General form of the finite Hankel transform Forma general ... - SciELO

Rev. Téc. Ing. Univ. Zulia. Vol. 31, Edición Especial, 70 - 78, 2008
General form of the finite Hankel transform
Ovidio Pirela Cristalino 1 y Alfredo Villalobos Mena 2
1 Facultad de Arquitectura y Diseño. 2 Centro de Investigación de Matemática Aplicada (CIMA).
Facultad de Ingeniería, Universidad del Zulia, Apartado 10482. Maracaibo, Venezuela.
Telefax: (58) 0261-7598490/7598806. opirela@hotmail.com,
alfredovillalobosmena@yahoo.es.
Abstract
In this work the theory of Sturm-Liouville Finite Transforms is used to obtain a General Form of the
Finite Hankel Transform in the interval [a, b]. Differents transforms are obtained, as particular cases. Finally,
one of this transforms is applied to solve one boundary value problem.
Key words: Sturm-Liouville finite transforms, finite Hankel transforms.
Forma general de la transformada finita de Hankel
Resumen
En este trabajo de investigación se obtiene una forma general de la Transformada Finita de Hankel
en el intervalo [a, b], usando la teoría de las transformadas finitas de Sturm-Liouville. A partir de los resultados
generales se obtienen, como casos particulares, distintas transformadas finitas de Hankel. Finalmente
se aplica una de estas transformadas para resolver un problema de contorno.
Palabras clave: Transformadas finitas de Sturm-Liouville, transformadas finitas de Hankel.
Introducción
La técnica de las transformadas integrales
es uno de los métodos más poderosos para resolver
problemas en Ingeniería y otras ramas de la
Ciencia, ya que las ecuaciones diferenciales ordinarias
y en derivadas parciales con condiciones
iniciales y de borde, pueden ser resueltas de una
manera directa y sistemática, mediante este método.
Dentro del amplio campo de las transformadas
integrales existen las denominadas transformadas
finitas de Sturm-Liouville [17], las cuales
tienen múltiples aplicaciones. En particular,
las transformadas finitas de Hankel y algunas
generalizaciones de éstas, han sido ampliamente
usadas [2, 3, 7-10, 13, 14, 16, 18] en la resolución
de problemas de contorno. Recientemente,
algunos autores han publicado trabajos relacionados
con el tema aquí tratado [1, 5, 6, 11].
En este trabajo se obtiene una forma general
para la Transformada Finita de Hankel en el
intervalo [ ab, , ] la cual involucra las transformadas
comúnmente usadas y otras transformadas
adicionales de gran utilidad en algunas aplicaciones.
por
Transformadas finitas
de Sturm-Liouville
Sea L el operador diferencial lineal definido
1 d df ( x )
Lf( x)
qx ( ) r( x) f( x)
px ( ) dx
dx
(1)
donde qx ( ) C 2 [ ab , ], r( x) C [ a, b]
y qx ( )
px ( ) 0
para x [ a, b].
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Forma general de la transformada finita de Hankel 71
Sean M y N los operadores de contorno definidos
por
Mf a f( a) a f( a), Nf b f( b) b f( b) (2)
1 2
1 2
donde a 1
, a 2
, b 1
y b 2
son constantes conocidas tales
que al menos una de a 1
y a 2
y al menos una de
b 1
y b 2
es distinta de cero.
