General form of the finite Hankel transform Forma general ... - SciELO

72 Pirela y Villalobos
1
a2
aa1
Y( na)
2
2 2 2
1
2 2
2
n
1
a
2nY( na) J( na)
na
a a
(21)
( a
2
0)
aJ
1 ( na)
Casos particulares
a
n
2 nJ( na) Y( na) ,
(18)
1
a1
an
a1Y
( na)
Tomando valores particulares para las
a2nY
(
constantes a
na) J
( na)
1
, a 2
, b 1
y b 2
en las fórmulas generales
(14) a (21), se obtienen distintos casos de la
( a
2
0)
aJ
1 ( na)
transformada finita de Hankel en el intervalo [a,
a
2 nJ( na) Y( na) ,
b], los cuales se resumen a continuación.
y
Caso 1
1
a
b2
b
a1Y
( na)
1
b1 1 , a2 b2
0
a
2 nY
( na) J( nb)
Operadores de contorno:
( b2
0)
aJ
1 ( na)
Mf f( a) , Nf f( b) (22)
a
2nJ( na) Y( nb) ,
n
(19)
1
b1
bn
a1Y
( na)
Transformada:
a2nY
(
na) J
( nb)
b
( b2 0)
h
1,
f( x); n f1,
( n)
x Y( na) J( nx)
aJ
1 ( na)
a
a
2 nJ( na) Y( nb) ,
J
( na) Y( nx) f( x) dx (23)
Según (8), la fórmula de inversión viene dada
por
donde n ( n 12 , , ) son las raíces positivas de la
ecuación
1
f ( n) Kn( x)
J( nb) Y( na) J( na) Y( nb)
0 (24)
h
f ( n); x
f( x)
2
(20)
n1
Kn( x)
Transformada de f( x)
Para la determinación de
2
2
h
1,
f( x); n n
f1,
( n) f( a)
b
2
2 J( na)
K x xa Y a a Y a
n( ) 1 ( n )
2n ( n
) J( n
x)
a
J
b f ( b ) (25)
( n )
2
aJ a a J a 1 ( n )
2n ( n ) Y( nx)
dx
Fórmula de inversión:
se utilizan algunas integrales y fórmulas de recurrencia
de las funciones de Bessel [12, 15, 19] y, h1, f1, ( n); x
f( x)
2
1
2
luego de un laborioso trabajo [14], se obtiene finalmente
2 2
nJ ( nb) f1, ( n) Y( na) J( nx) J( na) Y( nx)
2
2
n1
J ( na) J
( nb)
2
2 2 aJ ( a a J a
1 n )
2n ( n
)
(26)
Kn( x)
2 2
n
bJ 1 ( nb)
b2
nJ
( n b) 2
donde la suma es tomada sobre todas las raíces
2
positivas de la ecuación (24)
2 2 2
1
2 2 2 1
n
nb b b
Caso 2
a b 0 , a b
1.
1 2 2 1
Rev. Téc. Ing. Univ. Zulia. Vol. 31, Edición Especial, 2008