Hojas de ejercicios

– si f (n) (p) < 0, entonces p es estable.
74.– Analizar la estabilidad de los puntos de equilibrio de las siguientes
ecuaciones diferenciales: (a) ẋ = x 3 sen(x 2 ), (b) ẋ = x 2 sen(x 2 ), y (c)
ẋ = x 2 (sen(x) − tan(x)).
8. Flujo de una ecuación diferencial
75.– Dada una curva diferenciable cualquiera en el plano probar que existe
un sistema de ecuaciones que tiene a dicha curva por solución. ¿Es
cierto lo anterior si se exige que el sistema sea autónomo?
76.– Comprobar que la función K(x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2 es una integral
primera para el sistema
⎧
⎨
⎩
ẋ = yz
ẏ = zx
ż = −2xy.
Deducir de este hecho que las trayectorias del sistema anterior se encuentran
contenidas en esferas centradas en el origen. ¿En qué esfera
se encuentra la solución que pasa por el punto x 0 = (1, 1, 1)?
77.– Sea f un campo vectorial de clase C 1 en un abierto U ⊂ R n . Probar
que el flujo x ↦→ φ t (x) de f conserva el volumen si la divergencia de f
es nula. Ayuda: considerar el cambio de variable x = φ t (u) y aplicar
la formula de cambio de variable para integrales de volumen.
78.– Hallar la linealización de una ecuación diferencial de orden n
y (n) = g(t, y, ẏ, ÿ, . . . , y (n−1) ),
en torno a una solución y = γ(t). Particularizar al caso de una solución
constante γ(t) = y 0 .
9. Estabilidad de puntos de equilibrio
79.– Para un sistema de ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes
constantes Ẋ = AX, demostrar que el origen es un punto de equilibrio
estable si y sólo si || exp(tA)|| está acotada para t > 0.
80.– Encontrar y clasificar los puntos de equilibrio de los siguientes sistemas
{ {
ẋ = y 2 − 3x + 2
ẋ = y
ẏ = x 2 − y 2
ẏ = −x + x 3
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