Hojas de ejercicios

43.– Supongamos que A(t) es una matriz antisimétrica, A(t) T = −A(t).
Probar que existe una matriz fundamental ortogonal.
44.– Supongamos que, en el sistema Ẋ = A(t)X, la matriz A(t) es continua
para todo t ∈ R, T -periódica e impar, o sea A(−t) = −A(t). Sean M(t)
la matriz fundamental tal que M(0) = I n y C la matriz de monodromía.
(1) Pruébese que M(t) es par, es decir, M(−t) = M(t).
(2) Pruébese que la matriz de monodromía es la identidad.
(3) Pruébese que M(t) es T -periódica y que toda solución del sistema
es también T -periódica.
45.– Dado el sistema lineal periódico
[ẋ ]
=
ẏ
[
−1 − cos(t) 0
cos(t) −1] [
x
y
escribir la solución en forma de Floquet. ¿Cuáles son los multiplicadores
característicos y los exponentes característicos? ¿Hay alguna
solución periódica? ¿Están acotadas las soluciones?
46.– Sean ϕ: R → R una funcion continua y A 0 una matriz real.
• Probar que la matriz resolvente para el sistema Ẋ = ϕ(t)A 0 X
es
[(∫ t
) ]
Φ(t, s) = exp ϕ(τ) dτ A 0 .
s
• Consideremos la ecuación de segundo orden t 2 ÿ + αtẏ + βy = 0.
Transformarla a sistema usando las variables x 1 = y, x 2 = tẏ y
resolverla utilizando el resultado anterior.
47.– Se considera el sistema lineal con coeficientes periódicos
⎡ ⎤
⎡
⎣ẋ ẏ⎦ = (1 + cos(t)) ⎣ 1 1 0
⎤ ⎡
0 2 1⎦
⎣ x ⎤
y⎦ ,
ż
0 0 0 z
(1) Calcular los multiplicadores característicos.
(2) Hallar una matriz fundamental y escribirla en forma de Floquet.
(3) Estudiar la existencia de soluciones periodicas.
Ayuda: Utiliza el resultado del problema 46.
48.– Utilizar la descomposicion de Floquet para probar que existen una
matrix L constante y una matrix Q(t) periódica de periodo T (ambas
matrices complejas) tales que
Φ(t, s) = Q(t)e (t−s)L Q(s) −1 .
]
,
11