La Línea CEP Enero 2007

COMPETENCIAS
BASICAS EN EL ÁREA DE
MATEMÁTICAS
González Marí, J. L.
Didáctica de la Matemática
Universidad de Málaga
La línea 3 diciembre 2007

Contenidos
• Reflexiones iniciales sobre la Educación
Matemática: Los fines y los medios
• Competencias matemáticas y su evaluación
• Competencias básicas y matemáticas
• Evaluaciones del rendimiento matemático
• PISA 2003
• Evaluación de Diagnóstico en Andalucía
• Desarrollo de competencias matemáticas
• Nuevas orientaciones oficiales basadas en competencias y
capacidades
• Reflexiones y claves para una enseñanza de las matemáticas
bajo las nuevas orientaciones
• Algunas experiencias y ejemplos
2

Asunto central:
La calidad de la Educación Matemática
• Debatido ampliamente en el pasado [reformas,
propuestas (NCTM), informes (Cockcroft),
reuniones (ICME), etc.]
• Anhelo de padres, profesores y responsables
políticos
“ . . . Todas las partes interesadas tienen que cooperar . . .”
“El desafío es enorme, y es fundamental comprometerse. . .”
“Nuestros estudiantes merecen y necesitan la mejor formación matemática
posible . .”
(NCTM-SAEM Thales (2000). Principios y Estándares para la Educación Matemática)
3

• Momento idóneo. Motivos:
• Nuevos fundamentos y orientaciones curriculares de la
Unión Europea
• Desarrollo de la LOE y ley de Educación para
Andalucía
• Resultados modestos en evaluaciones de diagnóstico
basadas en la alfabetización matemática y las
competencias matemáticas
• Un reto difícil y de envergadura
La solución óptima sólo se dará si se dan circunstancias
adecuadas y respuestas eficaces en una multiplicidad de
frentes
4

Algunos factores implicados
(que se han de cuidar, controlar y mejorar)
• Generales
• Los conocimientos y las creencias
• La inercia y los intereses
• Las claves del entorno sociocultural
• La voluntad de ciudadanos, padres y políticos
• La cooperación de todos
• Específicos
• Los planes de formación de profesores
• La política educativa
• Los fines
• Los medios
• La evaluación
5

• Generales
Centraremos la atención en:
• Los conocimientos y las creencias
• La inercia y los intereses
• Las claves del entorno sociocultural
• La voluntad de ciudadanos, padres y políticos
• La cooperación de todos
• Específicos
• Los planes de formación de profesores
• La política educativa
• Los fines
• Los medios
• La evaluación
6

De los factores generales
afectan a la calidad, las creencias y conocimientos . . .
Sobre las matemáticas . . .
carácter instrumental; lenguaje; utilidad limitada; sirven para resolver
problemas; materia difícil; no son necesarias;
Sobre el aprendizaje. . .
Difícil de comprender y aprender; sólo para especialmente dotados; la
ejercitación, la memoria y el esfuerzo personal lo importante; Dominar las
matemáticas es saber contenidos y conceptos, técnicas y destrezas y cultura
matemática;
Sobre la enseñanza. . .
difícil de enseñar; importante: la explicación y la resolución de problemas verbales; No
hay medios suficientes; Los alumnos no están motivados;
Sobre la evaluación. . .
consiste en comprobar que el alumno es capaz de reproducir las tareas y los
conocimientos que se han utilizado en el proceso.
7

De los factores específicos
centramos la atención en:
• Los fines
• Los medios
• La evaluación
• La base de todo el proceso educativo
• Los fundamentos de la labor docente
• Lo que depende más directamente del profesorado
• Una parte importante de las claves para mejorar la calidad
8

La Matemática puede y
debe contribuir a la:
• Adaptación al medio
• Autonomía intelectual
• Enculturación Matemática
Mediante aspectos:
• Instrumentales
• Formativos
• Funcionales
9

Aspectos instrumentales
• conceptos;
• procedimientos;
• técnicas;
• destrezas;
• algoritmos;
• fórmulas;
• métodos;
• . . .
• lenguajes;
• habilidades;
• definiciones;
• propiedades
• reglas
• términos
• . . .
10

Aspectos formativos
• razonamiento;
• capacidad de acción
simbólica;
• espíritu crítico;
• exhaustividad;
• inconformismo;
• curiosidad;
• persistencia;
• Incredulidad;
• autonomía;
• rigurosidad;
• imaginación;
• creatividad;
• sistematicidad;
• expresión, elaboración y
apreciación de patrones y
regularidades;
• combinación de patrones para
obtener eficacia o belleza etc
• . . .
• . . .
11

Aspectos funcionales
Las matemáticas son útiles para dar respuesta a:
• Necesidades socioculturales
El problema del tráfico en las ciudades; La planificación del Sistema Educativo; Los
procesos electorales
• Necesidades científicas
El estudio de problemas importantes actuales, como el calentamiento de la
atmósfera, la globalización, las células madre, energías alternativas, etc., necesitan de
las matemáticas
• Necesidades individuales
Me gusta esa librería casera y quiero hacer una igual . . .
¿cómo puedo conseguir un cuadrado cuya superficie sea el doble que la de
otro?
¿Puedo comprar esta vivienda?
12

Los tres tipos de aportaciones están relacionadas entre sí :
Instrumentales
Formativos
Pero los tres son necesarios para el
desarrollo de las:
Funcionales
APLICACIÓN DE LAS MATEMÁTICAS
UTILIDAD PRÁCTICA
REALIDAD COTIDIANA
MATEMÁTICAS Y PROBLEMAS REALES
. . . .
COMPETENCIAS MATEMÁTICAS
13

Instrumentales
Formativos
Funcionales
(APLICACIÓN DE LAS MATEMÁTICAS
UTILIDAD PRÁCTICA
REALIDAD COTIDIANA
MATEMÁTICAS Y PROBLEMAS REALES
. . . . )
Se manifiestan y observan en:
COMPETENCIAS MATEMÁTICAS
Se adquieren gracias a:
14

