Cantidad de movimiento - Ejercicios de física y matemática

CANTIDAD DE MOVIMIENTO
La cantidad de movimiento, o momentum o momento lineal, de una partícula de masa
m que se mueve con una velocidad v es un vector con la dirección y sentido de la
velocidad y se define como el producto de la masa y la velocidad:
su unidad es kg m/s
Si una partícula se mueve en una dirección cualquiera de un plano, p tendrá dos
componentes p x y p y.
La cantidad de movimiento de una partícula se relaciona con la segunda ley de
Newton por la expresión:
Consideremos dos partículas que pueden interactuar entre sí, chocando por ejemplo,
que se encuentran aisladas de sus alrededores. Al suceder la interacción cada
partícula ejerce una fuerza sobre la otra. Esas fuerzas, recordando la tercera ley de
Newton, son iguales en magnitud, dirección pero en sentidos contrarios y no se anulan
pues la fuerza que ejerce una partícula afecta a la otra y viceversa, por lo que habrá
consecuencias en cada partícula, por ejemplo un cambio en la velocidad respecto a la
que tenían antes de la interacción.
Cuando se produce la interacción las únicas fuerzas que intervienen provienen del
suceso en sí, por lo que no hay fuerzas externas, por lo tanto la cantidad de
movimiento del sistema de partículas es el mismo antes y después de la interacción.
Esto constituye el principio de conservación de la cantidad de movimiento.
Si las partículas son m 1 y m 2 con velocidades v 1 y v 2 respectivamente, antes de la
interacción, después de ella puede suceder que:
a) sigan juntas: en este caso después de la interacción se tendrá m’ = m 1 + m 2 , y
tendrán una velocidad común u.
Y matemáticamente se tendrá: m 1 v 1 + m 2 v 2 = m’u
b) sigan separadas: en este caso después de la interacción las masas continuarán
siendo las mismas, al menos eso se considerará aquí, y con velocidades u 1 y u 2
respectivamente.
Y matemáticamente se tendrá: m 1 v 1 + m 2 v 2 = m 1 u 1 + m 2 u 2
Como ya se mencionó, la cantidad de movimiento de una partícula cambiará producto
de una fuerza que recibe durante una interacción.
En la relación
se tiene dp = Fdt, lo que con integración, da:
∆p = F ∆t
donde ∆p es la variación de cantidad de movimiento que experimenta la partícula.
p f – p i = F(t f – t i )
que también recibe el nombre de impulso (J)
J = ∆p = F ∆ t
Hernán Verdugo Fabiani
Profesor de Matemática y Física
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siendo t = t f - t i
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El impulso de la fuerza F es igual al cambio en la cantidad de movimiento de una
partícula. Esto se conoce como el teorema del impulso y la cantidad de movimiento.
En una colisión, se supone que las fuerzas de interacción de las partículas que
intervienen son mucho mayores que las posibles fuerzas externas.
En una colisión, ya se mencionó, la cantidad de movimiento se conserva, sin embargo
no siempre sucede lo mismo con la energía cinética de las partículas, pues parte de
ella se disipa en forma de energía térmica, en energía potencial elástica si los objetos
se deforman y en energía rotacional.
En función de la conservación o no de la energía cinética, a partir de una colisión, se
definen la colisión inelástica, la colisión perfectamente inelástica y la colisión elástica.
Una colisión es inelástica si la energía cinética, en una colisión, no se conserva.
Una colisión es perfectamente inelástica si después de la interacción, las partículas
continúan unidas. Aquí tampoco se conserva la energía cinética.
Una colisión es elástica (cuando las partículas "rebotan") si la energía cinética total se
conserva.
Entonces, si la colisión es elástica, para dos partículas de masas m 1 y m 2 , con
velocidades v 1 y v 2 antes de la colisión y velocidades u 1 y u 2 después de la colisión, se
tendrá:
m 1 v 1 + m 2 v 2 = m 1 u 1 + m 2 u 2
En una colisión bidimensional de dos partículas, se cumple que:
m 1 v 1x + m 2 v 2x = m 1 u 1x + m 2 u 2x
m 1 v 1y + m 2 v 2y = m 1 u 1y + m 2 u 2y
1. Una partícula de 3 kg tiene una velocidad de 3i – 4j m/s. Encuentre sus
componentes de momentum y la magnitud de su momentum total. (9i – 12j kgm/s, 15
kgm/s)
2. Una bola de boliche de 7 kg se mueve en línea recta a 3 m/s. ¿Qué tan rápido debe
moverse una bola de ping pong de 2,45 g en un línea recta de manera que las dos
bolas tengan el mismo momentum?
3. Un niño bota una gran pelota sobre una acera. El impulso lineal entregado por la
acera a la pelota es de 2 Ns durante 1/800 s de contacto. ¿Cuál es la magnitud de la
fuerza promedio ejercida por la acera sobre la pelota? (1,6 kN)
4. Una gran pelota con una masa de 60 g se deja caer desde una altura de 2 m.
Rebota hasta una altura de 1,8 m. ¿cuál es el cambio de momento lineal durante el
choque con el piso?
