Ejemplos

Pentágonos y hexágonos
Ya conoces los números triangulares (página 133) y los números
cuadrados, análogamente puedes construir los números pentagonales:
Consulta las actividades
para la hoja de cálculo
electrónica, en la página
284.
Corrija el párrafo 1; los números triangulares están
en la página 135.
Pida a los alumnos que dibujen los pentágonos
correspondientes.
Muestre cómo construir los primeros tres números
pentagonales, y cuenten para cada uno los
puntos.
¿Qué número crees que sigue? __________________________________
Geométricamente podemos construir una figura que ilustre el siguiente
número pentagonal. Sin embargo, hemos desarrollado un método que
nos permite tener una fórmula cuadrática que genera la sucesión.
■ Para esto, completa la tabla.
n ax 2 bx c Diferencias
1 1
2 5
Diferencia de
las diferencias
1, 5, 12, 22, 35…
3 12
4 22
5 35
En tu cuaderno, halla a, b y c usando:
Pentágonos y hexágonos
2a ________ 3a b ________ a b c ________
YaEscribe conoces la función los números cuadrática que triangulares generada por(página los números 133) y los números
pentagonales. _____________________________________________
cuadrados, análogamente puedes construir los números pentagonales:
El octavo número pentagonal será ________
Consulta las actividades
para la hoja de cálculo
electrónica, en la página
284.
¿Qué lugar ocupa el número pentagonal 176? ____________________
método de diferenCias en suCesiones numériCas y figurativas
199
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¿Qué número crees que sigue? __________________________________
Página 199
Geométricamente podemos construir una figura que ilustre el siguiente
Pentágonos número pentagonal. y hexágonos Sin embargo, hemos desarrollado un método que
nos permite tener una fórmula cuadrática que genera la sucesión.
El número que sigue es el 22.
■ Completa Para esto, la completa tabla. la tabla.
n ax 2 bx c Diferencias
1 1
2 5
3 12
4 22
5 35
4
7
10
13
Diferencia de
las diferencias
3
3
3
La función cuadrática generada por los números
pentagonales es:
3 1
2 x2 −
2 x
El octavo número pentagonal será 92.
El número pentagonal 176 ocupa el lugar 11. Se
sabe al resolver la ecuación 3 2 x2 − 1 2 x = 176
© NuevoMéxico
En tu cuaderno, halla a, b y c usando:
2a = 3 3a + b = 4 a + b + c = 1
2a ________ 3a b ________ a b c ________
Escribe la función cuadrática que es generada por los números
pentagonales. _____________________________________________
El octavo número pentagonal será ________
231

Sugerencias didácticas
Indique a los alumnos que los números hexagonales
más conocidos son los generados como en
la siguiente figura:
Consulta las actividades
para la hoja de cálculo
electrónica, en la página
284.
■ Los números hexagonales se pueden encontrar geométricamente como
puedes observar en la siguiente figura. Los primeros números son 1, 7,
19 y 37.
1 7 19
Ahora, usemos el proceso algebraico para encontrar la función cuadrática
que genera por los números hexagonales.
■ Determina a, b, c, la función cuadrática y completa la tabla.
Es decir, de forma análoga a los pentagonales.
n ax 2 bx c Diferencias
1 1
2 7
3 19
4 37
Diferencia
de las diferencias
2a ________ 3a b ________ a b c ________
a ________ b ________ c ________
ax 2 bx c _____________________________
El número hexagonal que corresponde a la posición 12 es __________
El número hexagonal 817 ocupa la posición ______________________
trabaJo En EQUipo
1.Observen cómo se han construido los siguientes trapecios.
Calculen el área del trapecio que ocupa el lugar 89. Luego, encuentren
la función cuadrática generada por las áreas de los trapecios.
La ecuación es: ________________________________________________
n ax 2 bx c Diferencias
Diferencia
de las diferencias
Página 200
Soluciones
Completa la tabla.
n ax 2 bx c Diferencias
1 1
2 7
3 19 19
4 37 37
2a = 6 3a + b = 6 a + b + c = 1
a = 3 b = –3 c = 1
ax 2 + bx + c = 3x 2 – 3x + 1
El 1número hexagonal 1.5 que corresponde a la posición
12 es 397.