Competencias Matemáticas específicas
• Poseer competencia matemática significa:
poseer habilidad para comprender, juzgar,
hacer y usar las matemáticas en una variedad
de contextos intra y extra matemáticos y
situaciones en las que las matemáticas juegan
o pueden tener un protagonismo (Niss, M.)
15

Competencias Matemáticas específicas
(Niss)
• Pensar matemáticamente
• Modelizar matemáticamente
• Proponer y resolver problemas de matemáticas
• Razonar matemáticamente
• Comunicar en, con y sobre las matemáticas
• Representar objetos y situaciones matemáticas
• Utilizar símbolos y formalismos matemáticos
• Utilizar recursos auxiliares y herramientas
16

Competencias Matemáticas específicas
(Niss)
habilidad para preguntar y responder cuestiones en
matemáticas y por medio de las matemáticas:
• Pensar matemáticamente
• Modelizar matemáticamente
• Proponer y resolver problemas de matemáticas
• Razonar matemáticamente
habilidad para utilizar el lenguaje y las herramientas
matemáticas:
• Comunicar en, con y sobre las matemáticas
• Representar objetos y situaciones matemáticas
• Utilizar símbolos y formalismos matemáticos
• Utilizar recursos auxiliares y herramientas
PR
MO
PRP
ARG
CO
REP
17

PENSAR MATEMÁTICAMENTE
(dominar modos matemáticos de pensamiento)
(PR)
• proponer cuestiones características de las matemáticas
conociendo las clases de respuestas (no necesariamente las
respuestas concretas ni como obtenerlas);
• comprender y manejar el alcance y las limitaciones de un
concepto dado;
• ampliar el dominio de un concepto abstrayendo algunas de sus
propiedades;
• generalizar los resultados a clases más amplias de objetos;
• distinguir entre diferentes clases de enunciados / afirmaciones
matemáticas, incluyendo sentencias condicionadas,
cuantificadores, suposiciones, definiciones, teoremas, conjeturas,
casos, etc.
18

MODELIZAR MATEMÁTICAMENTE
(analizar, construir y evaluar modelos)
(MO)
• analizar fundamentos y propiedades de modelos existentes,
valorar su rango y validez;
• decodificar modelos existentes (traducir e interpretar
elementos de un modelo en términos de la realidad
modelizada);
• aplicar un modelo a un contexto dado, lo que requiere:
• estructurar el campo
• matematizar
• trabajar con el modelo y resolver los problemas que surjan
• validar el modelo, interna y externamente
• analizar y criticar el modelo, en sí mismo y en sus posibles alternativas
• comunicar el modelo y sus resultados
• controlar el proceso de modelización
19

PROPONER Y RESOLVER PROBLEMAS
DE MATEMÁTICAS
(PRP)
• identificar, proponer y especificar diferentes clases de
problemas de matemáticas (puro-aplicado, abierto
con solución-cerrado, cerrado, etc.);
• resolver diferentes clases de problemas de
matemáticas (puro-aplicado, abierto con solución o
cerrado, propuesto por otros o por uno mismo,
propuestos de diferentes modos, etc.);
20

RAZONAR MATEMÁTICAMENTE
(ARG)
• seguir y valorar cadenas de argumentos
• saber lo que es una demostración matemática y cómo
se diferencia de otras clases de razonamiento y de
otras clases de razonamiento matemático (por
ejemplo el razonamiento heurístico)
• descubrir las ideas básicas en una línea argumental,
distinguiendo principales sublíneas a partir de
detalles, ideas y aspectos técnicos
21

REPRESENTAR OBJETOS Y
SITUACIONES MATEMÁTICAS
(REP)
• comprender, utilizar, decodificar e interpretar
diferentes clases de representaciones de objetos,
fenómenos y situaciones matemáticas y distinguir
entre ellos;
• comprender y utilizar las relaciones entre diferentes
representaciones de la misma entidad u objeto,
incluido el conocimiento de sus restricciones y
limitaciones;
• elegir entre diferentes representaciones y pasar de
unas a otras
22

UTILIZAR SIMBOLOS Y FORMALISMOS
MATEMÁTICOS
(REP)
• decodificar e interpretar lenguaje matemático
simbólico y formal y comprender sus relaciones con
el lenguaje natural;
• comprender la naturaleza y las reglas de los sistemas
matemáticos formales (desde ambos puntos de vista,
sintáctico y semántico);
• traducir entre el lenguaje natural y el lenguaje
simbólico/formal;
• utilizar y manipular sentencias y expresiones que
contienen símbolos y formulas.
23

COMUNICAR EN, CON Y SOBRE LAS
MATEMÁTICAS
(CO)
• comprender los textos escritos, las expresiones
visuales o las frases orales de otros, en una variedad
de registros lingüísticos, sobre cuestiones materias o
temas de contenido matemático;
• expresarse uno mismo sobre tales cuestiones materias
o temas, con diferentes niveles de precisión teórica y
técnica, de forma oral, visual o escrita;
24

UTILIZAR RECURSOS AUXILIARES Y
HERRAMIENTAS (tecnológicas, entre otras)
• conocer la existencia y propiedades de varias
herramientas y recursos para la actividad matemática,
sus alcances y limitaciones;
• ser capaces de usar racionalmente tales recursos y
herramientas.
25

Competencias matemáticas
Algunos ejemplos
• 1.a.- Dos hermanos se quieren repartir un campo
rectangular en partes iguales. ¿Cómo lo pueden hacer?.
¿De cuántas maneras distintas?. ¿Cómo pueden estar
seguros de que los trozos son iguales?
PR
MO
PRP
ARG CO
REP
• 1.b.- Sin hacer la multiplicación ¿se puede saber si 17 x
28 es mayor o menor que 400?. Explica porqué. ¿Hay
varias formas de hacerlo?
PR
MO
PRP
ARG
CO
REP
26

