Hojas de ejercicios

Ejercicios de
AMPLIACIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES
Curso 2009-2010
1. Sistemas con coeficientes constantes. Exponencial y
logaritmo
1.– Hallar la norma de las siguientes matrices
[ ] [ ] [ ]
2 0 1 2 1 0
.
0 −3 0 −1 5 1
2.– Probar que si A es invertible, entonces ‖A‖ > 0 y ‖A −1 ‖ ≥ 1/‖A‖.
3.– Probar que si ‖A‖ < 1, entonces ∑ ∞
k=0 Ak es una serie convergente con
suma (I − A) −1 .
4.– Hallar la exponencial de las matrices
[ ] [ ]
0 1
0 1
J =
K =
−1 0
1 0
[ ]
a b
L = .
−b a
5.– Hallar la exponencial de las siguientes matrices
⎡
⎣ 3 0 0
⎤ ⎡
0 3 −2⎦
⎣ 0 −2 0
⎤
1 2 0 ⎦
0 1 1
0 0 −2
⎡
⎣ 1 0 0
⎤ ⎡
⎤
−1 1 −2
−1 2 0⎦
⎣ 0 −1 4 ⎦
1 1 2
0 0 1
⎡
⎤ ⎡
⎤
1 −1 0 0
0 −2 −1 −1
⎢1 1 0 0
⎥ ⎢1 2 1 1
⎥
⎣0 0 3 −2⎦
⎣0 1 1 0 ⎦ .
0 0 1 1
0 0 0 1
6.– Para una matriz real cuadrada A probar que
(1) e AT = (e A ) T .
(2) det(e A ) = e Tr A .
1

Deducir de estas propiedades que la exponencial de una matriz antisimétrica
es una matriz ortogonal, pero no toda matriz ortogonal es la
exponencial de una matriz antisimétrica.
7.– Hallar la solución del problema de valor inicial
⎡
d
⎣ x ⎤ ⎡
y⎦ = ⎣ 0 −2 0
⎤ ⎡
1 2 0 ⎦ ⎣ x ⎤ ⎡
y⎦ , ⎣ x(0)
⎤ ⎡
y(0) ⎦ = ⎣ 1 ⎤
1⎦ .
dt
z 0 0 −2 z z(0) 1
8.– Hallar la solución del problema de valor inicial
⎡
d
⎣ x ⎤ ⎡
y⎦ = ⎣ 1 0 0
⎤ ⎡
−1 2 0⎦
⎣ x ⎤ ⎡
y⎦ , ⎣ x(2)
⎤ ⎡
y(2) ⎦ = ⎣ 1 ⎤
0⎦ .
dt
z 1 1 2 z z(2) 1
9.– Hallar la solución del problema de valor inicial
⎡
d
⎣ x ⎤ ⎡
y⎦ = ⎣ 3 0 0
⎤ ⎡
0 3 −2⎦
⎣ x ⎤ ⎡
y⎦ + ⎣ t ⎤ ⎡
0⎦ , ⎣ x(0)
⎤ ⎡
y(0) ⎦ = ⎣ 1 ⎤
1⎦ .
dt
z 0 1 1 z 1 z(0) 1
10.– Dada la matriz
A =
⎡
⎤
⎣ e6π 0 e 2π
0 e 2π 0 ⎦ ,
0 0 e 2π
hallar una matriz B tal que A = e 2πB .
11.– Para las matrices del ejercicio 5 que sean regulares, hallar un logaritmo.
12.– Consideremos el sistema de ecuaciones diferenciales Ẋ = AX. Al realizar
el cambio de variable ¯X = P X la ecuación se transforma en
˙¯X = Ā ¯X. Hallar la relación entre A y Ā.
13.– Sea A una matriz real simétrica y sea {v 1 , v 2 , . . . , v n } una base ortonormal
formada por vectores propios de A correspondientes a los valores
propios {λ 1 , λ 2 , . . . , λ n }. Probar que la solución del problema
Ẋ = AX, X(0) = X 0 se puede escribir en la forma
X(t) = e λ 1t 〈 X 0 , v 1 〉v 1 + e λ 2t 〈 X 0 , v 2 〉v 2 + · · · + e λnt 〈 X 0 , v n 〉v n .
14.– Sea W un subespacio A-invariante. Probar que toda solución del sistema
Ẋ = AX que comienza en W se mantiene en W , es decir, que si
X(0) ∈ W , entonces X(t) ∈ W para todo t ∈ R.
2

15.– Sea A una matrix real n × n y b ∈ R n . Para cada función real u(t)
consideramos el problema de valor incial Ẋ = AX + u(t)b, X(0) = 0.
Probar que si el rango del sistema de vectores {b, Ab, A 2 b, . . . , A n−1 b}
es menor que n entonces hay puntos X 1 de R n por los que no pasa la
solución del sistema cualquiera que sea la elección de la función u.
