb)
( jω) λ
( + jωT )( + jωT
)
1 1 .....
1 1 ....
1 2
m
m−1
( jω) + b1
( jω)
+
n
n
( jω) + a ( jω) + ...
(66)
0
....
) = b
jω (67)
a
−
(
1
0
1
Donde el grado del polinomio denominador es mayor que el del
denominador, tendrá las siguientes formas generales:
- 28 -

Respuesta en Frecuencia de Sistemas Lineales
Control I
1 - Para λ = 0 o sistemas de tipo 0: el punto de iniciación del diagrama
polar (que corresponde a ω = 0 ) es finito y está sobre el eje positivo real.
La tangente al diagrama polar en ω = 0 es perpendicular al eje real. El punto
terminal que corresponde a ω =∞, está en el origen y la curva converge al
origen y es tangente a uno de los ejes.
2 - Para λ = 1 o sistemas tipo 1: el término jω en el denominador
contribuye -90° al ángulo de fase total de G( jω ) para 0 ≤ ω ≤∞. En ω = 0 , el
módulo de G( jω ) es infinito y el ángulo de fase es -90°. A frecuencias bajas,
el diagrama polar es asintótico a una línea paralela al eje imaginario
negativo. En ω =∞, el módulo se hace cero y la curva converge al origen y
es tangente a uno de los ejes.
3 - Para λ = 2 o sistemas tipo 2: el término jω en el denominador
contribuye -180° al ángulo de fase total de G( jω ) para 0 ≤ ω ≤∞. En ω = 0 , la
amplitud de G( jω ) es infinita y el ángulo de fase es igual a -180°. En bajas
frecuencias, el diagrama polar es asintótico a una línea recta paralela al eje
real negativo. En ω =∞, el módulo se hace cero y la curva es tangente a uno
de los ejes.
En la figura 24, se ven las formas generales de las porciones de baja
frecuencia de los diagramas polares de los sistemas tipo 0, tipo 1 y tipo 2.
Se puede ver que si el arado del polinomio denominador de G( jω ) es mayor
que el del numerador, los lugares de G( jω ) convergen al origen en sentido
horario. En ω =∞, los lugares son tangentes a uno u otro de los ejes, como
se ve en la figura 25.
Figura 24: Diagramas polares de sistemas tipo 0, tipo 1 y tipo 2.
- 29 -

Respuesta en Frecuencia de Sistemas Lineales
Control I
Para el caso en que los grados del polinomio numerador y denominador de
G( jω ) son iguales, el diagrama polar comienza a una distancia finita sobre el
eje real y finaliza en un punto sobre el eje real.
Figura 25: Diagramas polares de funciones de transferencia con dinámica de numerador.
Se hace notar que cualquier forma complicada de las curvas de los
diagramas polares es causada por la dinámica del numerador, es decir, por
las constantes de tiempo del numerador de la función de transferencia. En
la figura 26 se ven ejemplos de diagramas polares de funciones de
transferencia con dinámica de numerador.
Figura 26: Diagramas polares de funciones de transferencia con dinámica de numerador.
- 30 -

Respuesta en Frecuencia de Sistemas Lineales
Control I
Al analizar sistemas de control, hay que determinar con exactitud el
diagrama polar de G( jω ) en el rango de frecuencias de interés.
En la tabla 1 se adjuntan distintos diagramas polares para diversas funciones
de transferencia.
- 31 -

Respuesta en Frecuencia de Sistemas Lineales
Control I
Factor
Lugar Polar de la Respuesta
a
1
1+
Ts
b 1+
Ts
c
1
Ts , 1
2 2
T s
d Ts ,
2 2
T s
1
e ( 1+
Ts) 2
como g, con δ = 1
1
f ( 1+ Ts)( 1+
Ts)
1 2
como g, con δ > 1
g
1
1+ 2Ts
+ T s
1
T =
ω
n
2 2
Tabla 1.
- 32 -

Respuesta en Frecuencia de Sistemas Lineales
Control I
5.6 - El Efecto De Factores ( 1 + Ts)
En El Numerador De La Función De
Transferencia.
La curva polar de la respuesta de frecuencia de una función de transferencia
como la de la figura 27, está situada totalmente en el cuarto cuadrante, con
un atraso de fase que se aproxima a 90° con frecuencias de entrada muy
elevadas.
Figura 27: Representación polar de
K
1+ Ts
La gráfica para un simple sistema de segundo orden, figura 28, ocupa el tercero
y cuarto cuadrante, con un ángulo de fase que se aproxima a -180°
para frecuencias de entrada muy elevadas.
Figura 28: Representación polar de un sistema de segundo orden.
El lugar de la respuesta a la frecuencia de un sistema simple de tercer orden
cuya función de transferencia sea:
C(
s)
R(
s)
1
= H ( s)
=
(68)
( 1+
T s)( 1+
T s)( + T s)
1 2
1
3
O
- 33 -

Respuesta en Frecuencia de Sistemas Lineales
Control I
C(
s)
R(
s)
1
= H ( s)
=
(69)
2 2
( 1+
T s)( 1+
T s + T s )
1
2
2
2
Ocuparía el segundo, tercero y cuarto con un ángulo de atraso que se
aproxima a -270° para frecuencias de entrada muy elevadas como se ilustra
en la figura 29a.
Figura 29.
Esto indica que cada factor ( 1 + Ts)
en el denominador de la función de transferencia
contribuye con un atraso de fase que se aproxima a 90° para altas
frecuencias, llevando a la gráfica a ocupar un cuadrante adicional en el
sentido horario.
Se vio que un factor ( 1 + Ts)
en el numerador, expresado en forma polar,
tiene un ángulo de fase positivo asociado a él, por ejemplo:
C(
s)
C(
jω)
= 1+
Ts ⇒ = 1+
R(
s)
R(
jω)
jωT
Que tiene una relación de magnitud y fase:
M ( jω ) + T
(70)
2 2
= 1 ω
(71)
−1
φ(
ω)
= tg ωT
(72)
Y por lo tanto su característica de frecuencia ocupa el primer cuadrante del
gráfico polar, como se ve en la figura 29b.
La fase positiva de un factor ( 1 + Ts)
es llamada fase de adelanto, y se
aproxima a 90° para altas frecuencias.
La adición de un factor de adelanto de fase ( 1 + Ts)
a una función de
transferencia conteniendo factores de atraso de fase, afecta la relación de
magnitud de la misma, y más significativamente, la fase.
- 34 -

Respuesta en Frecuencia de Sistemas Lineales
Control I
El efecto es disminuir el atraso de fase debido a los factores en el
denominador. Esta acción puede ser ilustrada considerando la función de
transferencia:
( 1+
T1
s)
( 1+
T s)( 1+
T s)
C(
s)
G(
s)
= =
(73)
KR(
s)
2
3
Si el factor ( 1+ T 1
s)
no figurara, el lugar de la respuesta de frecuencia
ocuparía el tercer y cuarto cuadrante. La adición de ( 1+ T 1
s)
en el numerador
cambia la relación de magnitud, y reduce la fase para una frecuencia
particular ω de acuerdo a:
φ( ω)
= φ1(
ω)
− φ2
( ω)
− φ3(
ω)
Donde:
φ ( ω)
= tg
1
φ ( ω)
= tg
2
φ ( ω)
= tg
3
−1
ωT
−1
−1
1
ωT
ωT
2
31
Por lo que el factor en el numerador tiende a restringir el lugar al cuarto
cuadrante solamente. Los valores relativos de T 1
, T
2
y T 3
dictan si el lugar
está totalmente confinado al cuarto cuadrante, o si se extiende en el primer
y/o tercer cuadrante. En el caso límite, cuando T
1
= T2
o T 3
, la función de
transferencia se reduce a la forma:
C(
s)
1
G( s)
= =
(74)
KR(
s)
( 1+
Ts)
La cual ocupa solamente el cuarto cuadrante.
Cada factor en el numerador de la función de transferencia actúan
compensando (o contrarrestando) un factor similar en el denominador, y
por lo tanto actúa para restringir el lugar de la respuesta de frecuencia polar
a un cuadrante menor que es indicado por los factores en el denominador.
Ejemplo 3: Un sistema tiene la función de transferencia:
K( 1+
T1s
)
( 1+
T s)( 1+
T s)
C(
s)
= (75)
R(
s)
2
3
- 35 -

Respuesta en Frecuencia de Sistemas Lineales
Control I
Donde:
K = 20
T = 0.1 seg
T
T
1
2
3
= 0.2 seg
= 0.04 seg
Establecer la característica de respuesta del sistema en forma polar.
Para el análisis de respuesta de frecuencia de estado estacionario, s es
reemplazado por j ω , por lo tanto:
C(
jω)
R(
jω)
20( 1+
jωT1
)
( 1+
jωT
)( 1+
jωT
)
= (76)
2
3
La cual es una relación de números complejos (vectores) de la forma
donde:
P Q R ,
P = 1+
Q = 1+
R = 1+
jωT
1
jωT
jωT
2
3
En notación polar, la magnitud y ángulo de cada uno es:
P =
Q =
R =
1+
ω T
2 2
1
2
1+
ω T
2
1+
ω T
2
2
2
3
,
,
,
tg
tg
tg
−1
−1
−1
ωT
1
ωT
ωT
2
3
Y la relación de magnitud es:
2 2
20( 1+
ω T1
)
2 2
2 2
( 1+
ω T2
)( 1+
ω T3
)
C(
jω)
M ( ω)
= =
(77)
R(
jω)
Y la fase:
φ
−1
−1
−1
( ω)
tg ωT1
− tg ωT2
− tg ωT3
= (78)
Reemplazando T 1
, T 2
y T 3
por sus valores:
- 36 -

Respuesta en Frecuencia de Sistemas Lineales
Control I
2
20( 1+
0.01ω
)
2
2
( 1+
0.04ω
)( 1+
0.0016ω
)
C(
jω)
M ( ω)
= =
(79)
R(
jω)
−1 −1
−1
φ(
ω)
= tg 0.1ω
− tg 0.2ω
− tg 0. 04ω
(80)
Para varios valores de ω [ rad seg]
, se puede obtener la siguiente tabla:
ω 0 1 2 5 10 15 20 30 40 50 100 ∞
M 20 19.7 18,4 15,5 11,6 9,75 8,6 6,7 5,42 4,54 2,4 0
φ 0 -8,2 -15,2 -30 -40 -46 -51 -59,5 -65 -69 -76 -90
Tabla 2.
La figura 30 muestra la representación polar de la función de transferencia
propuesta.
Figura 30: Representación polar de
20( 1+
jωT1
)
( 1+
jωT
)( 1+
jωT
)
2
3
5.7 - El Efecto De Los Ceros Y Polos En El Origen En La Función De
Transferencia.
Una función de transferencia puede contener factores de la forma:
1 1 ;
2
Ts Ts
etc. O bien Ts ;
2
Ts ; etc.
Tales factores aparecerán frecuentemente en los modelos matemáticos de
los sistemas de control a estudiar, y se los conoce con el nombre de ceros y
polos en el origen de la función de transferencia.
Si se considera el polo simple en el origen:
- 37 -

Respuesta en Frecuencia de Sistemas Lineales
Control I
1
G( s)
=
Ts
Para el análisis de respuesta en frecuencia:
1
G( jω)
= (81)
jωT
Donde, en forma polar:
1 1
G(
jω)
= =
(82)
2 2
1+
ω T ωT
−1
ωT
−1
ωT
−1
φ = 0 − tg = −tg
= −tg
∞ = −90º
(83)
0 0
Lo que indica que produce un atraso de 90° para todas las frecuencias, por
lo tanto la respuesta de frecuencia está sobre el eje de los 270° = - 90 o
Además para,
G ( jω)
= ∞ y para ω = ∞ , G ( jω)
= 0
El lugar del polo simple es mostrado en la figura 31a.
2 2
Se puede demostrar en forma similar que el polo doble en el origen ( 1 s T )
tiene lugar de la respuesta de frecuencia polar que comienza en ∞ para
ω = 0 sobre el eje de 180° = - 180° y prosigue a lo largo de este eje hacia el
origen cuando ω tiende a aumentar, alcanzando el mismo para ω = ∞ , el
lugar del polo doble en el origen está mostrado en la gráfica 31 b.
Figura 31: a) Gráfica polar de
1 sT , b) Gráfica polar de
2 2
1 s T
- 38 -