Competencias matemáticas
Algunos ejemplos
PR
MO
PRP ARG CO REP
27

Competencias matemáticas
• El problema del tanque de agua
Tenemos un tanque vacio que se llena
de agua a la razón de un litro por
segundo. Lo que aparece en las
figuras siguientes son los resultados
de un proceso de construcción de un
modelo realizado por un grupo de
alumnos. En dicho proceso, los
alumnos han hecho ciertas
suposiciones sobre el tanque con las
que han dibujado el gráfico que
acompaña al dibujo del tanque.
Algunos ejemplos
• a) Describe cómo crees que los
alumnos realizaron el proceso de
modelización
• b) ¿Qué suposiciones hicieron?
• c) ¿Qué clase de modelo usaron?
• d) ¿Cuál puede ser el próximo paso
teniendo en cuenta el gráfico?
PR
MO
PRP
ARG
CO
REP
28

Competencias matemáticas
Algunos ejemplos
Fiesta escolar
Se va a celebrar una fiesta en el colegio a la que va a venir a tocar un famoso
grupo musical. La mayoría de los alumnos del centro y de otros centros
cercanos querrán asistir a la fiesta, de manera que es posible que se llene
el local.
Sabiendo que el grupo cobra una cantidad y que el colegio subvenciona con
otra cantidad, los organizadores te encargan la tarea de averiguar el
máximo número de personas que caben en el gimnasio y fijar un precio
para la entrada
Explica como harías para resolver el problema y los pasos necesarios para
encontrar la solución;
Completa la tarea como creas conveniente. Si falta información precisa, emplea
la estimación.
Los organizadores quieren convencer al Director del colegio mediante una
presentación corta de las conclusiones de tu trabajo,
Elabora un guión corto con los puntos clave para que dicha exposición sea
convincente.
PR
MO
PRP
ARG
CO
REP
29

Competencias matemáticas
Accidentes de tráfico
Algunos ejemplos
(nivel 3) (reflexión crítica sobre el proceso de modelización y su uso en una aplicación
real; evaluar el uso tendencioso de modelos matemáticos en general)
En la siguiente tabla se indica el número de muertes por accidente de tráfico
en un pais en una serie de años
Año 1960 1965 1970 1975 1980 1984
Número de accidentes 110 200 330 480 590 550
La tabla es utilizada por una marca de coches conocida para justificar la
necesidad de un nuevo sistema de seguridad instalado en sus vehículos.
El slogan que acompaña a la tabla es el siguiente: “Cada 10 años se duplica o
triplica el número de accidentes. Con nuestros vehículos equipados con el
sistema HB1 viajará más seguro!!!”
¿Es correcta la frase de la primera parte del slogan?. Justifica la respuesta
¿Porqué esta casa comercial utiliza este recurso matemático?
¿Es posible utilizar erróneamente las matemáticas?
PR
MO
PRP
ARG
CO
REP
30

Competencias matemáticas
Algunos ejemplos
Completa:
PR
MO
PRP ARG CO REP
Cada cuadrado tiene de área 1
¿Qué parte del total representa lo sombreado?
PR
MO
PRP
ARG
CO
REP
31

Utilidad de las competencias matemáticas
(según Niss)
1.- Propósitos normativos
Para especificar aspectos curriculares, fines, métodos, etc.
2.- Propósitos descriptivos
Para describir y caracterizar las prácticas de enseñanza de las
matemáticas en el aula, las respuestas de los estudiantes, los fines
que se persiguen con determinadas tareas, etc.
3.- Propósitos comparativos
Para comparar diferentes curricula, diferentes clases de educación
matemática, en diferentes niveles o en diferentes lugares, etc.
4.- Propósitos evaluadores
Como soportes metacognitivos para la evaluación de procesos y
resultados, tanto de profesores como de alumnos
32

Con la Educación Matemática que se
desarrolla en las aulas:
¿Se desarrollan las competencias matemáticas y en
qué medida?
¿Se cubren las necesidades y en qué medida?
¿Se alcanzan los fines establecidos y en qué medida?
¿Qué proporciona efectivamente y en qué medida? . .
Instrumentos, modos de pensar, modos de hacer y actuar,
¿A qué contribuye realmente y en qué medida? . .
Adaptación, autonomía, cultura.
evaluación
• Los datos; la información “objetiva”
• Una parte importante de las claves para mejorar la calidad de la
Educación Matemática
• El factor regulador
• El desencadenante de la polémica; de lo que se habla
33

¿Se desarrollan las competencias matemáticas?
¿Se cubren las necesidades?
¿Se alcanzan los fines establecidos?
¿Qué proporciona efectivamente? . .
¿A qué contribuye realmente? . .
evaluación
interna
externa
Evaluación de
competencias matemáticas
- PISA - OCDE 2003
- Evaluación de Diagnóstico en Andalucía
34

Evaluación del rendimiento
matemático PISA - OCDE 2003
35

Contribución de las matemáticas
Dominio que se evalúa
• “Alfabetización Matemática” ” (Mathematical Literacy).
capacidad para utilizar y hacer matemáticas en
situaciones reales, es decir, para analizar, razonar y
comunicar eficazmente cuando se enuncian, formulan y
resuelven problemas matemáticos en una variedad de
dominios y situaciones (OCDE)
pero también: comunicar, relacionarse con las matemáticas, valorar,
apreciar y disfrutar . . .
La alfabetización matemática se produce
mediante el desarrollo de competencias
matemáticas
36

En el ámbito laboral
Competencia
(PISA - OCDE)
• Cualidad o conjunto de cualidades individuales
relacionadas con el desempeño de un trabajo o una
profesión (capacitado, cualificado, apto, idóneo,
entendido, experto, diestro, capaz, eficiente, eficaz, hábil,
preparado)
En el ámbito educativo
• Ser capaz de hacer algo al término del proceso educativo
y haber desarrollado los procedimientos para continuar
aprendiendo de forma autónoma a lo largo de la vida
37

