PROBLEMA 1 - RESOLUCIÓN. El problema pide la elipse ... - Tecnun

Resolución del examen de Febrero 2007 – Problema 1
RESOLUCIÓN A – Tensor de inercia de la figura en los ejes Oxy
Se trabaja descomponiendo la figura en los trozos 1 y 2, calculando los momentos y
productos de inercia de cada trozo en los ejes Oxy indicados en la figura, sumando y
trasladando el resultado a los ejes Gx’y’ en el centro de gravedad (que son en los que se
expresará la elipse de inercia pedida).
La tabla muestra los momentos de inercia en los ejes Oxy:
I 2
x
I 2
y
I 2
xy
Trozo 1 Trozo 2 Total
1 26 ML
ML
2
29 ML
2
5
15
15
9 2 ML
ML
2
29 ML
2
5
15
15
9 2 ML
ML
2
17 ML
2
20
5
20
Los momentos de inercia I y de ambos trozos, así como el I x del trozo 1 corresponden a
placas respecto de ejes que pasan por sus lados (por compresión se asemejan a varillas y
1 2
los momentos de inercia serán de la forma M i (longitud) .
3
Los productos de inercia de cada trozo y el momento de inercia I x del trozo 2 se obtienen
trasladando por Steiner los calculados respecto de rectas paralelas en el centro de
gravedad de dicho trozo:
1 26
I (trozo 2) M (2L) M (2L) ML
12 15
L 3L 9 2
I xy(trozo 1) = 0 + M 1( − )( − ) = ML
2 2 20
L 2 2
I xy(trozo 2) = 0 + M 2( −2L)( − ) = ML
2 5
2 2 2
x = 2 + 2 =
Nótese que si se colocan los ejes paralelos a Oxy en el centro de gravedad de cada trozo
los productos de inercia en esos ejes son nulos.
Los momentos y productos de inercia en los ejes Gx’y’ colocados en el centro de gravedad
se obtendrían también por Steiner:
2 29 2 11 2 217 2
Ix = Ix' + M (y G) → Ix'
= ML − M( L) = ML
15 10 300
2 29 2 11 2 217 2
Iy = Iy' + M (x G) → Iy'
= ML − M( L) = ML
15 10 300
17 11 9
Ixy = Ix'y' + M (xGy G) → Ix'y'
= ML − M( L) = − ML
20 10 25
2 2 2
RESOLUCIÓN B – Tensor de inercia de la figura directamente en los ejes Ox’y’
Se descompone la figura en los dos trozos 1 y 2 señalados. Se trabaja con cada trozo por
separado, calculando los momentos de inercia para ejes paralelos a Gx’y’ que pasan por su
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