Respuesta en Frecuencia de Sistemas Lineales
Control I
Cuando se tiene un cero simple en el origen Ts , la representación
frecuencial es un fasor complejo con parte real e igual a cero, y por lo tanto
el lugar está a lo largo del eje imaginario.
G( s)
= Ts ∴ G(
jω ) = jωT
(84)
2 2
G( jω ) = ω T = ωT
(85)
−1
−1
φ ( ω)
= tg ωT = tg ∞ = + 90º
(86)
0
La fase será entonces + 90° para cualquier valor de ω . Además para ω = 0 ,
G ( j0)
= 0 y para ω = ∞ , G ( j∞) = ∞ , tal gráfica se muestra en la figura 32.
5.8 - Trazados Polares Inversos.
Figura 32: Gráfica polar de Ts
Los trazados polares vistos anteriormente se los conoce con el nombre de
traza dos polares directos. Los trazados polares directos tienen ciertas
desventajas en sistemas que tienen elementos diversos en el lazo de
realimentación, dejando de ser ésta unitaria. En estos casos se ha
encontrado que es mucho más sencillo para el análisis gráfico el empleo de
trazados polares inversos que presentan ciertas ventajas. Este trazado se
obtiene representando el fasor de:
G
( jω)
= (87)
G( jω)
−1 1
En función de la frecuencia.
- 39 -

Respuesta en Frecuencia de Sistemas Lineales
Control I
6 - Gráficos Rectangulares.
6.1 - Introducción.
Los resultados obtenidos al realizar el análisis frecuencial, pueden ser
graficados en coordenadas rectangulares. La relación de magnitud M ( ω ) y
el ángulo de fase φ( ω ) se grafican contra la frecuencia. Es normal y
conveniente hacer los gráficos contra
10
log ω
En el caso de los ángulos de fase φ( ω ) se usa una escala lineal, de modo
que la gráfica de φ( ω ) contra ω se hace en papel semilogarítmico. En el
caso de la relación ce magnitud M ( ω ) puede graficarse de dos formas: se
puede tomar log M ( ω ), en cuyo caso la gráfica de M ( ω ) contra ω se hace
en papel log-log; o puede expresarse M ( ω ) en decibeles, una unidad
logarítmica, y graficarse sobre una escala lineal (o sea, sobre papel
semilogarítmico).
El caso más común de gráfica rectangular es la que emplea M ( ω ) en
decibeles, porque permite graficar en la misma hoja tanto M ( ω ) y φ( ω )
contra log ω ; esta gráfica es conocida con el nombre de diagrama de Bode
10
y se estudiara en el próximo apartado.
Se definirá ahora, ya que será de uso permanente en todo el estudio que
se realizará, la unidad logarítmica conocida como decibel.
El uso del término decibel, se debe a que la relación de magnitud fue
empleada en principio como ganancia en los amplificadores electrónicos, los
cuales tuvieron sus primeras aplicaciones en la amplificación de señales
eléctricas para su conversión en sonidos audibles„ El oído humano responde
a los estímulos en una escala logarítmica.
Si M es una magnitud y m es dicha magnitud en decídeles (dB), entonces:
m
= 20log M
10
[ m]
= dB
10
Ejemplos:
M=1⇒
m=20log 1= 20(0)= 0 dB
M=10 ⇒ m=20log 10=20 (l)= 20 dB
M=100 ⇒ m=20log 100=20(2)= 40 dB
M=0.1 ⇒ m=20log 0.1=20(- l)= -20 dB
M=0.2 ⇒ m=20log 0.2=20(-0,099) = -13,98 dB
La conversión de magnitud a dB se facilita por el uso de gráficos y tablas.
En la figura 33 se muestra un gráfico que permite convertir números en
decídeles.
- 40 -

Respuesta en Frecuencia de Sistemas Lineales
Control I
Se puede hacer notar que dado un número, el recíproco tiene el mismo
número de decibeles pero con el signo opuesto. Así el valor en decídeles de
2 es +6 dB y el de 0,5 será de —6 dB.
Cuando un número se duplica, su valor en decibeles aumenta en 6 dB. El
número 2 es el doble de 1, y su valor logarítmico es 6 decibeles mayor. El
número 200 es el doble de 100, y su expresión logarítmica 6 dB mayor.
Cuando un número hace 10 veces mayor su expresión logarítmica aumenta
en 20 dB. El número 100 es diez veces mayor que 10 y su expresión
logarítmica es 20 dB mayor que la de 10. El número 200 es cien veces
mayor que 2, su expresión loga rítmica es 40 dB mayor.
20
10
Decibeles, dB
0
-10
-20
-30
-40
10 -2 10 -1 10 0 10 1
Números
Figura 33: Recta de conversión números-decibeles.
- 41 -

Respuesta en Frecuencia de Sistemas Lineales
Control I
6.2 - Diagrama de Bode.
El análisis y la predicción del comportamiento dinámico de sistemas
estudiando su respuesta a la frecuencia puede llevarse a cabo usando
gráficas en coordenadas rectangulares, aparte de las gráficas polares ya
estudiadas. Otra vez, las cantidades a estudiar son las relaciones de
magnitud y fase de la respuesta a la frecuencia de lazo cerrado (más
adelante, cuando se estudie el capitulo de estabilidad de componentes y
sistemas, se verá la utilidad de la representación frecuencial de la función
de transferencia de lazo abierto),
Un diagrama logarítmico o de Bode es una representación de respuesta a la
frecuencia que consta de dos gráficos: uno que da la amplitud en función de
la frecuencia (diagrama de atenuación de Bode) y otro el ángulo de fase en
función de la frecuencia. El trazado del diagrama de atenuación se realiza en
papel semilogarítmico, colocando en ordenadas el módulo de la amplitud de
la función de transferencia a representar en decibeles y en abscisas el
logaritmo de la frecuencia. El trazado del diagrama de fase se realiza
también en papel semilogarítmico colocando en la ordenada la fase de la
función de transferencia a representar en grados y en abscisas el logaritmo
de la frecuencia.
La ventaja principal de usar el diagrama de Bode en lugar de la gráfica en
coordenadas polares radica en la mayor facilidad de la construcción de las
gráficas. Los sistemas de control están compuestos, a menudo, por
componentes que son aproximados por bloques que tienen funciones de
transferencia formadas por constantes, K , integraciones, 1 s ,
diferenciaciones, s , constantes de tiempo, ( ) 1
2
2 ±
( s 2δω
+ ω ) 1
±
1± Ts , y factores cuadráticos,
+ ns
n
. El diagrama de Bode permite la superposición sistemática
de los efectos de los diferentes elementos tomados individualmente.
Además, los diagramas de atenuación de Bode y las gráficas del ángulo de
fase pueden obtenerse a partir del análisis experimental de la frecuencia de
los componentes para los que no se conocen las funciones de transferencia
reales. Las gráficas pueden usarse para establecer las relaciones de
transferencia reales de s .
Es también útil la representación logarítmica de Bode, porque presenta las
características de alta y baja frecuencia de la función de transferencia en un
solo diagrama. Es muy ventajoso el poder expandir el rango de bajas
frecuencias utilizando una escala logarítmica de frecuencias, ya que a
frecuencias bajas son muy importante las características de los sistemas
utilizados (debido al uso de escala de frecuencia logarítmica es imposible
trazar las curvas de hasta frecuencia cero; sin embargo esto no crea un
problema importante).
Se verá a continuación los conceptos teóricos de diagrama de Bode,
incluyendo su construcción, además del análisis experimental de la
respuesta frecuencial. En el próximo capítulo, cuando se estudien los
conceptos de estabilidad de sistemas y componentes, se estudiará el uso en
el análisis de estabilidad a los diagramas de Bode.
- 42 -

Respuesta en Frecuencia de Sistemas Lineales
Control I
6.3- Conceptos Básicos Sobre los Diagramas de Atenuación de Bode.
La ventaja de los trazados logarítmicos es que las operaciones de
multiplicación y división se convierten en otras de suma o resta y que el
trabajo para obtener la representación frecuencial es más bien gráfica que
analítica. Los factores básicos que usualmente aparecen en las funciones de
transferencia pueden ser aproximados por asuntotas, para una primer
estimación y luego se traza la curva exacta para una mayor exactitud.
Como ya se ha visto anteriormente, la función de transferencia de un
sistema resultante de reemplazar s por j ω es, en general, un número
complejo.
El logaritmo neperiano, base e, de un número complejo es, a su vez, otro
número complejo:
ln
ln
jφ
( ω)
jφ
( ω)
[ M ( jω)
e ] ln M ( jω)
+ ln e
= (88)
jφ
( ω)
[ M ( jω)
e ] ln M ( jω)
+ jφ(
ω)
= (89)
El logaritmo del número complejo
( ω)
ω)
e
jφ
M ( j tiene una parte real igual al
logaritmo neperiano de la magnitud ln M ( jω)
y una parte imaginaria igual
al ángulo j φ(ω)
expresado en radianes. Ambos componentes son función de
la frecuencia ω .
De igual forma, el logaritmo decimal, base 10, de un número complejo es
también otro número complejo:
log
log
jφ
( ω)
jφ
( ω)
[ M ( jω)
e ] log M ( jω)
+ log e
= (90)
jφ
( ω)
[ M ( jω)
e ] log M ( jω)
+ j0.434φ
( ω)
= (91)
Como podía preverse, la parte real es igual al logaritmo decimal de la
magnitud, log M ( jω)
, y la parte imaginaria es 0.434φ
( ω)
, empleándose en el
resto de este estudio solamente la parte proporcional igual a φ (ω)
omitiéndose, por tanto, el factor 0,434.
También se puede llegar a igual conclusión siguiendo la teoría de la variable
compleja que establece que el logaritmo de un número complejo es otro
número complejo.
Si es: M ( jω)
= α(
ω)
+ jβ
( ω)
(92)
Será entonces:
[ φ(
ω)
π n]
log M ( jω)
= log R(
ω)
+ j + 2
(93)
Para n=1, 2,…
Y donde:
- 43 -

Respuesta en Frecuencia de Sistemas Lineales
Control I
2
2
R ( ω ) = α ( ω)
+ β ( ω)
y
φ(
ω)
= tg
−1
β ( ω)
α(
ω)
El ángulo 2 π n esta presente debido a la existencia de posibilidades de tener
el vector en el mismo lugar sobre el plano complejo.
Nuevamente, el logaritmo de M ( jω)
está compuesto por dos funciones de
ω , la parte real: log R ( ω)
y la parte imaginaria: φ (ω)
en contra del logaritmo
de ω .
Si se admite que una forma general de expresar la función de transferencia
de un sistema controlado es la siguiente relación de valores reales y
complejos:
N1(
jω)
N
2
( jω)
M ( jω)
= K
(94)
D ( jω)
D ( jω)
1
2
Entonces ahora siguiendo los axiomas de logaritmos:
log M ( jω)
= log K + log N1(
jω)
+ log N
2
( jω)
− log D1
( jω)
− log D2
( jω)
(95)
log M ( jω)
= log K + log N
−
log M ( jω)
= log K + log N
+
( jω)
+ φ ( jω)
+ log N
( jω)
+ φ
1
2
[ log D ( jω)
+ φ ( jω)
+ log D ( jω)
+ φ ( jω)
]
j
1
1
D
1
[ φ ( jω)
+ φ ( jω)
− φ ( jω)
−φ
( jω)
]
N
1
1
N
( jω)
+ log
N
2
1
2
2
2
2
D
1
2
N
( jω)
−
N ( jω)
− log D ( jω)
− log D
D
D
2
( jω)
(96)
(97)
Como se sabe la suma de varios números complejos es otro número
complejo donde la parte real es la suma de todas las partes reales de los
complejos sumados y la parte imaginaria la suma de las partes imaginarias
de los complejos sumados.
Esta relación se puede usar ahora para obtener las dos gráficas completas
que representan el log M ( jω)
. Estas Gráficas serán:
log M ( jω)
= log K + log N1(
jω)
+ log N
2
( jω)
− log D1
( jω)
− log D2
( jω)
(98)
Y
φ ω)
= φ ( jω)
+ φ ( jω)
−φ
( jω)
− φ ( j )
(99)
( N1 N
ω
2
D1
D 2
La unidad comúnmente empleada en el estudio de sistemas realimentados
para el logaritmo del módulo es el decibel. Por lo que la ecuación 98 se
puede expresar en decibeles multiplicando ambos miembros por 20:
- 44 -