3.5
2 5
2
El número hexagonal 817 ocupa la posición 17.
12
18
n ax 2 bx c Diferencias
3 10.5
4 18
6
5.5
7.5
Diferencia
de las diferencias
6
6
Diferencia
de las diferencias
2
200 método de diferenCias en suCesiones numériCas y figurativas
1 1
2 7
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3 19
4 37
Trabajo en equipo
1. Se construye la tabla.
2a = 2 3a + b = 3.5 a + b + c = 1.5
a = 1 b = 1 c = 0
2
La ecuación que representa el área de cada trapecio es
ax 2 + bx + c = x 2 + 1 2 x
El área del trapecio que ocupa el lugar 89 es:
1
(89) 2 + (89) = 7 965.5
2
6
12
18
n ax 2 bx c Diferencias
1 1.5
2 5
3 10.5
4 18
3.5
5.5
7.5
6
6
Diferencia
de las diferencias
2
2
© NuevoMéxico
232

de las diferencias
2. Hallen la función cuadrática que se origina por la siguiente sucesión:
3, 7, 13, 21…
La función es: ________________________________________________
¿Qué lugar ocupa el número 1123? _____________________________
1 3
2 7
3 13
Función cúbica
4 21
Formando la tabla:
n ax 2 bx c Diferencias
4
6
8
2
2
Diferencia de
las diferencias
Diferencia de
las diferencia
de las diferencias
Función cúbica
Considera la siguiente sucesión: 1, 5, 14, 30, 55…
Efectúa el proceso para encontrar las diferencias de las diferencias y
observa que éstas ahora no son constantes, por lo que necesitarás en la
tabla otra columna en la que representes la diferencia de las diferencias
de las diferencias.
Por lo tanto, en lugar de encontrar una función cuadrática estarás
determinando una función cúbica, como la siguiente:
ax 3 bx 2 cx d, en la que necesitarás encontrar a, b, c y d.
1 1
2 5
3 14
4 30
3 55
4
9
16
25
5
7
9
2
2
Para esto, usa la siguiente tabla.
n ax 3 bx 2 cx d Diferencias
1 a b c d
2 8a 4b 2c d
3 27ª 9b 3c d
4 64a 16b 4c d
7a 3b c
19a 5b c
37a 7b c
Diferencia
de las diferencias
12a 2b
18a 2b
Diferencia de las
diferencias de
las diferencias
6a
Tenemos que:
6a = 2
12a + 2b = 5
7a + 3b + c = 4
a + b + c + d = 1
a = 1 3
b = 1 2
c = 1 6
d = 0
Halla los 3 números siguientes de la sucesión: ____, ____, ____
Observa además que 1 2 .1
1 2 2 2 .5
1 2 2 2 3 2 .14
1 2 2 2 3 2 4 2 .30
Completa
1 2 2 2 3 2 4 2 5 2 ._________
1 2 2 2 3 2 4 2 5 2 6 2 ._________
método de diferenCias en suCesiones numériCas y figurativas
201
La ecuación es 1 3 x3 + 1 2 x2 + 1 6 x
Los tres números siguientes de la sucesión son:
1
3 (6)3 + 1 2 (6)2 + 1 (6) = 91
6
1
3 (7)3 + 1 2 (7)2 + 1 (7) = 140
6
1
3 (8)3 + 1 2 (8)2 + 1 (8) = 204
6
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1 2 + 2 2 + 3 2 + 4 2 + 5 2 = 55
1 2 + 2 2 + 3 2 + 4 2 + 5 2 + 6 2 = 91
Página 201
2. Se construye la tabla.
Coménteles que el grado del polinomio queda determinado
por el número de columnas de diferencias
que se hagan hasta que se obtenga un número
constante.
n ax 2 bx c Diferencias
Diferencia
de las diferencias
1 3
2 7
3 13
4 21
4
6
8
2
2
© NuevoMéxico
2a = 2 3a + b = 4 a + b + c = 3
n ax 2 bx c Diferencias
a = 1 b = 1 c = 1
La ecuación 1 es ax1
2 + bx + c = x 2 + x + 1
4
El número 2 1 1235ocupa el lugar:
x 2 9
3 + x + 14 1 = 1 123
16
Resolviendo la ecuación x = 33.