16.– Resolver los siguientes problemas de valor inicial:
(1) y ′′ − 4y ′ + 4y = t 3 e 2t , y(0) = 0, y ′ (0) = 0
(2) y ′′ + y = sen t, y(0) = 1, y ′ (0) = −1
17.– Resolver los siguientes problemas de valor inicial:
{
x ′′ + y = 1
x(0) = 1, x ′ (0) = 1
(1)
x + y ′′ = −1
y(0) = 1, y ′ (0) = −1.
⎧
⎪⎨
x ′ + 2y ′ − 2x + y = 0
x(0) = 1, x ′ (0) = 1
(2) 2x ′ − y ′ + y = 0
⎪⎩
y(0) = 1.
x ′′ − y ′ + x − 2y = 0
18.– Consideremos el sistema lineal Ẋ = AX + b(t), donde b(t) es una
función periódica de periodo T > 0.
• Probar que si X(t) es una solución del sistema, entonces X(t +
T ) también lo es.
• Probar que X(t) es una solución periódica de periodo T si y
sólo si existe t 0 ∈ R tal que X(t 0 ) = X(t 0 + T ).
• Probar que el sistema homogéneo admite soluciones T -periódicas
si y sólo si e T A tiene un valor propio 1. ¿Cuales son las soluciones
periódicas? ¿Cómo son los valores propios de A?
• Probar que si la única solución T -periódica del sistema homogéneo
es la solución trivial entonces el sistema nohomogéneo
tiene una única solución T -periódica cuyo valor inicial viene
dado por
∫ T
X 0 = (e −T A − I n ) −1 e −τA b(τ) dτ.
0
3

2. Transformada de Laplace
19.– A partir de la definición, encontrar la transformada de Laplace de las
siguientes funciones:
{
−1 si 0 ≤ t < 1
(1) f(t) =
1 si t ≥ 1
{
t, si 0 ≤ t < 1
(2) f(t) =
1, si t ≥ 1
(3) f(t) = e t+7
(4) f(t) = te 4t
(5) f(t) = t cos t
(6) f(t) = e −t sen t
20.– La función Gamma de Euler se define mediante la integral:
Γ(α) =
∫ ∞
0
t α−1 e −t dt, α > 0.
Demostrar (integrando por partes) que Γ(α + 1) = αΓ(α). Concluir
que si α es un número natural α = n, entonces Γ(n + 1) = n!.
Demostrar que la transformada de Laplace de t α es
Γ(α + 1)
, α > −1.
s α+1
¿Qué ocurre para α ≤ −1? Teniendo en cuenta que Γ(1/2) = √ π,
encontrar la transformada de Laplace de √ t, de 1/ √ t y, en general de
t n 2 con n natural.
21.– Demostrar que la función f(t) = e t2 no tiene transformada de Laplace.
22.– Demostrar que la transformada de Laplace de e at f(t) es F (s − a).
23.– Supongamos que f(t) tiene transformada de Laplace F (s) definida para
s en un intervalo semiinfinito. Demostrar que F (s) tiende a cero cuando
s tiende a infinito.
24.– Usar las propiedades de la transformada de Laplace para encontrar la
transformada de las siguientes funciones
(1) f(t) = 2t 4
(2) f(t) = 4t − 10
(3) f(t) = t 2 + 6t − 3
(4) f(t) = (t + 1) 3
(5) f(t) = 1 + e 4t 4

(6) f(t) = (1 + e 2t ) 2
(7) f(t) = 4t 2 − 5 sen 3t
(8) f(t) = e t senh t
(9) f(t) = sen 2t cos 2t
(10) f(t) = cos t cos 2t
(11) f(t) = sen t cos 2t
(12) f(t) = te 10t
(13) f(t) = t 3 e −2t
(14) f(t) = e t sen 3t
(15) f(t) = e 5t senh 3t
(16) f(t) = t(e t + e 2t ) 2
(17) f(t) = e −t sen 2 t
(18) f(t) = (t − 1)H(t − 1)
(19) f(t) = tH(t − 2)
(20) f(t) = t cos 2t
(21) f(t) = t 2 senh t
(22) f(t) = te 2t sen 6t
(23) f(t) = sen 2 t
(24) f(t) = cos 2 t
(25) f(t) = senh 2 t
(26) f(t) = cosh 2 t
25.– Demostrar las reglas de transformación dadas en la tabla de transformadas
de Laplace.