Respuesta en Frecuencia de Sistemas Lineales
Control I
20log M ( jω)
= 20log K + 20log N
− 20log D ( jω)
− 20log D
1
1
( jω)
+ 20log
2
( jω)
N ( jω)
2
(100)
Las gráficas de las ecuaciones 99 y 100, son los diagramas de Bode.
Como puede observarse ahora se evidencia la sencillez de graficar un
diagrama de atenuación de Bode. Las operaciones de multiplicación y
división se han convertido en adición y sustracción. El procedimiento es
calcular, o buscar en gráficas o tablas, los valores en decibeles para cada
uno de los factores de M ( jω)
, para valores específicos de ω y combinarlos
algebraicamente.
Como ya se había visto, hay varias maneras de graficar el logaritmo de
M ( jω)
. Se adoptará el método siguiente de ahora en más: se graficará el
log M ( jω)
expresado en decibeles contra ω en papel semilogarítmico. La
ordenada será entonces 20log
M ( jω)
graficada en divisiones uniformemente
espaciadas, mientras que la abscisa es ω , graficada en una escala
proporcional al logaritmo. El número de ciclos logarítmicos necesarios en la
abscisa se determinará por el rango de frecuencia sobre el cual se va a
investigar el sistema. La parte imaginaria φ (ω)
se graficará también en
papel semilogarítmico, colocando en ordenadas φ (ω)
en grados y en la
abscisa ω en una escala proporcional al logaritmo.
Es conveniente mencionar en este apartado que hay dos unidades para
expresar bandas de frecuencias o cocientes de frecuencias: la octava y la
década.
Una octava es una banda de frecuencias de ω
1
a
2
ω , en la que ω ω 2. Así
2 1
=
la banda de frecuencias entre 1 a 2 c/s es una octava de ancha, y la banda
de 2 a 4 c/s tiene también una octava de ancha, lo mismo ocurre en la
banda de 17.4 a 34,8 c/s. Nótese que una octava no corresponde a un
ancho de banda fijo sino que depende del margen de frecuencias
considerado. El número de octavas en un margen de frecuencias, desde ω
1
a ω
2
viene dado por:
Figura 34.
( logω
− ω )
n (101)
= númerodeoctavas = logω2 − logω1
= n
j
log
n = número deoctavas = logω 2
− logω1
= n log 2
(102)
1
- 45 -

Respuesta en Frecuencia de Sistemas Lineales
Control I
Por lo que:
n =
⎛ ω2 ⎞
log
⎜ ⎟ ⎝ ω1
⎠
log 2
octavas
(103)
⎛ ω2
n
⎟ ⎞
= 3.32 log
⎜
⎝ ω1
⎠
octavas
(104)
Una década es una banda de frecuencia desde ω
1
a 10 ω
1
. Donde
nuevamente ω
1
es cualquier frecuencia. La banda de frecuencias de 1 a 10
c/s o de 2,5 a 25 c/s tiene un ancho de banda de una década, el número de
décadas entre dos frecuencias ω
1
y ω
2
se calcula del siguiente modo:
Figura 35.
n
( logω
− ω )
= número de décadas = logω2 − logω1
= n
j
log
n = número de décadas = logω
− logω1
=
2
n
log10
1
∴
⎛ ω ⎞
n = log ⎜ 2
⎟
⎝ ω
1 ⎠
décadas
(105)
Se puede ahora obtener la relación entre octavas y décadas entre dos
frecuencias de las ecuaciones 104 y 105.
⎛ ω
2
⎞
n º de octavas = 3.32 log
⎜
⎟
⎝ ω1
⎠
⎛ ω2
⎞
n º de décadas = log
⎜
⎟
⎝ ω1
⎠
O sea:
número de octavas = 3,32 número de décadas (106)
- 46 -

Respuesta en Frecuencia de Sistemas Lineales
Control I
Estas relaciones entre frecuencias serán usadas más adelante, cuando se
dibujen los diagramas de Bode aproximados por asíntotas.
Ejemplo 4: Trazar el-diagrama de Bode para la función de transferencia de
lazo abierto del sistema de la figura 36.
Figura 36.
La función de transferencia de lazo abierto es:
B(
s)
100
= = G(
s)
ya que se ve en la figura que H ( s)
= 1
E(
s)
s
( s + 10)
Para realizar el anáisis frecuencial se reemplaza s por j ω :
G ( jω)
=
100
jω
( jω
+ 10)
El siguiente paso es normalizar esta función de transferencia, lo que se
obtiene dividiendo por 10 el numerador y denominador.
G(
jω)
=
jω
10
( 1 + 0.1 jω)
Entonces será:
( 0.1 ) 2
20 log G ( jω ) = 20 log10 − 20 logω
− 20 log 1 + ω
π
φ( ω)
= 0 − − arc tg 0. 1ω
2
Que son las expresiones de la parte real e imaginaria del logaritmo de la
ecuación 97.
En la siguiente tabla se obtienen valores para el logaritmo del módulo en dB
y la fase de las ecuaciones 98 y 99 para varios valores de ω .
- 47 -

Respuesta en Frecuencia de Sistemas Lineales
Control I
ω
20 log G ( jω ) dB
φ (ω) grados
1 20 - 0 – 0 = 20 - 90 -5.7 = -95.7
5 20 - 13,98 - 1 = 5,02 -90 -26.6 = -116.6
10 20 - 20 - 3 = - 3 -90 -45 = -135
20 20 - 26 - 7 = - 13 -90 -63.4 = -157.4
50 20 - 34 – 14 = - 28 -90 -78.7 = -168.7
Tabla 3
Los diagramas de atenuación y de ángulo de fase se dan el la figura 37. La
ordenada de la izquierda está en dB para la gráfica de atenuación y la
ordenada de la derecha está en grados. El eje de 0 dB coincide con el de
fase de -180º.
Figura 37.
- 48 -

Respuesta en Frecuencia de Sistemas Lineales
Control I
6.4- Trazado Asintótico De Los Diagramas Logarítmicos De La
Magnitud Y Fase. Simplificaciones Al Establecer Los Diagramas De
Bode.
Las funciones de transferencia frecuenciales pueden ponerse en forma
generalizada como el cociente de dos polinomios:
( 1 + jωT
)( 1 + jωT
)
K
1
2
...
M ( jω)
= = K M´(
jω)
(107)
⎛
n
⎛ 2δ
⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎞
2
( jω) ( 1 + jωT
) ⎜
a
1 + jω
⎜ ⎟( jω)
⎟
⎜
2
ω
⎟ +
n ω
⎝ ⎝ ⎠ ⎝ n ⎠ ⎠
m
En el que K es la ganancia. Como se sabe, el logaritmo de esta función de
transferencia tendrá una parte real proporcional al logaritmo del módulo y
una parte imaginaria proporcional al ángulo.
20log M( jω) = 20log K + 20log 1+ jωT1 + m20log 1 + jωT2
+ ...
⎛2δ
⎞ ⎛ 1 ⎞ 2
(108)
.. −n20log jω− 20log 1+ jωTa
− 20log 1 + ⎜ ⎟ jω+ ⎜ 2 ⎟( jω)
−...
⎝ωn
⎠ ⎝ωn
⎠
M( jω) = K + 1+ jωT + m1 + jωT
+ ....
1 2
⎛2δ
⎞ ⎛ 1 ⎞ 2
−njω− 1+ jωTa
1+ jωTa
− 1 + ⎜ ⎟ jω+ ⎜ 2 ⎟( jω)
−...
⎝ωn
⎠ ⎝ωn
⎠
(109)
Las dos ecuaciones anteriores sugieren que el logaritmo de M ( jω)
podría
graficarse sobreponiendo las contribuciones de cada uno de los factores de
M ( jω ). El proceso de establecer los diagramas de atenuación y fase de
Bode, puede simplificarse y hacerse más rápido en virtud de que los
factores de la función de transferencia que se encuentran usualmente, sen
de la forma de los mostrados en la ecuación 107. El logaritmo de cada uno
de estos factores, cuando se grafican separadamente contra el logaritmo de
la frecuencia, presenta ciertas características: Con un conocimiento del
comportamiento de cada factor, es posible construir un diagrama de Bode
aproximado para una M ( jω ) dada trazando las curvas para cada factor y
sumando las curvas individuales gráficamente porque sumar logaritmo de
ganancias, corresponde a multiplicarlas entre sí.
Se puede simplificar aún más el proceso de obtener el diagrama logarítmico
utilizando aproximaciones asintóticas a las curvas de caca factor. Es posible,
como se verá, ajustar el diagrama asintótico para que de la gráfica real con
el uso de factores de corrección simples. El primer paso para simplificar el
trazo de los diagramas de Bode, es analizar el comportamiento de cada uno
de los factores intervinientes en la ecuación 107.
- 49 -

Respuesta en Frecuencia de Sistemas Lineales
Control I
6.4.1.- Diagrama De Bode De Una Constante K
La ganancia constante K puede pensarse como un número complejo con
parte imaginaria nula. La parte real puede ser un número positivo o
negativo que representa un vector de magnitud K y que se encuentra sobre
el eje real. Debido a que K es independiente de ω . El diagrama de
atenuación de Bode es una recta horizontal. El ángulo de fase es 0° si K es
positivo y -180 ° si K es negativo. Un número mayor que la unidad tendrá
un valor en decibeles mayor que cero, mientras que un número menor que
la unidad tendrá un valor negativo en decibeles.
El efecto de variar la ganancia K en la función de transferencia, es que sube
o baja la curva de logaritmo de magnitud de la función de transferencia en
el valor constante correspondiente, pero no tiene efecto en el ángulo de
fase.
La figura 38, muestra los diagramas de atenuación y fase para un valor de
K mayor que la unidad.
40
35
30
25
Amplitud, dB
20
K [dB]
15
10
5
0
10 0 10 1 10 2
Frecuencia, rad/s
- 50 -

Respuesta en Frecuencia de Sistemas Lineales
Control I
1
0.8
0.6
0.4
0.2
Fase, Grados
0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1
10 0 10 1 10 2
Frecuencia, rad/s
Figura 38: Diagrama de Bode para una constante K
6.4.2.- Diagrama De Bode De Factores Derivativos E Integral ( jω ) ± n
(ceros y polos en el origen)
Los diagramas de atenuación y ángulo de fase para un elemento
1
integrador ( jω)
− o un elemento diferenciador ( jω ) son rectos.
Se considerará en primer lugar el diagrama de atenuación en decibeles
contra el lazo ω .
Para una integración:
20log
1
=− 20logω
(110)
jω Y para una diferenciación:
20log
jω = 20logω
(111)
Corno se ve ambas ecuaciones son representaciones de rectas.
La pendiente de estas rectas se obtiene derivando las ecuaciones anteriores
respecto a logω , es decir:
∂ 20log
∂ logω
±
( jω
) 1
=±
20 dB
(112)
- 51 -

