1 SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS

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Ejercicio 1 Determine el esquema de Taylor de orden 2 para el sistema de E.D.: x' xyt 9 , x(1) 5; y(1) 3 y' 3t x 2 Ejercicio 2. Determine el método de Heun para el sistema de E.D.O: x' xyt 9 , x(1) 5; y(1) 3, y' 3t x 2 7 Ejemplo 3 : Resolver: x ' 2x 4y y' x 6y Solución x’ = f (t,x,y), donde, f (t, x , y)= 2x + 4 y y’ = g(t,x,y), donde, g(t, x , y)= - x + 6 y Condiciones iniciales: t0 =0; x0= - 1; y0= 6 , con x(0) = - 1,y(0) = 6; con el método de Runge-Kutta de orden 4, para aproximar x(0.6) ; y(0.6) con h= 0.2 8 4
ITERACIÓN 1 k 1 = f (t 0 , x 0 , y 0 ) = f (0, -1, 6) = 2(-1) + 4(6) = 22 m 1 = g (t 0 , x 0 , y 0 ) = g (0; -1; 6) = -(-1) + 6(6) = 37 h h k 2 = f (t 0 + , x 0 + k 1 , y 0 + hm 1 ) = f(0.1;1.2;9.7)= 41.2 2 2 h h 2 m 2 = g (t 0 + , x 0 + k 1 , y 0 + h m 1 ) = g(0.1;1.2;9.7)= 57 2 2 2 k 3 = f (t 0 + h , x 0 + h k 1 , y 0 + hm 1 ) = f(0.1;3.12; 11.7 )= 53.04 2 2 2 m 3 = g (t 0 + h , x 0 + h k 1 , y 0 + h m 1 ) = g(0.1;3.12; 11.7 )= 67.08 2 2 2 k 4 = f (t 0 + h , x 0 + h k 1 , y 0 + h m 1 ) = f(0.2; 9.608; 19.416 )= 96.88 m 4 = g (t 0 + h , x 0 + h k 1 , y 0 + h m 1 ) = g(0.2; 9.608; 19.416 )= 104.08 h x 1 = x 0 + (k 1 + 2k 2 +2k 3 + k 4 )= 9.2453 6 h y 1 = y 0 + (m 1 + 2m 2 +2m 3 + m 4 )= 18.9747 6 t 1 = t 0 + h = 0+0.2=0.2 9 Así sucesivamente, obtenemos la tabla siguiente: t x n y n 0 -1.0 6.0 0.2 k 1 =22 m 1 =37 k 2 =41.2 m 2 =57 k 3 =10.6080 m 3 =13.4160 k 4 =19.3760 m 4 =21.3776 9.2453 18.9747 0.4 k 1 =94.3894 m 1 =104.6029 k 2 =155.1084 m 2 =157.9257 k 3 =188.5814 m 3 =183.8475 k 4 =316.8999 m 4 =288.4504 45.8676 54.8614 0.6 k 1 =311.1808 m 1 =283.3008 k 2 =486.7373 m 2 =422.1632 k 3 =577.3935 m 3 =487.9250 k 4 =932.4782 m 4 =771.2258 158.2650 150.6848 10 5
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