26.– Hallar las inversas de las transformadas que se dan a continuación:
(1) F (s) = 1 s 3
(s + 1)3
(2) F (s) =
s 4
(3) F (s) = 1 s − 1 2 s + 1
s − 2
(4) F (s) = 1
4s + 1
(5) F (s) = 4s
4s 2 + 1
1
(6) F (s) =
s 2 − 16
(7) F (s) = 2s − 6
s 2 + 9
1
(8) F (s) =
s 2 + 3s
5

s
(9) F (s) =
s 2 + 2s − 3
2s + 4
(10) F (s) =
(s − 2)(s 2 + 4s + 3)
1
(11) F (s) =
s 2 (s 2 + 4)
s
(12) F (s) =
(s 2 − 4)(s + 2)
1
(13) F (s) =
(s + 2) 3
1
(14) F (s) =
s 2 − 6s + 10
s
(15) F (s) =
s 2 + 4s + 5
s
(16) F (s) =
(s + 1) 2
(17) F (s) = 2s − 1
s 2 (s + 1) 3
(18) F (s) = e−2s
s 3
(19) F (s) = e−πs
s 2 + 1
(20) F (s) = e−s
s(s + 1)
s
(21) F (s) =
(s 2 + 1) 2
(22) F (s) = ln s − 3
s + 1
(23) F (s) = π 2 − arctan s 2
(24) F (s) =
3s 2 − 16s + 5
(s + 1)(s − 3)(s − 2)
(25) F (s) = 3s2 + 5s + 3
s 3 (s + 1)
27.– Calcular la tranformada de Laplace de las funciones:
(1) f(t) = ∫ t
0 e−τ cos τdτ
(2) f(t) = ∫ t
0 τet−τ dτ
(3) f(t) = t ∫ t
sen τdτ
0
(4) f(t) = 1 ∗ t 3
(5) f(t) = t 2 ∗ t 4
(6) f(t) = e −t ∗ e t cos t
6

28.– Utilizar el teorema de la convolución para hallar la transformada inversa
de:
1
(1) F (s) =
s(s + 1)
1
(2) F (s) =
(s + 1)(s − 2)
s
(3) F (s) =
(s 2 + 4) 2
29.– Utilizar la tranformada de Laplace para resolver los siguientes problemas
de valor inicial:
(1) y ′ + 4y = e 4t , y(0) = 2
(2) y ′′ − 4y ′ + 4y = t 3 e 2t , y(0) = 0, y ′ (0) = 0
(3) y ′′ + y = sen t, y(0) = 1, y ′ (0) = −1
(4) y ′′ − y ′ = e t cos t, y(0) = 0, y ′ (0) = 0
(5) 2y ′′′ + 3y ′′ − 3y ′ − 2y = e −t , y(0) = 0, y ′ (0) = 0, y ′′ (0) = 1
(6) y ′′ + 4y = H(t − 2π) sen t, y(0) = 1, y ′ (0) = 0
(7) y ′ + y = f(t) y(0) = 0, donde
{
0 si 0 ≤ t < 1
f(t) =
5 si t ≥ 1
(8) y ′ + 2y = f(t), y(0) = 0,donde
{
t si 0 ≤ t < 1
f(t) =
0 si t ≥ 1
(9) y ′ + y = f(t), y(0) = 0, y ′ (0) = 1 donde
⎧
⎪⎨ t si 0 ≤ t < π
f(t) = 1 si π ≤ t < 2π
⎪⎩
0 si t ≥ 2π
30.– Resolver los problemas de valor inicial del capítulo anterior utilizando
el método de la transformada de Laplace.
31.– Resolver los siguientes problemas de valor inicial:
{
x ′′ + y = 1
x(0) = 1, x ′ (0) = 1
(1)
x + y ′′ = −1
y(0) = 1, y ′ (0) = −1.
⎧
⎪⎨
x ′ + 2y ′ − 2x + y = 0
x(0) = 1, x ′ (0) = 1
(2) 2x ′ − y ′ + y = 0
⎪⎩
y(0) = 1.
