General form of the finite Hankel transform Forma general ... - SciELO

Forma general de la transformada finita de Hankel 73
Operadores de contorno:
Mf f ( a) , Nf f ( b) (27)
Transformada:
h f( x); n f ( n)
b
2,
2,
xY( aJ ) ( x) J
( aY ) ( x) f( xdx ) (28)
a
n n n n
donde n ( n 12 , , ) son las raíces positivas de la
ecuación
J ( b) Y( a) J ( a) Y ( b)
0 (29)
n n n n
Transformada de f( x)
2
2
h f x n
2,
( ); n
f
2,
( n) f( a)
2n
J ( na)
J b f (
( )
b ) (30)
Fórmula de inversión:
1
h2, f 2, ( n); x
f( x)
2
2
J ( nb) f2
, ( n) Y ( na) J( nx) J( na) Y( nx)
2
2
n1
J ( na
)
2
1 J
( nb)
2 2
a
n
2
n
(31)
donde la suma es tomada sobre todas las raíces
positivas de la ecuación (29).
Caso 3
a b 1 , a b
0,
1 2 2 1
Operadores de contorno:
Mf f ( a) , Nf f ( b) (32)
Transformada:
h f( x); n f ( n)
b
a
3,
3,
xY ( aJ ) ( x) J ( aY ) ( x) f( xdx ) (33)
n n n n
donde n ( n 12 , , ) son las raíces positivas de la
ecuación
J ( b) Y ( a) J ( a) Y( b) 0 (34)
n n n n
Transformada de f( x)
2
2
h f x n
3 ,
( ); n
f
3 , ( n) f( a)
2 J( na)
J b f (
( )
b )
(35)
Fórmula de inversión:
1
h3
, f 3 , ( n); x
f( x)
2
n
2 2
nJ ( nb) f3,
( n) Y( na) J( nx) J( na) Y( nx)
2
1
2
n
2
J ( na
)
1
J ( )
2 2
nb
b
n
n
2
(36)
donde la suma es tomada sobre todas las raíces
positivas de la ecuación (34)
Caso 4
a b 0 , a b
1
1 1 2 2
Operadores de contorno:
Mf f( a) , Nf f( b) (37)
Transformada:
h f( x); n f ( n)
b
4,
4,
xY( aJ ) ( x) J
( aY ) ( x) f( xdx ) (38)
a
n n n n
donde n ( n 12 , , ) son las raíces positivas de la
ecuación
J( b) Y( a) J( a) Y( b) 0 (39)
n n n n
Transformada de f( x)
2
2
h f x n
4 ,
( ); n
f
4 , ( n) f( a)
2 J
( na)
J
b f (
( )
b ) (40)
Fórmula de inversión:
1
h4
, f 4 , ( n); x f( x)
2
n
2
Rev. Téc. Ing. Univ. Zulia. Vol. 31, Edición Especial, 2008