Respuesta en Frecuencia de Sistemas Lineales
Control I
Luego en coordenadas rectangulares, a un incremento unitario de logω le
corresponderá un incremento de ± 20 dB . Por otro lado un incremento
unitario de logω es equivalente a un cambio de 1 a 10, de 10 a 100, etc. en
la escala logarítmica. Luego la pendiente de estas rectas es ± 20 dB / década .
La figura 39 representa las pendientes de un factor integral y de un factor
derivativo.
40
30
| jω |
20
10
Amplitud, dB
0
-10
-20
| 1/jω |
-30
-40
10 -1 10 0 10 1 10 2
Frecuencia, rad/s
Figura 39: Diagrama de atenuación de factores integrativos y derivativos.
Si el orden del factor integrativo o derivativo es mayor que uno, entonces se
tendrá:
( jω
)
± n
20log =± 20nlogω
(113)
Que es también la ecuación de una recta cuya pendiente será:
∂ 20log
( jω
)
∂ logω
± n
=± n20
dB
(114)
O sea que la pendiente será de ± n 20 dB / década .
- 52 -

Respuesta en Frecuencia de Sistemas Lineales
Control I
En la figura 40 se muestran les diagramas de atenuación para factores
integrativos y derivativos ( jω ) ± n
hasta n igual a cuatro.
200
150
100
| jω 4 |
| jω 3 |
| jω 2 |
50
| jω |
Amplitud, dB
0
| 1/jω |
-50
| 1/(jω ) 2 |
-100
| 1/(jω) 3 |
-150
| 1/(jω ) 4 |
-200
10 -1 10 0 10 1 10 2
Frecuencia, rad/s
Figura 40: diagramas de atenuación para (
) n
jω ±
Se reduce del análisis anterior que se ha usado la década como relación de
frecuencias, pero se hubiere llegado a idéntico resultado si se hubiera usado
la octava como relación de frecuencia.
Si se supone que se quiere obtener la pendiente de una integración, ( ) 1
jω − ,
considerando que la frecuencia se dobla, o sea ω2 = 2ω1, entonces:
−20log ω −( − 20log ω ) =− 20log 2ω + 20logω
2 1 1 1
=−20log 2 − 20logω
+ 20logω
=−20log 2
1 1
− 20log 2 = 6.02 dB
(115)
O sea que la pendiente de la recta es -6.02 dB/octava.
Por lo que se puede deducir que para un factor integrativo, ( ) jω , se tendrá
una representación frecuencial que será una recta con una pendiente de:
- 53 -

Respuesta en Frecuencia de Sistemas Lineales
Control I
− 20 dB / década =− 6.02 dB / octava
Para factores integrativos o derivativos ( jω ±
rectas de pendientes:
) n
las representaciones serán
± 20 n dB / década =± 6.02 n dB / octava
Se deducirán ahora el valor de la fase para factores integrativos y derivativos.
Factor integrativo:
Factor derivativo:
1
−1ω
−1
⇒ φω ( ) =− tg =−tg
∞=− 90º
jω
0
(117)
−1 0 −1
jω
⇒ φ( ω) = tg =− tg 0=+ 90º
ω
(118)
Si el orden de los factores integrativos o derivativos es n, entonces:
Factor integrativo:
( jω
)
1
n
⇒ φω ( ) =− n90º
(119)
Factor derivativo: ( jω) φ( ω) n90º
n
⇒ =+ (120)
Por lo que se ve los factores integrativos o derivativos contribuyen con una
fase constante igual a ± n90º
como se puede ver en la figura 41.
Fase, Grados
360
270
180
90
0
-90
-180
-270
( jω ) 3
( jω ) 2
jω
1/( jω )
1/( jω ) 2
1/( jω ) 3
-360
10 -1 10 0 10 1 10 2
Frecuencia, rad/s
Figura 41: Ángulo de fase para factores (
jω ) ± n .
- 54 -

Respuesta en Frecuencia de Sistemas Lineales
Control I
1+
j T
ω ±
6.4.3.- Diagramas De Bode Para Factores De Primer Orden ( ) 1
Otro factor encontrado comúnmente en las expresiones de funciones de
transferencia, es la constante de tiempo conocida generalmente como
retardo simple ( 1+ jωT
) −1
o adelanto simple( 1+ jωT
) .
Se considerará en primer lugar la representación logarítmica del retarde
simple. La gráfica de atenuación se obtiene a partir de:
1 1
20log = 20log =− 20log 1+
( 1+ jωT) 1+
( ωT
)
2
( ωT
) 2
(121)
Y el ángulo de fase está dado por:
−1
φ( ω) =− tg ωT
(122)
Ahora el diagrama de Bode puede trazarse fácilmente usando las ecuaciones
anteriores, dándole valores a ω .
Es posible, sin embargo, obtener una aproximación asintótica de las curvas
de atenuación y de fase, observando el comportamiento de las ecuaciones
121 y 122 a varias frecuencias.
Le ecuación 121 se puede poner:
1
20log =− 20log 1+
ω T
( 1+
jωT)
2 2
dB
(123)
Para valores de ω muy bajos, tales que
logaritmo de la amplitud por:
ω
1 , se puede aproximar el
T
2 2
− 20log 1+ ω T ≅− 20log1 = 0 dB
(124)
De la ecuación 124 se deduce que la curva de logaritmo de la amplitud
es asintótica a una recta de 0 dB.
Para valores de ω muy altos, tales que
poner:
ω
1 , la ecuación 123 se puede
T
- 55 -

Respuesta en Frecuencia de Sistemas Lineales
Control I
2 2 2 2
− 20log 1+ ω T ≅− 20log ω T =− 20logωT dB
(125)
Así, de la ecuación 125, se deduce que la curva de logaritmo de la amplitud
en altas frecuencias es una recta con una pendiente de -20 dB/década (ó -6
dB/octava).
Del análisis efectuado se concluye que la representación de la curva de
respuesta de frecuencia del factor ( ) 1
−
1+ jωT
puede ser aproximada por dos
líneas rectas asintóticas, una a 0 dB/década para el rango de frecuencias
0< ω < 1 T y otra con pendiente -20 dB/década para el rango de frecuencia
1 T < ω

Respuesta en Frecuencia de Sistemas Lineales
Control I
El error a una frecuencia una octava por debajo de la frecuencia esquina, es
decir, en ω = 1 2T
es:
5
− 20 log 1+
1 4 + 20 log0.5 = −20log
= −0.97
dB
(128)
2
El error a una frecuencia una octava por encima de la frecuencia esquina, es
decir, en ω = 2 T es:
2
5
− 20 log 2 + 1 + 20 log 2 = −20log
= −0.97
dB
(129)
2
Entonces, el error una octava por debajo o por encima de la frecuencia
esquina es aproximadamente igual a -1 dB. En forma similar, el error a una
década por debajo o por encima de la frecuencia de transición es
aproximadamente igual a -0.04 dB.
El error producido, en decibeles, al usar expresión asintótica para la curva
de respuesta de frecuencia de ( ) 1
asimétrico con respecto a la frecuencia de corte.
−
1+ jωT
aparece en la figura 43. El error es
0
-0.5
-1
-1.5
dB
-2
-2.5
-3
-3.5
10 -2 10 -1 10 0 10 1 10 2
ω
Figura 43: Error del logaritmo del módulo en la expresión asintótica de la curva de
respuesta de frecuencia de ( ) 1
−
1+ jωT
, para T = 1
- 57 -

Respuesta en Frecuencia de Sistemas Lineales
Control I
Para trazar la curva de fase se sigue un procedimiento similar al empleado
para la gráfica del módulo.
La fase para el término estudiado es:
( ) −1
−1
φ( ω) = 1+ jωT =− tg ωT
En esta expresión se puede ver que a frecuencias muy bajas ωT
1 ( ω T
tiende a cero) el ángulo de fase tiende a 0 o .
En la frecuencia esquina, ω = 1 , el ángulo de fase es -45°.
T
Cuando las frecuencias son elevadas ωT
1 ( ω T tiende a infinito) el ángulo
de fase tiende a -90°.
En la figura 44 se puede observar las diferencias entre los trazos asintóticos
1+ jωT
.
y exactos para la fase del factor ( ) 1
−
20
0
Trazo Exacto
Fase, Grados
-20
-40
-60
Trazo Asintótico
-80
-100
10 -2 10 -1 10 0 10 1 10 2
Frecuencia, rad/s
Figura 44: Ángulo de fase asintótico y exacto para el factor ( ) −1
1+ jωT
.
Como las asíntotas son fácilmente dibujables y suficientemente cercanas a
la curva exacta, el uso de esas aproximaciones al trazar los diagramas de
Bode es conveniente para establecer rápidamente la naturaleza general de
las características de respuesta de frecuencia con una tarea mínima de
cálculo, y se la puede utilizar como fase preliminar en el trabajo de diseño.
Si se requieren curvas exactas de respuesta de frecuencia, se pueden
realizar fácilmente correcciones con referencia a las curvas dadas 125 y
130. En la práctica se puede trazar una curva de respuesta de frecuencia
- 58 -

Respuesta en Frecuencia de Sistemas Lineales
Control I
bastante precisa ubicando el punto de -3 dB en la frecuencia esquina y los
puntos de -0.04 dB una década por debajo y encima de esa frecuencia y
conectando luego esos puntos por una curva suave.
Se debe hacer notar que variar la constante de tiempo T desplaza la
frecuencia de esquina a la izquierda o a la derecha, pero las formas de
logaritmo de la amplitud y ángulo de fase quedan iguales.
La función de transferencia ( ) −1
1+ jωT
tiene las características de un filtro
pasa bajo. Para frecuencias por encima de ω = 1 , el logaritmo de la
T
amplitud cae rápidamente hacia menos infinito. Esto es principalmente
debido a la presencia de la constante de tiempo. En el filtro pasa bajo, la
salida puede seguir fielmente a una entrada senoidal a bajas frecuencias.
Pero a medida que se incrementa la frecuencia de entrada, la salida ya no
puede seguir a la entrada porque hace falta cierto tiempo para que el
sistema llegue a configurar esa amplitud. Así, a altas frecuencias, la
amplitud de la salida tiende a cero y el ángulo de fase tiende a -90°. Por
tanto, si la función de entrada contiene muchas armónicas, se reproducen
fielmente los componentes de baja frecuencia a la salida, mientras que los
componentes de alta frecuencia son atenuados en amplitud y desfasados.
De modo que un sistema de primer orden da duplicación exacta solamente
para fenómenos constantes o lentamente variables.
Una ventaja de la representación logarítmica es que para factores
1+ jωT
, las curvas de logaritmo de la
recíprocos, por ejemplo el factor ( )
amplitud y ángulo de fase solo cambian de signo.
El módulo de la amplitud para el factor ( 1 jωT
)
+ en decídeles es:
1
20log 1+ jωT
=− 20log = 20log 1+
ω T
1+
jωT
2 2
(131)
Y el ángulo de fase:
−1
( )
φ( ω) = 1+ jωT =− 1 1+ jωT = tg ωT
(132)
Para estas ecuaciones se puede hacer idéntico estudio al realizado para el
factor de atraso de fase para frecuencias bajas ( ωT
1) y para frecuencias
altas ( ωT
1). Los resultadas obtenidos serán para el diagrama de
atenuación dos rectas, una con pendiente 0 dB/década (para las bajas
frecuencias) y la otra con pendiente de +20 dB/década (para las altas
frecuencias) siendo la frecuencia de esquina la interacción de estas dos
líneas rectas en ω = 1 T . Para el diagrama de fase se obtendrá una gráfica
que variará de cero a noventa grados al aumentar la frecuencia de cero a
infinito. La figura 45 muestra la curva de logaritmo de la amplitud y las
1+ jωT
.
asíntotas y la curva de fase y la asíntota para el factor ( )
- 59 -