x ′′ − y ′ + x − 2y = 0
7

3. Sistemas con coeficientes constantes: teoría
cualitativa
32.– Para las siguientes matrices A, hallar los subespacios estable, central e
inestable del sistema ẋ = Ax, y determinar la estabilidad del origen
⎡
⎣ 3 0 0
⎤ ⎡
0 3 −2⎦
⎣ 0 −2 0
⎤
1 2 0 ⎦
0 1 1
0 0 −2
⎡
⎣ 1 0 0
⎤
−1 2 0⎦
1 1 2
⎡
⎤
1 −1 0 0
⎢1 1 0 0
⎥
⎣0 0 3 −2⎦
0 0 1 1
⎡
⎤
−1 1 −2
⎣ 0 −1 4 ⎦
0 0 1
⎡
⎤
0 −2 −1 −1
⎢1 2 1 1
⎥
⎣0 1 1 0 ⎦
0 0 0 1
33.– Analizar la estabilidad de las siguientes ecuaciones y sistemas de ecuaciones
diferenciales
(1) y ′′′ + y ′′ − 2y ′ + y = 0
(2) y (4) + 2y ′′′ + 3y ′′ + 4y ′ + 5y = 0
(3) y (6) − 5y (5) + 2y (4) − y ′′ + y ′ + 3y = 0
(4) ẋ = Ax donde A es la matriz
⎡
⎤
−31 31 −32 31 −35
8 −8 8 −9 5
⎢ 11 −12 11 −11 15
⎥
⎣−19 19 −20 19 −20⎦
1 0 1 −1 −3
(5) ẋ = Ax donde A es la matriz
⎡
⎤
23 −23 22 −23 19
2 −2 2 −3 −1
⎢−13 12 −13 13 −9
⎥
⎣ 11 −11 10 −11 10 ⎦
1 0 1 −1 −3
34.– Analizar la estabilidad del sistema de ecuaciones diferenciales ẋ = Ax
y hallar los subespacios estable, inestable y central, siendo A cada una
8

de las siguientes matrices
⎡
⎤
−1 −1 −1 −2 −3
1 1 −3 0 −3
⎢ 1 1 −3 −2 −3
⎥
⎣−2 −2 2 0 −2⎦
1 1 1 2 3
⎡
⎤
−3 4 −2 2 −2
0 1 0 0 0
⎢ 0 2 −1 2 0
⎥
⎣ 0 2 −2 −1 0 ⎦
4 −5 1 −4 1
35.– Sea x 0 un vector no nulo de R n , y x(t) = exp(tA)x 0 la solución de
ẋ = Ax que empieza en x 0 . De entre las siguientes propiedades, probar
las que sean ciertas y dar un contraejemplo para las que sean falsas.
(1) Si x 0 ∈ E s entonces lim t→∞ x(t) = 0 y lim t→−∞ |x(t)| = ∞.
(2) Si x 0 ∈ E u entonces lim t→∞ |x(t)| = ∞ y lim t→−∞ x(t) = 0.
(3) Si x 0 ∈ E c −{0} y la restricción de A a E c es semisimple, existen
constantes positivas m, M ∈ R tales que m ≤ |x(t)| ≤ M.
(4) Si la restricción de A a E c no es semisimple, existe x 0 ∈ E c tal
que lim t→±∞ |x(t)| = ∞.
(5) Supongamos que los subespacios estable e inestable son ambos
no-triviales. Si x 0 ∈ E s ⊕E u \(E s ∪E u ) entonces lim t→±∞ |x(t)| =
∞.
(6) Supongamos que los subespacios estable y central son ambos notriviales.
Si x 0 ∈ E s ⊕ E c \ (E s ∪ E c ) entonces lim t→−∞ |x(t)| =
∞ y lim t→∞ x(t) no existe.
36.– Probar que todos los valores propios de una matriz A tienen parte real
negativa si y sólo si existe una matriz P simétrica definida positiva tal
que A T P + P A es definida negativa.
37.– Supongamos que A es una matriz real 2 × 2 con valores propios imaginarios,
por lo que las órbitas son elipses. ¿Cómo podemos encontrar
los ejes de dichas elipses?
38.– Dibuja con precisión el diagrama de fases de cada uno de los sistemas
diferenciales lineales siguientes, calculando los elementos geométricos
que lo determinan (ejes, semiejes, etc.).
[ẋ ] [ [ ]
2 1 x
(1)
=
ẏ −5 −1]
y
(2)
[ẋ ]
=
ẏ
[ [ ]
1 2 x
3 −1]
y
9

(3)
(4)
(5)
(6)
[ẋ ]
=
ẏ
[ẋ ]
=
ẏ
[ẋ ]
=
ẏ
[ẋ ]
=
ẏ
[ [ ]
2 2 x
1 5]
y
[ [ ]
−1 1 x
−2 1]
y
[ [ ]
−1 3 x
−2 −2]
y
[ [ ]
−7 1 x
−4 −3]
y
39.– Para las cuatro primeras matrices del problema 32, hacer un esbozo
del diagrama de fases.
40.– Probar que si Ẋ = AX es asintóticamente estable, entonces toda
solución tiende a cero exponencialmente. Más concretamente, probar
que existen α > 0, C > 0 y t 1 > 0 tales que
para todo t > t 1 .
||e tA X 0 || ≤ Ce −αt ||X 0 ||,
4. Sistemas lineales con coeficientes periódicos
41.– Sea Φ(t, s) la matriz resolvente del sistema Ẋ = A(t)X. Probar que
∂Φ
(t, s) + Φ(t, s)A(s) = 0.
∂s
Probar que, para cada t 0 ∈ R y cada λ 0 ∈ R n , la función λ(t) T =
λ T 0 Φ(t 0 , t) es la solución del problema de valor inicial ˙λ T = −λ T A(t) con
λ(t 0 ) = λ 0 . Probar que si X es solución de Ẋ = A(t)X y λ es solución
de ˙λ T = −λ T A(t), entonces λ(t) T X(t) es una función constante. La
ecuación ˙λ T = −λ T A(t) se llama ecuación adjunta de Ẋ = A(t)X.
