Geometria / GA 1. Espai afí

Geometria / GA
1. Espai afí
© S. Xambó
Prerequisits
‐ cos K (, , , , , ...). 1
‐ K‐espai vectorial. 2
Definició d’espai afí
Exemple: classe lateral d’un subespai vectorial
Algunes propietats del vector
Diferència de punts
Translacions
Complements
A. Definició alternativa d’espai afí
B. Un altre exemple d’espai afí
Notes

2
Definició d’espai afí
Ingredients
- K, un cos (dels seus elements en diem escalars)
- A, un conjunt (dels seus elements en diem punts)
- V, un K‐espai vectorial (dels seus elements en diem vectors)
- Una aplicació
: , ,
(en diem aplicació estructural).

3
Axiomes
Axioma d’homogeneïtat. Per a tot punt P i tot
vector existeix un únic punt tal que .
Aquest punt serà denotat , o, per raons
que veurem després (pàg. 8), .
L’axioma d’homogeneïtat també es pot expressar dient que per a tot
punt , l’aplicació
és bijectiva.
: ,
,
Llei d’addició. .

4
Dimensió. La dimensió de l’espai afí , , és, per definició, dim .
Posarem dim per denotar‐la, és a dir,
dim dim .
Un espai afí de dimensió 0 es redueix a un punt.
Una recta afí és un espai afí de dimensió 1.
Un pla afí és un espai afí de dimensió 2.

5
Exemple: classe lateral d’un subespai vectorial
Sigui V un subespai vectorial 3 d’un K‐espai vectorial E.
Sigui a un vector de E i posem
|
(és la classe lateral de mòdul ). Com que la diferència de dos
elements i és
,
podem considerar l’aplicació : , , .
, , és un espai afí. 4
El cas 0 i ens mostra, en particular, que tot espai vectorial
es pot considerar com un espai afí. En aquest cas els punts i els vectors
són la mateixa cosa: , i si , , , .

6
Algunes propietats del vector
Proposició
1.
2.
3. .
Prova
1. (addició); per tant, . I si , llavors
, d’on per l’axioma d’homogeneïtat.
2. , d’on .
3. .

7
Diferència de punts
Escollim un punt com a origen, i posem, per a tot punt ,
Com que
.
,
tenim la relació . Com que l’expressió no depèn de ,
això suggereix que una notació adient per al vector és
(diferència de punts). D’ara endavant usarem les dues notacions
indistintament.
1. 0
2. .
3.

8
Translacions
La translació definida per un vector és l’aplicació
tal que .
(notació : també es denota ).
Proposició. Són equivalents
1. 0
2.
3. té punts fixos.
Prova. 12. Si 0, i , llavors 0
i . Per tant,
per a tot punt .
23. Òbvia.
31. Si per algun ,
0.

9
El grup de les translacions
El conjunt Π de les aplicacions bijectives de en forma un grup 5
amb la composició:
.
Proposició. L’aplicació
Π, ,
és un monomorfisme de grups (homomorfisme 6 injectiu).
La imatge d’aquest homomorfisme és el
grup de les translacions de .
Prova
Si i , llavors
i
,
, i
.
Per tant, i l’aplicació és un homomorfisme. Com que
equival a 0, aquest homomorfisme és injectiu.

10
Complements
A. Definició alternativa d’espai afí
Un espai afí es pot també definir partint de les propietats bàsiques de
l’operació introduïda a la pàgina 3. Aquesta aplicació satisfà les
propietats següents:
• per a qualssevol i , .
• Per a tot , l’aplicació tal que és bijectiva.
Doncs bé, si en la definició d’espai afí canviem l’aplicació per una
aplicació : tal que:
1) , , ,, i
2) per a tot , l’aplicació : , , , és bijectiva,
llavors l’estructura , , defineix un espai afí , , posant
, .
L’axioma 1) es correspon a l’axioma d’addició de i l’axioma 2) a la
propietat d’homogeneïtat.