Respuesta en Frecuencia de Sistemas Lineales
Control I
50
40
Amplitud, dB
30
20
10
Trazo Exacto
0
Trazo Asintótico
-10
10 -2 10 -1 10 0 10 1 10 2
Frecuencia, rad/s
100
80
Trazo Exacto
Fase, Grados
60
40
20
Trazo Asintótico
0
-20
10 -2 10 -1 10 0 10 1 10 2
Frecuencia, rad/s
Figura 45: Curvas de logaritmo del módulo y fase exactas y asintóticas para el factor
1+ jωT
.
( )
En la figura 46 se muestra la curva de error entre el trazo asintótico de
atenuación y la curva exacta en función de la frecuencia.
- 60 -

Respuesta en Frecuencia de Sistemas Lineales
Control I
3.5
3
2.5
2
dB
1.5
1
0.5
0
10 -2 10 -1 10 0 10 1 10 2
ω
Figura 46: Curva del error en función de la frecuencia de los lugares de amplitud de
1+ jωT
.
( )
Las formas de las curvas de ángulo de fase son las mismas para cualquier
factor de la forma ( ) 1
ω ±
1+ j T . Por tanto es conveniente tener una planilla
para realizar el ángulo de fase. Esa plantilla podrá ser usada repetidamente
para construir curvas de ángulo de fase para cualquier función de la forma
( 1 jω T ) ± 1
+ .
Si se dispone de dicha plantilla, hay que ubicar varios puntos sobre la curva.
ω ±
1+ j T son:
Los ángulos de fase para ( ) 1
- 61 -

Respuesta en Frecuencia de Sistemas Lineales
Control I
± 45º para
1
ω =
T
± 26º para
1
ω =
2T
± 5,7º para
1
ω =
10T
± 63,4º para
2
ω =
T
± 83,3º para
10
ω =
T
Se pueden analizar ahora en forma similar términos que tengan la forma
( 1 j T )
n
ω ±
+ , realizando también una aproximación asintótica. La frecuencia
esquina sigue estando en ω = 1 T y las asíntotas son líneas rectas. La
asíntota de baja frecuencia es una línea recta horizontal en 0 dB , mientras
que la asíntota de alta frecuencia tiene una pendiente de ± 20 n dB / década ó
± 6 ndB/
octava. El error resultante de las aproximaciones asintóticas es n
ω ±
veces el correspondiente a ( ) 1
( 1 jω T ) ± 1
+ en cada punto de frecuencia.
1+ j T . El ángulo de fase es n veces el de
En las figuras 47 y 48 se pueden ver los diagramas de atenuación y fase de
n
ω ±
bode para factores ( 1 j T )
+ hasta n=3.
60
40
n = 3
n = 2
Amplitud, dB
20
0
-20
n = 1
n = -1
n = -2
-40
n = -3
-60
10 -1 10 0 10 1
Frecuencia, rad/s
n
ω ±
Figura 47: Diagramas de atenuación para ( 1 j T)
+ con n = ± 1, ± 2, ± 3 .
- 62 -

Respuesta en Frecuencia de Sistemas Lineales
Control I
270
n = 3
180
n = 2
Fase, Grados
90
0
-90
-180
n = 1
n = -1
n = -2
n = -3
-270
10 -1 10 0 10 1
Frecuencia, rad/s
n
ω ±
Figura 48: Diagramas de fase para ( 1 j T)
+ con n = ± 1, ± 2, ± 3 .
6.4.4.- Diagramas De Bode Para Factores Cuadráticos
Es común que en las funciones de transferencia de Sistemas de control
aparezcan factores cuadráticos de la forma:
2
s
ω
1
2δ
+ s + 1
2
n
ω n
(130)
Que en forma frecuencial es:
1
⎛ jω
⎞ ⎛ jω
⎞
1+
2δ
⎜
⎟ +
⎜
⎟
⎝ ωn
⎠ ⎝ ωn
⎠
2
(134)
Si δ > 1, se puede expresar este factor cuadrático como un producto de dos
de primer orden con polos reales. Si 0 < δ < 1 este factor cuadrático es el
producto de dos factores complejos conjugados. Las aproximaciones
asintóticas a las curvas de respuesta de frecuencia, no son exactas para un
factor cuadrático con valores bajos de δ . Esto es porque la amplitud y fase
del factor cuadrático dependen de la frecuencia esquina y de la relación de
amortiguamiento δ .
Se puede obtener la curva de respuesta de frecuencia asintótica del
siguiente modo; el logaritmo del módulo del factor cuadrático en decibeles
es:
- 63 -

Respuesta en Frecuencia de Sistemas Lineales
Control I
1
20 log
⎛ jω
⎞ ⎛ jω
⎞
1+
2δ
⎜
⎟ +
⎜
⎟
⎝ ωn
⎠ ⎝ ωn
⎠
2
2
⎛ ω ⎞ ⎛
20 log 1 + 2
2 = − ⎜ ⎟
−
2
⎜
ωn
⎝
⎠
2
ω ⎞
δ
⎟
⎝ ωn
⎠
(135)
Para frecuencias bajas, tales que
ω > ω , el logaritmo de la amplitud es:
2
ω
ω
− 20 log = −40
log dB
(137)
2
ω
n
ω n
n
La ecuación para la asíntota de alta frecuencia es una línea recta con
pendiente de - 40 dB/década en coordenadas semilogarítmicas, pues:
10ω
ω
− 40 log = −40
− 40 log
(138)
ω
n
ω n
La asíntota de baja frecuencia se cortará con la asíntota de alta frecuencia
en:
ω
0 dB = −20
log 1 = −40
log ∴ ω = ωn
(139)
ω
n
Esta es la frecuencia esquina para el factor cuadrático considerado.
Las dos asíntotas recién consideradas son independientes del valor de δ .
Cerca de la frecuencia
ω = ω , se produce un pico de resonancia, como es de
n
esperar de la ecuación 134. El factor de amortiguamiento δ determina la
amplitud de este pico resonante (recordar sección 5). Obviamente existen
errores en la aproximación con líneas rectas asíntotas. El valor del error
depende del valor de δ . El error es mayor para valores chicos de δ . La
figura 49 muestra las curvas exactas de logaritmo de la amplitud junto con
las aproximaciones asintóticas por líneas rectas y las curvas exactas de
ángulo de fase para el factor cuadrático dado por la ecuación 134 para
distintos valores de δ .
El ángulo de fase del factor cuadrático es:
- 64 -

Respuesta en Frecuencia de Sistemas Lineales
Control I
⎡
ω
⎤
⎢ 2δ
⎥
1
−1
⎢ ωn
⎥
φ ( ω)
= ∠
= −tg
⎢ ⎥
(140)
2
2
⎛ jω
⎞ ⎛ jω
⎞ ⎢ ⎛ ω ⎞
1+
2δ
+
−
⎥
⎜
⎟
⎜
⎟ 1
⎢
⎜
⎟
⎝ ω ⎠ ⎝ ⎠
⎥
n
ωn
⎣ ⎝ ωn
⎠ ⎦
El ángulo de fase es tanto función de ω como de δ . En ω = 0 el ángulo de
fase se iguala a 0º. En la frecuencia esquina el ángulo de fase es -90º
independientemente de δ , pues:
−1⎛
2δ
⎞ −1
φ ( ω)
= −tg
⎜ ⎟ = −tg
∞ = −90º
(141)
⎝ 0 ⎠
En ω = ∞ , el ángulo de fase se vuelve -180°. La curva de ángulo de fase es
asintótica alrededor del punto de inflexión, el punto conde φ ( ω)
= 90º
.
- 65 -

Respuesta en Frecuencia de Sistemas Lineales
Control I
20
10
δ = 0,1
δ = 0,2
δ = 0,3
Magnitud, dB
0
-10
-20
δ = 0,5
δ = 0,7
δ = 1
-30
-40
-50
10 -1 10 0 10 1
Frequencia (Rad/s)
0
-20
-40
δ = 0,1
δ = 0,2
δ = 0,3
Fase (Grados)
-60
-80
-100
-120
δ = 0,5
δ = 0,7
δ = 1
-140
-160
-180
-200
10 -1 10 0 10 1
Frequencia (Rad/s)
Figura 49: Curvas del logaritmo del módulo junto con las asíntotas y las curvas de fase de
la función de transferencia dada por la ecuación 134.
Las correcciones para el paso de los valores dados por las asíntotas a las
curvas reales se dan el la figura 50.
- 66 -

Respuesta en Frecuencia de Sistemas Lineales
Control I
14
12
δ = 0,1
10
δ = 0,15
8
δ = 0,2
Correccióin, dB
6
4
2
δ = 0,3
δ = 0,5
δ = 1
0
-2
-4
-6
10 -1 10 0 10 1
ω/ωn
0
-10
δ = 0.1
Fase, Grados
-20
-30
-40
-50
-60
δ = 0.707
δ =1
δ = 0.2
δ = 0.5
-70
-80
-90
10 -1 10 0 10 1
ω/ωn
Figura 50: correcciones a las gráficas logarítmicas.
- 67 -

Respuesta en Frecuencia de Sistemas Lineales
Control I
Las curvas de respuesta en frecuencia para el factor + 2δ ( jω
ω ) + ( jω
ω ) 2
1
n
n
pueden obtenerse simplemente invirtiendo el signo del logaritmo de la
amplitud y el ángulo de fase del factor.
2
⎡ ⎛ ω ⎞ ⎛ ω ⎞ ⎤
⎢1
+ 2δ
⎜ j
⎟ +
⎜ j
⎟ ⎥
⎢⎣
⎝ ωn
⎠ ⎝ ωn
⎠ ⎥⎦
−1
Para obtener las curvas de respuesta de frecuencia de una determinada
función transferencia cuadrática, primero hay que determinar el valor de la
frecuencia esquina ω y el factor de amortiguamiento δ . Luego se traza el
n
diagrama asintótico, y usando las curvas de corrección de la gráfica 50 se
obtienen las curvas exactas.
6.4.5.-Procedimiento General Para Trazar Curvas Logarítmicas De
Respuesta De Frecuencia.
Para realizar las gráficas de atenuación y fase de Bode, para una función de
transferencia dada, en primer lugar se deberá colocar a la citada función de
transferencia como un producto de factores básicos normalizados como se
vio anteriormente. Posteriormente se procede a identificar las frecuencias
esquinas relacionadas con cada uno de estos factores básicos.
Finalmente, se trazan las curvas asintóticas de logaritmo de la amplitud con
las pendientes adecuadas entre las frecuencias de esquina. Se puede
obtener la curva exacta, que es cercana a la asíntota, agregando las
correcciones adecuadas, según se vio anteriormente.
Se puede dibujar la curva de ángulo de fase para la función de transferencia
dada realizando igual procedimiento que para el logaritmo del módulo, o
sea, adicionando la fase correspondiente a cada factor interviniente en la
función de transferencia; si se trazan primero las asíntotas posteriormente
se puede dibujar la curva exacta tomando de tablas o gráficas los factores
de corrección adecuados.
El uso de los diagramas logarítmicos utilizando aproximaciones asintóticas,
exige mucho menos tiempo que otros métodos que pueden usarse para
calcular la respuesta de frecuencia de una función de transferencia. La
facilidad del trazado de las curvas de respuesta de frecuencia para una
función de transferencia dada, y la facilidad de modificación de la curva de
respuesta de frecuencia al agregar compensación, son las principales
razones por las que se usan tan frecuentemente en la práctica los
diagramas logarítmicos.
Ejemplo 4: Trazar el diagrama de Bode para la función de transferencia:
M ( s)
=
K
n
s
En primer lugar se reemplaza s por j ω :
- 68 -

