General form of the finite Hankel transform Forma general ... - SciELO

76 Pirela y Villalobos
h9,
f( x);
n
2
2
n f
9, ( n) h1f( a) f ( a)
b h J ( b) Y ( a) J ( a) Y ( b)
1 n n n n
J ( b) Y( a) J
( a) Y ( b)
n n n n n
h2 f ( b ) f ( b )
(65)
Fórmula de inversión (ver ec. 66 abajo),
donde la suma es tomada sobre todas las raíces
positivas de la ecuación (64).
Los cuatro primeros casos dados son tratados
separadamente por Sneddon [17], mientras
que aquí resultan como casos especiales de la
forma general de la transformada finita de Hankel,
al igual que los otros cinco casos restantes.
Un problema de contorno
Considérese la ecuación diferencial
ur ( , t) 2
ur ( , t) 1 ur ( , t)
k
2
( a r b,
t
0)
t
r
r r
(67)
con las condiciones
hu( a, t) ur
( a, t) f ( t)
; ubt ( , ) gt ( );
ur ( , 0) wr ( )
(68)
De acuerdo con el Caso 5 de la sección anterior,
se define la transformada
h u r t r n
5, 0
( , ); u( n, t)
b
ru( r, t) hY ( a) Y ( a) J ( r )
a
0 n n 0 n 0 n
( ) ( ) ( )
hJ a J
a Y r dr
0 n n 0 n 0 n
h u r t r n
5, 0
( , ); u( n, t)
b
ru( r, t) hY a Y a
0( n ) n 1( n ) J
0( nr
)
a
hJ ( a) J ( a) Y ( r ) dr
(69)
0 n n 1 n 0 n
donde n ( n 12 , , ) son las raíces positivas de la
ecuación
hJ ( bY ) ( a) J ( aY ) ( b)
0 n 0 n 0 n 0 n
J ( b) Y( a) J ( a) Y ( b)
n 0 n 0 n 0 n 0 n 0
esto es
hJ ( bY ) ( a) J ( aY ) ( b)
0 n 0 n 0 n 0 n
J ( a) Y ( b) J ( b) Y ( a)
(70)
n 1 n 0 n 0 n 1 n 0
Aplicando la transformada (69) en la ecuación
(67), se tiene
ur ( , t)
h
5,
0 ; r n
t
2
ur ( , t) 1 ur ( , t)
kh
5,
0
2
; r n
r
r r
unt
( , )
2
2
k
unt huat u at
n ( , ) ( , ) r( , )
t
4
2
aJ ( aY ) ( b) J ( bY ) ( a)
ubt ( , )
0 n 0 n 0 n 0 n
unt
( , )
2
2
k nu( n, t) f( t)
t
4
2
aJ ( aY ) ( b) J ( bY ) ( a)
gt
0 n 0 n 0 n 0 n
()
obteniéndose la ecuación diferencial lineal de
primer orden
unt
( , )
k
knu( n, t)
2
2
f ( t )
t
2
aJ ( bY ) ( a) J ( aY ) ( b)
gt
0 n 0 n 0 n 0 n
()
(71)
La solución general de la ecuación (71) viene
dada por [20]
1
h 9, f9, ( n); x f( x)
2 2
2
nh 2 J( nb) nJ( nb) f9,
( n) h1Y( na)
nY ( na) J( nx) h1J( na) nJ( na) Y( nx)
f( x)
2
2
2
h1J(
na) nJ( na)
2 2
n h
h J( nb)
nJ
2 2
2
b
2
n
1
2 2
2
( nb
)
n h
2 1
a
Rev. Téc. Ing. Univ. Zulia. Vol. 31, Edición Especial, 2008