Examen final - Departament de Matemàtica Aplicada II - UPC

GEOMETRIA COMPUTACIONAL FIB-UPC Curs 2002-2003 Q1Examen final14/gener/20031. Parametritzeu (feu-ho per canvi de coordenades) les dues superfícies de lafigura. Totes dues són idèntiques, formades per:• Dos troncs de con d’altura 1 i radis de les bases 1 i 2.• Un cilindre d’altura 1 i radi de les bases 1.• La primera està situada sobre el pla z = 0, amb eix l’eix Z.• La segona està situada sobre el pla x + y + z = 6, dins del semiespaix + y + z>6, el centre de la base inferior és el punt (2, 2, 2) i l’eix ésperpendicular a aquest pla.-2 0 2 46-2 0 2 4 664202. Es considera l’el . lipse E d’equació x24 + 3y2 =1ielpuntP (1, 1) ∈E.4(a) Escriviu l’equació delarectatangentaE en P .(b)Hiha3el . lipses idèntiques a E que comparteixen amb E la tangent enP . Doneu una parametrització de totes tres. Podeu deixar els càlculsindicats, però heu d’explicar allò que feu.3. Programeu la projecció ortogonal sobre el pla 3x−y +4z = 3 per concatenacióde transformacions afins elementals.Observacions:• Les notes es publicaran al racó de l’estudiant de la FIB, juntament amb les delaboratori, el dilluns 27 de gener, per la tarda.• La revisió de l’examen tindrà lloc el dimecres 29 de juny a les 15.00, al Departamentde Matemàtica Aplicada II, despatx 446 (Edifici U, Campus Sud).

SOLUCIONS1. Parametritzeu (feu-ho per canvi de coordenades) les dues superfícies de la figura.Totes dues són idèntiques, formades per:• Dos troncs de con d’altura 1 i radis de les bases 1 i 2.• Un cilindre d’altura 1 i radi de les bases 1.• La primera està situada sobre el pla z =0, amb eix l’eix Z.• La segona està situada sobre el pla x + y + z =6, dins del semiespaix + y + z>6, el centre de la base inferior és el punt (2, 2, 2) i l’eix ésperpendicular a aquest pla.-2 0 2 46-2 0 2 4 66420Primer parametritzarem la superfície situada sobre el pla z =0.• Tronc de con inferior: forma part del con de vèrtex el punt (0, 0, 2). Elspunts de la circumferència de la base sobre z =0són (2 cos t, 2sint, 0),on t ∈ [0, 2π], i els segments que uneixen el vèrtex (0, 0, 2) amb aquestspunts tenen coordenades:(0, 0, 2) + λ(2 cos t, 2sint, −2), λ ∈ [0, 1],t∈ [0, 2π].Per obtenir només el tronc de con el camp de variació deλ s’ha de reduira[ 1 2, 1], per tant la parametrització d’aquest tronc de con inferior és:[ ] 1(x(λ, t),y(λ, t),z(λ, t)) = (2λ cos t, 2λ sint, 2−2λ), λ∈2 , 1 ,t∈ [0, 2π].• Cilindre del mig: un punt qualsevol de la circumferència de la base inferiorsobre z =1és (cos t, sin t, 1), on t ∈ [0, 2π], i el segment que uneix aquestpunt amb (cos t, sin t, 2) és:(cos t, sin t, 1) + λ(0, 0, 1), λ∈ [0, 1].Per tant la parametrització d’aquest cilindre és:(x(λ, t),y(λ, t),z(λ, t)) = (cos t, sin t, 1+λ), λ∈ [0, 1],t∈ [0, 2π].