42.– Sean G un grupo, Q un conjunto y Φ: Q × Q → G una aplicación tal
que
Φ(q 3 , q 2 )Φ(q 2 , q 1 ) = Φ(q 3 , q 1 ).
Probar que existe M : Q → G tal que Φ(q, p) = M(q)M(p) −1 . Ademas,
fijado q 0 ∈ Q, probar que se puede elegir M tal que M(q 0 ) = e ∈ G (el
elemento neutro del grupo). ¿Qué tiene que ver este problema con las
ecuaciones diferenciales?
10

43.– Supongamos que A(t) es una matriz antisimétrica, A(t) T = −A(t).
Probar que existe una matriz fundamental ortogonal.
44.– Supongamos que, en el sistema Ẋ = A(t)X, la matriz A(t) es continua
para todo t ∈ R, T -periódica e impar, o sea A(−t) = −A(t). Sean M(t)
la matriz fundamental tal que M(0) = I n y C la matriz de monodromía.
(1) Pruébese que M(t) es par, es decir, M(−t) = M(t).
(2) Pruébese que la matriz de monodromía es la identidad.
(3) Pruébese que M(t) es T -periódica y que toda solución del sistema
es también T -periódica.
45.– Dado el sistema lineal periódico
[ẋ ]
=
ẏ
[
−1 − cos(t) 0
cos(t) −1] [
x
y
escribir la solución en forma de Floquet. ¿Cuáles son los multiplicadores
característicos y los exponentes característicos? ¿Hay alguna
solución periódica? ¿Están acotadas las soluciones?
46.– Sean ϕ: R → R una funcion continua y A 0 una matriz real.
• Probar que la matriz resolvente para el sistema Ẋ = ϕ(t)A 0 X
es
[(∫ t
) ]
Φ(t, s) = exp ϕ(τ) dτ A 0 .
s
• Consideremos la ecuación de segundo orden t 2 ÿ + αtẏ + βy = 0.
Transformarla a sistema usando las variables x 1 = y, x 2 = tẏ y
resolverla utilizando el resultado anterior.
47.– Se considera el sistema lineal con coeficientes periódicos
⎡ ⎤
⎡
⎣ẋ ẏ⎦ = (1 + cos(t)) ⎣ 1 1 0
⎤ ⎡
0 2 1⎦
⎣ x ⎤
y⎦ ,
ż
0 0 0 z
(1) Calcular los multiplicadores característicos.
(2) Hallar una matriz fundamental y escribirla en forma de Floquet.
(3) Estudiar la existencia de soluciones periodicas.
Ayuda: Utiliza el resultado del problema 46.
48.– Utilizar la descomposicion de Floquet para probar que existen una
matrix L constante y una matrix Q(t) periódica de periodo T (ambas
matrices complejas) tales que
Φ(t, s) = Q(t)e (t−s)L Q(s) −1 .
]
,
11

Utilizando este resultado probar que Φ(t+T, s+T ) = Φ(t, s) para todo
(t, s) ∈ R 2 .
49.– Probar que toda solución de un sistema T -periódico homogéneo es de
la forma
r∑
ν∑
i −1
X(t) = t j e λit q i,j (t)
i=1
j=0
donde λ 1 , λ 2 , . . . , λ r son los exponentes característicos (distintos), ν i es
el índice de λ i y q i,j son funciones periódicas de periodo T .
50.– Sea N(t) una matriz fundamental de un sistema T -periódico y sea P =
N(0). Probar que existe una matriz regular ¯C tal que N(t+T ) = N(t) ¯C
y hallar la relación entre ¯C y la matriz de monodromía C. Probar que se
puede escribir N(t) como producto N(t) = ¯Q(t)e t¯L con ¯Q(t) = Q(t)P ,
periódica, y ¯L = P −1 LP . Probar que los multiplicadores característicos
son las raíces del polinomio q(s) = det[sN(0) − N(T )].
51.– Para cada una de las matrices A siguientes, hallar una matriz fundamental
del sistema Ẋ = A(t)X, escribirla en forma de Floquet y hallar
los multiplicadores característicos.
[ ]
−1 0
A(t) =
sen(t) −1
[ ]
sen(t) sen(2t)
A(t) =
0 cos(t)
[ ]
−1 + cos(t) 0
A(t) =
cos(t) −1
Para cada uno de ellas, encontrar todas las soluciones acotadas.
52.– Sean µ 1 , µ 2 , . . . , µ n los multiplicadores característicos del sistema con
coeficientees T -periódicos Ẋ = A(t)X. Demostrar que
[∫ T
]
µ 1 µ 2 · · · µ n = exp Tr A(t) dt ,
donde Tr A(t) es la traza de la matriz A(t).
