General form of the finite Hankel transform Forma general ... - SciELO

Forma general de la transformada finita de Hankel 71
Sean M y N los operadores de contorno definidos
por
Mf a f( a) a f( a), Nf b f( b) b f( b) (2)
1 2
1 2
donde a 1
, a 2
, b 1
y b 2
son constantes conocidas tales
que al menos una de a 1
y a 2
y al menos una de
b 1
y b 2
es distinta de cero.
Se demuestra que si n y Kn ( x)son los valores
propios y las funciones propias del problema
de Sturm-Liouville [4]
( L )
K 0 , MK
NK
0 (3)
entonces la transformada finita definida por
b
T f( x); n f( n) p( x) K ( x) f( x)
dx (4)
a
tiene la propiedad que si f( x) C 1 [ a, b]
, entonces
T Lf( x); n f( n)
Mf Nf
(5)
donde
n n n
1
a2
q( a) Kn( a), ( a2
0)
n 1
a q( a) K
( a), ( a 0)
y
n
T 1
1
n
1
b2
q( b) K ( b), ( b2
0)
1
b q( b) K ( b), ( b 0)
donde
1
n
n
2
n
2
(6)
(7)
La fórmula de inversión correspondiente es
f( n) Kn( x)
f( n); x
fx)
2
n1
K ( x)
n
(8)
K ( x) p( x) K ( x)
dx
(9)
n
2
b
2
n
a
Transformada finita de Hankel
en el intervalo [a, b]
Las transformadas de Hankel [17] corresponden
al operador lineal
2
d 1 d
L
2
dx x dx x
2
2
(10)
el cual es de la forma (1) con
px ( ) x, qx ( ) x, r( x) 2 2
(11)
x
Tomando
2 , el problema de Sturm-
Liouville (3) queda conformado por la ecuación de
Bessel [12, 19]
2
d K( x) 1 dK( x )
2
2
dx x dx x
2
2
Kx
( ) 0
(12)
en el intervalo [ ab, , ] donde 0 a b, junto con
las condiciones de contorno
aKa ( ) aKa ( ) , bKb ( ) bK( b)
(13)
1 2
0
1 2
0
Se deduce [14] que los valores propios n
( n 123 , , , ) de este problema son las raíces positivas
de la ecuación trascendente
2
a b J ( b) Y ( a) J ( a) Y ( b)
1 1
a1b2 J( b) Y( a) J( a) Y ( b)
a2b1 J( b) Y ( a) J( a) Y( b)
a b J( b) Y( a) J( a) Y( b) 0 (14)
2 2
y las funciones propias correspondientes vienen
dadas por
K ( x) a Y ( a) a Y( a) J ( x)
n 1 n 2 n n n
aJ ( a) a J ( a) Y( x)
(15)
1 n 2 n n n
De acuerdo con (4), se define la forma general
de la transformada finita de Hankel en el intervalo
[a, b] por
h f( x); n f ( n)
b
a
x a Y ( a) a Y( a) J ( x)
1 n 2 n n
aJ ( a) a J ( a) Y( x) f( xdx ) (16)
1 n 2 n n n
Usando (5), se tiene que
2
( );
n ( ) n 1
( )
2
( )
h f x n f n a f a a f a
donde
n b f( b) b f ( b)
(17)
1 2
n
Rev. Téc. Ing. Univ. Zulia. Vol. 31, Edición Especial, 2008