• Tronc de con superior: és simètric de l’altre tronc de con respecte el punt(0, 0, 3 2 ).De A + A′=(0, 0, 322 )resultaA′ =(0, 0, 3) − A, queés l’equació delasimetria central, i així la parametrització d’aquest tronc de con superiorés:(x(λ, t),y(λ, t),z(λ, t)) = (−2λ cos t, −2λ sint, 1+2λ), λ∈[ 12 , 1 ],t∈ [0, 2π].Parametritzem ara la segona superfície. Basta fer un canvi directe X =AX ′ + W . Prenem un nou sistema de coordenades amb origen el punt(2, 2, 2), tercer vector el normal al pla x + y + z =6,és a dir, e ′ 3 =(1/ √ 3, 1/ √ 3, 1/ √ 3), i els altres dos formant una base ortonormal.Prenem e ′ 1 =(−1/√ 2, 1 √ 2, 0) i e ′ 2 = e′ 3 ∧ e′ 1 =(−1/√ 6, −1/ √ 6, 2/ √ 6).Escrivim la matriu de canvi:⎛A = ⎝−1/ √ 2 −1/ √ 6 1/ √ 31/ √ 2 −1/ √ 6 1/ √ 30 2/ √ 6 1/ √ 3La parametització delasegonasuperfície vindrà donada per tres equacions,corresponents a aplicar el canvi directe a cada una de les tres partsde la superfície primera, és a dir, al tronc de con inferior, al cilindre, i altronc de con superior:–––⎛⎝⎛⎝⎛⎝x(λ, t)y(λ, t)z(λ, t)x(λ, t)y(λ, t)z(λ, t)x(λ, t)y(λ, t)z(λ, t)⎞⎛⎠ = A · ⎝⎞⎛⎠ = A · ⎝⎞⎛⎠ = A · ⎝2λ cos t2λ sint2 − 2λcos tsin t1+λ⎞−2λ cos t−2λ sint1+2λ⎞⎛⎠ + ⎝⎛⎠ + ⎝⎞222222⎛⎠ + ⎝⎞⎞⎞⎠⎠ ,λ∈ [ 12, 1 ] ,t∈ [0, 2π].⎠ ,λ∈ [0, 1],t∈ [0, 2π].222⎞⎠ ,λ∈ [ 12 , 1] ,t∈ [0, 2π].2. Es considera l’el . lipse E d’equació x24 + 3y2 =1ielpuntP (1, 1) ∈E.4(a) Escriviu l’equació delarectatangentaE en P .(b)Hiha3el . lipses idèntiques a E que comparteixen amb E la tangent enP . Doneu una parametrització de totes tres. Podeu deixar els càlculsindicats, però heu d’explicar allò quefeu.(a) La parametrització de l’el . lipse és:(x(t),y(t),z(t)) = (2 cos t,El vector tangent és (−2sint,2√3sin t), t∈ [0, 2π].2√3cos t), per tant en el punt P (1, 1) queté paràmetre t = π/3 serà(− √ 3, 1/ √ 3), i l’equació delarectatangenten P serà:(x, y)=(1, 1) + λ(− √ 3, 1/ √ 3), és a dir, x+3y =4.

(b) Prenem un nou sistema de coordenades amb origen el punt P ,talquel’eix d’abscisses sigui la tangent a E en P , i apliquem un canvi invers a E.Fem e ′ 1 =(− √ 3 110, √10),e ′ 2 =(− √ 110, − √ 310).Prenem com equacions del canvi:( ) ( )x√ −3 √−1( ) ( )= 10 10 x′ 1−3y√10y ′ +1Equivalentment:( x′y ′ )=1 √10( −3 √101 √10−1 √10) ( x − 1√−310y − 1L’el . lipse E 1 que resulta d’aplicar aquest canvi invers a E és:( ) ( )( )−3x(t)√ √1= 10 10 2cost − 1−3 2,t∈ [0, 2π]y(t)√ √10 3sin t − 1El seu dibuix és:−1 √10)2.521.510.5-1 1 2Ara el que hem de fer és col . locar aquesta el . lipse de les tres maneres queens demanen, tal com es veu a la figura següent:4321-2 -1 1 2 3 4-1-2Totes tres s’obtindran aplicant canvis directes a l’el . lipse E 1 , descrits per:( ) (– Nou origen: P (1, 1), nous vectors: −e ′ 1 = √ 310, √ −110, −e ′ 2 = √ 1 310,( ) ( 3)x√ √1( ) ( )Equacions el canvi: = 10 10 x′ 1−1y√ √310 10y ′ +1√10)L’el . lipse resultant tindrà parametrització:) ( 3)( )√ √1√ 1(√= 10 10 10 10 2cost − 1 1√−13√−3+2√10 10 3sin t − 1 1( x(t)y(t)=( −1 00 −1)( −3√ √−110 10) ( 2cost − 1)√23sin t − 1( 1+1),t∈ [0, 2π],)=que és la simètrica de E respecte el punt P (1, 1).