53.– Consideremos una ecuación diferencial escalar ẋ = a(t)x + b(t) con a
y b funciones continuas periódicas
∫
de periodo 2π. Sea α el valor medio
integral de a, es decir, α = 1 2π
a(t) dt y β el número real
2π 0
∫ 2π
[∫ 2π
]
β = b(τ) exp a(s) ds dτ.
0
0
τ
12

Demostrar que todas las soluciones del sistema homogeneo son periódicas
si y sólo si α = 0. Analizar en términos de α y β la existencia y unicidad
de soluciones periódicas del sistema nohomogéneo.
54.– Probar que el sistema π-periódico
[ẋ ] [
[ ]
0 0 x
=
+
ẏ 1 + cos(2t) 0]
y
tiene soluciones periódicas si y sólo si ∫ π
0
[ ]
u(t)
v(t)
u(t) dt = 0.
5. Solución por desarrollo en serie de potencias
55.– Expresar la solución general de cada uno de las siguientes ecuaciones
como una serie de potencias en un entorno de t = 0, indicando su radio
de convergencia.
(1) ÿ − 3ty = 0
(2) ÿ − 3tẏ − y = 0
(3) (1 + t 2 )ÿ − 6y = 0
(4) (1 + t 2 )ÿ − 8tẏ + 15y = 0
(5) ÿ − t 2 y = 6t
(6) 3ÿ − tẏ + y = t 2 + t + 1
56.– La ecuación diferencial
(1 − t 2 )ÿ − 2tẏ + λy = 0,
donde λ ∈ R es un parámetro, se denomina ecuación de Legendre.
(1) Escribir la solución general en forma de serie de potencias en el
origen, indicando su radio de convergencia.
(2) Verificar que para λ = n(n + 1), las funciones
q n (t) = dn
dt n [(t2 − 1) n ],
son polinomios y satisfacen la ecuación de Legendre. Se denominan
polinomios de Legendre. (Ayuda: (fg) (n) = ∑ n
( n
k=0 k)
f (k) g (n−k) )
(3) Probar que la familia {q n } es una familia de polinomios ortogonales
en [−1, 1] con respecto a la función peso ω(t) = 1.
57.– La ecuación diferencial
(1 − t 2 )ÿ − tẏ + λy = 0,
donde λ ∈ R es un parámetro, se denomina ecuación de Tchebycheff.
(1) Escribir la solución general en forma de serie de potencias en el
origen, indicando su radio de convergencia.
13

(2) Verificar que para λ = n 2 , las funciones
T n (t) = cos(n arccos t),
son polinomios y satisfacen la ecuación de Tchebycheff. Se denominan
polinomios de Tchebycheff.
(3) Probar que la familia {T n } es una familia de polinomios ortogonales
en [−1, 1] con respecto a la función peso ω(t) = 1/ √ 1 − t 2 .
58.– Clasificar los puntos singulares de las siguientes ecuaciones diferenciales:
(1) t 2 y ′′ − 5ty ′ + 7y = 0
(2) (t 2 − 4)y ′′ + (t + 2)y ′ + 3y = 0
(3) (t 2 − 1) 2 y ′′ − (t − 1)y ′ + 3y = 0
(4) t 3 (t − 1)y ′′ + (t 2 − 3t)y ′ sen t − ty = 0
(5) (t 2 − t)y ′′ + ty ′ + 7y = 0
59.– Estudiar las soluciones (es decir, encontrar la forma que tienen e indicar
si son o no acotadas) de las ecuaciones diferenciales para las que t = 0
es un punto singular-regular
(1) t 2 y ′′ + 2ty ′ + ty = 0
(2) t 2 y ′′ + 3ty ′ + (1 + t)y = 0
(3) t 2 y ′′ + ty ′ + 2ty = 0
(4) t 2 y ′′ + y ′ sen t − y cos t = 0
60.– La ecuación diferencial t(1 − t)ÿ + [c − (a + b + 1)t]ẏ − aby = 0, con
a, b, c ∈ R se denomina ecuación hipergeométrica de Gauss. Comprobar
que t = 0 y t = 1 son puntos singulares regulares y hallar las raíces de
la ecuación indicial. La función
F (a, b, c; t) = 1 +
∞∑
n=1
(a) n (b) n
(c n )
donde (d) n denota el símbolo (d) n = d(d + 1) · · · (d + n − 1), se llama
función hipergeométrica de orden (a, b, c). Probar que, si c ∉ N, la
solución general de la ecuación hipergeométrica es
y(t) = αF (a, b, c; t) + βt 1−c F (a − c + 1, b − c + 1, 2 − c; t)
con α, β ∈ R (Ayuda: cambiar la variable dependiente y(t) = t 1−c z(t)).