Se demuestra que si n y Kn ( x)son los valores
propios y las funciones propias del problema
de Sturm-Liouville [4]
( L )
K 0 , MK
NK
0 (3)
entonces la transformada finita definida por
b
T f( x); n f( n) p( x) K ( x) f( x)
dx (4)
a
tiene la propiedad que si f( x) C 1 [ a, b]
, entonces
T Lf( x); n f( n)
Mf Nf
(5)
donde
n n n
1
a2
q( a) Kn( a), ( a2
0)
n 1
a q( a) K
( a), ( a 0)
y
n
T 1
1
n
1
b2
q( b) K ( b), ( b2
0)
1
b q( b) K ( b), ( b 0)
donde
1
n
n
2
n
2
(6)
(7)
La fórmula de inversión correspondiente es
f( n) Kn( x)
f( n); x
fx)
2
n1
K ( x)
n
(8)
K ( x) p( x) K ( x)
dx
(9)
n
2
b
2
n
a
Transformada finita de Hankel
en el intervalo [a, b]
Las transformadas de Hankel [17] corresponden
al operador lineal
2
d 1 d
L
2
dx x dx x
2
2
(10)
el cual es de la forma (1) con
px ( ) x, qx ( ) x, r( x) 2 2
(11)
x
Tomando
2 , el problema de Sturm-
Liouville (3) queda conformado por la ecuación de
Bessel [12, 19]
2
d K( x) 1 dK( x )
2
2
dx x dx x
2
2
Kx
( ) 0
(12)
en el intervalo [ ab, , ] donde 0 a b, junto con
las condiciones de contorno
aKa ( ) aKa ( ) , bKb ( ) bK( b)
(13)
1 2
0
1 2
0
Se deduce [14] que los valores propios n
( n 123 , , , ) de este problema son las raíces positivas
de la ecuación trascendente
2
a b J ( b) Y ( a) J ( a) Y ( b)
1 1
a1b2 J( b) Y( a) J( a) Y ( b)
a2b1 J( b) Y ( a) J( a) Y( b)
a b J( b) Y( a) J( a) Y( b) 0 (14)
2 2
y las funciones propias correspondientes vienen
dadas por
K ( x) a Y ( a) a Y( a) J ( x)
n 1 n 2 n n n
aJ ( a) a J ( a) Y( x)
(15)
1 n 2 n n n
De acuerdo con (4), se define la forma general
de la transformada finita de Hankel en el intervalo
[a, b] por
h f( x); n f ( n)
b
a
x a Y ( a) a Y( a) J ( x)
1 n 2 n n
aJ ( a) a J ( a) Y( x) f( xdx ) (16)
1 n 2 n n n
Usando (5), se tiene que
2
( );
n ( ) n 1
( )
2
( )
h f x n f n a f a a f a
donde
n b f( b) b f ( b)
(17)
1 2
n
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72 Pirela y Villalobos
1
a2
aa1
Y( na)
2
2 2 2
1
2 2
2
n
1
a
2nY( na) J( na)
na
a a
(21)
( a
2
0)
aJ
1 ( na)
Casos particulares
a
n
2 nJ( na) Y( na) ,
(18)
1
a1
an
a1Y
( na)
Tomando valores particulares para las
a2nY
(
constantes a
na) J
( na)
1
, a 2
, b 1
y b 2
en las fórmulas generales
(14) a (21), se obtienen distintos casos de la
( a
2
0)
aJ
1 ( na)
transformada finita de Hankel en el intervalo [a,
a
2 nJ( na) Y( na) ,
b], los cuales se resumen a continuación.
y
Caso 1
1
a
b2
b
a1Y
( na)
1
b1 1 , a2 b2
0
a
2 nY
( na) J( nb)
Operadores de contorno:
( b2
0)
aJ
1 ( na)
Mf f( a) , Nf f( b) (22)
a
2nJ( na) Y( nb) ,
n
(19)
1
b1
bn
a1Y
( na)
Transformada:
a2nY
(
na) J
( nb)
b
( b2 0)
h
1,
f( x); n f1,
( n)
x Y( na) J( nx)
aJ
1 ( na)
a
a
2 nJ( na) Y( nb) ,
J
( na) Y( nx) f( x) dx (23)
Según (8), la fórmula de inversión viene dada
por
donde n ( n 12 , , ) son las raíces positivas de la
ecuación
1
f ( n) Kn( x)
J( nb) Y( na) J( na) Y( nb)
0 (24)
h
f ( n); x
f( x)
2
(20)
n1
Kn( x)
Transformada de f( x)
Para la determinación de
2
2
h
1,
f( x); n n
f1,
( n) f( a)
b
2
2 J( na)
K x xa Y a a Y a
n( ) 1 ( n )
2n ( n
) J( n
x)
a
J
b f ( b ) (25)
( n )
2
aJ a a J a 1 ( n )
2n ( n ) Y( nx)
dx
Fórmula de inversión:
se utilizan algunas integrales y fórmulas de recurrencia
de las funciones de Bessel [12, 15, 19] y, h1, f1, ( n); x
f( x)
2
1
2
luego de un laborioso trabajo [14], se obtiene finalmente
2 2
nJ ( nb) f1, ( n) Y( na) J( nx) J( na) Y( nx)
2
2
n1
J ( na) J
( nb)
2
2 2 aJ ( a a J a
1 n )
2n ( n
)
(26)
Kn( x)
2 2
n
bJ 1 ( nb)
b2
nJ
( n b) 2
donde la suma es tomada sobre todas las raíces
2
positivas de la ecuación (24)
2 2 2
1
2 2 2 1
n
nb b b
Caso 2
a b 0 , a b
1.
