Geometria / GA 2. Varietats lineals

Geometria / GA
2. Varietats lineals
© S. Xambó
Varietat lineal
– Definició
– Espai director
– Dimensió
– Punts, rectes, plans, hiperplans
Equació paramètrica vectorial
Varietats lineals paral·leles
Intersecció de varietats lineals
Suma (o unió) afí de varietats lineals
Fórmula de les dimensions. Exemples
Complements: Espai afí quocient
Notes

2
Varietat lineal
Una varietat lineal d’un espai afí , , és un subconjunt de de la
forma
,
on és un subespai vectorial i .
La dimensió de , dim, és dim .
Lema
• Si , , llavors .
• Com que | , de fet tenim |, .
Prova
Per definició de , existeixen , tals que
, .
Llavors
, .

3
El lema anterior mostra que el subespai queda unívocament determinat
per . Direm que és l’espai director de (i posem per indicar
aquesta dependència). Si ,…, és una base d’, diem que és un sistema
de vectors directors de .
Exemples
• Una varietat lineal de dimensió 0 té la forma 0 , on
és un punt. Amb la identificació , podem dir que les varietats
de dimensió 0 són els punts de .
• Si l’espai afí té dimensió n (cosa que es sol denotar escrivint ),
l’única varietat lineal de dimensió n és tot .
• Les varietats lineals de dimensió 1 s’anomenen rectes i les de dimensió
2, plans. Un vector director d’una recta és un vector no nul del seu
espai director (que és de dimensió 1).
• Les varietats lineals de dimensió 1 de s’anomenen hiperplans.
Notem que els hiperplans de són rectes i que els de són
plans.

4
Proposició
, , és un espai afí.
Per a tot punt , .
Prova
La primera part és conseqüència del lema i del fet que , , és un espai
afí.
Per a la segona part, si ( ) aleshores
,
atès que per ser un subespai vectorial.
Remarca. La dimensió d’una varietat lineal , dim, ha estat
definida com dim . Com que queda unívocament
determinat per , el mateix passa amb dim i per tant dim està
ben definida.

5
Teorema. Si i són varietats lineals i , llavors
dim dim , amb igualtat si i només si .
Prova. Posem , .
La inclusió implica (pel lema, pàg. 2). Per tant,
dim dim .
Això prova que dim dim.
En cas de donar‐se la igualtat dim dim, tindrem
dim dim , d’on .
Sigui . Llavors i
(la darrera igualtat per la proposició, pàg. 4).

6
Equació paramètric vectorial
Donat un punt i un sistema de vectors directors ,…, d’una varietat
lineal , tot punt de es pot escriure de manera única en la forma
, ,…, .
Adonem‐nos que ,…, són les components del vector en
la base ,…, .
D’aquesta relació en diem que és una equació paramètrica vectorial de L.
Exemple. Donats dos punts diferents, hi ha una única recta que els conté.
Si els punts són i , la recta és
o bé,
,
, .

7
Varietats lineals paral·leles
Es diu que dues varietats lineals i són paral·leles, i escrivim per
denotar‐ho, si l’espai director d’una està contingut en l’espai director de
l’altra. Amb símbols
.
Si tenen la mateixa dimensió,
.
En el cas de dues rectes i , amb vectors directors i ,
tal que ,
és a dir, i són paral·leles si i només si els corresponents vectors
directors són proporcionals.
Definició. Si és una varietat lineal de dimensió , i un punt,
és l’única varietat lineal de dimensió paral·lela a
que passa per . Diem que és la varietat lineal
paral·lela a per . La figura il·lustra el cas 1.