Competencias Básicas
(PISA - OCDE)
(Key competencies)
(DeSeCo Project (definición y selección de competencias (OCDE)))
“Conocimientos y destrezas esenciales para la participación plena en la
sociedad”
“Capacidad de responder a demandas complejas y llevar a cabo tareas
diversas de forma adecuada. . .”
“. . . combinación de destrezas, habilidades prácticas, conocimientos,
motivación, valores éticos, actitudes, emociones y otros componentes
sociales y de comportamiento adecuadas al contexto y que se movilizan
conjuntamente para lograr una acción eficaz”
• Son algo más que conocimientos y destrezas.
• Constituyen un “saber hacer” que se aplica en diversidad de contextos.
• Poseen un carácter integrador, de modo que cada competencia abarca
conocimientos, procedimientos y actitudes.
• Se construyen con la interrelación de saberes de distintos ámbitos educativos.
38

Competencias Matemáticas
(PISA - OCDE)
• El concepto de competencia matemática
está íntimamente relacionado con el punto
de vista funcional de las matemáticas,
que tiene que ver con (OCDE):
• las matemáticas como “modo de hacer”
• la utilización de herramientas matemáticas
• el conocimiento matemático en
funcionamiento
39

Competencias matemáticas Pisa 2003
• Pensar y razonar (tipos de enunciados, cuestiones propias de
las matemáticas) (PR)
• Argumentar (pruebas matemáticas, heurística, crear y
expresar argumentos matemáticos) (ARG)
• Comunicar (expresión matemática oral y escrita, entender
expresiones, transmitir ideas matemáticas) (CO)
• Modelizar (estructurar el campo, interpretar los modelos,
trabajar con modelos) (MO)
• Plantear y resolver problemas (PRP)
• Representar y simbolizar (codificar, decodificar e interpretar
representaciones, traducir entre representaciones) (REP)
40

Niveles de complejidad por grupos de
competencias (niveles teóricos a efectos de
diseño de las pruebas)
REPRODUCCIÓN CONEXION REFLEXIÓN
- Contextos familiares
- Conocimientos
practicados
- Aplicación de
algoritmos estándar
- Realización de
operaciones sencillas
- Uso de fórmulas
elementales
- Contextos menos
familiares
- Interpretar y explicar
- Manejar y relacionar
diferentes sistemas de
representación
- Seleccionar y usar
estrategias de
resolución de
problemas no
rutinarios
- Tareas que requieren
comprensión y
reflexión
- Creatividad
- Ejemplificación y uso
de conceptos
- Relacionar
conocimientos para
resolver problemas
complejos
- Generalizar y justificar
resultados obtenidos
41

Tarea de evaluación PISA
Pregunta 19: ESTANTERÍAS
Para construir una estantería un carpintero necesita lo siguiente:
4 tablas largas de madera,
6 tablas cortas de madera,
12 ganchos pequeños,
2 ganchos grandes,
14 tornillos.
El carpintero tiene en el almacén 26 tablas largas de madera, 33 tablas cortas de madera,
200 ganchos pequeños, 20 ganchos grandes y 510 tornillos.
¿Cuántas estanterías completas puede construir este carpintero?
Respuesta: estanterías.

Tarea de evaluación PISA
Pregunta 3: CUBOS
En esta fotografía puedes ver seis dados, etiquetados desde la (a) a la (f). Hay una regla que es válida para todos los
dados: La suma de los puntos de dos caras opuestas de cada dado es siempre siete.
Escribe en cada casilla de la tabla siguiente el número de puntos que tiene la cara inferior del dado correspondiente que
aparece en la foto.
(a) (b) (c)
(d) (e) (f)

Tarea de evaluación PISA
EL MEJOR COCHE
Una revista de coches utiliza un sistema de puntuaciones para evaluar los nuevos coches y concede el premio de
Mejor coche del año al coche con la puntuación total más alta. Se están evaluando cinco coches nuevos. Sus
puntuaciones se muestran en la tabla.
Las puntuaciones se interpretan de la siguiente manera: 3 puntos – Excelente; 2 puntos –
Bueno; 1 punto - Aceptable
Para calcular la puntuación total de un coche, la revista utiliza la siguiente regla, que da una
suma ponderada de las puntuaciones individuales:
Puntuación total - (3x S) + C + D + H
Calcula la puntuación total del coche Ca. Escribe tu contestación en el
espacio siguiente.
Puntuación total de Ca:
Pregunta 38: El fabricante del coche Ca pensó que la regla para obtener la puntuación
total no era justa. Escribe una regla para calcular la puntuación total de modo que el coche Ca
sea el ganador.
Tu regla debe incluir las cuatro variables y debes escribir la regla rellenando con números positivos los cuatro
espacios de la ecuación siguiente.
Puntuación total = .......…..S + ..... ……C + .... …..D + ......……H.

Evaluación de Diagnóstico
Consejería de Educación
Junta de Andalucía
45

• Fin general: Evaluación del rendimiento del alumnado
como parte de un proceso de evaluación más amplio
• Tipo: Evaluación censal, para información a los propios
centros, y muestral con carácter de evaluación externa
• Contenido: Evaluación de competencias, en el mismo
sentido que la evaluación del proyecto PISA 2003
• Objetivos
• mejorar el rendimiento de los alumnos
• favorecer la cooperación e integración de esfuerzos
• conocer el grado de consecución de los objetivos
educativos
• potenciar modelos de evaluación formativa
46

Competencia: combinación de
conocimientos, capacidades y actitudes
adecuadas al contexto
Competencias básicas: aquéllas que van a
permitir a la persona, en esta sociedad del
conocimiento, lograr una realización de su
ser individual, social (ciudadanía activa) y
su inclusión en el mundo laboral.
47

• Tipos de competencias básicas
• Comunicación en lengua materna
• Comunicación en lenguas extranjeras
• Competencia matemática y competencias
básicas en ciencia y tecnología
• Competencia digital (TIC)
• Aprender a aprender
• Competencias interpersonales, interculturales,
sociales y cívicas
• Espíritu de empresa
• Expresión cultural
48