4 30
Ocupa la posición 33.
25
3 55
Diferencia de
las diferencias
5
7
9
Diferencia de
las diferencia
de las diferencias
2
2
233

Sugerencias didácticas
Diga a los alumnos la definición de teorema: Es
una proposición que debe ser demostrada racionalmente.
Por lo tanto, el teorema de Pitágoras
debe ser demostrado.
Pídales que definan triángulo rectángulo y enuncien
sus propiedades como repaso de los conocimientos
previos.
TEMA 2
Triángulos rectángulos
El rompEcabEzas y pitágoras
■ En una cartulina o cartoncillo, copia el siguiente dibujo multiplicando
por dos todas las medidas y recorta el rompecabezas. Luego, con las cinco
piezas de cada uno de los cuadrados de los catetos arma el cuadrado que
corresponde a la hipotenusa.
Recomiende a sus alumnos visitar la página:
http://www.salonhogar.com/matemat/calculadoras/
teorema_pitagoras.htm, la cual contiene una hoja de
cálculo que pide los valores de los lados de un triángulo
y determina si es o no rectángulo. Verifique que
la página aún esté vigente.
3 1.9
2.5
0.5 0.5
0.5
0.5
Cápsula
si el triángulo es rectángulo,
entonces a 2 b 2 c 2 .
b
a
c
Observa que lo que te da el rompecabezas es la idea de que el teorema de
Pitágoras puede ser verdadero para cualquier triángulo rectángulo.
El teorema de Pitágoras dice que si un triángulo es rectángulo, la suma de
los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa.
Aun cuando en el tema 2 del bloque 1 se dieron justificaciones del teorema,
aquí daremos otras usando triángulos semejantes, y posteriormente
trabajaremos sobre el recíproco del teorema de Pitágotas.
Empecemos por la demostración del teorema. La hipótesis es que el
triángulo es rectángulo y lo que queremos demostrar es que la suma
de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa.
Para esto, haremos una construcción auxiliar.
202 BLoquE 4
aPLiCaCiones deL teorema de PitÁgoras
Soluciones
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© NuevoMéxico
234

Considera el triángulo ABC y la altura CH, como se muestra.
Considera los triángulos ABC y CBH y observa que CHB ______ y
que ACB ______
C
Defina la altura de un triángulo como un segmento
perpendicular a uno de los lados y que pasa por
el vértice opuesto. Por lo tanto, la altura forma
ángulos de 90º con el lado.
Por lo tanto, son iguales; además, ABC y CBH son el mismo ángulo, por
lo que los triángulos ABC y CBH no sólo tienen dos ángulos iguales, sino
que además son semejantes.
■ Ahora, prueba que los triángulos ABC y ACH son semejantes. ________
_________________________________________________________________
A
H
B
Pregunte a los alumnos cuáles son los tres criterios
de semejanza de los triángulos (Solución:
AA, LAL, LLL).
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
Por lo tanto, los triángulos ABC, CBH y ACH son semejantes, de ahí que
entonces con ABC y CBH se tenga que:
AB
CB
BC BH , de ahí que (BC)2 (AB)(BH).
Con ABC y ACH se tiene:
AB
, AC de ahí que (AC) AC 2 (AB)( ____ )
Si sumamos (AC) 2 (BC) 2 _________________ _________________
Factorizando:
(AC) 2 (BC) 2 AB ( ______ ______ ) AB ( ______ )
De donde (AC) 2 (BC) 2 ( ______ ) 2
¡Hemos demostrado de otra forma el teorema de Pitágoras!
■ Observa las figuras del margen.
Calcula 3 2 4 2 ______ y 5 2 _______
¿Qué observas? ________________________________________
Mide el ángulo opuesto al lado de longitud 5. __________
Observa la figura del margen.
