General form of the finite Hankel transform Forma general ... - SciELO

Forma general de la transformada finita de Hankel 75
Transformada:
h f( x); n f ( n)
b
7,
7,
a
xY ( aJ ) ( x) J ( aY ) ( x) f( xdx ) (53)
n n n n
donde n ( n 12 , , ) son las raíces positivas de la
ecuación
hJ( bY ) ( a) J( aY ) ( b)
n n n n
J ( b) Y ( a) J ( a) Y( b) 0 (54)
n n n n n
Transformada de f( x)
2
2
h f x n
7 ,
( ); n
f7
, ( n) f( a)
b
Y ( a) J ( b) J ( a) Y ( b)
n n n n
hf ( b) f ( b)
(55)
Fórmula de inversión (ver ec. 56 abajo),
donde la suma es tomada sobre todas las raíces
positivas de la ecuación (54).
Caso 8
a 0 , a b 1
, b h
1 2 2 1
Operadores de contorno:
Mf f ( a) , Nf hf ( b) f ( b) (57)
Transformada:
h f( x); n f ( n)
b
8,
8,
xY( aJ ) ( x) J
( aY ) ( x) f( xdx ) (58)
a
n n n n
donde n ( n 12 , , ) son las raíces positivas de la
ecuación
hJ( bY ) ( a) J ( aY ) ( b)
n n n n
J( b) Y( a) J( a) Y( b) 0 (59)
n n n n n
Transformada de f( x)
2
2
h f x n
8 ,
( ); n
f
8 , ( n) f( a)
bn
J ( a) Y ( b) J ( b) Y( a)
n n n n
hf ( b) f ( b)
(60)
Fórmula de inversión (ver ec. 61 abajo),
donde la suma es tomada sobre todas las raíces
positivas de la ecuación (59)
Caso 9
a h , a b 1
, b h
1 1 2 2 1 2
Operadores de contorno:
Mf h f ( a) f ( a) , Nf h f ( b) f ( b) (62)
1 2
Transformada:
h f( x); n f ( n)
b
9,
9,
x h Y ( a) Y( a) J ( x)
a
1 n n n n
hJ ( a) J ( a) Y( x) f( xdx ) (63)
1 n n n n
donde n ( n 12 , , ) son las raíces positivas de la
ecuación
h h J ( b) Y ( a) J ( a) Y ( b)
1 2 n n n n
h1 n J( nb) Y( na) J( na) Y ( nb)
h2 n J( nb) Y ( na) J( na) Y( nb)
2
n n n n n
J( b) Y( a) J( a) Y( b) 0 (64)
Transformada de f( x)
1
h7
,
f7
, ( n); x f( x)
n hJ ( nb) nJ ( nb) f7
, ( n) Y ( na ) J (
nx) J( na) Y( nx)
f( x)
2
2
n1
2
J ( na) 2
2 2
n h
2 hJ(
nb) nJ
( nb)
b
2 2 2
(56)
2
2
hJ b J b f n
1
( n ) n ( n
)
8 , (
) Y
( na) J( nx) J( na) Y( nx)
h8
, f 8 , ( n); x
f( x)
(61)
2
2
n 2 2
2 2
2
1
J
( na)
n
2
h
hJ b J b
n n
n 1
( ) ( )
2 2
b
a
n
Rev. Téc. Ing. Univ. Zulia. Vol. 31, Edición Especial, 2008