• Competencia matemática
capacidad del individuo para resolver situaciones prácticas
cotidianas, utilizando para este fin los conceptos y
procedimientos matemáticos
Habilidad para utilizar sumas, restas, multiplicaciones,
divisiones y fracciones en el cálculo mental escrito con el
fin de resolver diversos problemas en situaciones
cotidianas.
Descartamos el mero aprendizaje de conocimientos y
procedimientos matemáticos en sí mismos, poniendo el énfasis
sobre la aplicación a situaciones de la vida real
Entraña la capacidad y la voluntad de utilizar modos matemáticos
de pensamiento (pensamiento lógico y espacial) y
representación (fórmulas, modelos, construcciones, gráficos y
diagramas)
49

Competencias Matemáticas específicas /
elementos de competencia matemática
(Evaluación de Diagnóstico Junta de Andalucía)
• Competencia 1. Organizar, comprender e
interpretar información
• Identifica el significado de la información
numérica y simbólica.
• Ordena información utilizando procedimientos
matemáticos.
• Comprende la información presentada en un
formato gráfico.
50

Competencias Matemáticas específicas /
elementos de competencia matemática
(Evaluación de Diagnóstico Junta de Andalucía)
• Competencia 2. Expresar
• Se expresa utilizando vocabulario y símbolos
matemáticos básicos.
• Utiliza formas adecuadas de representación
según el propósito y naturaleza de la situación.
• Expresa correctamente resultados obtenidos al
resolver problemas
• Justifica resultados expresando argumentos
con una base matemática.
51

Competencias Matemáticas específicas /
elementos de competencia matemática
(Evaluación de Diagnóstico Junta de Andalucía)
• Competencia 3. Plantear y resolver problemas
• Traduce las situaciones reales a esquemas o
estructuras matemáticos.
• Valora la pertinencia de diferentes vías para
resolver problemas con una base matemática.
• Selecciona estrategias adecuadas.
• Selecciona los datos apropiados para resolver
un problema.
• Utiliza con precisión procedimientos de cálculo,
fórmulas y algoritmos para la resolución de
problemas.
52

Tarea de evaluación Primaria
53

Tarea de evaluación ESO
54

Nuevas orientaciones
oficiales. Desarrollo de la
LOE para Primaria

• La ley Orgánica de Educación, 2/2006,
de 3 de mayo, en su artículo 6: . . . el
currículo es “el conjunto de objetivos,
competencias básicas, , contenidos,
métodos pedagógicos y criterios de
evaluación de cada una de las
enseñanzas . . .”
56

Competencias básicas en la LOE
- Competencia matemática
- Aprender a aprender
- Autonomía e iniciativa personal
- Conocimiento e interacción con el mundo físico
- Tratamiento de la información y competencia digital
- Competencia social y ciudadana
- Comunicación lingüística
- Competencia cultural y artística
57

La competencia matemática en la LOE
Habilidad para utilizar números y operaciones,
formas de expresión y razonamiento matemático
para producir e interpretar informaciones, conocer
aspectos cuantitativos y espaciales y resolver
problemas. Asimismo, se incluyen los siguientes
aspectos: identificación de situaciones
matematizables, selección de técnicas adecuadas
y aplicación de estrategias de resolución de
problemas.
58

La competencia matemática en la LOE
El énfasis se pone en:
• elementos matemáticos básicos
• procesos de razonamiento para: resolución de
problemas, obtención de información,
valoración de la validez de informaciones y
argumentaciones;
• para lo cual es importante: espíritu crítico
fundado, confianza en las propias habilidades,
actitudes positivas, espontaneidad, seguridad,
efectividad, habilidad para tomar decisiones, . .
59

Claves para una nueva formación
matemática de calidad
• Propuestas generales
• Alfabetización Matemática
• Comprensión de las Matemáticas
• Competencias: tipos y niveles
• Aprender a matematizar
• Situaciones Didácticas. Ejemplos
• Proceso Didáctico
• Objetivos, contenidos, capacidades, competencias y
situaciones didácticas
• Diseño de Unidades Didácticas. Ejemplo
60

Algunas propuestas y principios generales
(NCTM, Junta de Andalucía, Investigaciones en Educación
Matemática)
• Igualdad: matemáticas para todos; respeto a las diferencias;
atención a la diversidad; necesidades educativas especiales:
Tratamiento didáctico unificado y espacio didáctico común +
apoyo y tratamiento compensatorio
• Currículo: bien estructurado y articulado y basado en
matemáticas importantes
• Enseñanza: Medio rico en experiencias matemáticas
motivadoras y clima adecuado para aprender
• Aprendizaje: APRENDIZAJE CON COMPRENSIÓN
• Evaluación: Formativa y técnicas múltiples
• Tecnologías: Recursos imprescindibles
(ver: Principios y estándares. NCTM-SAEM Thales. 2000)
61

Propósito fundamental:
Formación para la alfabetización matemática
• Pensar con ideas matemáticas empleando un conjunto de
instrumentos y capacidades matemáticas en las relaciones
cotidianas con el entorno, de manera espontánea y con plena
conciencia de su importancia y necesidad;
• Comprensión, dominio y desarrollo de conceptos, procedimientos
y actitudes; técnicas y destrezas; utilidad social; relaciones con los
valores de equidad, objetividad y rigor; creatividad, ingenio y
belleza de las matemáticas en contextos (aplicación) siempre que
sea posible;
• La comprensión y los conocimientos como medios y no como fines
o metas del proceso conducen a la alfabetización satisfactoria, y
esta se manifiesta en términos de competencias
62

Competencias: tipos y niveles
• Competencia
• Competencias básicas
• Competencia Matemática
• Competencias Matemáticas específicas /
elementos de competencia matemática
63

Concepto de competencia
• Dominio de aspectos esenciales de un campo
• Capacidad de hacer (capacidad de respuesta): capacidad de
respuesta a demandas complejas y de resolución de tareas
diversas de forma adecuada (OCDE)
• Aptitud potencial: Combinación / conjunto integrado de
conocimientos, capacidades, habilidades prácticas, valores,
actitudes y otros componentes sociales y de comportamiento
adecuados al contexto (Junta de Andalucía).
64