Calcula (4.5) 2 (6) 2 ______ y (7.5) 2 _______
¿Qué observas? ________________
Ahora mide el ángulo opuesto al lado de longitud 7.5 __________
5 cm
4 cm
4.5 cm
7.5 cm
3 cm
6 cm
aPLiCaCiones deL teorema de PitÁgoras
203
Pliego 13.indd 203 7/4/08 18:11:27
Página 203
∡CHB = 90°
∡ACB = 90°
Los triángulos ABC y ACH son semejantes porque:
1) ∡CAB = ∡CAH Por ser el mismo ángulo.
2) ∡ACB = 90° Por hipótesis.
3) ∡AHC = 90° Por ser CH⊥AB (definición
de altura).
4) ∡ACB = ∡AHC Transitividad en 2 y 3.
5) ABC es semejante a ACH Criterio AA en 1) y 4).
De donde: (AC) 2 + (BC) 2 = (AB) 2
3 2 + 4 2 = 25 y 5 2 = 25
Se observa que se cumple el teorema de Pitágoras.
El ángulo opuesto al lado de longitud 5 mide 90°.
(4.5) 2 + (6) 2 = 56.25 y (7.5) 2 = 56.25
Se observa que se cumple el teorema de Pitágoras.
El ángulo opuesto al lado de longitud 7.5 mide 90°.
© NuevoMéxico
AB
AC = AC
AH de ahí que (AC)2 = (AB)(AH)
(AC) 2 + (BC) 2 = (AB)(BH) + (AB)(AH)
Factorizando: (AC) 2 + (BC) 2 = (AB)(BH + AH) = (AB)(AB)
235

Sugerencias didácticas
Concluya con los alumnos que dados tres lados
de un triángulo cualquiera, se comprueba si tiene
un ángulo de 90º (es decir, que es rectángulo) si la
suma de los cuadrados de los dos lados menores
es igual al cuadrado del lado mayor.
Indíqueles que el ángulo de 90º en un triángulo
rectángulo es el que se opone al lado mayor.
Cápsula
Puedes usar tu calculadora
para hacer las cuentas.
Cápsula
si en un triángulo cuyos
lados miden a, b y c se
cumple que a 2 + b 2 = c 2
entonces el triángulo es
rectángulo y el ángulo recto
es el opuesto al lado de
longitud c.
En tu cuaderno traza un triángulo cuyas longitudes sean de 9, 12 y 15 cm.
Calcula 9 2 (12) 2 ______ y (15) 2 _______
¿Qué observas? __________________________________________________
Mide el ángulo opuesto al lado de longitud 15 cm. ____________________
Ahora, imagina que trazas un triángulo cuyos lados tengan longitudes 9, 40
y 41 cm.
Calcula 9 2 (40) 2 ______ y (41) 2 _______
¿Qué observas? __________________________________________________
Ahora con base en las actividades anteriores. ¿Cuánto crees que mide el ángulo
opuesto al lado de longitud 41? _________
Piensa en un triángulo cuyas longitudes serían 85, 132 y 157 cm.
Sin dibujar el triángulo, ni medir los ángulos, ¿cómo compruebas que
en dicho triángulo el ángulo opuesto al lado de longitud 157 mide 90º?
______________________________________________________________
______________________________________________________________
______________________________________________________________
______________________________________________________________
Por todo lo anterior podemos pensar que si las longitudes de los lados
cumplen que la suma de los cuadrados de dos de ellos es igual al tercer
lado al cuadrado, entonces el triángulo tiene un ángulo de 90º, opuesto
al lado más grande.
A esto se le conoce como el recíproco del teorema de Pitágoras. Recordemos
que en el recíproco se usa la conclusión del teorema como hipótesis
y la hipótesis como conclusión.
Es decir que ahora tenemos que si en un triángulo se tiene la relación
a 2 b 2 c 2 donde a, b y c son las longitudes de los lados del triángulo
podemos concluir que el triángulo tiene un ángulo recto, los catetos son
a, b y la hipotenusa es c.
C
actiVidadEs
B
y
a
D
x
b
A
1. Encuentra la longitud de la diagonal de un rectángulo cuya longitud de
sus lados es 8 y 20.
2. En un triángulo ABC, como el de la figura, cuya altura es CD prueba
que a 2 y 2 b 2 x 2 .