( (– Nou origen: P (1, 1), nous vectors: e ′ 1 = √ −3 110, , −e ′ 2 = √ 1 310,( ) ( −3)x√ √1( ) ( )Equacions el canvi: = 10 10 x′ 11y√ √310 10y ′ +1L’el . lipse resultant tindrà parametrització:( ) ( −3)(x(t)√ √1−3)( )√ 1( )√= 10 10 10 10 2cost − 1 11y(t)√ √3−1 √−3+ =2√10 10 10 3sin t − 1 1=( 4/5 −3/5−3/5 −4/5√10) ( 2cost − 12√3sin t − 1√10)) ( 1+1√10)),t∈ [0, 2π].√10)( (– Nou origen: P (1, 1), nous vectors: −e ′ 1 = √ 310, −1 ,e ′ 2 = √ −110, −3( ) ( 3)x√ √−1( ) ( )Equacions el canvi: = 10 10 x′ 1−1y√ √−310 10y ′ +1L’el . lipse resultant tindrà parametrització:( ) ( 3)(x(t)√ √−1−3)( )√ 1( )√= 10 10 10 10 2cost − 1 1−3y(t)√ −1 √−3+ =2√10 10 3sin t − 1 1=−1 √10( −4/5 3/53/5 4/5√10) ( 2cost − 1)√23sin t − 1( 1+1),t∈ [0, 2π].√10)3. Programeu la projecció ortogonal sobre el pla 3x − y +4z =3per concatenacióde transformacions afins elementals.Un punt del pla és A(1, 0, 0) i el vector normal és ⃗n =(3, −1, 4).Les afinitats, la concatenació de les quals transformaran un punt P en el seuprojectat ortogonalment P ′ sobre el pla 3x − y +4z =3,són, en aquest ordre:1a) Translació de vector −A =(−1, 0, 0) que transporta el pla a un de paral . lelque passa per l’origen.2a) Producte de dues rotacions positives R α z , R β x, d’eixos z, x, ianglesα, β,respectivament,que transformin el vector ⃗n en el (0, 0, √ 26), és a dir:(R β x ◦ R α z )(⃗n) =(0, 0, √ 26),amb l’objectiu de convertir el pla donat en el pla z =0.Passos a seguir:– Projecció de⃗n sobre el pla XY: ⃗q =(3, −1, 0).– Angle α entre ⃗q i(0, 1, 0): cos α = √ −110– Es té: det{⃗q, (0, 1, 0), (0, 0, 1)} > 0, per tant sin α = 3–⎛⎜⎝−1 √103 √10√−3100√−11000 0 1⎞ ⎛⎟⎠ · ⎝3−14⎞⎛⎠ = ⎝√0104⎞⎠ = ⃗n ′√10.

– Angle β entre ⃗n ′ i(0, 0, 1): cos β = 4 √26Es té: det{⃗n ′ , (0, 0, 1), (1, 0, 0)} > 0, per tant sin β = √ 10 √26.3a) Ara el pla donat s’ha convertit en el pla z = 0, per tant l’afinitat queconsisteix en projectar ortogonalment sobre aquest pla ve donada perProj : (x, y, z) ↦→ (x, y, 0)4a) Finalment toca desfer les 3 afinitats que han convertit el pla donat en elpla z = 0. La concatenació demanada és:T A ◦ R −αz◦ R −βx◦ Proj ◦ R β x ◦ R α z ◦ T −ANomés queda escriure matricialment la concatenació, i això es fa multiplicantles matrius de cada afinitat en el mateix ordre donat en la composició.Aquestes són:– Matriu de T −A :– Matriu de R α z :– Matriu de R β x:– Matriu de Proj:– Matriu de R −βx :– Matriu de R −αz :– Matriu de T A :⎛⎜⎝⎛⎜⎝1 0 0 −10 1 0 00 0 1 00 0 0 1⎞⎟⎠⎞− √ 110− √ 3100 0√310− √ 1100 0⎟0 0 1 0 ⎠0 0 0 1⎞1 0 0 0⎟⎛√ 0 √4⎜ 26− √ 10260√⎝ 0 √ 10⎟√426 260 ⎠0 0 0 1⎛⎞1 0 0 0⎜ 0 1 0 0⎟⎝ 0 0 0 0 ⎠0 0 0 1⎛⎞1 0 0 0√ 40 √ √ 10⎜ 26 260√ ⎝ 0 − √ 10⎟√426 260 ⎠0 0 0 1⎛− 1⎞√ √310 100 0− √ 3 −1√⎜ 10 100 0⎟⎝ 0 0 1 0 ⎠0 0 0 1⎛⎞1 0 0 1⎜ 0 1 0 0⎟⎝ 0 0 1 0 ⎠0 0 0 1