Concepto de competencia básica
• La competencia que deben adquirir los alumnos y que sirven de
criterio para evaluar los resultados de los Sistemas Educativos
(PISA)
• Competencia necesaria para una capacitación mínima de los
alumnos en el sentido de (LOE y Junta de Andalucía):
• Contribuir a obtener resultados de alto valor personal y social,
como la inclusión en el mundo laboral o la ciudadanía activa
• Aplicable a un amplio abanico de contextos y ámbitos
relevantes
• Permitir superar con éxito exigencias complejas en la sociedad
del conocimiento
• Se caracteriza por saber hacer en diversidad de contextos, con un
carácter integrador y está constituida por interrelación de saberes
de distintos ámbitos educativos
65

• Competencia matemática
Competencias básicas
(LOE y Junta de Andalucía)
• Conocimiento e interacción con el mundo físico
• Competencia matemática y competencias básicas en ciencia y
tecnología
• Aprender a aprender
• Aprender a aprender
• Autonomía e iniciativa personal
• Competencia social y ciudadana
• Competencias interpersonales, interculturales, sociales y cívicas
• Espíritu de empresa
• Tratamiento de la información y competencia digital
• Competencia digital (TIC)
• Comunicación lingüística
• Comunicación en lengua materna
• Comunicación en lenguas extranjeras
• Competencia cultural y artística
• Expresión cultural
66

Competencia Matemática
(Evaluación de Diagnóstico Junta de Andalucía)
• Habilidad para utilizar sumas, restas,
multiplicaciones, divisiones y fracciones en el cálculo
mental escrito con el fin de resolver diversos
problemas en situaciones cotidianas.
• El énfasis se sitúa en el proceso y en la actividad,
aunque también en los conocimientos
• capacidad y voluntad de utilizar modos matemáticos
de pensamiento (pensamiento lógico y espacial) y
representación (fórmulas, modelos, construcciones,
gráficos y diagramas)
67

Competencia Matemática
(LOE)
• Habilidad para utilizar números y operaciones, formas de
expresión y razonamiento matemático para producir e interpretar
informaciones, conocer aspectos cuantitativos y espaciales y
resolver problemas, identificación de situaciones matematizables,
selección de técnicas adecuadas y aplicación de estrategias de
resolución de problemas.
• El énfasis se pone en: elementos matemáticos básicos y procesos
de razonamiento
• para: resolución de problemas, obtención de información, valoración de la
validez de informaciones y argumentaciones, etc.
• para lo cual es importante: espíritu crítico fundado, confianza en las
propias habilidades, actitudes positivas, espontaneidad, seguridad,
efectividad, habilidad para tomar decisiones, etc.
68