204 aPLiCaCiones deL teorema de PitÁgoras
Soluciones
Pliego 13.indd 204 7/4/08 18:11:29
Página 204
(9) 2 + (12) 2 = 225 y (15) 2 = 225
observa que se cumple el teorema de Pitágoras.
ángulo opuesto al lado de longitud 15
(9) 2 + (40) 2 = 1 681 y (41) 2 = 1 681
observa que se cumple el teorema de Pitágoras.
ángulo opuesto al lado de longitud 41
debe cumplir que: (85) 2 + (132) 2 = (157)
Realizando operaciones se tiene: 24 649 =
Por lo tanto, es un triángulo rectángulo, y
157 es de 90°.
Actividades
La diagonal es d = ∙∙∙∙ 8 2 + 20 2 = 21.54
Para el triángulo BCD tenemos que CD
Para el triángulo CDA tenemos que CD
Igualando: ∙∙∙∙ a 2 − y 2 = ∙∙∙∙ b 2 − x 2
Elevando al cuadrado: a 2 − y 2 = b 2 − x 2 Página 205
Trabajo en equipo
Tracemos
FG∙AD
A
D
Se
El mide 90°.
Se
El mide 90°.
Se 2
24 649
el ángulo opuesto al lado
de
1.
1.
2. = ∙∙∙∙ a 2 − y 2
y
= ∙∙∙∙ b 2 − x 2
x
3. Supongamos que F es un segmento paralelo a
AE y que pasa por B. Entonces:
AD = ∙∙∙∙∙ 24 2 + 18 2 = 30
En el triángulo BFC tenemos que:
FC = ∙∙∙∙∙ 25 2 + 24 2 = 7
Ahora sumamos todos los lados de la figura:
AB + BC + CF + FE + ED + DA
= 64 + 25 + 7 + 64 + 18 + 30 = 208
F
E
G
z
w
B
C
© NuevoMéxico
236

3. Si AB y CD son paralelas, encuentra el perímetro de la figura.
A
B
64
24
25
D 18 E
C
En caso de que los alumnos tengan dificultades
para resolver el problema 2 del trabajo en equipo,
déles la siguiente explicación.
El paralelepípedo tiene base rectangular. Por la
información proporcionada sabemos que:
7 7
trabaJo En EQUipo
9.5
Base del
paralelepípedo
1. En la siguiente figura, E se encuentra en el interior del rectángulo ABCD,
prueben que x 2 z 2 w 2 y 2 .
A
y
z
B
9.5
x
E
w
12
D
2. Si se sabe que el listón pasa por los puntos medios, ¿qué cantidad de
listón es necesaria para envolver el paquete como se indica en la figura?
3. Con base en las siguientes figuras, ¿creen que quepa la caña de pescar
en la caja? ___________________________________________________
C
2 m
14
19
• Lo que resulta son 4 triángulos rectángulos
iguales, de los cuales podemos calcular la longitud
de la hipotenusa: H = ∙∙∙∙∙ 7 2 + 9.5 2 = 11.8
• Este resultado lo multiplicamos por 4, que es el
número de veces que el listón toca las bases del
paralelepípedo: 11.8 (4) = 47.2
1.3
1.3
4. Si las longitudes de los lados de un triángulo son 3, 4 y 5, ¿es
rectángulo? __________________________________________________
1.3
• La otra parte del listón tiene longitud 12, pues
va desde la base hasta el tope de la caja, y también
son cuatro partes iguales: 12(4) = 48
• En total se necesitan: 47.2 + 48 = 95.2 unidades
de listón
aPLiCaCiones deL teorema de PitÁgoras
205
Pliego 13.indd 205 7/4/08 18:11:35
© NuevoMéxico
Como se puede ver, el segmento FG hace que se formen los
siguientes triángulos rectángulos:
EAF, FEB, DEG y GEC, entonces:
En triángulo EAF FE = ∙∙∙∙∙ y 2 − (AF) 2 (1)
En triángulo FEB FE = ∙∙∙∙∙ z 2 − (FB) 2 (2)
Igualando (1) y (2) ∙∙∙∙∙ y 2 − (AF) 2 = ∙∙∙∙∙ z 2 − (FB) 2
Realizando operaciones y 2 − z 2 = (AF) 2 −(FB) 2 (3)
En triángulo DEG EG = ∙∙∙∙∙ x 2 − (DG) 2
Como AF = DG por ser paralelas AD y FG (teorema de Tales),
entonces: EG = ∙∙∙∙∙ x 2 − (AF) 2 (4)
En triángulo GEC EG = ∙∙∙∙∙ w 2 − (GC) 2
Como FB = GC por ser paralelas AD y FG (teorema de Tales),
entonces: EG =∙∙∙∙∙ w 2 − (FB) 2 (5)
Igualando (4) y (5): ∙∙∙∙∙ x 2 − (AF) 2 = ∙∙∙∙∙ w 2 − (FB) 2
Realizando operaciones: x 2 – w 2 = (AF) 2 – (FB) 2 (6)
Por transitividad en (3) y (6): y 2 – z 2 = x 2 – w 2
2. En total se necesitan 47.2 + 48 = 95.2 unidades de
listón
3. El lado más largo del cubo es en los vértices opuestos
AC.
