Hojas de ejercicios

10. Sistemas gradiente y Hamiltonianos
85.– Probar que el sistema
{
˙q = aq + bp + Aq 2 − 2Bqp + Cp 2
ṗ = cq − ap + Dq 2 − 2Aqp + Bp 2
es Hamiltoniano y hallar la función Hamiltoniana.
86.– Probar que para un sistema ( ˙q, ṗ) = (Q(q, p), P (q, p)) en el plano, las
siguientes afirmaciones son equivalentes
(1) El sistema es Hamiltoniano
(2) El sistema ortogonal ( ˙q, ṗ) = (−P (q, p), Q(q, p)) es un sistema
de tipo gradiente.
(3) La divergencia del campo vectorial (Q, P ) es cero.
Hallar una fórmula para obtener la función Hamiltoniana.
87.– Probar que el flujo de un sistema Hamiltoniano en el plano preserva el
área.
88.– Probar que el sistema
⎧
x
⎪⎨ ẍ = −
(x 2 + y 2 ) 3 2
y
⎪⎩ ÿ = −
(x 2 + y 2 ) 3 2
es Hamiltoniano y hallar la función Hamiltoniana.
89.– Para las siguientes funciones Hamiltonianas, hallar las ecuaciones de
Hamilton y dibujar el diagrama de fase del sistema.
(1) H(q, p) = q 2 + 2p 2 ,
(2) H(q, p) = q 2 − p 2 − 2q + 4p + 5.
90.– Para las siguiente funciones V (x, y) hallar el correspondiente sistema
gradiente y dibujar el diagrama de fase.
(1) V (x, y) = x 2 − y 2 ,
(2) V (x, y) = x 2 + y 2 − 2x + 4y + 5.
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