Respuesta en Frecuencia de Sistemas Lineales
Control I
M ( jω ) =
K
( jω) n
Para este caso lo más conveniente es realizar el siguiente procedimiento: el
diagrama de atenuación será una recta con pendiente – 20.n dB/década,
que cortará al eje de las frecuencias en:
⎛ K
20 log ⎜
n
⎝ ω
⎞
⎟
⎠
= 0
⇒
ω =
n
K
Mientras que el diagrama de fase será una recta con un desfase de –n.90°.
20
10
-20 dB/decada
0
Amplitud, dB
-10
-20
ω = n K
-30
-40
-50
10 -1 10 0 10 1 10 2
Frecuencia, rad/s
0
-20
-40
-60
Fase, Grados
-80
-100
-120
-140
-160
-180
-200
10 -1 10 0 10 1 10 2
Frecuencia, rad/s
Figura 51: Diagrama de Bode para n=1
- 69 -

Respuesta en Frecuencia de Sistemas Lineales
Control I
Ejemplo 5: Trazar el diagrama de Bode para
M =
n
( s)
Ks .
Procediendo de igual modo que el caso anterior, el diagrama de atenuación
será una recta con pendiente +20.n dB/década, que cortará al eje de las
frecuencias en:
n
( Kω
) = 0 ⇒ ω
n
20 log
=
1
K
Mientras que el diagrama de fase será una recta con un desfase de de
+n.90°
40
30
20
+20 dB/década
Amplitud, dB
10
0
-10
-20
ω =
1
n
K
-30
10 -1 10 0 10 1 10 2
Frecuencia, rad/s
180
Fase, Grados
90
0
10 -1 10 0 10 1 10 2
Frecuencia, rad/s
Figura 52: Diagrama de Bode para n=1
- 70 -

Respuesta en Frecuencia de Sistemas Lineales
Control I
Ejemplo 6: Dibujar el diagrama de Bode para
M s)
=
s
(
2
2
1
( + 2s)
La función de transferencia en el dominio frecuencial es:
M
2
jω)
=
( jω)
(1 + 2 jω)
(
2
El diagrama de atenuación para el factor
2
2 ( j ω)
es una recta con pendiente
-40 dB/década, que corta al eje de las frecuencias en ω = 2 = 1, 41; mientras
−
que el factor ( ) 1
1+ 2 j ω contribuye con una atenuación de -20 dB/década a
partir de la frecuencia esquina ω = 1 2 = 0, 5 .
El diagrama de fase para el factor
que el factor ( 1+ 2 ω) 1
−
2
2 ( j ω)
es una recta por -180°, mientras
j contribuye con una fase de -90° a partir de la
frecuencia esquina ω = 1 2 = 0, 5 .
- 71 -

Respuesta en Frecuencia de Sistemas Lineales
Control I
60
40
20
- 40 dB/década
0
Amplitud, dB
-20
-40
-60
- 60 dB/década
-80
-100
-120
0,50
1,41
-140
10 -1 10 0 10 1 10 2
Freuencia, rad/s
180
Fase, Grados
90
10 -1 10 0 10 1 10 2
Frecuencia, rad/s
Figura 53: Diagrama de Bode para
M s)
=
s
(
2
2
1
( + 2s)
6.5.- Sistemas De Fase Mínima Y Sistemas De Fase No Mínima.
Las funciones de transferencia que no tienen polos o ceros en el semiplano
derecho s, son funciones de transferencia de fase mínimas; mientras que
aquellas que tienen polos y/o ceros en el semiplano derecho son funciones
de transferencia de fase no mínima. A los sistemas con función de
transferencia de fase mínima se los llama sistemas de fase mínima;
mientras que aquellos con funciones de transferencia de fase no mínima se
los denomina sistemas de fase no mínima.
- 72 -

Respuesta en Frecuencia de Sistemas Lineales
Control I
Para sistemas con la misma característica de magnitud, el rango, en ángulo
de fase para la función de transferencia de fase mínima, es mínima para
todos esos sistemas, mientras el rango en ángulo de fase de cualquier
función transferencia de fase no mínima, es mayor que este mínimo.
Estrictamente hablando, una función de fase mínima, como su nombre lo
indica, es una función cuya variación de fase en sentido negativo (retardo
de fase) llega a su valor mínimo cuando la frecuencia cambia de cero a
infinito. Naturalmente, una función de fase no mínima, es la que no posee
esta propiedad.
Sea el ejemplo de dos sistemas cuyas frecuencias de transferencia
frecuencia-les, son respectivamente:
1+
jωT
G1
( jω)
= ;
1+
jωT
1
1−
jωT
G2
( jω)
= ( 0 < T < T1
)
(142)
1+
jωT
1
En la figura 54 se ven las configuraciones de polos y ceros de estos
sistemas. Las dos funciones de transferencia senoidales tienen las mismas
características de amplitud, pero diferentes características de ángulo de
fase, como puede verse en la figura 55.
Figura 54: Configuración de polos y ceros de un sistema de fase mínima G
1(
s ) y uno de
fase no mínima G ( ) .
Esos dos sistemas difieren entre sí por el factor.
G(
jω)
1−
= 1 +
jωT
jωT
La amplitud del factor
2 s
1 − jω T 1+
jωT
es siempre unitaria. Pero el ángulo de
−
fase iguala a − 2tg 1 ωT
y varía desde 0 a -180 ° al incrementar ω desde
cero a infinito.
- 73 -

Respuesta en Frecuencia de Sistemas Lineales
Control I
0
-20
-40
-60
G1(jω)
Fase, Grados
-80
-100
-120
G2(jω)
-140
-160
-180
-200
10 -1 10 0 10 1
Frecuencia, rad/s
Figura 55: Características de ángulo de dos sistemas G ( ) y G ( ) .
Para un sistema de fase mínima, las características de amplitud y ángulo de
fase están relacionados directamente. Esto significa que si se especifica la
curva de amplitud de un sistema en todo el rango de frecuencias desde cero
a infinito, queda unívocamente determinada la curva de ángulo de fase y
viceversa. Sin embargo esto no se cumple para sistemas de fase no mínima.
Puede producirse situaciones de fase no mínima por dos caminos siguientes.
Uno es simplemente cuando un sistema incluye un elemento o elementos de
fase no mínimas. La otra situación puede producirse en el caso que hay un
lazo menor inestable.
Para un sistema de fase mínima, el ángulo de fase en ω = ∞ se vuelve -90°
( q − p ); donde p y q son los grados de los polinomios numerador y
denominador de la función de transferencia respectivamente. Para un
sistema de fase no mínima, el ángulo de fase en ω = ∞ difiere de -90°
( q − p ). En cualquiera de ambos sistemas, le pendiente de la curva del
logaritmo de amplitud en ω = ∞ es igual a -20 ( q − p ) dB/década. Por tanto,
es posible detectar si un sistema es o no de fase mínima examinando tanto
la pendiente de la asíntota de alta frecuencia de la curva de logaritmo de la
magnitud, como el ángulo de fase en ω = ∞ . Si la pendiente de la curva de
logaritmo de la amplitud cuando ω tiende a infinito es -20 ( q − p ) dB/década
y el ángulo de fase en ω = ∞ es igual a -90°( q − p ), el sistema es un sistema
de fase mínima.
1 s
2 s
- 74 -

Respuesta en Frecuencia de Sistemas Lineales
Control I
Los sistemas de fase no mínima son lentos en su respuesta debido a su mal
comportamiento al comenzar la respuesta. En la mayor parte de los
sistemas prácticos de control, hay que evitar un excesivo retardo de fase. Al
diseñar un sistema, si es de primordial importancia la rápida velocidad de
respuesta, no deben usarse componentes de fase no mínima (el retardo
puro es uno de los ejemplos habituales de elemento de fase no mínima que
puedan encontrarse presentes en sistemas de control).
Se debe hacer notar que los términos de análisis de respuesta de frecuencia
y de proyecto que se analizarán en próximos capítulos, son válidos tanto
para sistemas de fase mínima como de fase no mínima.
6.5.2.- Comportamiento De Los Sistemas De Fase No Mínima
Se tratan aquí únicamente sistemas de fase no mínima, en cuya función de
transferencia entre únicamente un factor desfasador puro, y que son los
más usuales. Estos factores son ( 1 − as ) ( 1+ as)
( a > 0)
, que como ya se vio el
módulo de su función de transferencia es constantemente igual a uno, pero
varía en fase de 0 a − π cuando ω barre el espectro de las frecuencias
positivas.
El comportamiento de estos sistemas de fase no mínima, tiene una
propiedad característica: el arranque vicioso.
Cuando a un sistema cuya salida debe reproducir la entrada, se le aplica un
escalón de 0 a 1, la salida pasa de cero a uno con un transitorio intermedio.
En un sistema de fase mínima, la salida es positiva después de la variación
2
dc(
t)
dc(
t)
d c(
t)
brusca de la entrada: > 0 ó si 0 ∴ > 0
2
dt
dt dt
t= 0
t= 0
t= 0
En el caso de un sistema de fase no mínima, por el contrario, la salida
empieza a decrecer antes de seguir la entrada.
Esta propiedad se pone en evidencia fácilmente a partir de la forma
matemática de la función de transferencia.
La respuesta a un escalón unitario de un sistema de fase mínima viene dada
por:
C(
s)
1 A s
+ ...... + A
m
m
0
= (143)
n
s Bns
+ ...... + B0
Donde B y A son positivos ( B , porque el sistema se supone estable. A
porque es de fase mínima); la aplicación del teorema del valor inicial
demuestra, inmediatamente que la primera derivada no nula de c (t)
es
positiva. La figura 56 muestra la pendiente de la respuesta.
- 75 -

Respuesta en Frecuencia de Sistemas Lineales
Control I
Figura 56: Respuesta al escalón unitario de un sistema de fase mínima
Por el contrario, en el caso de la frecuencia de un defasador puro, se
tendrá:
1
C(
s)
=
s
A
B
m
n
s
s
m
n
+ ...... + A
+ ...... + B
0
0
( 1−
Ks)
( 1+
Ks)
(144)
Con K > 0 y teniendo siempre a la vista la hipótesis A m
y
B n
mayor que
cero; en estas condiciones se observa fácilmente mediante la aplicación del
teorema del valor inicial, que la primera derivada no nula es ahora negativa;
tal como se muestra en la figura 57.
Puede también observarse que, en presencia de un desfasador puro la
respuesta c (t)
a un escalón es de la forma:
dc0
( t)
c ( t)
= c0 ( t)
+ K
K > 0
(145)
dt
Figura 57: Respuesta al escalón unitario de un sistema de fase no mínima.
Donde c ( ) es la respuesta unitaria de un sistema de fase mínima. En esta
0
t
expresión c ( ) es nulo para t < 0 y crece a partir de t = 0 . Inmediatamente
0
t
- 76 -

Respuesta en Frecuencia de Sistemas Lineales
Control I
después de t = 0 , el segundo término de c (t)
es negativo e importante en
valor absoluto, es decir predominante.
6.5.3.- Ejemplos De Sistemas De Fase No Mínima
1.- Regulación del nivel de líquido en una caldera donde el agua está en
ebullición. Al agregar agua para elevar, el nivel, el primer resultado es
detener durante algunos instantes la ebullición, es decir, hacer descender el
nivel.
2.- Un avión en vuelo longitudinal es un sistema de fase no mínima, si se
considera como respuesta la velocidad vertical del centro de gravedad. La
razón es que cuando se actúa el timón para hacer subir el avión, el primer
movimiento de este es de descenso, como consecuencia de la disminución
de sustentación resultante del movimiento del timón.
Los elementos de fase no mínima se encuentran con bastante frecuencia en
los sistemas de control. Es importante conocerlos por el efecto perjudicial y
no compensable que ejercen sobre la precisión de los sistemas controlados.
6.6.5.- Retardo De Transporte O Retardo Puro.
El retardo de transporte es un comportamiento de fase no mínima y tiene
un retardo de fase excesivo sin atenuación en altas frecuencias. Sea el
retardo de transporte dado por:
M
− jωT
( jω)
= e
(146)
La amplitud es siempre igual a la unidad por:
M ( jω ) = cos ωT
− j sen ωT
= 1
(147)
Por tanto, el logaritmo de la amplitud del retardo del transporte es igual a 0
dB.
El ángulo de fase del retardo puro es:
φ( ω)
= ∠M
( ω)
= −ωT
radianes = −57,
3 ωT
grados
(148)
El ángulo de fase varía linealmente con la frecuencia ω . En la figura 58 se
muestra la característica de ángulo de fase del retardo de transporte.
- 77 -