B
A
El segmento AB mide: AB = ∙∙∙∙∙ 1.3 2 + 1.3 2 = 1.83
BC = 1.3
Por lo tanto, la distancia entre los vértices opuestos
AC es:
AC = ∙∙∙∙∙∙
1.83 2 + 1.3 2 = 2.25, lo cual quiere decir que la
caña de pescar sí cabe.
4. Sí es un triángulo rectángulo porque 3 2 + 4 2 = 5 2 .
C
237

Sugerencias didácticas
Comente a los alumnos que se denominan “Razones
del Triángulo” y no “Razones de la tangente”,
porque la tangente es una razón.
Especifique que la tangente de un ángulo en el triángulo
rectángulo hace referencia sólo a los ángulos
agudos.
Plantee a los alumnos varios triángulos rectángulos
con un ángulo marcado (con A por ejemplo) para
que ellos determinen cuáles son, respectivamente,
el cateto opuesto, el adyacente y la hipotenusa. Por
ejemplo:
A
R
1
b
RazonEs dE la tangEntE
■ En cada uno de los triángulos rectángulos, ¿cuál es la medida del
ángulo marcado con 1? Puedes usar tu transportador. __________
______________________________________________________________
T
Y
2
2
1
c
X Z
W
B
2
2
S
U
1
a
V
¿Cuál es la medida del ángulo 2? ________________________________
¿Son semejantes los cuatro triángulos? ___________________________
¿Cómo son
TS
RS y WV ? _________________________________________
UV
Explica por qué. _______________________________________________
______________________________________________________________
A
1
d
C
A
Cápsula
en un triángulo rectángulo,
para un ángulo agudo, la
razón entre la longitud del
lado opuesto al ángulo
(cateto opuesto) y la longitud
del lado adyacente al ángulo
(cateto adyacente) es la
tangente del ángulo.
______________________________________________________________
¿Cómo son YZ , BC ,
TS
y WV
XZ AC RS UV ? _____________________________
A esas razones que únicamente dependen del ángulo 1 se les llama
tangente del ángulo 1.
Observa el triángulo RTS.
TS es el cateto opuesto respecto del ángulo 1.
A
RS es el cateto adyacente respecto del ángulo 1.
TS
RS cateto opuesto
tangente del ángulo 1.
cateto adyacente
Usualmente se denota así: tan (1) TS
RS .
En cada triángulo, ¿por qué son iguales las tangentes del ángulo 1?
______________________________________________________________
A
______________________________________________________________
206 aPLiCaCiones deL teorema de PitÁgoras
Soluciones
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Página 206
Razones de la tangente
Todos los ángulos marcados con 1 miden 30°.
El ángulo 2 en todos los casos mide 60°.
Los cuatro triángulos son semejantes.
TS
RS = WV
UV
Porque como son triángulos semejantes la proporción se conserva.
YZ
XZ = BC
AC y TS
RS = WV
UV
Las tangentes del ángulo 1 son iguales porque las razones que dependen del ángulo
1 también son iguales.
© NuevoMéxico
238

■ Mide los lados opuesto y adyacente de los cuatro triángulos anteriores
y completa la tabla.