B. un altre exemple d’espai afí
Sigui un espai vectorial de dimensió i un subespai vectorial.
Sigui , el conjunt de les aplicacions lineals 7 :
tals que per a tot de . Sigui , el conjunt de les
aplicacions lineals : tals que 0 per a tot de . Notem
que i són subconjunts de l’espai vectorial , de les aplicacions
lineals de en i que és subespai vectorial. Definim :
de manera que , . Notem que és efectivament de
. Llavors ,, és un espai afí.
La dimensió d’aquest espai afí és , on posem per denotar la
dimensió de . En efecte, hi ha un isomorfisme natural /, i
/, té dimensió .
L’isomorfisme /, ve donat per , on
: / és la projecció natural (recordem que una aplicació lineal
: té la forma , amb /,, si i només si
ker , és a dir, si i només si ).
11

Remarca. Donada una aplicació lineal : tal que 1 per a
tot , posem ker. Llavors tenim
0 i dim .
És clar, a més, que , on : és la projecció de en
corresponent a la descomposició .
Posant
, | 0,dim ,
resulta que tenim una bijecció
, , , ker
(en l’altre direcció, ). Per tant, , té estructura d’espai afí
de dimensió .
Els dibuixos de la pàgina següent ho il·lustren per diversos casos.
12

13
2,1
3,1
3,2

14
Notes
1. denota el cos dels nombres racionals, el cos dels nombres reals i
el cos dels nombres complexos.
El cos dels residus de nombres enters mòdul un nombre primer p, , és
un cos de p elements, que usualment denotem 0, 1,..., 1, però en el
benentès que la suma i el producte es fan mòdul p. Per exemple,
0,1, amb 110; 0,1,2, amb 120, 221 i
221.
Un nombre enter positiu és el cardinal d’un cos si i només si té la forma
, on és un nombre primer i un nombre enter positiu. A més,
aquest cos és únic llevat isomorfisme, i es denota
(es diu que és, en
honor al seu descobridor, el cos de Galois de elements, i per això
també es denota , de les inicials angleses de Galois Field).
2. Recordem que un espai vectorial sobre K, o un K‐espai vectorial, és un
conjunt E dotat d’una suma definida per a qualssevol , i

15
un producte definit per a tot i tot , amb les propietats
següents:
• E és un grup abelià respecte de la suma, és a dir, es compleixen les
propietats
- associativa:
- commutativa:
- element neutre: Existeix 0 tal que 0 (aquest element 0
és únic)
- existència d’oposat: per a tot , existeix – amb
0 (no és difícil provar que, per a cada , l’element – és únic).
• distributiva: i .
(és fàcil veure que 1 per a tot ).
• identitat: 1 .

16
3. Si , diem que és un subespai vectorial si 0, quan
, i quan i .
Per exemple, si ,…, , llavors el conjunt
,…, | ,…, ,
és a dir, el conjunt de totes les combinacions lineals de ,…, , és un
subespai vectorial de .
4. Siguin , , . Llavors, en aquest cas, , i
, de manera que
. Això prova que compleix la llei de l’addició.
Fixem ara (). Per un variable
( variable), , de manera que : és
l’aplicació
,
que és bijectiva (l’aplicació inversa és ).

17
5. Un conjunt dotat d’una operació interna , ,
és diu que és un grup si l’operació és
‐ associativa: , qualssevol que siguin , , .
‐ té element neutre : per a tot .
‐ tot element té un simètric : .
L’element neutre és únic. Cada element té un únic simètric, el qual
usualment es denota .
Un subconjunt de és un subgrup si , quan , i
quan .
6. Si , i , són dos grups, es diu que una aplicació : és un
homomorfismes si i només si per a qualssevol
, . El nucli de és ker | , on és el neutre
de . És immediat comprovar que ker és un subgrup de .
7. Si i són ‐espais vectorials i : una aplicació, diem que
és lineal si i qualssevol que
siguin , i . Adonem‐nos que la primera condició és que sigui

18
un homomorfisme de grups additius. El nucli de , ker
| 0, és un subespai vectorial de i la imatge de ,
im | , és un subespai de ’.
El conjunt , de les aplicacions lineals de en té estructura
d’espai vectorial amb les operacions i definides per les regles
i per a tot
(, , , ).
Si ,…, és una base de i
,…, són vectors arbitraris de ,
existeix una única aplicació lineal : tal que .
De fet, si existeix ha de complir
,
i aquesta relació ens dóna la unicitat i l’existència ja que, en variar
,…, , la combinació lineal ens dóna tots
els vectors de i, per un donat, els coeficients ,…, són únics.
Proposició. dim , dimdim .