Hojas de ejercicios

28.– Utilizar el teorema de la convolución para hallar la transformada inversa
de:
1
(1) F (s) =
s(s + 1)
1
(2) F (s) =
(s + 1)(s − 2)
s
(3) F (s) =
(s 2 + 4) 2
29.– Utilizar la tranformada de Laplace para resolver los siguientes problemas
de valor inicial:
(1) y ′ + 4y = e 4t , y(0) = 2
(2) y ′′ − 4y ′ + 4y = t 3 e 2t , y(0) = 0, y ′ (0) = 0
(3) y ′′ + y = sen t, y(0) = 1, y ′ (0) = −1
(4) y ′′ − y ′ = e t cos t, y(0) = 0, y ′ (0) = 0
(5) 2y ′′′ + 3y ′′ − 3y ′ − 2y = e −t , y(0) = 0, y ′ (0) = 0, y ′′ (0) = 1
(6) y ′′ + 4y = H(t − 2π) sen t, y(0) = 1, y ′ (0) = 0
(7) y ′ + y = f(t) y(0) = 0, donde
{
0 si 0 ≤ t < 1
f(t) =
5 si t ≥ 1
(8) y ′ + 2y = f(t), y(0) = 0,donde
{
t si 0 ≤ t < 1
f(t) =
0 si t ≥ 1
(9) y ′ + y = f(t), y(0) = 0, y ′ (0) = 1 donde
⎧
⎪⎨ t si 0 ≤ t < π
f(t) = 1 si π ≤ t < 2π
⎪⎩
0 si t ≥ 2π
30.– Resolver los problemas de valor inicial del capítulo anterior utilizando
el método de la transformada de Laplace.
31.– Resolver los siguientes problemas de valor inicial:
{
x ′′ + y = 1
x(0) = 1, x ′ (0) = 1
(1)
x + y ′′ = −1
y(0) = 1, y ′ (0) = −1.
⎧
⎪⎨
x ′ + 2y ′ − 2x + y = 0
x(0) = 1, x ′ (0) = 1
(2) 2x ′ − y ′ + y = 0
⎪⎩
y(0) = 1.
x ′′ − y ′ + x − 2y = 0
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