1 2 2 1
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Forma general de la transformada finita de Hankel 73
Operadores de contorno:
Mf f ( a) , Nf f ( b) (27)
Transformada:
h f( x); n f ( n)
b
2,
2,
xY( aJ ) ( x) J
( aY ) ( x) f( xdx ) (28)
a
n n n n
donde n ( n 12 , , ) son las raíces positivas de la
ecuación
J ( b) Y( a) J ( a) Y ( b)
0 (29)
n n n n
Transformada de f( x)
2
2
h f x n
2,
( ); n
f
2,
( n) f( a)
2n
J ( na)
J b f (
( )
b ) (30)
Fórmula de inversión:
1
h2, f 2, ( n); x
f( x)
2
2
J ( nb) f2
, ( n) Y ( na) J( nx) J( na) Y( nx)
2
2
n1
J ( na
)
2
1 J
( nb)
2 2
a
n
2
n
(31)
donde la suma es tomada sobre todas las raíces
positivas de la ecuación (29).
Caso 3
a b 1 , a b
0,
1 2 2 1
Operadores de contorno:
Mf f ( a) , Nf f ( b) (32)
Transformada:
h f( x); n f ( n)
b
a
3,
3,
xY ( aJ ) ( x) J ( aY ) ( x) f( xdx ) (33)
n n n n
donde n ( n 12 , , ) son las raíces positivas de la
ecuación
J ( b) Y ( a) J ( a) Y( b) 0 (34)
n n n n
Transformada de f( x)
2
2
h f x n
3 ,
( ); n
f
3 , ( n) f( a)
2 J( na)
J b f (
( )
b )
(35)
Fórmula de inversión:
1
h3
, f 3 , ( n); x
f( x)
2
n
2 2
nJ ( nb) f3,
( n) Y( na) J( nx) J( na) Y( nx)
2
1
2
n
2
J ( na
)
1
J ( )
2 2
nb
b
n
n
2
(36)
donde la suma es tomada sobre todas las raíces
positivas de la ecuación (34)
Caso 4
a b 0 , a b
1
1 1 2 2
Operadores de contorno:
Mf f( a) , Nf f( b) (37)
Transformada:
h f( x); n f ( n)
b
4,
4,
xY( aJ ) ( x) J
( aY ) ( x) f( xdx ) (38)
a
n n n n
donde n ( n 12 , , ) son las raíces positivas de la
ecuación
J( b) Y( a) J( a) Y( b) 0 (39)
n n n n
Transformada de f( x)
2
2
h f x n
4 ,
( ); n
f
4 , ( n) f( a)
2 J
( na)
J
b f (
( )
b ) (40)
Fórmula de inversión:
1
h4
, f 4 , ( n); x f( x)
2
n
2
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74 Pirela y Villalobos
2
J ( nb) f4,
( n) Y( na) J( nx) J( na) Y( nx)
2
2
2
2
n1
J
( na
) 1
J ( ) 1
2 2
nb
2 2
b a
n
n
(41)
donde la suma es tomada sobre todas las raíces
positivas de la ecuación (39)
Caso 5
a h , a b 1 , b 0
1 2 1 2
Operadores de contorno:
Mf hf ( a) f ( a) , Nf f ( b) (42)
Transformada:
h f( x); n f ( n)
b
5,
5,
x hY ( a) Y( a) J ( x)
a
n n n n
hJ ( a) J ( a) Y ( x) f ( x)
dx (43)
n n n n
donde n ( n 12 , , ) son las raíces positivas de la
ecuación
hJ( bY ) ( a) J( aY ) ( b)
n n n n
J ( b) Y( a) J ( a) Y ( b)
0 (44)
n n n n n
Transformada de f( x)
2
2
h f x n f n hf a f a
5 ,
( ); n
5 , ( ) ( ) ( )
4 f( b)
(45)
2
aJ ( aY ) ( b) J( bY ) ( a)
n n n n
Fórmula de inversión (ver ec. 46 abajo),
donde la suma es tomada sobre todas las raíces
positivas de la ecuación (44).
