Relación entre variables cuantitativas

HOSPITAL NACIONAL DOCENTE MADRE NIÑO
“SAN BARTOLOME”
OFICINA DE APOYO A LA DOCENCIA E INVESTIGACION
LIC. RONALD TORRES MARTINEZ

RELACION ENTRE VARIABLES CUANTITATIVAS
DETERMINACION DE LA ECUACION DE
REGRESION SIMPLE
Ecuación de regresión:
ˆ
0
b = -
ˆ b
1
n
Y
1 X
x
y
b
-
x
Yˆ
i i i
=
2
2
n yi
- ( xi
)
= ˆ b + ˆ b X
y
i
Para un análisis general se considera una variable aleatoria u i ,
tal como:
u i representa todas las variables intervinientes en el análisis de
regresión.
0
Y
1
=
1
n
Y ˆ bˆ
+ bˆ
X +
= 0 1 1
y
i
u i
X
=
x
n
i

RELACION ENTRE VARIABLES CUANTITATIVAS
DETERMINACION DE LA ECUACION DE
REGRESION SIMPLE
Aplicación:
Se realiza un estudio de fotoperiodo X (horas de Y (tiempo de
En aves acuáticas.
Luz por día) reproducción)
12,8
Se pretende establecer una ecuación
110
13,9
mediante la cual pueda predecirse el
54
14,1
tiempo de reproducción (Y) en base
98
14,7
al conocimiento del fotoperiodo (X)
50
15,0
(numero total de horas de luz por día)
67
15,1
bajo el que se inicio la reproducción.
58
16,0 52
Se obtuvieron los siguientes datos 16,5 50
Observando el comportamiento de 16,6 43
11 Aythya (patos buceadores).
17,2 15
17,9 28

RELACION ENTRE VARIABLES CUANTITATIVAS
DETERMINACION DE LA ECUACION DE
REGRESION SIMPLE
Aplicación:
X
12,8
13,9
14,1
14,7
15,0
15,1
16,0
16,5
16,6
17,2
17,9
Y
110
54
98
50
67
58
52
50
43
15
28
X 2
163,84
193,21
198,81
216,09
225,00
228,01
256,00
272,25
275,56
295,84
320,41
Y 2
12100
2916
9604
2500
4489
3364
2704
2500
1849
225
784
XY
1408,00
750,60
1381,80
735,00
1005,00
875,80
832,00
825,00
713,80
258,00
501,20
∑ 169,8 625,00 2645,02 43035 9286,20
ˆb 1
ˆb 0
ˆ b
1
=
ˆ
0
n
x
y
-
-
x
i i i
=
2
2
n yi
( xi
)
y
(11)(9286,20)- (169,8) (625)
ˆ1
b = -15,11
b = -
=
(11)(2645,02) (169,8) 2
Y b1X
(625)
(11) -
(-15,11)(169,8)
(11)
ˆ0
b = 290,06
-
i

RELACION ENTRE VARIABLES CUANTITATIVAS
DETERMINACION DE LA MEDIDA O FUERZA DE CORRELACION
Coeficiente de correlación R de PEARSON:
R
=
n
XY
-
( n x
2
- ( x)
2
)( n y
2
- ( y)
2
)
X
Y
R =
11(9286,2) - (169,8)(625)
(11(2645,02) - (169,8)
R = -0,85271275
2
)(11(43035)
- (625)
2
120
100
80
60
40
20
0
0 5 10 15 20

RELACION ENTRE VARIABLES CUANTITATIVAS
Regresión Lineal
El coeficiente de determinación R 2 , mide el mejor ajuste Lineal.
R 2 = 0.0559 R 2 = 0.6328 R 2 = 0.9189
R 2 fi 1.00
Mayor Ajuste Lineal
R 2 = 0.9998 R 2 = 1.00
R 2 fi 0.00
Menor Ajuste Lineal

RELACION ENTRE VARIABLES CUANTITATIVAS
CORRELACION
La correlación se refiere a la medición de la intensidad de la relación
entre las variables o grado de correlación lineal. Se mide mediante el
coeficiente de correlación de Pearson. R 2
Sabemos que: 0 £ R 2 £ 1 -1 £ R £ +1
Si R>0 Correlación directa positiva
Si R

RELACION ENTRE VARIABLES CUANTITATIVAS
DIAGRAMAS DE DISPERSION Y CORRELACION
El coeficiente de Correlación se ve afectado por los casos extremos
que pueden haber.
R 2 = 0.6911 R 2 = 0.9747
POSIBLES ANOMALIAS DE LA RELACION CON GRUPOS
B
C
B
R = 0.9556 A
R = 0.5422
A
R A fi 0.0
R A fi 1.0
R B fi 0.0
C R B fi 1.0
R C fi 0.0
R C fi 1.0

