Hojas de ejercicios

15.– Sea A una matrix real n × n y b ∈ R n . Para cada función real u(t)
consideramos el problema de valor incial Ẋ = AX + u(t)b, X(0) = 0.
Probar que si el rango del sistema de vectores {b, Ab, A 2 b, . . . , A n−1 b}
es menor que n entonces hay puntos X 1 de R n por los que no pasa la
solución del sistema cualquiera que sea la elección de la función u.
16.– Resolver los siguientes problemas de valor inicial:
(1) y ′′ − 4y ′ + 4y = t 3 e 2t , y(0) = 0, y ′ (0) = 0
(2) y ′′ + y = sen t, y(0) = 1, y ′ (0) = −1
17.– Resolver los siguientes problemas de valor inicial:
{
x ′′ + y = 1
x(0) = 1, x ′ (0) = 1
(1)
x + y ′′ = −1
y(0) = 1, y ′ (0) = −1.
⎧
⎪⎨
x ′ + 2y ′ − 2x + y = 0
x(0) = 1, x ′ (0) = 1
(2) 2x ′ − y ′ + y = 0
⎪⎩
y(0) = 1.
x ′′ − y ′ + x − 2y = 0
18.– Consideremos el sistema lineal Ẋ = AX + b(t), donde b(t) es una
función periódica de periodo T > 0.
• Probar que si X(t) es una solución del sistema, entonces X(t +
T ) también lo es.
• Probar que X(t) es una solución periódica de periodo T si y
sólo si existe t 0 ∈ R tal que X(t 0 ) = X(t 0 + T ).
• Probar que el sistema homogéneo admite soluciones T -periódicas
si y sólo si e T A tiene un valor propio 1. ¿Cuales son las soluciones
periódicas? ¿Cómo son los valores propios de A?
• Probar que si la única solución T -periódica del sistema homogéneo
es la solución trivial entonces el sistema nohomogéneo
tiene una única solución T -periódica cuyo valor inicial viene
dado por
∫ T
X 0 = (e −T A − I n ) −1 e −τA b(τ) dτ.
0
3