Competencias Matemáticas específicas /
elementos de competencias matemáticas
(Evaluación de Diagnóstico Junta de Andalucía; PISA)
• Competencia 1. Organizar, comprender e interpretar información
• Identifica el significado de la información numérica y simbólica.
• Ordena información utilizando procedimientos matemáticos. (PENSAR Y RAZONAR)
• Comprende la información presentada en un formato gráfico.
• Competencia 2. Expresar
• Se expresa utilizando vocabulario y símbolos matemáticos básicos. (COMUNICAR)
• Utiliza formas adecuadas de representación según el propósito y naturaleza de la situación.
(REPRESENTAR Y SIMBOLIZAR)
• Expresa correctamente resultados obtenidos al resolver problemas
• Justifica resultados expresando argumentos con una base matemática. (ARGUMENTAR)
• Competencia 3. Plantear y resolver problemas
• Traduce las situaciones reales a esquemas o estructuras matemáticos. (MODELIZAR)
• Valora la pertinencia de diferentes vías para resolver problemas con una base matemática.
• Selecciona estrategias adecuadas.
• Selecciona los datos apropiados para resolver un problema.
• Utiliza con precisión procedimientos de cálculo, fórmulas y algoritmos para la resolución de problemas.
(PLANTEAR Y RESOLVER PROBLEMAS)
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¿Cómo se adquieren, desarrollan y consolidan
las competencias matemáticas específicas y su
contribución a las competencias básicas?
• Aprendiendo a matematizar o “hacer
matemáticas”
• Mediante tareas y situaciones didácticas
adecuadas
• Organizadas en procesos didácticos bien
planificados
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¿Cómo se aprende a matematizar?
lo que significa:
Haciendo matemáticas
• 1.- Identificar y localizar un problema (real o ficticio)
• 2.- Organizar la información de acuerdo con conceptos
matemáticos
• 3.- Generalizar, decidir, formalizar y modelizar
• 4.- Resolver el problema (aumentar/mejorar la
información inicial de manera relevante)
• 5.- Discutir y dar sentido a la solución
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Procesos de matematización
• matematización horizontal
traducir el problema a términos matemáticos: identificar los
conceptos relevantes, representar, analizar y comprender las
relaciones, encontrar regularidades y patrones, reconocer
problemas similares, modelizar, utilizar herramientas adecuadas
para resolver
• matematización vertical
utilizar diferentes representaciones, utilizar el lenguaje en sus
diferentes facetas, ajustar y refinar los modelos, argumentar y
generalizar
• reflexión, interpretación y validación
justificar los resultados, analizar los argumentos, comunicar el
proceso y la solución, criticar el modelo
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Proceso de matematización y su relación con
las competencias matemáticas PISA-OCDE
Matematización
horizontal
Situación real
MODELIZAR
REPRESENTAR
SIMBOLIZAR
Situación traducida a
términos matemáticos
PLANTEAR Y
RESOLVER
PROBLEMAS
PENSAR Y
RAZONAR
Matematización
vertical
Validación y
reflexión
ARGUMENTAR,
JUSTIFICAR,
GENERALIZAR
COMUNICAR
EXPLICAR
Resolución
(utilización de
conceptos y
procedimientos
matemáticos)
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Tareas y Situaciones Didácticas:
Categorías relevantes para el desarrollo de las
competencias básicas
I. Conocimiento como medio / como fin
II. Cerradas / abiertas
III. Muy estructuradas / Poco estructuradas
IV. Ejercicio / Problema / otros
V. Escolares / reales / otras
VI. Aprendizaje / Enseñanza / Evaluación
VII. Por Niveles de funcionalidad didáctica
VIII. Por Niveles de complejidad de capacidades y
competencias
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VII.- Por Niveles de funcionalidad didáctica
Se pueden establecer Niveles de potencialidad didáctica creciente, en los que las tareas
superiores incluyen a las inferiores en conocimientos y relaciones
Tarea 1.- Efectúa la siguiente multiplicación: 385
x 64
Contenidos: A) algoritmo de multiplicar, las tablas de multiplicar, la suma con llevadas.
Competencias: A) PR, REP
Tarea 2.- Completa:
8
x 4
5 5 0
2 1 0
Contenidos: B)
Competencias: B)
2 6 0
A) + sistema posicional, iniciación al álgebra, variable, igualdad
A) + PRP, ARG
Tarea 3.- Un rectángulo tiene 24.640 metros cuadrados. ¿Cuáles son sus medidas
exactas sabiendo que el largo es menor de 4 hectómetros siendo 8 la cifra de los
decámetros y que el ancho es menor que un hectómetro y es 8 la cifra que indica los
metros?.
Contenidos: C)
rectángulo
Competencias: C)
B) + longitud, superficie, área, medida, rectángulo, área del
B) + MO
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VII.- Por Niveles de funcionalidad didáctica
Tarea 3 . . .
Tarea 4.- Un tasador de parcelas rústicas dispone para medir de una cuerda de
10 metros de longitud. Mide una parcela pero extravía algunos datos. Sabe
que la parcela mide 24.640 metros cuadrados, que el ancho mide un número
de veces la cuerda, que es menor que 10, más cuatro metros y que el largo
es una medida que termina en 8 y que es menor que 40 veces la cuerda.
¿Qué puede hacer el tasador para convencer al dueño de cuáles son las
dimensiones de la parcela?
Contenidos: D) C) + problema real, tasación, parcela, rústico
Competencias: D) C) + CO
Tarea 5.- Una Inmobiliaria encarga a una sociedad de tasación que realice un
estudio en una zona rústica que se va a parcelar para la construcción de
viviendas. Las parcelas deben ser rectangulares y de distintos tamaños de
acuerdo con varias clases de viviendas . . Hay que hacer un informe y
exponerlo al Consejo . .
Contenidos: E) D) + economía, precios, tiempo invertido, costes, etc.
Competencias: E)
D) matemáticas y otras
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VIII.- Por Niveles de complejidad de Capacidades y
Competencias Matemáticas específicas
• Tres Niveles de complejidad por grupos de
competencias (niveles teóricos): reproducción,
conexiones y reflexión
• Dos tipos de Conexiones por el contenido:
matemáticas y no matemáticas
• Dos tipos de Conexiones por su complejidad:
primarias y secundarias
Lo que da lugar a:
• seis tipos de situaciones didácticas o tareas
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VIII.- Por Niveles de complejidad de Capacidades y
Competencias Matemáticas específicas
• seis tipos de situaciones didácticas o tareas
- REPRODUCCIÓN Y ELEMENTOS BÁSICOS
- CONEXIONES
PRIMARIAS NO MATEMÁTICAS
PRIMARIAS MATEMÁTICAS
SECUNDARIAS NO MATEMÁTICAS
SECUNDARIAS MATEMÁTICAS
- REFLEXIÓN
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REPRODUCCIÓN Y ELEMENTOS
BÁSICOS

A).- Elementos básicos y tareas de
reproducción y representación
Características:
• Elementos básicos: Conceptos, procedimientos, técnicas, destrezas básicas,
expresiones, fórmulas, terminología y representación.
• Competencias a nivel primario elemental
• Conocimiento como fin
• Descontextualizado
• situaciones elementales típicamente escolares
• Situaciones totalmente estructuradas, simples, cercanas e inmediatas
• Vocabulario, terminología, ejemplos
Situaciones y tareas:
• ejercitación y práctica (“ejercicios de matemáticas”; prácticas de algoritmos,
técnicas y destrezas básicas; procedimientos);
• lectura y escritura matemática; terminología. Representación y lenguaje
matemático;
• memorización (tablas, fórmulas, reglas);
• cultura matemática: explicaciones, ejemplos, historia, curiosidades

A).- Elementos básicos y tareas de
reproducción y representación: EJEMPLOS

CONEXIONES

B1).- Conexiones primarias no matemáticas
Situaciones estructuradas de modelización primaria o elemental
Características:
• Comprensión y Competencias a nivel primario elemental
• Conocimiento como medio,
• contextualizado y aplicado
• situaciones elementales,
• Muy estructuradas, simples, cercanas e inmediatas
• Primeras aplicaciones, primeras relaciones
Situaciones y tareas
• Modelos manipulativos. Material Didáctico específico para Matemáticas
(regletas, bloques multibase, ábacos, etc.)
• Recursos orientados específicamente (uso restringido a un contenido)
• Juegos y pasatiempos relacionados con las Matemáticas
• Modelos reales elementales. Situaciones reales o ficticias copiadas de la
realidad, pero con carácter específico o restringidas a un conocimiento
matemático concreto (problemas tradicionales de enunciado verbal con
contenido no matemático).

