6 Resonancia en un Circuito Serie RLC.
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Electricidad y Medidas Eléctricas II – 2012.<br />
Departam<strong>en</strong>to de Física – Fac. de Cs. Fco. Mát. y Nat. - UNSL<br />
Práctico de Laboratorio N° 6<br />
<strong>Resonancia</strong> <strong>en</strong> <strong>un</strong> <strong>Circuito</strong> <strong>Serie</strong> <strong>RLC</strong>.<br />
Objetivos:<br />
1. Medir la frecu<strong>en</strong>cia de resonancia <strong>en</strong> <strong>un</strong> circuito serie <strong>RLC</strong>.<br />
2. Estudiar las características de la respuesta de frecu<strong>en</strong>cia de <strong>un</strong> circuito resonante serie.<br />
________________________________________________________________________________<br />
I) Introducción teórica.<br />
Dado el circuito serie <strong>RLC</strong> de la Fig.1, al que alim<strong>en</strong>tamos con <strong>un</strong>a t<strong>en</strong>sión alterna s<strong>en</strong>osoidal de la forma:<br />
v = V m s<strong>en</strong>(wt), cuyo valor eficaz es V , g<strong>en</strong>erando <strong>un</strong>a corri<strong>en</strong>te alterna s<strong>en</strong>osoidal de valor eficaz I , por lo que:<br />
I = V/Z , donde Z es la impedancia del circuito para <strong>un</strong>a frecu<strong>en</strong>cia determinada.<br />
V C V L V R<br />
Las caídas de t<strong>en</strong>sión y la corri<strong>en</strong>te serán:<br />
~<br />
Figura 1<br />
C L R<br />
V R = IR , V L = IX L , V C = IX C<br />
V V<br />
I= =<br />
Z R +(X -X )<br />
2 2<br />
L C<br />
T<strong>en</strong>ga pres<strong>en</strong>te que si cambia la frecu<strong>en</strong>cia del g<strong>en</strong>erador<br />
(dejando V constante), la corri<strong>en</strong>te I y las caídas de t<strong>en</strong>sión <strong>en</strong> R,<br />
L y C cambiarán.<br />
Tomando a I como refer<strong>en</strong>cia por el ser el elem<strong>en</strong>to común <strong>en</strong> el circuito serie, los diagramas de fases serán:<br />
V<br />
V R<br />
V L<br />
ϕ<br />
V C<br />
Figura 2a: Este diagrama de fase<br />
repres<strong>en</strong>ta <strong>un</strong> circuito Inductivo, ya<br />
que V L > V C , ó, lo que es lo mismo:<br />
X L > X C <strong>en</strong> el triángulo de<br />
impedancia<br />
I<br />
V<br />
V R<br />
ϕ<br />
V L<br />
V C<br />
Figura 2b: Este diagrama<br />
de fase repres<strong>en</strong>ta <strong>un</strong><br />
circuito Capacitivo, ya que<br />
V L < V C , ó, lo que es lo<br />
mismo: X L < X C <strong>en</strong> el<br />
triángulo de impedancia<br />
I<br />
P: Pot<strong>en</strong>cia Apar<strong>en</strong>te<br />
(V-A)<br />
ϕ<br />
P R : Pot<strong>en</strong>cia Verdadera o<br />
Real, disipada <strong>en</strong> R. (Wats)<br />
P L (P C ):<br />
Pot<strong>en</strong>cia Reactiva<br />
o almac<strong>en</strong>ada<br />
(var)<br />
Figura 2c: Triángulo de pot<strong>en</strong>cia<br />
para <strong>un</strong> circuito Inductivo (V L ><br />
V C ). El cateto opuesto repres<strong>en</strong>ta<br />
la <strong>en</strong>ergía media por <strong>un</strong>idad de<br />
tiempo almac<strong>en</strong>ada <strong>en</strong> el campo<br />
magnético del inductor. (O <strong>en</strong> el<br />
campo eléctrico del capacitor)<br />
Técnico Universitario <strong>en</strong> Electr. y Telecom<strong>un</strong>icaciones y Profesorado <strong>en</strong> Tecnología Electrónica<br />
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Electricidad y Medidas Eléctricas II – 2012.<br />
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<strong>Resonancia</strong> <strong>Serie</strong> † :<br />
En el circuito de la Fig. 1 es interesante tratar el caso cuando V L = V C <strong>en</strong> el diagrama de fase (o cuando X L<br />
= X C <strong>en</strong> el triángulo de impedancia), es decir cuándo el ángulo de fase ϕ es cero (ϕ = 0 ⇒ cos ϕ = 1).<br />
Por definición, <strong>un</strong> circuito serie que conti<strong>en</strong>e elem<strong>en</strong>tos resistivos y reactivos es resonante cuando el factor de<br />
pot<strong>en</strong>cia del circuito, cos ϕ , vale 1. En este caso se cumple que:<br />
