1 SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS

SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS
Consideremos el PVI definido por el sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden:
'
y1() t f1(, t y1(), t , yn())
t
'
yn() t fn(, t y1(), t , yn())
t
y1( a) y10, , yn( a)
yn0
, t[a,b]
En este sistema hay n funciones y 1
(t),..,y n
(t) , por determinar.
Además, todas ellas dependen de una sóla variable independiente t
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TRANSFORMACIÓN DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL DE ORDEN
SUPERIOR A UN SISTEMA DE ECUACIONES DIFERENCIALES DE
PRIMER ORDEN
Toda ecuación diferencial de superior se puede expresar como un sistema de n
ecuaciones diferenciales de primer orden.
Supongamos que tengamos la E.D. de orden n de la forma: y (n) =f(t,y,y’,…,y (n-1) )
Esta ecuación diferencial se puede representar como un sistema de n ecuaciones
diferenciales de primer orden de la forma:
'
z1() t z2()
t
'
zn( x) f( t, z1( x), , zn( x))
con las sustituciones: z 1
=y; z 2
= y’,…., z n
=y (n-1)
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1

y'' sent ty' 2 y 3t
y(3) 8, y'(3) 0.2
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Ejemplo 1 Representar: ,
como un sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden
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SOLUCION NUMERICA DE UN SISTEMA DE ECUACIONES DIFERENCIALES
ORDINARIAS
Todos los métodos numéricos estudiados (por ejemplo: el método de Euler, Taylor,
Runge Kutta, etc) puede extenderse a sistemas de ecuaciones diferenciales de
primer orden.
En este caso, el procedimiento para resolver el sistema de ecuaciones
diferenciales de primer orden es aplicar la técnica numérica para cada
ecuación en cada iteración, antes de proceder con la siguiente iteración.
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2

Ejemplo 2. Determinar el valor aproximado a y(1.2), si
x' xyt 9
, x(1) 5; y(1) 3,
y' 3t x 2
usando el método de Euler con una longitud de paso de 0.1.
Solución El esquema de Euler para el sistema de E.D.O esta dado por:
xi1
xi hf( ti, xi, yi)
yi1
yi hg( ti, x, yi)
ti1
ti
h
, donde f(t,x,y)= 9 – xyt , g(t,x,y)= 2 - 3 t + x
xi1
xi h(9 xiyt
i i)
yi1
yi h(2 3 ti xi))
ti1
ti
h
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ITERACION 1:
x 1
=x 0
+h ( 9 – x 0
y 0
t 0
) = 5+0.1(9-5x3x1)=4.4
y 1
=y 0
+h ( 2 - 3 t 0
+ x 0
) = 3+0.1(2-3x1 + 5)=3.4
t 1
= t 0
+h =1+0.1=1.1
ITERACION 2:
x 2
=x 1
+h ( 9 – x 1
y 1
t 1
) = 4.4+0.1(9-4.4x3.4x1.1)=3.848
y 2
=y 1
+h ( 2 - 3 t 1
+ x 1
) = 3.4+0.1(2-3x1.1 + 4.4)=3.71 c
t 2
= t 1
+h =1.1+0.1=1.2
Por lo tanto, y(1.2)3.71
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3

Ejercicio 1 Determine el esquema de Taylor de orden 2 para el sistema de E.D.:
x' xyt 9
, x(1) 5; y(1) 3
y' 3t x 2
Ejercicio 2. Determine el método de Heun para el sistema de E.D.O:
x' xyt 9
, x(1) 5; y(1) 3,
y' 3t x 2
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Ejemplo 3 : Resolver: x
' 2x 4y
y'
x
6y
Solución
x’ = f (t,x,y), donde, f (t, x , y)= 2x + 4 y
y’ = g(t,x,y), donde, g(t, x , y)= - x + 6 y
Condiciones iniciales: t0 =0; x0= - 1; y0= 6
, con x(0) = - 1,y(0) = 6; con el método de Runge-Kutta de
orden 4, para aproximar x(0.6) ; y(0.6) con h= 0.2
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4

ITERACIÓN 1
k 1 = f (t 0 , x 0 , y 0 ) = f (0, -1, 6) = 2(-1) + 4(6) = 22
m 1 = g (t 0 , x 0 , y 0 ) = g (0; -1; 6) = -(-1) + 6(6) = 37
h h
k 2
= f (t 0
+ , x 0 + k 1 , y 0 + hm 1 ) = f(0.1;1.2;9.7)= 41.2
2 2
h h
2
m 2
= g (t 0
+ , x 0 + k 1 , y 0 + h m 1 ) = g(0.1;1.2;9.7)= 57
2 2
2
k 3
= f (t 0
+
h
, x 0 +
h
k 1 , y 0 + hm 1 ) = f(0.1;3.12; 11.7 )= 53.04
2 2
2
m 3
= g (t 0
+
h
, x 0 +
h
k 1 , y 0 + h m 1 ) = g(0.1;3.12; 11.7 )= 67.08
2 2
2
k 4
= f (t 0
+ h , x 0 + h k 1 , y 0 + h m 1 ) = f(0.2; 9.608; 19.416 )= 96.88
m 4
= g (t 0
+ h , x 0 + h k 1 , y 0 + h m 1 ) = g(0.2; 9.608; 19.416 )= 104.08
h
x 1
= x 0
+ (k 1 + 2k 2 +2k 3 + k 4 )= 9.2453
6
h
y 1
= y 0
+ (m 1 + 2m 2 +2m 3 + m 4 )= 18.9747
6
t 1 = t 0 + h = 0+0.2=0.2
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Así sucesivamente, obtenemos la tabla siguiente:
t
x n
y n
0
-1.0
6.0
0.2
k 1
=22
m 1
=37
k 2
=41.2
m 2
=57
k 3
=10.6080
m 3
=13.4160
k 4
=19.3760
m 4
=21.3776
9.2453
18.9747
0.4
k 1
=94.3894
m 1
=104.6029
k 2
=155.1084
m 2
=157.9257
k 3
=188.5814
m 3
=183.8475
k 4
=316.8999
m 4
=288.4504
45.8676
54.8614
0.6
k 1
=311.1808
m 1
=283.3008
k 2
=486.7373
m 2
=422.1632
k 3
=577.3935
m 3
=487.9250
k 4
=932.4782
m 4
=771.2258
158.2650
150.6848
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Ejercicio 3. Determinar el valor aproximado a y(0.3), si y’’-3y+2y=0, con y(0) = -1, y’(0)=0,
usando el método de Taylor de orden 2 con una longitud de paso de 0.1
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