Comprobar que la solución en torno al punto singular t = 1 viene dada
por
y(t) = αF (a, b, a+b−c+1; 1−t)+β(1−t) c−a−b F (c−b, c−a, c−a−b+1; 1−t),
t n
n!
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con α, β ∈ R, siempre que c − a − b no sea un entero (Ayuda: cambiar
la variable independiente τ = 1 − t
61.– Hacer el cambio de variable t = (1−τ)/2 en la ecuación hipergeométrica
y relacionar con otras ecuaciones estudiadas en este capítulo.
6. Teoría de Sturm
62.– Sean y 1 e y 2 dos soluciones de la ecuación diferencial autoadjunta
d
[p(t)ẏ] + q(t)y = 0,
dt
y sea W [y 1 , y 2 ] el Wronskiano de dichas soluciones. Probar que la
función Z(t) = p(t)W [y 1 , y 2 ](t), es constante.
63.– Probar que si existen dos constantes ω, Ω ∈ R + tales que ω 2 ≤ Φ(t) ≤
Ω 2 para todo t ∈ I, entonces la distancia d entre dos ceros consecutivos
de cualquier solución no trivial de ÿ + Φ(t)y = 0 satisface π Ω ≤ d ≤ π ω .
64.– Probar que toda solución de la ecuación de Airy ÿ + ty = 0 tiene
infinitos ceros en (0, ∞).
65.– Reducir la ecuación autoadjunta d (pẏ) + qy = 0 a forma normal autoadjunta
ü + Φ(t)u = 0, verificando que Φ(t) = 1
4p 2 (ṗ2 − 2p¨p +
dt
4qp).
Aplicar el resultado anterior a la ecuación de Legendre d dt ((1−t2 )ẏ)+
λy = 0. Probar los polinomios de Legendre tienen al menos [(2n+1)/π]
ceros en el intervalo (−1, 1).
66.– Probar que toda solución no trivial de la ecuación de Hermite ÿ −2tẏ +
2λy = 0, con 0 ≤ λ ∈ R tiene a lo sumo un número finito de ceros.
67.– Hallar los valoresde α para los cuales la ecuación diferencial
es de tipo oscilatorio.
ÿ + α t 2 y = 0,
68.– Analizar el comportamiento oscilatorio de las soluciones de la ecuación
diferencial
d
dt [t3/2 ẏ] + 3t 1/2 y = 0.
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69.– Consideramos una ecuación diferencial lineal de segundo orden L[y] = 0
con invariante Φ(t). Supongamos que existe el límite
lim
t→∞ t2 Φ(t) = λ.
Analizar, en función del valor de λ, el comportamiento oscilatorio de
las soluciones.
7. Teoría cualitativa: Introducción
70.– Comprobar que el cambio a coordenadas polares de una ecuación diferencial
viene dado por las relaciones
xẋ + yẏ xẏ − yẋ
ṙ = ˙θ =
r
r 2
Utilizar estas fórmulas para transformar a coordenadas polares la ecuación
diferencial {
ẋ = −y + x(1 − x 2 − y 2 )
ẏ = x + y(1 − x 2 − y 2 )
Hallar el flujo (la solución general) de este sistema diferencial.
71.– Considérese en R 2 − {(0, 0)} el sistema
(
ẋ = (1 − r)x − y 1 − x )
(
ẏ = (1 − r)y + x 1 − x )
,
r
r
con r = √ x 2 + y 2 . Comprobar que (0, 1) es el único punto de equilibrio.
Transformar dicho sistema a coordenadas polares. Probar que no
es estable, y que, sin embargo, toda solución del sistema tiene como
límite dicho punto.
72.– Probar que un punto de equilibrio aislado no puede ser marginalmente
estable, es decir, si es estable, es asintóticamente estable. Probar que el
origen es un punto de equilibrio marginalmente estable para la ecuación
diferencial ẋ = f(x) donde
{
x
2
si x ≤ 0
f(x) =
0 si x > 0
73.– Sea p punto de equilibrio aislado y f : R → R de clase C n en un entorno
de p. Supongamos que f(p) = f(p) ˙ = · · · = f (n−1) (p) = 0 y f (n) (p) ≠ 0.
Demostrar que
• si n es par, entonces p es inestable.
• si n es impar, entonces
– si f (n) (p) > 0, entonces p es inestable,
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– si f (n) (p) < 0, entonces p es estable.
74.– Analizar la estabilidad de los puntos de equilibrio de las siguientes
ecuaciones diferenciales: (a) ẋ = x 3 sen(x 2 ), (b) ẋ = x 2 sen(x 2 ), y (c)
ẋ = x 2 (sen(x) − tan(x)).
8. Flujo de una ecuación diferencial
75.– Dada una curva diferenciable cualquiera en el plano probar que existe
un sistema de ecuaciones que tiene a dicha curva por solución. ¿Es
cierto lo anterior si se exige que el sistema sea autónomo?