1<br />
X = XC<br />
⇒ 2πf<br />
0L<br />
= ⇒ f<br />
0<br />
2πf<br />
C<br />
L<br />
=<br />
La frecu<strong>en</strong>cia f 0 es la frecu<strong>en</strong>cia de resonancia del circuito serie <strong>RLC</strong>.<br />
0<br />
1<br />
2π LC<br />
Bajo condiciones de resonancia: la t<strong>en</strong>sión de <strong>en</strong>trada y la corri<strong>en</strong>te están <strong>en</strong> fase. La impedancia no ti<strong>en</strong>e<br />
compon<strong>en</strong>te reactiva Z = R (es decir toma el mínimo valor), por lo que la corri<strong>en</strong>te <strong>en</strong> resonancia la nombraremos<br />
como I 0 y su valor está dado por:<br />
V<br />
I 0<br />
= (En resonancia, la corri<strong>en</strong>te toma el máximo valor)<br />
R<br />
Si tomáramos el caso ideal sin resist<strong>en</strong>cia externa, <strong>un</strong>a inductancia pura (R L = 0) y <strong>un</strong>a capacitor <strong>en</strong> serie,<br />
t<strong>en</strong>dríamos para la frecu<strong>en</strong>cia de resonancia que Z = 0, con lo que la corri<strong>en</strong>te tomaría <strong>un</strong> valor infinitam<strong>en</strong>te<br />
grande. Es decir, para el caso ideal que no se t<strong>en</strong>ga resist<strong>en</strong>cia <strong>en</strong> el circuito serie, la resonancia actúa como <strong>un</strong><br />
cortocircuito. Pero esto n<strong>un</strong>ca ocurre ya que, como se dijo <strong>en</strong> l Práctico anterior, siempre estará pres<strong>en</strong>te la<br />
resist<strong>en</strong>cia del bobinado R L que no se puede eliminar y que limita la I a <strong>un</strong> valor finito.<br />
Como la corri<strong>en</strong>te <strong>en</strong> resonancia es I 0 = V/R, t<strong>en</strong>emos que <strong>en</strong> resonancia:<br />
Haci<strong>en</strong>do el coci<strong>en</strong>te obt<strong>en</strong>emos:<br />
V<br />
= I R = R<br />
R<br />
VR 0<br />
=<br />
L<br />
C<br />
L<br />
V<br />
V = V = IX = IX<br />
VL I0X<br />
L<br />
X<br />
L<br />
= = = Q ⇒ VL<br />
= QVR<br />
ó, lo que es lo mismo : VL<br />
=<br />
V I R R<br />
R<br />
0<br />
C<br />
QV<br />
VC I0XC<br />
XC<br />
X<br />
L<br />
= = = = Q ⇒ VC<br />
= QVR<br />
ó, lo que es lo mismo : VC<br />
=<br />
V I R R R<br />
R<br />
0<br />
QV<br />
Donde Q , es el factor de calidad.<br />
• En la frecu<strong>en</strong>cia de resonancia, la t<strong>en</strong>sión g<strong>en</strong>erada tanto <strong>en</strong> el capacitor como <strong>en</strong> la bobina es<br />
Q veces la t<strong>en</strong>sión de la fu<strong>en</strong>te.<br />
Por ejemplo: Si <strong>un</strong> circuito serie se conecta a <strong>un</strong>a t<strong>en</strong>sión de 220 V y si Q es 20, la t<strong>en</strong>sión a través de la bobina y el<br />
capacitor será de 4400 V <strong>en</strong> resonancia. Por lo tanto hay que t<strong>en</strong>er extremo cuidado cuando se trabaja con circuitos<br />
serie que pued<strong>en</strong> llegar a resonar cuando se conecta la fu<strong>en</strong>te de t<strong>en</strong>sión.<br />
† Para más detalles, ver ap<strong>un</strong>tes de teoría.<br />
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Z<br />
I 0<br />
I<br />
R<br />
f 0<br />
Frecu<strong>en</strong>cia (H z)<br />
f 0<br />
Frecu<strong>en</strong>cia (Hz)<br />
QV<br />
V<br />
V R<br />
V C<br />
V L<br />
Ángulo de fase<br />
f 0<br />
f 1 f f<br />
0 2 Frecu<strong>en</strong>cia (Hz)<br />
Frecu<strong>en</strong>cia (Hz)<br />
En estas figuras se muestra como varia la impedancia, la corri<strong>en</strong>te, las t<strong>en</strong>siones: V R , V C y V L y <strong>en</strong> el ángulo de<br />
fase con la frecu<strong>en</strong>cia, este último lo debe completar el alumno.<br />
En las gráficas se observa que la corri<strong>en</strong>te toma el máximo valor exactam<strong>en</strong>te a la frecu<strong>en</strong>cia de resonancia f 0 , lo<br />
mismo que la t<strong>en</strong>sión <strong>en</strong> la resist<strong>en</strong>cia. No ocurre lo mismo con V C y V L , como se aprecia <strong>en</strong> la gráfica, el valor<br />