B1).- Conexiones primarias no matemáticas
EJEMPLOS

B2).- Conexiones primarias matemáticas
Situaciones estructuradas de contenido matemático; pensamiento matemático elemental
Características:
• Comprensión y Competencias a nivel primario elemental
• Conocimiento como medio,
• contextualizado y aplicado a las matemáticas
• situaciones elementales,
• Muy estructuradas, simples, cercanas e inmediatas
• Primeras aplicaciones, primeras relaciones matemáticas
Situaciones y tareas
• Tareas de relación de un conocimiento concreto con otros conocimientos
matemáticos: relaciones “verticales” (previos (referentes), siguientes (en los
que se utiliza)) y relaciones “horizontales” (con otros contenidos
matemáticos o bloques del mismo o distinto nivel).
• Tareas de análisis (multiplicación con cifras desconocidas, cuadrado mágico,
etc.)
• Problemas de enunciado verbal de contenido matemático específico
(restringido a un contenido concreto)

B2).- Conexiones primarias matemáticas
EJEMPLOS

C1).- Conexiones secundarias no matemáticas
Situaciones no estructuradas de modelización avanzada
Características:
• Comprensión y Competencias a nivel secundario o global;
• Conocimiento como medio, contextualizado y aplicado de carácter avanzado
• Orientado a situaciones no elementales no estructuradas o poco estructuradas
y complejas;
• Aplicaciones y relaciones amplias y en toda su extensión dependiendo del
nivel
Situaciones y tareas
• Material manipulativo general, no específico
• Recursos generales no orientados (uso amplio en variedad de temas)
• Realidad en toda su extensión. Visión global. Relaciones amplias
• Problemas modelizables con toma de decisiones y gestión de la información.

C1).- Conexiones secundarias no matemáticas
EJEMPLOS

C2).- Conexiones secundarias matemáticas
Situaciones no estructuradas de contenido matemático avanzado; pensamiento
matemático avanzado
Características:
• Comprensión y Competencias a nivel secundario o global;
• Conocimiento como medio, contextualizado y aplicado de carácter avanzado
• Orientado a situaciones matemáticas no elementales no estructuradas o poco
estructuradas y complejas;
• Aplicaciones y relaciones amplias y en toda su extensión dependiendo del
nivel
Situaciones y tareas
• Problemas amplios y complejos de contenido matemático o no ubicables
fácilmente dentro de un contenido matemático específico
• Propiedades, teoremas. Teorías matemáticas y sus relaciones con otros
conocimientos.

C2).- Conexiones secundarias matemáticas
EJEMPLOS

C2).- Reflexión
Características:
• reflexión, validación y formalización
• razonamiento y argumentación para resolver
problemas originales
• Conocimiento como fin,
• recapitulación; institucionalización.

C2).- Reflexión
EJEMPLOS

Competencias Matemáticas específicas: Pensamiento, situaciones y Niveles
Pensamiento matemático Conocimientos y tareas Tipos de situaciones
didácticas
Niveles de competencias
matemáticas
1.-Pensamiento matemático
básico o de reproducción
Contenidos, destrezas, técnicas,
términos, tareas de
reproducción,
A
Reproducción
ELEMENTALES
2.-Pensamiento matemático
aplicado simple
Aplicaciones prácticas puntuales;
problemas de enunciado verbal
de contenido no matemático
B1
Conexiones no
matemáticas
elementales
ELEMENTALES
3.-Pensamiento matemático
heurístico elemental
Aplicaciones matemáticas
elementales. Problemas de
enunciado verbal de contenido
matemático
B2
• Conexiones
matemáticas
elementales
ELEMENTALES
4.-Pensamiento matemático
aplicado complejo,
integrado o globalizado
Aplicaciones reales complejas.
Situaciones no estructuradas.
Visión global; conexiones y
relaciones amplias
C1
• Conexiones no
matemáticas
complejas
AVANZADAS
5.-Pensamiento
avanzado
matemático
Situaciones de reflexión.
Conocimiento matemático
profundo. Teorías y conexiones
matemáticas amplias
C2 y D
• Conexiones
matemáticas
complejas
AVANZADAS
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Un Ejemplo: polígonos (Primaria)
• A.- polígono y poligonal; clases de polígonos; nombres; algunas
propiedades; fórmulas de áreas de polígonos; representación; etc.
• B1.- problemas de enunciado verbal de contenido no
matemático; mosaicos; geoplano; tramas isométricas; tangram;
teselaciones del plano
• B2.- dibujo de polígonos con regla y compás; problemas de
enunciado verbal de contenido matemático; cálculo de áreas y
perímetros;
• C1.- Pavimentos; decoración; cajas; diseño gráfico;
• C2.- Formas matemáticas; belleza; apilamiento; encaje; estudio
matemático de mosaicos; estabilidad; naturaleza; armonía;
volúmenes, plano y espacio;
• D.- Explicaciones; ejemplos; definiciones; propiedades
topológicas, proyectivas y euclídeas; geometría del plano; etc.
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Competencias y desarrollo del Proceso Didáctico
A
A
Procesos de
matematización
A y D
Conexiones no
Matemáticas
B1
Mayor complejidad
Inicio del proceso didáctico
A
Procesos de
matematización
Conexiones
Matemáticas
B2
A
Competencias
elementales
C1
D y A
Procesos de
matematización
Procesos de
matematización
Mayor complejidad
C2
A y D
Competencias
avanzadas
D y A
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Ejemplo: Resolución de ecuaciones
de segundo grado
• Unidad completa en 3º de ESO
• Material para el alumno (caja puzzle, cuaderno de
actividades)
• Guía del uso del material para el profesor
• Instrumentos de observación y evaluación del
rendimiento
• Grupo experimental – grupo control
• Resultados muy satisfactorios
• Parte tesis doctoral Larrubia, J. J. (2005)
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Resolución de ecuaciones de segundo grado con
puzzle algebraico en 3º de ESO
97

Resolución de ecuaciones de segundo grado con
puzzle algebraico en 3º de ESO
98

Resolución de ecuaciones de segundo grado con
puzzle algebraico en 3º de ESO
99

Resolución de ecuaciones de segundo grado con
puzzle algebraico en 3º de ESO
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Necesidades urgentes
• Más tiempo dedicado a las matemáticas
• Nuevos fines y nuevo enfoque del trabajo en el
aula
• Material didáctico adecuado y medios para
adquirirlo
• Apoyo al profesorado
• Mejora sustancial de los programas de
preparación específica del profesorado
(Didáctica de la Matemática)
• Más información en el curso sobre el tema
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