Pregunte a los alumnos ¿cuál es la relación de la
tangente del ángulo 1 con respecto a la del ángulo
2? Solución: una es el recíproco de la otra.
Triángulo
Longitud del
lado opuesto
a 1
Longitud
del lado
adyacente a 1
a 3 5
opuesto
Tangente de 1 _________
adyacente
Número
decimal
3 5 0.6
Concluya que la tangente del ángulo complementario
en un triángulo rectángulo es el recíproco de
la tangente del ángulo original.
b
c
d
Observa en la página anterior el triángulo RTS e indica cuál es el cateto
opuesto al ángulo 2. __________________________
Indica cuál es el cateto adyacente al ángulo 2. ____________________
¿Qué razón expresa tan 2? ___________________________________
■ Completa la tabla que se presenta respecto del ángulo 2 y respecto
de cada triángulo.
Triángulo
Longitud
del lado
opuesto a 2
Longitud
del lado
adyacente a 2
opuesto
Tangente de 2 _________
adyacente
Número
decimal
a
b
c
d
¿Son aproximadamente iguales los decimales de la última columna?
______________________________________________________________
aPLiCaCiones deL teorema de PitÁgoras
207
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Página 207
Triángulo
Longitud del lado
opuesto a ∡1
Longitud del
lado adyacente
a ∡1
Tangente de ∡1 =
opuesto
adyacente
Número
decimal
Triángulo
Longitud del lado
opuesto a ∡2
Longitud del
lado adyacente
a ∡2
Tangente de ∡2 =
opuesto
adyacente
Número
decimal
a 3 5
3
5
0.6
a 5 3
5
3
1.6
b 3.4 5.6
3.4
5.6
0.6
b 5.6 3.4
5.6
3.4
1.6
c 1 1.65
1
1.65
0.6
c 1.65 1
1.65
1
1.6
d 2.4 4
2.4
4
0.6
d 4 2.4
4
2.4
1.6
© NuevoMéxico
El cateto opuesto al ángulo 2 es RS.
El cateto adyacente al ángulo 2 es TS.
tan ∡2 = RS
TS
Los decimales de la última columna son aproximadamente
iguales.
239

Sugerencias didácticas
Indique a los alumnos la importancia de utilizar
cuatro decimales en las operaciones que se hacen
con razones trigonométricas. En el caso de la ola
se trabajó con tan 6º = 0.1 y se obtuvo un resultado
de 15 m como medida de ella; sin embargo, si se
hubieran hecho los cálculos con tan 6º = 0.1051, se
obtendría 15.76 m, es decir, 70 cm más.
Mide el ángulo 1: ______________________________________________
Mide el ángulo 2: ______________________________________________
La tangente de un ángulo A se denota como tan A, de manera que en
los resultados de la primera tabla la tangente de 30° (tan 30°) es aproximadamente
0.58. Asimismo, de los resultados de la segunda tabla se
tiene que la tangente de 60° (tan 60°) es aproximadamente 1.73.
Si un ángulo de un triángulo rectángulo es de 45°, ¿cuál es la medida
del otro ángulo? _______________________________________________
¿Cómo son los catetos de ese triángulo? __________________________
Por tanto, tan 45° ___________________________________________
tan 50° _______
50°
25
30
■ Encuentra la tangente de cada uno de los ángulos que se indican a continuación.
Haz las mediciones necesarias.
tan 17° _______
17°
3.3
1
tan 35° _______
35°
500
350
las tangEntEs y la Vida En El mar
En el dibujo, el barco está a 150 m de la playa y el ángulo desde el borde
de la playa hasta la cresta de la ola es de 6°. ¿Cuál es la altura (h) de la
ola? Se puede usar la tangente de 6° para calcular la altura de la ola.
6º
10º
208 aPLiCaCiones deL teorema de PitÁgoras
Soluciones
Pliego 13.indd 208 7/4/08 18:11:45
Página 208
El ángulo 1 mide 30°.
El ángulo 2 mide 60°.
El otro ángulo mide 45°.
Los catetos de ese triángulo son iguales.
tan 45° = 1
tan 50° = 1.2 tan 17° = 0.31 tan 35° = 0.7
© NuevoMéxico
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