Hojas de ejercicios

Demostrar que todas las soluciones del sistema homogeneo son periódicas
si y sólo si α = 0. Analizar en términos de α y β la existencia y unicidad
de soluciones periódicas del sistema nohomogéneo.
54.– Probar que el sistema π-periódico
[ẋ ] [
[ ]
0 0 x
=
+
ẏ 1 + cos(2t) 0]
y
tiene soluciones periódicas si y sólo si ∫ π
0
[ ]
u(t)
v(t)
u(t) dt = 0.
5. Solución por desarrollo en serie de potencias
55.– Expresar la solución general de cada uno de las siguientes ecuaciones
como una serie de potencias en un entorno de t = 0, indicando su radio
de convergencia.
(1) ÿ − 3ty = 0
(2) ÿ − 3tẏ − y = 0
(3) (1 + t 2 )ÿ − 6y = 0
(4) (1 + t 2 )ÿ − 8tẏ + 15y = 0
(5) ÿ − t 2 y = 6t
(6) 3ÿ − tẏ + y = t 2 + t + 1
56.– La ecuación diferencial
(1 − t 2 )ÿ − 2tẏ + λy = 0,
donde λ ∈ R es un parámetro, se denomina ecuación de Legendre.
(1) Escribir la solución general en forma de serie de potencias en el
origen, indicando su radio de convergencia.
(2) Verificar que para λ = n(n + 1), las funciones
q n (t) = dn
dt n [(t2 − 1) n ],
son polinomios y satisfacen la ecuación de Legendre. Se denominan
polinomios de Legendre. (Ayuda: (fg) (n) = ∑ n
( n
k=0 k)
f (k) g (n−k) )
(3) Probar que la familia {q n } es una familia de polinomios ortogonales
en [−1, 1] con respecto a la función peso ω(t) = 1.
57.– La ecuación diferencial
(1 − t 2 )ÿ − tẏ + λy = 0,
donde λ ∈ R es un parámetro, se denomina ecuación de Tchebycheff.
(1) Escribir la solución general en forma de serie de potencias en el
origen, indicando su radio de convergencia.
13