Hojas de ejercicios

de las siguientes matrices
⎡
⎤
−1 −1 −1 −2 −3
1 1 −3 0 −3
⎢ 1 1 −3 −2 −3
⎥
⎣−2 −2 2 0 −2⎦
1 1 1 2 3
⎡
⎤
−3 4 −2 2 −2
0 1 0 0 0
⎢ 0 2 −1 2 0
⎥
⎣ 0 2 −2 −1 0 ⎦
4 −5 1 −4 1
35.– Sea x 0 un vector no nulo de R n , y x(t) = exp(tA)x 0 la solución de
ẋ = Ax que empieza en x 0 . De entre las siguientes propiedades, probar
las que sean ciertas y dar un contraejemplo para las que sean falsas.
(1) Si x 0 ∈ E s entonces lim t→∞ x(t) = 0 y lim t→−∞ |x(t)| = ∞.
(2) Si x 0 ∈ E u entonces lim t→∞ |x(t)| = ∞ y lim t→−∞ x(t) = 0.
(3) Si x 0 ∈ E c −{0} y la restricción de A a E c es semisimple, existen
constantes positivas m, M ∈ R tales que m ≤ |x(t)| ≤ M.
(4) Si la restricción de A a E c no es semisimple, existe x 0 ∈ E c tal
que lim t→±∞ |x(t)| = ∞.
(5) Supongamos que los subespacios estable e inestable son ambos
no-triviales. Si x 0 ∈ E s ⊕E u \(E s ∪E u ) entonces lim t→±∞ |x(t)| =
∞.
(6) Supongamos que los subespacios estable y central son ambos notriviales.
Si x 0 ∈ E s ⊕ E c \ (E s ∪ E c ) entonces lim t→−∞ |x(t)| =
∞ y lim t→∞ x(t) no existe.
36.– Probar que todos los valores propios de una matriz A tienen parte real
negativa si y sólo si existe una matriz P simétrica definida positiva tal
que A T P + P A es definida negativa.
37.– Supongamos que A es una matriz real 2 × 2 con valores propios imaginarios,
por lo que las órbitas son elipses. ¿Cómo podemos encontrar
los ejes de dichas elipses?
38.– Dibuja con precisión el diagrama de fases de cada uno de los sistemas
diferenciales lineales siguientes, calculando los elementos geométricos
que lo determinan (ejes, semiejes, etc.).
[ẋ ] [ [ ]
2 1 x
(1)
=
ẏ −5 −1]
y
(2)
[ẋ ]
=
ẏ
[ [ ]
1 2 x
3 −1]
y
9