Bolilla 4: Rotación de los cuerpos rÃgidos. Movimiento circular
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<strong>Bolilla</strong> 4: Rotación <strong>de</strong> <strong>los</strong><br />
<strong>cuerpos</strong> rígidos.<br />
<strong>Movimiento</strong> <strong>circular</strong><br />
1
<strong>Bolilla</strong> 4: Rotación <strong>de</strong> <strong>los</strong> <strong>cuerpos</strong> rígidos. <strong>Movimiento</strong> <strong>circular</strong><br />
4.1 Variables Angulares<br />
Las variables angulares sirven para representar en<br />
forma mas simple e idónea al movimiento <strong>de</strong> rotación.<br />
La posición angular θ se <strong>de</strong>fine en radianes <strong>de</strong> la<br />
siguiente manera:<br />
θ = s/r<br />
Equivalencias: 1 giro = 2π rad = 360 o<br />
Definiciones:<br />
1. Velocidad angular media: ωm =<br />
Δθ<br />
Δ = t<br />
2. Velocidad angular instantánea: ω<br />
θf<br />
tf<br />
θ<br />
= d dt<br />
−<br />
−<br />
θ<br />
ti<br />
i<br />
ω es un vector cuya dirección es la <strong>de</strong>l eje <strong>de</strong><br />
rotación y sentido (regla <strong>de</strong>l tornillo) como el<br />
indicado en la figura:<br />
2
3. El <strong>de</strong>splazamiento <strong>de</strong> un punto situado a una distancia r<br />
<strong>de</strong>l eje <strong>de</strong> rotación es:<br />
s<br />
= rθ<br />
4. La variación <strong>de</strong> s respecto <strong>de</strong> t, es la celeridad o velocidad<br />
tangencial. Se relaciona con la velocidad angular <strong>de</strong> la<br />
siguiente manera:<br />
ds<br />
dt<br />
5. La aceleración angular media es:<br />
r d θ<br />
= ⇒ v = rω<br />
dt<br />
r<br />
αm<br />
6. La aceleración angular instantánea es:<br />
α<br />
r<br />
Δ<br />
= ω<br />
Δt<br />
ω<br />
= d dt<br />
Fotografia <strong>de</strong> <strong>los</strong> Anil<strong>los</strong> <strong>de</strong><br />
Saturno (Voyager 1. en 1980)<br />
7. La aceleración angular es un vector, cuya dirección y<br />
sentido están dados por el cambio en la velocidad<br />
angular.<br />
3
8. La aceleración tangencial es la variación con<br />
respecto al tiempo <strong>de</strong> la velocidad tangencial.<br />
Es un vector tangente a la trayectoria cuyo<br />
módulo verifica la relación:<br />
v<br />
dv<br />
r r d ω<br />
= ω → = → a =<br />
dt dt<br />
rα<br />
4.2 <strong>Movimiento</strong> Circular Uniforme (MCU). <strong>Movimiento</strong> Circular Uniformemente<br />
Variado (MCVU)<br />
Ecuaciones <strong>de</strong>l MCUV<br />
Un objeto tiene MCU cuando la<br />
r r r<br />
velocidad angular es constante:<br />
o<br />
ω = constante → α = 0<br />
Un objeto tiene MCUV cuando la<br />
aceleración angular es constante:<br />
α = constante<br />
ω = ω + αt<br />
1 2<br />
θ= θo+ ωot+<br />
αt<br />
2<br />
2 2<br />
ω = ωo<br />
+ 2 α( θ−θo)<br />
4
La velocidad tangencial (vt o v) en un<br />
movimiento <strong>circular</strong>, cambia continuamente<br />
<strong>de</strong> dirección. Este cambio <strong>de</strong> velocidad<br />
respecto <strong>de</strong>l tiempo, se <strong>de</strong>nomina<br />
aceleración centrípeta o radial, a r<br />
. Este<br />
vector apunta radialmente hacia el centro <strong>de</strong><br />
la trayectoria.<br />
Δv<br />
v<br />
=<br />
Δr<br />
r<br />
1 Δv<br />
1 Δr<br />
Δt→0<br />
1<br />
= ⎯⎯⎯ →<br />
v Δt<br />
r Δt v a 1<br />
r =<br />
r v<br />
a<br />
r<br />
=<br />
v<br />
r<br />
2<br />
5
Aceleraciones en el <strong>Movimiento</strong> Circular<br />
4.3 Momentos<br />
El momento τ ejercido por una fuerza F<br />
alre<strong>de</strong>dor <strong>de</strong> un punto O se <strong>de</strong>fine como el<br />
producto vectorial <strong>de</strong>l vector r, (cuyo origen se<br />
encuentra en O y finaliza en el punto <strong>de</strong><br />
aplicación <strong>de</strong> la fuerza F ), y la fuerza F.<br />
r r<br />
τ = r×<br />
F<br />
r<br />
r Δω<br />
α =<br />
Δt<br />
( angular)<br />
at<br />
= rα<br />
( tangencial)<br />
a<br />
r<br />
=<br />
v<br />
2<br />
r<br />
( radial)<br />
6
Por su <strong>de</strong>finicion, el módulo <strong>de</strong>l momento es:<br />
τ = r F sen θ<br />
El momento es máximo cuando θ es un ángulo<br />
recto. Es nulo cuando θ es igual a 0 o o 180 o .<br />
Nota: PARES. Dos fuerzas iguales pero opuestas y cuyas<br />
