Cálculo vectorial discreto para esquemas en diferencias sobre ...

función componente, tal que para cada x ∈ V h se tiene que f(x, y) = 0 si y /∈ V h (x) y
f(x) =
∑ f(x, y)s xy . Si f ∈ X (Γ h ), el soporte de f es sop(f) = {x ∈ V h : f(x) ≠ 0}.
y∈V h (x)
Los espacios de campos vectoriales y de campos vectoriales con soporte finito serán
denotados por X (Γ h ) y X 0 (Γ h ), respectivamente.
Un campo se denomina simétrico si su función componente es simétrica y antisimétrico
o flujo si su función componente es antisimétrica. La descomposición de toda
función f en parte simétrica, f s , y parte antisimétrica, f a , determina que todo campo
f puede expresarse de forma única como suma de un campo simétrico, f s y un flujo f a ,
que serán denominados parte simétrica y parte antisimétrica de f, respectivamente.
Un campo vectorial f se denomina homogéneo si existe b = (b j ) ∈ IR 6 tal que
f(x, x j ) = b j para cada x ∈ V h , j = 1, . . . , 6. En este caso, diremos que f es el campo
homogéneo determinado por b y claramente f es simétrico sii b 3+j = b j , j = 1, 2, 3 o
antisimétrico sii b 3+j = −b j , j = 1, 2, 3. De esta manera cada b ∈ IR 3 determina de
forma obvia un campo simétrico y un flujo homogéneos.
Si f, g ∈ X (Γ h ) y f, g son sus funciones componentes, la expresión 〈f, g〉 denotará la
función de C(V h ) dada por 〈f, g〉(x) =
∑ f(x, y)g(x, y), x ∈ V h . El producto interno
y∈V h (x)
estándar sobre el espacio X 0 (Γ h ) es el definido por la expresión
1
2
∑
x∈V h
〈f, g〉(x) ≡ 1 2
∫
V h
〈f, g〉(x) dx, f, g ∈ X 0 (Γ h ). (3)
Consideraremos también el producto interno estándar en C 0 (V h ), es decir,
∑
∫
u(x)v(x) ≡ u(x)v(x) dx, u, v ∈ C 0 (V h ). (4)
x∈V
V h h
Ambos productos internos son las herramientos básicas para la construcción del cálculo
operacional. Por otra parte, las expresiones (3) y (4) sigue teniendo sentido cuando
solamente uno de los campos o de las funciones tienen soporte finito.
Un campo de matrices sobre Γ h es una aplicación A que asigna a cada nodo x ∈ V h
una matriz A(x) de orden 6. Diremos que A es un campo no singular si para cada x ∈ V h
la matriz A(x) es no singular. En este caso denotaremos por A −1 al campo de matrices
inversas.
Diremos que un campo de matrices A es diagonal, simétrico o definido positivo si
para cada x ∈ V h la matriz A(x) is diagonal simétrica o definida positiva, respectivamente.
Diremos que A es una métrica sobre Γ h si es un campo simétrico y definido
positivo. En este caso, la base {s xy } y∈Vh (x) de T x (Γ h ) es ortogonal para todo x ∈ V h sii
A es además un campo diagonal.
Diremos que un campo de matrices A es homogéneo si existe A, una matriz de orden
6 tal que A(x) = A para cada x ∈ V h , en cuyo caso diremos que A está determinado
por A. Los campos de vectores y de matrices deben ser coherentes con la estructura
homogénea de la red y por esta razón sólo consideraremos campos homogéneos. Concretamente,
a partir de ahora b denotará el campo vectorial homogéneo determinado
por b = (b j ) ∈ IR 6 y A denotará el campo de matrices homogéneo determinado por
A = (a ij ), una matriz de orden 6.