Hojas de ejercicios

Deducir de estas propiedades que la exponencial de una matriz antisimétrica
es una matriz ortogonal, pero no toda matriz ortogonal es la
exponencial de una matriz antisimétrica.
7.– Hallar la solución del problema de valor inicial
⎡
d
⎣ x ⎤ ⎡
y⎦ = ⎣ 0 −2 0
⎤ ⎡
1 2 0 ⎦ ⎣ x ⎤ ⎡
y⎦ , ⎣ x(0)
⎤ ⎡
y(0) ⎦ = ⎣ 1 ⎤
1⎦ .
dt
z 0 0 −2 z z(0) 1
8.– Hallar la solución del problema de valor inicial
⎡
d
⎣ x ⎤ ⎡
y⎦ = ⎣ 1 0 0
⎤ ⎡
−1 2 0⎦
⎣ x ⎤ ⎡
y⎦ , ⎣ x(2)
⎤ ⎡
y(2) ⎦ = ⎣ 1 ⎤
0⎦ .
dt
z 1 1 2 z z(2) 1
9.– Hallar la solución del problema de valor inicial
⎡
d
⎣ x ⎤ ⎡
y⎦ = ⎣ 3 0 0
⎤ ⎡
0 3 −2⎦
⎣ x ⎤ ⎡
y⎦ + ⎣ t ⎤ ⎡
0⎦ , ⎣ x(0)
⎤ ⎡
y(0) ⎦ = ⎣ 1 ⎤
1⎦ .
dt
z 0 1 1 z 1 z(0) 1
10.– Dada la matriz
A =
⎡
⎤
⎣ e6π 0 e 2π
0 e 2π 0 ⎦ ,
0 0 e 2π
hallar una matriz B tal que A = e 2πB .
11.– Para las matrices del ejercicio 5 que sean regulares, hallar un logaritmo.
12.– Consideremos el sistema de ecuaciones diferenciales Ẋ = AX. Al realizar
el cambio de variable ¯X = P X la ecuación se transforma en
˙¯X = Ā ¯X. Hallar la relación entre A y Ā.
13.– Sea A una matriz real simétrica y sea {v 1 , v 2 , . . . , v n } una base ortonormal
formada por vectores propios de A correspondientes a los valores
propios {λ 1 , λ 2 , . . . , λ n }. Probar que la solución del problema
Ẋ = AX, X(0) = X 0 se puede escribir en la forma
X(t) = e λ 1t 〈 X 0 , v 1 〉v 1 + e λ 2t 〈 X 0 , v 2 〉v 2 + · · · + e λnt 〈 X 0 , v n 〉v n .
14.– Sea W un subespacio A-invariante. Probar que toda solución del sistema
Ẋ = AX que comienza en W se mantiene en W , es decir, que si
X(0) ∈ W , entonces X(t) ∈ W para todo t ∈ R.
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