Cálculo vectorial discreto para esquemas en diferencias sobre ...

en la identidad (2) y consideramos los escalares
a 1 jj = h2
2 (α j + α 3+j + 2(β j + β 3+j ) +
3∑
(γ ji + γ ij ), j = 1, 2, 3;
i=1
i≠j
b 1 = h 2 (α 4 − α 1 + 2(β 4 − β 1 ) + γ 13 − γ 31 + γ 21 − γ 12 ,
b 2 = h 2 (α 5 − α 2 + 2(β 5 − β 2 ) + γ 21 − γ 12 + γ 32 − γ 23 ,
b 3 = h 2 (α 6 − α 3 + 2(β 6 − β 3 ) + γ 31 − γ 13 + γ 32 − γ 23 ,
y las matrices de orden 3, A 1 = h 2 ⎡
⎡
y A 3 = −h 2 ⎢
⎣
⎢
⎣
a 1 11 0 −γ 13
0 a 1 22 0
−γ 31 0 a 1 33
⎤
⎡
⎥
⎦, A 2 = −h 2 ⎢
⎣
⎤
2β 4 γ 21 0
⎥
γ 21 2β 5 γ 32 ⎦
0 γ 32 2β 6
⎤
2β 1 γ 12 0
⎥
γ 12 2β 2 γ 23 ⎦, entonces L h (u) = −div (A∇u) + 〈b, ∇u〉 + qu es un
0 γ 23 2β 3
operador en diferencias que satisface la propiedad requerida.
El siguiente resultado determina propiedades estructurales del esquema en términos
de los coeficientes del operador L h . Para ello mantendremos las notaciones anteriores
y para cada j = 1, . . . , 6 denotaremos por r j a la suma de la j-ésima fila de la matriz
A.
Proposición. Se satisfacen las siguientes propiedades:
i) L h es un esquema casi-simétrico sii A 1 = A t 1 y A 2 = A 3 . Además, L h es un
esquema simétrico sii se satisfacen las igualdades anteriores y b = 0.
ii) L h es un esquema no negativo sii q ≥ 0, A es una Z-matriz y r j ≥ −hb j ,
r 3+j ≥ hb j , j = 1, 2, 3, para h suficientemente pequeño. En particular, cuando L h
es un esquema no negativo se debe verificar que a 1 jj ≥ h|b j |, j = 1, 2, 3, para h
suficientemente pequeño.
iii) Si lím
h→0
hb = 0, entonces L h es de tipo positivo sii q ≥ 0 y A es una M-matriz
diagonalmente dominante de forma estricta.
iv) Si b = 0, entonces L h es un esquema de tipo no negativo sii q ≥ 0 y A es una
M-matriz diagonalmente dominante.
Agradecimientos
Trabajo parcialmente financiado por la Comisión Interministerial de Ciencia y Tecnología,
mediante el proyecto BFM2000-1063 y por la ETSECCPB.
Referencias
[1] E. Bendito, A. Carmona and A.M. Encinas,“Solving Boundary Value Problems on
Networks Using Equilibrium Measures”, J. Func. Anal., 171 (2000), 155-176.