5. La fuerza F, que actúa sobre una partícula de 2 kg varía en el tiempo, como se
muestra en la figura, encuentre: a) el impulso de la fuerza, b) la velocidad final de la
partícula si inicialmente está en reposo, c) su velocidad final si al principio se mueve a
lo largo del eje x con una velocidad de –2 m/s, y d) la fuerza promedio ejercida sobre
la partícula en el espacio de tiempo de 0 a 5 s. (a) 12 kgm/s, b) 6 m/s, c) 4 m/s)
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6. Si dos partículas tienen energías cinéticas iguales, ¿sus momentos son
necesariamente iguales?. Explique.
7. Una curva fuerza – tiempo estimada para una pelota de béisbol golpeada por un
bate se muestra en la figura. A partir de esta curva, encuentre: a) el impulso dado a la
pelota, b) la fuerza ejercida sobre la pelota, c) la fuerza máxima ejercida sobre la
misma. (a) 13,5 kgm/s, b) 9.000 N, c) 18.000 N)
8. ¿Es posible tener un choque donde se pierda toda la energía cinética? Si es así,
cite un ejemplo.
9. Una ametralladora dispara balas de 35 g a una velocidad de 750 m/s. Si el arma
puede disparar 200 balas/min, ¿cuál es la fuerza promedio que el tirador debe ejercer
para evitar que la ametralladora se mueva? (87,5 N)
10. a) Si el momento de un objeto se duplica en magnitud, ¿qué ocurre con su energía
cinética? b) Si la energía cinética de un objeto se triplica, ¿qué sucede con su
momento?
11. Un balón de rugby de 0,5 kg se lanza con una velocidad de 15 m/s. Un receptor
estacionario atrapa la pelota y la detiene en 0,02 s, a) ¿cuál es el impulso dado al
balón?, b) ¿cuál es la fuerza promedio ejercida sobre el receptor? (a) 7,5 kgm/s, b)
375 N)
12. Un auto se detiene frente a un semáforo. Cuando la luz vuelve a verde, el auto
acelera, aumentando su velocidad de 0 a 5,2 m/s en 0,832 s. ¿Qué impulso lineal y
fuerza promedio experimenta un pasajero de 70 kg en el auto?
13. Una pelota de béisbol de 0,15 kg se lanza con una velocidad de 40 m/s. Luego es
bateada directamente hacia el lanzador con una velocidad de 50 m/s, a) ¿cuál es el
impulso que recibe la pelota?, b) encuentre la fuerza promedio ejercida por el bate
sobre la pelota si los dos están en contacto 0,002 s. Compare este valor con el peso
de la pelota y determine si es válida o no la aproximación del impulso en esta
situación. (a) 13,5 kgm/s, b) 6.750 N..... ambas hacia el lanzador)
14. Un jugador de tenis recibe un tiro con una bola de 0,06 kg que viaja
horizontalmente a 50 m/s y lo regresa con la bola moviéndose horizontalmente a 40
m/s con la dirección opuesta. ¿Cuál es el impulso dado a la bola por la raqueta?
15. Una bola de acero de masa 3 kg golpea una pared con una velocidad de 10 m/s a
un ángulo de 60º con la superficie. Rebota con la misma velocidad y ángulo. Si la bola
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está en contacto con la pared durante 0,2 s, ¿cuál es la fuerza promedio ejercida por
la pared sobre la bola? (260 N, hacia la izquierda)
16. Una bomba, inicialmente en reposo, estalla en varios pedazos. A) ¿Su momento
lineal es constante?, b) ¿su energía cinética es constante? Explique.
17. Un hombre de 79,5 kg parado sobre un estanque congelado cercano a un muro
sostiene una bola de 0,5 kg. Lanza la bola al muro con una velocidad de 10 m/s (en
relación al suelo) y atrapa la bola después de que ésta rebota en el muro. A) ¿A qué
velocidad se mueve después de atrapar la bola? (ignore el movimiento de proyectil de
la bola y suponga que ésta no pierde energía en su choque con el muro), b) ¿cuántas
veces tiene que seguir este proceso el hombre antes de que su velocidad llegue a 1
m/s respecto del suelo? (a) 0,125 m/s, b) 8 veces)
18. Dos bloques de masas M y 3M se colocan sobre una superficie horizontal sin
fricción. Un resorte ligero se une a uno de ellos, y los bloques son empujados juntos,
con el resorte entre ellos. Una cuerda que los mantiene unidos se quema y después
de eso el bloque de masa 3M se mueve hacia la derecha con una velocidad de 2 m/s,
¿cuál es la velocidad del bloque de masa M?