8
Remarca
El conjunt de les varietats lineals amb un espai director donat té estructura
d’espai afí, amb espai estructural / (v. l’entrada Espai afí
quocient a Complements).
Intersecció
Teorema. Si la intersecció de dues o més varietats lineals és no buida, llavors
aquesta intersecció és una varietat lineal, i el seu espai director és la
intersecció dels corresponents espais directors.
Prova. Farem el cas de la intersecció de dues varietats lineals i . El cas
general es demostra d’una manera similar.
Posem i . Sigui (existeix, ja que per hipòtesi
). Llavors i , amb la qual cosa és
clar que
.
Corol·lari. Si i són paral·leles i , llavors o bé o bé
.

9
Suma afí
Siguin i varietats lineals. Si és qualsevol varietat
lineal que conté i , llavors i , , de
manera que
,
és a dir,
.
Ara bé, és clar que la varietat
conté i , amb la qual cosa
és la varietat lineal més petita que conté i .
En particular, no depèn dels punts i usats per descriure i
. A més, ha de coincidir amb , ja que aquesta
és la varietat lineal més petita que conté i .
Posarem per denotar i diem que és la suma afí de i .

10
Proposició. Les condicions següents són equivalents:
1. .
2. Existeixen , tals que .3
3. Per a qualssevol i , .
Prova. Si , podem escollir un punt i aleshores
.
I si ( , ), llavors
.
Corol·lari. La condició és suficient per tal que .
Exemple. Si és una varietat lineal no paral·lela a un hiperplà , llavors
, ja que té dimensió 1 i .

11
Teorema (fórmula de les dimensions)
dim dim dim dim si
1 dim dim dim si
Prova
dim dim
dim si
1dim si
Ara
dim dim dim dim
dim dim dim ,
per la fórmula de les dimensions d’àlgebra lineal, i això estableix la fórmula,
per la proposició anterior i el fet que en el cas tenim
dim dim .

12
Exemple. Si és un punt exterior a una varietat lineal , llavors
dim dim 1.
Casos particulars: Si i són dos punts diferents,
llavors (la recta que uneix
i ). Si és un punt exterior a una recta , llavors
és un pla.
Exemple. Si és un hiperplà i una varietat lineal no paral·lela a , llavors
dim dim 1.
En efecte, i es tallen, ja que (v. l’Exemple de la
pàg. 10). Així doncs val el primer cas de la fórmula de les dimensions i
dim dim dim dim
1dimdim1.
Casos particulars: Dues rectes no paral·leles del pla
es tallen en un punt.

Un pla de l’espai talla una recta no paral·lela en un
punt.
13
Dos plans no paral·lels de
l’espai es tallen en una recta.
Exemple. La suma afí de dues rectes no paral·leles és:
– un pla si les rectes es tallen
– una varietat de dimensió 3 si no es tallen (en aquest cas es diu que les
rectes es creuen).
Exemple. Si i són varietats lineals paral·leles de la mateixa dimensió
, llavors
si ,
dim 1 si
(la figura il·lustra el cas de dues rectes paral·leles distintes).

14
Complements: Espai afí quocient
Sigui , un espai afí de dimensió i un subespai vectorial de .
Sigui el conjunt de varietats lineals de que tenen espai director i
posem /. 1
Finalment, considerem l’aplicació
, , ,
on i són punts arbitraris de i , respectivament.
Vegem primer que està ben definida, és a dir, que no depèn
de l’elecció de i . En efecte, si i , llavors
i . Per tant,
,
d’on .

15
Proposició. ,, és un espai afí.
Prova:
Llei d’addició. Si és una tercera varietat lineal amb i
, llavors
, , , .
Axioma d’homogeneïtat. Fixem i considerem l’aplicació
: , , , .
L’aplicació és exhaustiva: si , posem i ;
llavors i .
L’aplicació és injectiva: si , són tals que , i
prenem , , llavors , que equival a
, d’on . Per tant .

Notes
1. Recordem que / és l’espai quocient de per , i que hi ha una
aplicació lineal exhaustiva /, , tal que si
i només si . Amb aquesta representació, la suma queda definida
per i el producte per escalars per
. L’element neutre de la suma és 0.
16