Hojas de ejercicios

con α, β ∈ R, siempre que c − a − b no sea un entero (Ayuda: cambiar
la variable independiente τ = 1 − t
61.– Hacer el cambio de variable t = (1−τ)/2 en la ecuación hipergeométrica
y relacionar con otras ecuaciones estudiadas en este capítulo.
6. Teoría de Sturm
62.– Sean y 1 e y 2 dos soluciones de la ecuación diferencial autoadjunta
d
[p(t)ẏ] + q(t)y = 0,
dt
y sea W [y 1 , y 2 ] el Wronskiano de dichas soluciones. Probar que la
función Z(t) = p(t)W [y 1 , y 2 ](t), es constante.
63.– Probar que si existen dos constantes ω, Ω ∈ R + tales que ω 2 ≤ Φ(t) ≤
Ω 2 para todo t ∈ I, entonces la distancia d entre dos ceros consecutivos
de cualquier solución no trivial de ÿ + Φ(t)y = 0 satisface π Ω ≤ d ≤ π ω .
64.– Probar que toda solución de la ecuación de Airy ÿ + ty = 0 tiene
infinitos ceros en (0, ∞).
65.– Reducir la ecuación autoadjunta d (pẏ) + qy = 0 a forma normal autoadjunta
ü + Φ(t)u = 0, verificando que Φ(t) = 1
4p 2 (ṗ2 − 2p¨p +
dt
4qp).
Aplicar el resultado anterior a la ecuación de Legendre d dt ((1−t2 )ẏ)+
λy = 0. Probar los polinomios de Legendre tienen al menos [(2n+1)/π]
ceros en el intervalo (−1, 1).
66.– Probar que toda solución no trivial de la ecuación de Hermite ÿ −2tẏ +
2λy = 0, con 0 ≤ λ ∈ R tiene a lo sumo un número finito de ceros.
67.– Hallar los valoresde α para los cuales la ecuación diferencial
es de tipo oscilatorio.
ÿ + α t 2 y = 0,
68.– Analizar el comportamiento oscilatorio de las soluciones de la ecuación
diferencial
d
dt [t3/2 ẏ] + 3t 1/2 y = 0.
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