Respuesta en Frecuencia de Sistemas Lineales
Control I
0
-20
-40
-60
Fase, Grados
-80
-100
-120
-140
M(jω) = e jωT
|M(jω)| = 0 dB
-160
-180
-200
10 -1 10 0 10 1
Frecuencia, rad/s
Figura 58: Característica de ángulo de fase del retardo de transporte.
Ejemplo 6: Trazar el diagrama de Bode de la siguiente función de
transferencia:
−sL
e
G(
s)
=
1+
sT
La función de transferencia frecuencial es:
El logaritmo de la amplitud es:
− jωL
e
G(
jω)
=
1+
jωT
20 log G(
jω)
= 20 log
El ángulo de fase es:
e
− jωL
+ 20 log
1
1+
jωT
= 0 + 20 log
1
1+
jωT
( 1
−1
1+
jωT) − jωL
G( jω)
= e − =−ωL−tg ωT
Las curvas de logaritmo de la amplitud y ángulo de fase para esta función
de transferencia, con L = 0, 5 y T = 1 aparecen en la figura 59.
- 78 -

Respuesta en Frecuencia de Sistemas Lineales
Control I
Figura 59.
6.7.1.- Relación Entre El Tipo De Sistema Y La Curva Del Logaritmo
De La Amplitud.
Los coeficientes de error de posición estática, velocidad y aceleración
describen el comportamiento en baja frecuencia de los sistemas tipo 0, tipo
1 y tipo 2, respectivamente. Para un sistema dado, solo uno de los
coeficientes de error estático es finito y significativo (cuánto más grande es
el coeficiente de error estático finito, mayor es la ganancia del lazo cuando
ω tiende a 0).
- 79 -

Respuesta en Frecuencia de Sistemas Lineales
Control I
El tipo de sistema determina la pendiente de la curva de logaritmo de
amplitud a bajas frecuencias. Por tanto, se puede determinar la información
referente a la existencia y valor del error estacionario de un sistema de
control ante determinada entrada por la observación de la zona de baja
frecuencia de la curva el logaritmo de la amplitud.
Es importante aclarar que para las determinaciones de coeficientes que se
hacen a continuación, se graficará el módulo en decídeles de la función de
transferencia de lazo abierto de un sistema realimentado negativamente.
6.7.2.- Determinación De Los Coeficientes De Error De Posición
Estático.
En la figura 60 presenta un ejemplo del diagrama del logaritmo de la amplitud
de un sistema tipo cero. En tal sistema, el valor de la función de
transferencia de lazo abierto G ( jω)
H ( jω)
iguala a Kp en bajas frecuencias,
o sea:
lim G( jω) H( jω)
= Kp
ω→0
Figura 60: Curva de logaritmo de la amplitud de un sistema tipo 0.
De aquí se llega a que la asíntota de baja frecuencia es una recta horizontal
en 20 log Kp dB.
6.7.3.- Determinación De Los Coeficientes De Error Estático De
Velocidad.
La figura 61, presenta un ejemplo de diagrama de logaritmo de la amplitud
de un sistema tipo 1. La intersección del segmento inicial -20 dB/década (o
su continuación) con la recta ω = 1, tiene la magnitud 20 log Kv . Puede verse
esto como sigue en un sistema tipo 1:
- 80 -

Respuesta en Frecuencia de Sistemas Lineales
Control I
Kv
G ( jω)
H ( jω)
=
jω
para ω

Respuesta en Frecuencia de Sistemas Lineales
Control I
F
ω
2
= ;
J
2 K
ω
3
=
(153)
J
Como:
K
ω
1
= Kv =
(154)
F
Resulta
ω ω
ω ω
=
1
2
1 3
2
= ω3
⇒
(155)
ω3
ω2
En el diagrama logarítmico:
log ω − ω
(156)
1
log ω3
= log ω3
− log
2
Así, el punto ω 3
está justamente en el medio de los puntos ω 1
y ω 2
. La
relación de amortiguamiento δ de este sistema es:
F ω2
δ = =
2 JK 2ω
3
(157)
6.7.3.- Determinación De Los Coeficientes De Error Estático De
Aceleración.
La figura 62, muestra un ejemplo de diagrama de logaritmo de la amplitud
de un sistema tipo 2. La intersección del segmento inicial -40 dB/década (o
su continuación) con la recta ω = 1, tiene la magnitud 20 log Ka .
Figura 62: Curva de logaritmo de la amplitud de un sistema tipo 2.
- 82 -

Respuesta en Frecuencia de Sistemas Lineales
Control I
Como a bajas frecuencias:
G ( jω)
H ( jω)
=
Entonces:
Ka
( jω) 2
20 log
Ka
( jω)
2
=
ω= 1
20 log
Ka
La frecuencia ω
a
en la intersección del segmento inicial -40 dB/década (o su
prolongación) con la recta de 0 dB, da, numéricamente, la raíz cuadrada de
Ka :
Ka
20 log = 20 log 1 = 0
2
( jω)
(158)
Queda:
ω Ka
(159)
a =
- 83 -

Respuesta en Frecuencia de Sistemas Lineales
Control I
7.- Análisis Experimental De La Respuesta Frecuencial.
7.1.- Determinación Experimental De Funciones De Transferencia.
El primer paso en el análisis y proyecto de control es desarrollar, un modelo
matemático de la planta en estudio. Obtener un modelo analíticamente
puede ser bastante difícil. Puede ser necesario obtenerlo por medio de un
análisis experimental. La importancia de los métodos de respuesta de
frecuencia es que la función de transferencia del sistema, o de cualquier
componente de un sistema puede ser determinado por simples mediciones
de respuesta de frecuencia.
Si se han medido la relación de amplitud y desplazamiento de fase en un
número suficiente de frecuencias dentro del rango de frecuencias de interés,
se las puede representar en el diagrama de Bode. Luego se puede
determinar la función de transferencia por aproximaciones asintóticas. Se
construyen curvas asintóticas del logaritmo del módulo constituido por
varios segmentos. Con algunos tanteos y correcciones en frecuencias
esquinas, generalmente es posible hallar una aproximación bastante
cercana a la curva. (Nótese que si se representa la frecuencia en ciclos por
segundo en lugar de radianes por segundo, hay que convertirlas frecuencias
esquinas a radianes por segundo antes de calcular las constantes de
tiempo).
Otras veces se realiza la determinación de la función de transferencia
frecuencial en forma experimental, cuando se desea confirmar un análisis
matemático de un sistema, o sea, chequear si la función de transferencia
obtenida analíticamente es válida.
7.2.- Generadores De Señal Senoidal
Para realizar la prueba de respuesta de frecuencias se debe disponer de
generadores de señal senoidal adecuadas. La señal puede tener que estar
en forma mecánica, eléctrica o neumática.
Los rangos de frecuencias necesarios para la verificación están
aproximadamente entre 0,001 - 10 cps para sistemas de constante de
tiempo elevada; hasta 0,1 - 1000 cps para sistemas con constantes de
tiempo pequeñas. La señal senoidal debe estar razonablemente libre de
armónicas o distorsión.
Para rangos de muy baja frecuencia (Por debajo de 0.01 cps), puede
utilizarse un generador de señal mecánico (junto con un transductor
neumático o eléctrico si es necesario). Para el rango de frecuencias desde
0.01 - 1000 cps, puede usarse un generador eléctrico de señal adecuado
(junto con un transductor si es necesario).
La posibilidad de obtener generadores de señal senoidal con esas
características es usualmente fácil, por ejemplo:
a - Un simple mecanismo de biela-manivela produce variaciones senoidales
de desplazamiento lineal.
- 84 -

Respuesta en Frecuencia de Sistemas Lineales
Control I
b - Un desplazamiento senoidal en el extremo de un resorte lineal produce
variaciones senoidales de la fuerza ejercida por el otro extremo del resorte
en su reporte.
c - Corrientes eléctricas alternas senoidales son debidas a variaciones senoi
dales de tensión.
d - Un pistón correspondiente a un cilindro de aire cerrado puede producir
variaciones senoidales de presión en el cilindro.
e - Generadores senoidales electrónicos son de uso común en los
laboratorios de análisis.
7.3.- Procedimiento Para Obtener La Función De Transferencia De
Un Sistema Lineal En Forma Experimental
El procedimiento conveniente a seguir para el análisis es el siguiente:
1- Aplicar una entrada senoidal r( t)
= H senωt
a una variable apropiada del
sistema considerado como entrada. El valor inicial de la variable de entra da
puede ser cualquier valor de estado constante. La excitación senoidal de
entrada es superpuesta sobre el valor inicial de estado constante.
2- Para un valor seleccionado de frecuencia ω y una amplitud constante H ,
dejar que los efectos transitorios en la respuesta del sistema se extingan.
La variable elegida para representar la respuesta del sistema tendrá luego
una variación senoidal con una amplitud constante y la misma frecuencia
que la entrada. Se mide la amplitud de la variable de respuesta y su fase
relativa a la entrada senoidal.
Frecuentemente ambas variables, de entrada y salida, pueden ser
visualizadas en un osciloscopio o graficadas en un registrador.
3- Manteniendo la amplitud constante H de entrada, repetir el
procedimiento para distintos valores de frecuencia, recorriendo la banda de
frecuencias para el cual el sistema responde.
4- Graficar los resultados obtenidos en las coordenadas de Bode, a partir de
la cual según se verá, se podrá determinar la función de transferencia
buscada.
7.4.- Determinación De Funciones Transferencia De Fase Mínima
A Partir De Diagramas De Bode
Como se indicó previamente, puede determinarse si un sistema es de fase
mínima o no partiendo de las curvas de respuesta de frecuencia
examinando las características de alta frecuencia.
Para determinar la función de transferencia se comienzan por trazar
asíntotas a la curva de logaritmo de la amplitud obtenida
experimentalmente. Las asíntotas deben tener pendientes de múltiplos de
± 20dB / década. Si la pendiente de la curva del logaritmo obtenida
- 85 -

Respuesta en Frecuencia de Sistemas Lineales
Control I
experimentalmente varía desde − 20 a − 40dB / década en ω = ω1, es claro que
existe un factor
⎛
⎜1+
⎝
Si la pendiente varía en
cuadrático de la forma
transferencia.
−1
⎞
j
⎛ ⎞
⎜ω
⎟⎟
en la función de transferencia.
⎝ ω1
⎠⎠
− 40 dB / década en ω = ω2
, debe haber un factor
−1
2
⎡ ⎛ ω ⎞ ⎛ ⎞ ⎤
⎢1
2
⎟ ⎥
⎢
+ ω
+ δ
⎜ j ⎟
⎜ j en la función de
⎣ ⎝ ω2
⎠ ⎝ ω2
⎠ ⎥⎦
La frecuencia natural no amortiguada de este factor cuadrático es igual a la
frecuencia esquina ω
2
. Se puede determinar la relación de
amortiguamiento δ de la curva del logaritmo de la amplitud obtenida
experimentalmente midiendo el valor del pico resonante cerca de la
frecuencia esquina ω 2
y comparando este con las curvas que aparecen en
la figura 50
Una vez determinado los factores de la función de transferencia M ( jω)
se
puede determinar la ganancia de la porción de baja frecuencia de la curva
logaritmo amplitud.
Como los términos tales como + j( ω ) y 1 2δ
( j ω ω ) + ( jω
ω ) 2
1 ω 1
+
2
2
tienden a
la unidad cuando ω tiende a cero, a frecuencias muy bajas se puede escribir
la función de transferencia senoidal M ( jω)
:
K
lim M ( jω)
=
(160)
0
ω →
( jω) λ
En muchos sistemas prácticos, λ es igual a 0, 1 ó 2.
1- Para λ = 0 , o sistema tipo 0:
M ( jω ) = K ; para ω