Caso 6
a h , a b 1 , b 0
1 2 2 1
Operadores de contorno:
Mf hf ( a) f ( a) , Nf f ( b) (47)
Transformada:
h f( x); n f ( n)
b
6,
6,
x hY ( a) Y( a) J ( x)
a
n n n n
hJ ( a) J ( a) Y ( x) f ( x)
dx (48)
n n n n
donde n ( n 12 , , ) son las raíces positivas de la
ecuación
hJ ( bY ) ( a) J( aY ) ( b)
n n n n
J( b) Y( a) J( a) Y( b) 0 (49)
n n n n n
Transformada de f( x)
2
2
h f x n f n hf a f a
6 ,
( ); n
6 , ( ) ( ) ( )
4 f( b)
(50)
2
aJ ( aY ) ( b) J
( bY ) ( a)
n n n n n
Fórmula de inversión (ver ec. 51 abajo),
donde la suma es tomada sobre todas las raíces
positivas de la ecuación (49)
Caso 7
a b 1 , a 0
, b h
1 2 2 1
Operadores de contorno:
Mf f ( a) , Nf hf ( b) f ( b) (52)
1
h5
,
f
5 , ( n); x f( x)
nJ ( nb) f
5 , ( n) hY( na) nY
( na) J(
nx) hJ( na) nJ( na) Y( nx)
f( x)
(46)
2
2
2
n
1
2 2
2
hJ ( a J a
n ) n ( n
) J ( nb) n
2
h
a
1
2 2 2
h6
,
f
6 , ( n); x f( x)
nJ ( nb) f
6 , ( n) hY( na) nY
( na) J(
nx) hJ( na) nJ( na) Y( nx)
f( x)
(51)
2
2
2 2
n1
hJ (
na ) nJ ( na
)
1
2 2
2
2 2
J
2
( nb)
n
h
b a
2 2 2
Rev. Téc. Ing. Univ. Zulia. Vol. 31, Edición Especial, 2008
n

Forma general de la transformada finita de Hankel 75
Transformada:
h f( x); n f ( n)
b
7,
7,
a
xY ( aJ ) ( x) J ( aY ) ( x) f( xdx ) (53)
n n n n
donde n ( n 12 , , ) son las raíces positivas de la
ecuación
hJ( bY ) ( a) J( aY ) ( b)
n n n n
J ( b) Y ( a) J ( a) Y( b) 0 (54)
n n n n n
Transformada de f( x)
2
2
h f x n
7 ,
( ); n
f7
, ( n) f( a)
b
Y ( a) J ( b) J ( a) Y ( b)
n n n n
hf ( b) f ( b)
(55)
Fórmula de inversión (ver ec. 56 abajo),
donde la suma es tomada sobre todas las raíces
positivas de la ecuación (54).