líneas <strong>de</strong> acción sean diferentes constituyen un par.<br />
7
4.4 Leyes <strong>de</strong> Newton <strong>de</strong>l <strong>Movimiento</strong> <strong>de</strong> Rotación<br />
Primera Ley (Segunda Condición <strong>de</strong> Equilibrio):<br />
Si la sumatoria <strong>de</strong> <strong>los</strong> momentos actuantes sobre<br />
un cuerpo en cero, el cuerpo se encuentra en<br />
reposo o gira con <strong>Movimiento</strong> Circular Uniforme.<br />
Momento <strong>de</strong> inercia: ‘resistencia’ <strong>de</strong> un cuerpo a girar, <strong>de</strong>pen<strong>de</strong><br />
<strong>de</strong> su masa y <strong>de</strong> cómo ésta está distribuida<br />
Segunda Ley:<br />
El momento total aplicado a un cuerpo es<br />
igual al momento <strong>de</strong> inercia <strong>de</strong>l cuerpo<br />
multiplicado por su aceleración angular.<br />
8
Momentos <strong>de</strong> Inercia <strong>de</strong><br />
<strong>cuerpos</strong> uniformes<br />
9
4.5 Equilibrio <strong>de</strong> <strong>los</strong> Cuerpos Rígidos<br />
r<br />
∑ =<br />
i<br />
r τi<br />
F 0<br />
Primera condición <strong>de</strong> equilibrio: i (Traslación)<br />
Segunda condición <strong>de</strong> equilibrio:<br />
4.6 Centro <strong>de</strong> Gravedad<br />
∑<br />
i<br />
= 0<br />
(Rotación)<br />
Centro <strong>de</strong> gravedad: es el punto don<strong>de</strong> pue<strong>de</strong> suponerse aplicado el peso <strong>de</strong> un objeto.<br />
El peso <strong>de</strong> un objeto produce un momento nulo respecto <strong>de</strong> su centro <strong>de</strong> gravedad.<br />
Cálculo <strong>de</strong>l centro <strong>de</strong> gravedad para un conjunto <strong>de</strong> masas puntuales<br />
x<br />
y<br />
cg<br />
cg<br />
p<br />
=<br />
p<br />
=<br />
1<br />
1<br />
x1<br />
+ p2<br />
x<br />
2<br />
+ ... + p<br />
p + p + ... + p<br />
1<br />
y1<br />
+ p2<br />
y2<br />
+ ... + p<br />
p + p + ... + p<br />
1<br />
2<br />
2<br />
n<br />
n<br />
n<br />
n<br />
x<br />
y<br />
n<br />
n<br />
=<br />
=<br />
n<br />
∑<br />
i=<br />
1<br />
n<br />
∑<br />
i=<br />
1<br />
n<br />
∑<br />
i=<br />
1<br />
n<br />
∑<br />
i=<br />
1<br />
p<br />
p<br />
i<br />
p<br />
i<br />
p<br />
x<br />
i<br />
y<br />
i<br />
i<br />
i<br />
10
Centro <strong>de</strong> gravedad <strong>de</strong> <strong>cuerpos</strong> homogéneos<br />
Se generalizan las ecuaciones anteriores subdividiendo<br />
al cuerpo en masas pequeñas (diferenciales <strong>de</strong> masa) y<br />
sumando (integrando) cada una <strong>de</strong> las contribuciones<br />
según la <strong>de</strong>fición.<br />
Algunas propieda<strong>de</strong>s <strong>de</strong>l centro <strong>de</strong> gravedad (cg)<br />
El cg no coinci<strong>de</strong><br />
necesariamente con un punto<br />
que pertenezca al cuerpo<br />
Trayectoria <strong>de</strong>l cg (mov. <strong>de</strong><br />
proyectiles)<br />
11
Propieda<strong>de</strong>s <strong>de</strong>l centro <strong>de</strong> gravedad<br />
Equilibrio y centro <strong>de</strong> gravedad<br />
Posición <strong>de</strong>l cg: suspen<strong>de</strong>r<br />
al cuerpo <strong>de</strong> puntos distintos<br />
12
Cuadro resumen: Comparación entre <strong>los</strong> movimientos <strong>de</strong> traslación y <strong>de</strong> rotación.<br />
MAGNITUD<br />
Posición<br />
Velocidad<br />
Aceleración<br />
TRASLACIÓN<br />
r<br />
x, s<br />
θ s= rθ<br />
r<br />
r x<br />
v = Δ Δt<br />
r<br />
r v<br />
a<br />
= Δ Δt<br />
ROTACIÓN<br />
θ<br />
ω = Δ Δt<br />
r<br />
r ω<br />
α = Δ Δt<br />
v<br />
RELACIÓN<br />
= ω r<br />
a =α r<br />
Aceleración<br />
Radial<br />
MUV<br />
Fuerza-<br />
Momento<br />
Masa-Momento<br />
<strong>de</strong> Inercia<br />
Equilibrio<br />
r r r<br />
v= vo<br />
+ at<br />
r r r 1 r<br />
x= xo+ vot+<br />
at<br />
2<br />
v2 = vo<br />
2<br />
+ 2aΔx<br />
r<br />
F=<br />
---------<br />
r<br />
ma<br />
m<br />
r<br />
F = ∑ 0<br />
2<br />
v<br />
ar = 2<br />
r r r<br />
r<br />
ω = ωo<br />
+ αt<br />
θ = θo+ ωot+<br />
αt<br />
2<br />
ω<br />
2<br />
ωo<br />
2<br />
2α Δθ<br />
= +<br />
1<br />
2<br />
ar = ω 2 r<br />
r r<br />
τ = Iα<br />
r r r<br />
I<br />
--------<br />
τ = r×<br />
F<br />
2<br />
i i<br />
I= ∑ m r<br />
r<br />
∑τ = 0<br />
-----<br />
13