máximo alcanzado por V C y V L es ligeram<strong>en</strong>te mayor a QV y se produce a <strong>un</strong>a frecu<strong>en</strong>cia f 1 ap<strong>en</strong>as m<strong>en</strong>or a la<br />
frecu<strong>en</strong>cia de resonancia <strong>en</strong> el capacitor y a <strong>un</strong>a frecu<strong>en</strong>cia f 2 ap<strong>en</strong>as mayor que f 0 <strong>en</strong> el inductor. Como se demostró<br />
<strong>en</strong> teoría ‡ :<br />
y que:<br />
f<br />
1<br />
V<br />
C(Máx)<br />
= V<br />
L(Máx)<br />
1<br />
= f<br />
0<br />
1 − y<br />
2<br />
2Q<br />
= QV<br />
f<br />
2<br />
1<br />
1<br />
1<br />
−<br />
4Q<br />
=<br />
2<br />
f<br />
0<br />
1<br />
1 −<br />
2Q<br />
Si se toma Q>10 es estas expresiones, prácticam<strong>en</strong>te V C(Máx) = V L(Máx) = QV y f 1 = f 2 = f 0 .<br />
2<br />
‡ Para más detalles, ver ap<strong>un</strong>tes de teoría.<br />
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Parte Experim<strong>en</strong>tal<br />
Materiales Necesarios:<br />
• G<strong>en</strong>erador de Onda S<strong>en</strong>osoidal, Osciloscopio, Tester, P<strong>un</strong>tas de prueba. (2)<br />
• Resist<strong>en</strong>cia de 390 Ω, capacitor de 0.0068 μF y <strong>un</strong>a bobina con núcleo de aire.<br />
1. Arme el circuito de la Fig. 1 y aliméntelo con 5 V eficaz, a circuito cargado. Verifique con el osciloscopio.<br />
2. Determine usando Lissajous la frecu<strong>en</strong>cia de resonancia. Explique el procedimi<strong>en</strong>to.<br />
3. Desactive el modo XY y arme el circuito para medir V y V R con el osciloscopio y la corri<strong>en</strong>te con el tester<br />
digital. En el informe debe estar el esquema del circuito con todos los instrum<strong>en</strong>tos, las p<strong>un</strong>tas y la tierra.<br />
4. Complete la Tabla 1, con los valores de f propuestos y con otros valores, de modo de poder realizar el p<strong>un</strong>to 5.<br />
5. Efectúe las gráficas § de: (V R vs f ) , ( I vs f ) , ( Z vs f ) y (ϕ vs f ).<br />
Nota: Controle que la t<strong>en</strong>sión aplicada sea de 5 Volts cada vez que cambie la frecu<strong>en</strong>cia, ya que esta<br />
puede variar cuando mueve el selector de frecu<strong>en</strong>cia del g<strong>en</strong>erador.<br />
Tabla 1:<br />
F [Hz] V R [Volts]=<br />
...........................<br />
I [mA] =<br />
................................<br />
Z ϕ [Grados]<br />
...........................<br />
100<br />
Analít. Exp Analít. Exp Analít. Analít. Exp.<br />
f 0 =<br />
10000<br />
6. Dibuje los circuitos que usaría para medir la t<strong>en</strong>sión máxima <strong>en</strong> la bobina y <strong>en</strong> el capacitor. Mida dichas t<strong>en</strong>siones<br />
y verifique que aproximadam<strong>en</strong>te es QV. ¿A qué frecu<strong>en</strong>cia se obti<strong>en</strong><strong>en</strong> esos valores? Compare con las frecu<strong>en</strong>cias<br />
teóricas.<br />
Preg<strong>un</strong>ta i: ¿Por qué el valor de V R medido <strong>en</strong> resonancia es apreciablem<strong>en</strong>te m<strong>en</strong>or a V?<br />
Preg<strong>un</strong>ta ii: Calcule la frecu<strong>en</strong>cia de resonancia del circuito y compárela con el valor obt<strong>en</strong>ido <strong>en</strong> el p<strong>un</strong>to 2.<br />
Preg<strong>un</strong>ta iii: ¿Cuál es el Q del circuito?<br />
Preg<strong>un</strong>ta iv: ¿Qué sucedería con la curva de la respuesta <strong>en</strong> frecu<strong>en</strong>cia de V R si el valor de la resist<strong>en</strong>cia<br />
fuera de R = 1kΩ.? Dibujelá cualitativam<strong>en</strong>te superpuesta a la gráfica del p<strong>un</strong>to 5. ¿La frecu<strong>en</strong>cia de resonancia<br />
sería modificada? ¿Por qué?<br />
Preg<strong>un</strong>ta v: ¿Qué peligro corr<strong>en</strong> los compon<strong>en</strong>tes del circuito a la frecu<strong>en</strong>cia de resonancia?<br />
Nota: el informe debe cont<strong>en</strong>er todas las expresiones que utilizó para calcular las difer<strong>en</strong>tes magnitudes.<br />
§ Se recomi<strong>en</strong>da hacerlo <strong>en</strong> la computadora.<br />
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