Caso 8
a 0 , a b 1
, b h
1 2 2 1
Operadores de contorno:
Mf f ( a) , Nf hf ( b) f ( b) (57)
Transformada:
h f( x); n f ( n)
b
8,
8,
xY( aJ ) ( x) J
( aY ) ( x) f( xdx ) (58)
a
n n n n
donde n ( n 12 , , ) son las raíces positivas de la
ecuación
hJ( bY ) ( a) J ( aY ) ( b)
n n n n
J( b) Y( a) J( a) Y( b) 0 (59)
n n n n n
Transformada de f( x)
2
2
h f x n
8 ,
( ); n
f
8 , ( n) f( a)
bn
J ( a) Y ( b) J ( b) Y( a)
n n n n
hf ( b) f ( b)
(60)
Fórmula de inversión (ver ec. 61 abajo),
donde la suma es tomada sobre todas las raíces
positivas de la ecuación (59)
Caso 9
a h , a b 1
, b h
1 1 2 2 1 2
Operadores de contorno:
Mf h f ( a) f ( a) , Nf h f ( b) f ( b) (62)
1 2
Transformada:
h f( x); n f ( n)
b
9,
9,
x h Y ( a) Y( a) J ( x)
a
1 n n n n
hJ ( a) J ( a) Y( x) f( xdx ) (63)
1 n n n n
donde n ( n 12 , , ) son las raíces positivas de la
ecuación
h h J ( b) Y ( a) J ( a) Y ( b)
1 2 n n n n
h1 n J( nb) Y( na) J( na) Y ( nb)
h2 n J( nb) Y ( na) J( na) Y( nb)
2
n n n n n
J( b) Y( a) J( a) Y( b) 0 (64)
Transformada de f( x)
1
h7
,
f7
, ( n); x f( x)
n hJ ( nb) nJ ( nb) f7
, ( n) Y ( na ) J (
nx) J( na) Y( nx)
f( x)
2
2
n1
2
J ( na) 2
2 2
n h
2 hJ(
nb) nJ
( nb)
b
2 2 2
(56)
2
2
hJ b J b f n
1
( n ) n ( n
)
8 , (
) Y
( na) J( nx) J( na) Y( nx)
h8
, f 8 , ( n); x
f( x)
(61)
2
2
n 2 2
2 2
2
1
J
( na)
n
2
h
hJ b J b
n n
n 1
( ) ( )
2 2
b
a
n
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76 Pirela y Villalobos
h9,
f( x);
n
2
2
n f
9, ( n) h1f( a) f ( a)
b h J ( b) Y ( a) J ( a) Y ( b)
1 n n n n
J ( b) Y( a) J
( a) Y ( b)
n n n n n
h2 f ( b ) f ( b )
(65)
Fórmula de inversión (ver ec. 66 abajo),
donde la suma es tomada sobre todas las raíces
positivas de la ecuación (64).
Los cuatro primeros casos dados son tratados
separadamente por Sneddon [17], mientras
que aquí resultan como casos especiales de la
forma general de la transformada finita de Hankel,
al igual que los otros cinco casos restantes.
Un problema de contorno
Considérese la ecuación diferencial
ur ( , t) 2
ur ( , t) 1 ur ( , t)
k
2
( a r b,
t
0)
t
r
r r
(67)
con las condiciones
hu( a, t) ur
( a, t) f ( t)
; ubt ( , ) gt ( );
ur ( , 0) wr ( )
(68)
De acuerdo con el Caso 5 de la sección anterior,
se define la transformada
h u r t r n
5, 0
( , ); u( n, t)
b
ru( r, t) hY ( a) Y ( a) J ( r )
a
0 n n 0 n 0 n
( ) ( ) ( )
hJ a J
a Y r dr
0 n n 0 n 0 n
h u r t r n
5, 0
( , ); u( n, t)
b
ru( r, t) hY a Y a
0( n ) n 1( n ) J
0( nr
)
a
hJ ( a) J ( a) Y ( r ) dr
(69)
0 n n 1 n 0 n
donde n ( n 12 , , ) son las raíces positivas de la
ecuación
hJ ( bY ) ( a) J ( aY ) ( b)
0 n 0 n 0 n 0 n
J ( b) Y( a) J ( a) Y ( b)
n 0 n 0 n 0 n 0 n 0
esto es
hJ ( bY ) ( a) J ( aY ) ( b)
0 n 0 n 0 n 0 n
J ( a) Y ( b) J ( b) Y ( a)
(70)
n 1 n 0 n 0 n 1 n 0
Aplicando la transformada (69) en la ecuación
(67), se tiene
ur ( , t)
h
5,
0 ; r n
t
2
ur ( , t) 1 ur ( , t)