19. Un astronauta de 60 kg camina en el espacio alejado de la nave espacial cuando
la línea que lo mantiene unido a la nave se rompe. El puede lanzar su tanque de
oxígeno de 10 kg de manera que éste se aleje de la nave espacial con una velocidad
de 12 m/s para impulsarse a sí mismo de regreso a la nave. Suponiendo que inicia su
movimiento desde el reposo (respecto a la nave), determine la distancia máxima a la
cual puede estar del vehículo espacial cuando la línea se rompe e incluso regresar en
menos de 60 s. (120 m)
20. Carros de aire idénticos de masa 200 g están equipados con resortes idénticos de
k = 3.000 N/m. Los carros, que se mueven uno hacia el otro con velocidades de 3 m/s
sobre una pista de aire (sin fricción) horizontal, chocan y comprimen los resortes.
Encuentre la compresión máxima de cada resorte.
21. Una muchacha de 45 kg está parada sobre un tablón que tiene una masa de 150
kg. El tablón, originalmente en reposo, puede deslizarse libremente sobre un lago
congelado, el cual es una superficie de soporte plana y sin fricción. La muchacha
empieza a caminar a lo largo del tablón a una velocidad constante de 1,5 m/s en
relación con el tablón. A) ¿Cuál es su velocidad en relación con la superficie del hielo?,
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) ¿cuál es la velocidad del tablón respecto de la superficie de hielo? (a) 1,15 m/s, b) –
0,346 m/s)
22. Una bola de boliche de 7 kg inicialmente en reposo se deja caer desde una altura
de 3 m, a) ¿cuál es la velocidad de la tierra aproximándose a la bola justo antes de
que ésta golpee el suelo? Utilice 5,98x10 24 kg como masa de la tierra. B) Con su
respuesta anterior, justifique por qué no se toma en cuenta el movimiento de la tierra
cuando se trabaja con los movimientos de objetos terrestres.
23. Un meteorito de 2.000 kg tiene una velocidad de 120 m/s justo antes de chocar de
frente con la tierra. Determine la velocidad de retroceso de la tierra. (4,01x10 -20 m/s)
24. Una bala de 12 g se dispara contra un bloque de madera de 100 g inicialmente en
reposo sobre una superficie horizontal. Después del impacto el bloque se desliza 7,5
m antes de detenerse. Si el coeficiente de fricción entre el bloque y la superficie es
0,65. Determine la velocidad de la bala inmediatamente antes del impacto.
25. Una masa de 3 kg con una velocidad inicial de 5i m/s choca y queda unida a una
masa de 2 kg cuya velocidad inicial es de – 3j m/s. Determine la velocidad final de la
masa compuesta. (3i – 1,2j m/s)
26. Durante la batalla de Gettysburg el tiroteo fue tan intenso que varios proyectiles
chocaron en el aire y se fundieron. Suponga una bala de fusil de la Unión de 5 g que
se mueve a la derecha a 250 m y 20º sobre la horizontal, y una confederada de 3 g
que se mueve hacia la izquierda a 280 m/s y 15º sobre la horizontal. Inmediatamente
después de que se funden, ¿cuál es su velocidad?
27. Un núcleo inestable de 17x10 -27 kg de masa inicialmente en reposo se desintegra
en tres partículas. Una de ellas, de 5x10 -27 kg se mueve a lo largo del eje y con una
velocidad de 6x10 6 m/s. Otra partícula de masa 8,4x10 -27 kg se mueve a lo largo del
eje x con una velocidad de 4x10 6 m/s. Encuentre: a) la velocidad de la tercera
partícula, b) la energía total emitida en el proceso. (a) (-9,33x10 6 i – 8,33x10 6 j) m/s, b)
4,39x10 -13 J)
28. Un disco de goma de 0,3 kg, inicialmente en reposo sobre una superficie horizontal
sin fricción, es golpeado por otro disco similar de 0,2 kg que se mueve al principio a lo
largo del eje x con una velocidad de 2 m/s. Después del choque, el disco de 0,2 kg
tiene una velocidad de 1 m/s a un ángulo de 53º con el eje x positivo. Determine: a) la
velocidad del disco de 0,3 kg después del choque, b) la fracción de energía perdida en
el choque.
29. Una bala de 8 g se dispara contra un bloque de 2,5 kg inicialmente en reposo en el
borde de una mesa sin fricción de 1 m de altura. La bala permanece en el bloque y
después del impacto éste aterriza a 2 m del pie de la mesa. Determine la velocidad
inicial de la bala.
30. Una bala de 12 g se dispara horizontalmente contra un bloque de madera de 100 g
que está en reposo sobre una superficie horizontal rugosa, conectada a un resorte sin
masa de constante 150 N/m. Si el sistema bala bloque comprime el resorte 0,8 m,
¿cuál era la velocidad de la bala justo antes de entrar al bloque? Suponga que el
coeficiente de fricción cinética entre el bloque y la superficie es 0,6.
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