PROBLEMA 1 - RESOLUCIÓN. El problema pide la elipse ... - Tecnun

Resolución del examen de Febrero 2007 – Problema 1
la figura). Esto resulta coherente con la distribución de masa de la figura (y recuérdese que
el producto de inercia puede ser negativo).
Momentos principales de inercia en G
Obtenido el tensor de inercia en G los momentos principales podrían obtenerse del cálculo
de valores propios de dicha matriz. El procedimiento, aunque correcto, resulta un tanto
engorroso de resolver.
Una alternativa muy interesante consiste en descubrir cuáles son las direcciones principales
de inercia de la placa y calcular los momentos de inercia asociados a esos ejes (que son los
principales de inercia). La figura muestra cuál es el eje de simetría de la placa, que forma
45º con los ejes x e y respectivamente. Este eje es un eje principal de inercia; el otro será
el perpendicular. En dichos ejes el producto de inercia es nulo.
Los momentos principales de inercia serán, por lo tanto, los momentos de inercia de la
figura para dichos ejes. Como se conoce el tensor de inercia en G en los ejes Gx’y’:
2 2
e =α x' +β y' − αβ x'y'
I I I 2 I
siendo α y β los cosenos directores de un vector unitario en la dirección del eje:
- Para el primer eje principal de inercia (eje de simetría): α=β=
2
(forma 45º)
2
- Para el segundo eje principal de inercia (perpendicular): α=−
2 2
; β= (forma 135º
2 2
con Gx’)
Los resultados son:
325 13
I1
= ML = ML
300 12
109 2
I2
= ML
300
2 2
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