kh
5,
0
2
; r n
r
r r
unt
( , )
2
2
k
unt huat u at
n ( , ) ( , ) r( , )
t
4
2
aJ ( aY ) ( b) J ( bY ) ( a)
ubt ( , )
0 n 0 n 0 n 0 n
unt
( , )
2
2
k nu( n, t) f( t)
t
4
2
aJ ( aY ) ( b) J ( bY ) ( a)
gt
0 n 0 n 0 n 0 n
()
obteniéndose la ecuación diferencial lineal de
primer orden
unt
( , )
k
knu( n, t)
2
2
f ( t )
t
2
aJ ( bY ) ( a) J ( aY ) ( b)
gt
0 n 0 n 0 n 0 n
()
(71)
La solución general de la ecuación (71) viene
dada por [20]
1
h 9, f9, ( n); x f( x)
2 2
2
nh 2 J( nb) nJ( nb) f9,
( n) h1Y( na)
nY ( na) J( nx) h1J( na) nJ( na) Y( nx)
f( x)
2
2
2
h1J(
na) nJ( na)
2 2
n h
h J( nb)
nJ
2 2
2
b
2
n
1
2 2
2
( nb
)
n h
2 1
a
Rev. Téc. Ing. Univ. Zulia. Vol. 31, Edición Especial, 2008

Forma general de la transformada finita de Hankel 77
t
2
k
t
2k
n
unt ( , ) e
f( x)
0
2
aJ ( bY ) ( a) J ( aY ) ( b)
gx
0 n 0 n 0 n 0 n
( )
kn
x
e 2 dx c
(72)
Al tomar transformada en la condición
ur ( , 0) wr ( ), se tiene que
un ( , 0) wn ( )
y, de (72), se deduce que c w( n). Luego:
t
k
2
kn
t
2
unt ( , ) e
f( x)
0
2
aJ
0
bY0 a J0 aY0
b gx
( )
( n ) ( n ) ( n ) ( n )
k x
n
e 2
dx
w( n)
(73)
Usando la correspondiente fórmula de inversión,
se tiene (ver ec. 74 abajo), donde unt ( , )
está dado por la ecuación (73) y la suma es tomada
sobre todas las raíces positivas de la ecuación
(70).
En el caso particular de condiciones de contorno
constantes
f() t A , g()
t B
la ecuación (73) se reduce a
unt e k n
( , ) 2
t 2
2
n
2B
A
aJ bY a J aY b
0( n )
0( n )
0( n )
0( n
)
k t
n
( e
2 1) w( n)
(75)
Si además, wr ( ) W(constante), se deduce
que [14]
W
wn ( ) hJ bY a J aY b
2 1( n )
0( n )
0( n )
1( n
)
n
2h
n J na Y nb J nb Y na
1( )
1( )
1( )
1( ) (76)
a
Sustituyendo (76) en (75), se tiene
1 2
kn
t
unt ( , )
2
e
n
2 2B
A
aJ
0( nbY )
0( na) J0( naY )
0( nb)
2
k ( e n t
1) WhJ1( nb) Y0( na) J0( na) Y1( nb)
2h
n J1( na) Y1( nb) J1( nb) Y1( na) a
(77)
Para A
B
0, la ecuación (77) se reduce a
W 2
unt e
kn
t
( , )
2
n
hJ bY a J aY b
1( n )
0( n )
0( n )
1( n
)
2h
n J na Y nb J nb Y na
1( )
1( )
1( )
1( ) (78)
a
n
n
n
y la solución (74) queda
1
ur ( , t) h unt ( , ); n
r
5,
0
nJ0
( nb) u( n, t) hY0( na) nY1( na) J0(
nr) hJ0( na) nJ1( na) Y0( nr)
ur ( , t)
2
2
hJ ( a J a
n 1 0
n ) n 0( n
) J
2 2 2
0( n
b )( n
h )
2 2
y, finalmente, resulta
2
nJ0
( nb) u( n, t) hY0( na) nY1( na) J0(
nr) hJ0( na) nJ1( na) Y0( nr)
ur ( , t)
2
2
2 2 2
n1 hJ ( a) J ( a) (
n h ) J ( n b)
2 2
2
0 n n 1 n
0
(74)
Rev. Téc. Ing. Univ. Zulia. Vol. 31, Edición Especial, 2008

78 Pirela y Villalobos
nJ0
( nb) u( n, t) hY0( na) nY1( na) J0(
nr) hJ0( na) nJ1( na) Y0( nr)
ur ( , t)
2
2
2 2 2
n1 hJ ( a) J ( a) (
n h ) J ( n b)
2 2
2
0 n n 1 n
0
(79)
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Recibido el 30 de Junio de 2007
En forma revisada el 31 de Julio de 2008
Rev. Téc. Ing. Univ. Zulia. Vol. 31, Edición Especial, 2008