Respuesta en Frecuencia de Sistemas Lineales
Control I
Que indica que la asíntota de baja frecuencia tiene la pendiente
− 20dB / década . La frecuencia a la cual la asíntota de baja frecuencia (o su
prolongación) intersecta la recta 0 dB es numéricamente igual a K.
3- Para λ = 2 , o sistemas de tipo 2:
K
M ( jω)
= ; para ω

Respuesta en Frecuencia de Sistemas Lineales
Control I
Figura 63: a) Curva de logaritmo del módulo de un sistema tipo 0. b) Curvas de logaritmo
del módulo de sistemas tipo uno. C) Curvas de logaritmo del módulo de sistemas tipo dos.
(Las pendientes indicadas están en dB/década).
- 88 -

Respuesta en Frecuencia de Sistemas Lineales
Control I
7.5.- Funciones De Transferencia De Fase No Mínima
Si en el extremo de altas frecuencias, el ángulo de fase calculado es 180°
menor que el retardo de fase obtenido experimentalmente, uno de los ceros
de la función de transferencia debe haber estado en el semiplano derecho s
en lugar del semiplano izquierdo s. Si el retardo de fase calculado difiere del
ángulo de fase obtenida experimentalmente por una velocidad constante de
modificación de fase, hay retardo de transporte o tiempo muerto. Si se
supone que la función de transferencia es de la forma:
G(
s)
= e
−st
Donde G (s)
es una relación de dos polinomios en s.
d
− jωT
lim ∠G(
jω)
e = −T
(165)
ω →∞ dω
Así, de esta última ecuación, se puede calcular el valor del retardo de
transporte T.
7.6- Apreciaciones Útiles Sobre La Determinación Experimental De
La Función De Transferencia
1. Generalmente es más fácil efectuar medidas exactas de amplitud que
medidas exactas de desplazamiento de fase. Las mediciones de
desplazamiento de fase pueden introducir errores causados por
instrumentación o por interpretación de los registros experimentales.
2. La respuesta de frecuencia del equipo de medición utilizado para la
determinación de la salida del sistema, debe tener curvas de amplitud
en función de la frecuencia prácticamente planas. Además el ángulo
de fase debe ser casi proporcional a la frecuencia.
3. Los sistemas físicos tienen algún tipo de alinealidades. Por tanto, es
necesario considerar cuidadosamente la amplitud de las señales
senoidales de entrada. Si la amplitud de la señal de entrada es
excesivamente grande, el sistema tiende a saturarse y la prueba de
respuesta de frecuencia da resultados inexactos. Por otro lado, una
señal pequeña puede producir errores debido a zona muerta. Por
tanto, hay que realizar una cuidadosa elección de la amplitud de la
señal senoidal de entrada. Es necesario muestrear la forma de onda
de la salida del sistema para asegurarse que su forma es senoidal y
que el sistema está funcionando durante el periodo de prueba en la
región lineal (la forma de onda a la salida del sistema no es senoidal si
éste está funcionando en una región no lineal).
4. Si el sistema en estudio está funcionando continuamente por días y
semanas, no hace falta detener su funcionamiento normal para las
- 89 -

Respuesta en Frecuencia de Sistemas Lineales
Control I
pruebas de respuesta de frecuencia. Se puede superponer la señal de
prueba senoidal a las entradas normales. Entonces, para sistemas
lineales, se superpondrá a la salida normal, la respuesta
correspondiente a la señal de prueba. Para la determinación de la
función de transferencia con el sistema en funciona miento normal,
también se usan frecuentemente señales estocásticas (señales de
ruido blanco). Utilizando funciones correlación, se puede determinar la
función de transferencia del sistema sin interrumpir su funcionamiento
normal.
Ejemplo 7: Un sistema controlado, consiste de un posicionador hidráulico
de aceite que empuja una carga la cual puede ser asimilada como una
unidad masa resorte amortiguador. La posición de la masa es controlada
por la posición de la palanca de entrada del posicionador. Es deseable
establecer experimentalmente la relación dinámica entre el metimiento de
entrada de la palanca x i
y la posición de la masa x . Para realizar esto, es
necesario un generador de movimiento senoidal, para aplicar a la palanca
de entrada la oscilación senoidal de amplitud constante y frecuencia
variable. Dicha señal de entrada será 0 .05senωt
donde 0.05 es la amplitud a
mantener constante y ω la frecuencia a variar.
Para registrar el movimiento de la masa, se ajusta a ella un transductor de
desplazamiento. La respuesta senoidal de la masa x = B sen( ω t + φ)
es
medida para el rango de frecuencia que se varió la entrada. El resultado de
mediciones efectuadas de B y φ se muestra en la tabla 4.
Frecuencia
de entrada
ω
[rad/seg]
Amplitud
de la
respuesta
B [pulg]
Fase de la
respuesta
φ [º]
0 0,1 0,2 0,4 0,6 0,8 1 2 4 10 20 40 80 100
5 5 4,72 4,25 3,35 2,8 2,5 1,12 0,35
0,0
8
0,02 0,03 - -
0 12,5 25 46 60 72 80 109 139 182 213 237 255 260
Tabla 4.
Con estos datos se requiere obtener la función de transferencia del
sistema ( s)
X ( s)
X
i
Solución: El método de graficar en Bode es el más fácil de interpretar. Se
divide la amplitud de salida sobre la amplitud de entrada para todas las
frecuencias y se lo expresa luego en dB.
La gráfica resultante es la mostrada a continuación.
- 90 -

Respuesta en Frecuencia de Sistemas Lineales
Control I
60
40
0 dB/déc.
-20 dB/déc.
Amplitud, dB
20
0
-20
-40 dB/déc.
-60 dB/déc.
-40
-60
10 -1 10 0 10 1 10 2
Frecuencia, rad/s
90
0
Fase, Grados
-90
-180
-270
10 -1 10 0 10 1 10 2
De estas gráficas se puede deducir:
Frecuencia, rad/s
Figura 64.
a. G dB = f (ω)
es asintótica a la línea horizontal de G dB = 40 dB ,
cuando la frecuencia ω tiende a cero. Esto implica que en la
función de transferencia buscada no hay ceros ni polos en el
origen.
b. La pendiente ele la curva G dB = f (ω)
se incrementa continuamente
en el sentido horario. 0 sea que no hay puntos de inflexión (no hay
ceros).
c. La curva G dB = f (ω)
es asintótica a una línea de pendiente -60
dB/déc cuando la frecuencia tiende a infinito; por lo tanto el
- 91 -

Respuesta en Frecuencia de Sistemas Lineales
Control I
sistema es de tercer orden.
d. La curva φ = f (ω)
es asintótica a φ = 0º
para bajas frecuencias (lo
qua implica que K es positivo) y pareciera ser a -270° para altas
frecuencias.
Por lo expuesto en b se observa que no hay ceros en la función de
transferencia. La ausencia de puntos máximos y mínimos en la curva
φ = f (ω) apoya esta conclusión.
En conjunción con b, la c indica la presencia en el denominador de un
polinomio de tercer orden.
Por lo tanto se puede concluir que la función de transferencia es de la
forma:
X ( s)
X ( s)
i
=
T s
K
3 2
1
+ T2s
+ T3s
+
1
La falta de puntos de resonancia elimina el caso d. Un posterior
entendimiento del sistema físico bajo prueba indica la probabilidad del caso
c como el mejor modelo. Sobre esta base habrá cuatro aproximaciones
asintóticas de la curva, según se muestra en la figura 65, de la cual se
pueden determinar las tres frecuencias esquinas:
T
T
1
2
=
=
1
0.5
1
4
= 2
= 0.25
T
3
=
1
20
= 0.05
Además: K [ dB]
= 20log x = 40 ⇒ x = 100
Lo cual era ya evidente pues los cocientes de las amplitudes de salida y
entrada para ω = 0 es 5 0.05 = 100 .
Finalmente la función de transferencia obtenida experimentalmente será:
X ( s)
100
=
X
i
( s)
05
( 1+
2s)( 1+
0.25s)( 1+
0. s)
- 92 -

Respuesta en Frecuencia de Sistemas Lineales
Control I
La evaluación más precisa de las frecuencias esquinas, puede ser evaluada
mejor conociendo los parámetros del sistema, dado que las constantes de
tiempo del sistema son función de ellos.
Ejemplo 8: La respuesta frecuencial experimental de un sistema es
mostrada en la tabla 5.
Frecuencia
de entrada
ω
[rad/seg]
Amplitud
de la
respuesta
B [pulg]
Fase de la
respuesta
φ [º]
0,1 0,2 0,4 0,6 0,8 1 2 3 5 7 10 20 40
1 0.95 0.75 0.6 0.47 0.4 0.25 0.225 0.2 0.19 0.16 0.12 0.05
11 22 37 42 46 47 45 43 44 48 55 68 78
Tabla 5.
La amplitud de la entrada ( H ) es constante e igual a 1. Establecer la
función de transferencia del sistema.
Con los valores de la tabla se dibuja el gráfico de Bode de atenuación
B H = f (ω) y de fase φ = f (ω)
.
- 93 -

Respuesta en Frecuencia de Sistemas Lineales
Control I
5
0
0 dB/déc
-5
-20 dB/déc
Amplitud, dB
-10
-15
-20
0 dB/déc
-20 dB/déc
-25
-30
T1 = 2.5 T2 = 0.5 T3 = 0.1
-35
10 -1 10 0 10 1 10 2
Frecuencia, rad/s
0
-10
-20
Puntos de Inflexión
-30
Fase, Grados
-40
-50
-60
-70
-80
-90
-100
10 -1 10 0 10 1 10 2
Frecuencia, rad/s
Figura 65.
La curva de atenuación tiene una pendiente original de cero dB/década
seguida por una de -20 dB/década, y luego por una reducción de la
pendiente a 0 dB/década volviendo por último a -20 dB/riécada.
Inmediatamente se deduce que la primer pendiente después de la inicial de
0 dB/década se deberá a un factor 1 ( 1+ T 1
s)
, la que sigue se deberá a un
1 1+ T 3
s . Por lo tanto la función de
factor ( T 2
s)
1+ y la última a un factor ( )
transferencia-será de la forma:
- 94 -

Respuesta en Frecuencia de Sistemas Lineales
Control I
C(
s)
R(
s)
=
K( 1+
T2s)
( 1+
T s)( 1+
T s)
1
3
Como se ve en la gráfica la curva φ = f (ω)
es asintótica a 0 o para frecuencias
bajas y a -90° para frecuencias tendiendo a infinito. Trazando en el diagrama
de atenuación las asíntotas del mejor modo posible se pueden
determinar:
T
T
T
1
2
3
= 2.5
= 0.5
= 0.1
Además K = 1, ya que 20 log K = 0
Por consiguiente:
C(
s)
R(
s)
=
11 ( + 0.5s)
( 1+
2.5s)( 1+
0.1s)
Los puntos de inflexión en la curva de φ = f (ω)
ocurren en la región de cada
frecuencia esquina, lo cual ayuda a confirmar las frecuencias esquinas
determinadas.
- 95 -