76.– Comprobar que la función K(x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2 es una integral
primera para el sistema
⎧
⎨
⎩
ẋ = yz
ẏ = zx
ż = −2xy.
Deducir de este hecho que las trayectorias del sistema anterior se encuentran
contenidas en esferas centradas en el origen. ¿En qué esfera
se encuentra la solución que pasa por el punto x 0 = (1, 1, 1)?
77.– Sea f un campo vectorial de clase C 1 en un abierto U ⊂ R n . Probar
que el flujo x ↦→ φ t (x) de f conserva el volumen si la divergencia de f
es nula. Ayuda: considerar el cambio de variable x = φ t (u) y aplicar
la formula de cambio de variable para integrales de volumen.
78.– Hallar la linealización de una ecuación diferencial de orden n
y (n) = g(t, y, ẏ, ÿ, . . . , y (n−1) ),
en torno a una solución y = γ(t). Particularizar al caso de una solución
constante γ(t) = y 0 .
9. Estabilidad de puntos de equilibrio
79.– Para un sistema de ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes
constantes Ẋ = AX, demostrar que el origen es un punto de equilibrio
estable si y sólo si || exp(tA)|| está acotada para t > 0.
80.– Encontrar y clasificar los puntos de equilibrio de los siguientes sistemas
{ {
ẋ = y 2 − 3x + 2
ẋ = y
ẏ = x 2 − y 2
ẏ = −x + x 3
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{
ẋ = sen(x + y)
ẏ = y
{
ẋ = −x cos(y)
ẏ = −y cos(x).
81.– Supongamos que el sistema lineal ẋ = Ax es asintóticamente estable.
Encontrar una función de Lyapunov cuadrática.
82.– Determinar la estabilidad de los puntos de equilibrio de los siguientes
sistemas
{
ẋ = x 2 − y 2 − 1
ẏ = 2y
{
ẋ = y − x 2 + 2
ẏ = 2y 2 − 2xy
{
ẋ = −4x − 2y + 4
ẏ = xy
83.– Utilizar la función de Lyapunov V (x, y, z) = x 2 +y 2 +z 2 para demostrar
que el origen es un punto de equilibrio asintóticamente estable del sistema
⎧
⎨
⎩
ẋ = −y − xy 2 + z 2 − x 3
ẏ = x + z 3 − y 3
ż = −xz − zx 2 − yz 2 − z 5
Mostrar que todas las trayectorias del sistema linealizado son circunferencias
paralelas al plano z = 0. Por tanto el origen es estable, pero
no asintóticamente estable, para el sistema linealizado.
84.– Utilizar funciones de Lyapunov apropiadas para determinar la estabilidad
del origen para los siguientes sistemas.
{ {
ẋ = −x + y + xy
ẋ = x + 3y + x
3
ẏ = −x − y − x 2 − y 3 ẏ = −x + y + y 2
{ {
ẋ = −x − 2y + xy
2
ẋ = −4y + x
3
ẏ = 3x − 3y + y 3 ẏ = 4x + y 3
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10. Sistemas gradiente y Hamiltonianos
85.– Probar que el sistema
{
˙q = aq + bp + Aq 2 − 2Bqp + Cp 2
ṗ = cq − ap + Dq 2 − 2Aqp + Bp 2
es Hamiltoniano y hallar la función Hamiltoniana.
86.– Probar que para un sistema ( ˙q, ṗ) = (Q(q, p), P (q, p)) en el plano, las
siguientes afirmaciones son equivalentes
(1) El sistema es Hamiltoniano
(2) El sistema ortogonal ( ˙q, ṗ) = (−P (q, p), Q(q, p)) es un sistema
de tipo gradiente.
(3) La divergencia del campo vectorial (Q, P ) es cero.
Hallar una fórmula para obtener la función Hamiltoniana.
87.– Probar que el flujo de un sistema Hamiltoniano en el plano preserva el
área.
88.– Probar que el sistema
⎧
x
⎪⎨ ẍ = −
(x 2 + y 2 ) 3 2
y
⎪⎩ ÿ = −
(x 2 + y 2 ) 3 2
es Hamiltoniano y hallar la función Hamiltoniana.
89.– Para las siguientes funciones Hamiltonianas, hallar las ecuaciones de
Hamilton y dibujar el diagrama de fase del sistema.
(1) H(q, p) = q 2 + 2p 2 ,
(2) H(q, p) = q 2 − p 2 − 2q + 4p + 5.
90.– Para las siguiente funciones V (x, y) hallar el correspondiente sistema
gradiente y dibujar el diagrama de fase.
(1) V (x, y) = x 2 − y 2 ,
(2) V (x, y) = x 2 + y 2 − 2x + 4y + 5.
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