RELACION ENTRE VARIABLES CUANTITATIVAS
CORRELACION PARCIAL
Sean las variables Y, X 1 , y X 2 , si tratamos de eliminar de Y y de X 1
toda influencia lineal de X 2 . Tendremos como resultado el
Coeficiente de correlación parcial
También, se dice que es el coeficiente de correlación parcial entre
Y y X1, manteniendo constante X 2 .
AJUSTE DE UNA RELACION BIVARIADA
Se emplea cuando se quiere estudiar el tipo de relación que hay entre dos
variables. El tipo puede ser lineal, cuadrático, cúbico, exponencial y otros.
Se elige, el modelo que presente mayor R 2 .
REGRESION MULTIPLE LINEAL
Es una técnica estadística que estudia la relación lineal entre una variable
(criterio) y una o mas variables (predictoras).
Nivel de medida: Intervalo o razón
También Ordinal y Dicotómicas.

RELACION ENTRE VARIABLES CUANTITATIVAS
FUERZA GLOBAL DE LA ASOCIACION
Es la asociación lineal entre las variables predictoras (más de una)
y la criterio (R 2 ).
Ejm:
Si R2=0,943, indica que el 94,3% de la varianza de la variable criterio,
está predicha por las variables predictoras.
R2=1, indica que el 100% de la variabilidad de la variable criterio es
explicada por las variables predictoras (Relación Lineal Perfecta).
COEFICIENTES DE REGRESION LINEAL
ˆ 0 1 1 2 2
Y
= b + b X + b X + ... +
b
n X n
β i son los parámetros a estimar
El Coeficiente o parámetro se interpreta como:
Por cada unidad que aumenta la variable Predictora (ind.), la variable,
la variable criterio (dep.) en β i unidades

RELACION ENTRE VARIABLES CUANTITATIVAS
Hipótesis:
H o : β i =0
H 1 : β i „ 0
COEFICIENTES DE REGRESION LINEAL
Si a i =0, no hay relación lineal entre la variable X i e Y
Si a i „0, hay relación lineal entre la variable X i e Y
En general, las X i tienen distintas unidades por lo que se consideran las a i
estandarizados pudiendose compara los ai como k veces a j .
COEFICIENTES DE CORRELACION PARCIAL Y SEMIPARCIAL
El coeficiente de correlación de Pearson indica el grado de ajuste
correlacional lineal y es llamado también de orden cero.
El Coeficiente de Correlación semiparcial al cuadrado se interpreta como
el incremento absoluto de R 2 debido a esa variable predictora.
Es decir, debido a la adición de esa variable en la ecuación de la regresión
que contiene al resto de las variables predictoras.

RELACION ENTRE VARIABLES CUANTITATIVAS
COEFICIENTES DE CORRELACION PARCIAL Y SEMIPARCIAL
Si r sp =0,556, entonces r sp 2 =0,309, es decir es el incremento de R 2
debido a la variable predictora.
La Suma de todos los coeficientes semiparciales elevados al cuadrado
se le llama varianza única y a la cantidad 1-R 2 , varianza compartida.
El coeficiente de correlación parcial al cuadrado relativo de R 2 , debido
a esa variable predictora. Es decir, el incremento proporcional de R 2
debido a la adición de esa variable expresado como la proporción de
la variación no explicada por el resto de las variables
Si r p =0,791, entonces r p 2 =0,6249 o 62,49% explica el 62,49% de lo
que no explican (de la variación de la variable criterio) el resto de
las variables predictoras.
El coeficiente de correlación semiparcial nunca es mayor que el
coeficiente de correlación parcial

RELACION ENTRE VARIABLES CUANTITATIVAS
TOLERANCIA
Es la proporción de varianza de cada variable predictora no explicada
por el resto de las variables predictoras. Es una medida de la
redundancia de una variable, cuanto menor es el valor mas redundante
(superflua) es la variable.
FIV (FACTORES DE LA INFLACIÓN DE LA VARIANZA)
No conviene usar variables cuya tolerancia sea cercana a cero,
alternativamente no conviene usar variables cuya FIV sea muy alta.
ECUACION PARA PREDECIR
La ecuación para predecir valores de la variable criterio Y, se puede
hacer tanto en base a los coeficientes no típicos (b) como base a los
coeficientes (b), en el primer caso se predicen puntuaciones directas
y en el segundo se predicen puntuaciones típicas.
Requisitos:
-Normalidad de la distribución de los errores
- La homocedasticidad (igualdad de la varianza a lo largo de la
distribución).

Aplicación
RELACION ENTRE VARIABLES CUANTITATIVAS
ANALISIS DE REGRESION LINEAL
Como parte de un estudio para investigar la relación que existe entre
el estrés y varias otras variables, se recopilaron los siguientes datos
de una muestra aleatoria simple de quince trabajadores de un centro
de salud.
Variables:
Medida del estrés
Medida de la importancia del servicio
Tiempo de permanencia laborando en el Servicio
Salario x 100
Edad

Medida del estres
Medida de la Importancia
del Servicio
Tiempo de permanencia
laborando en el Servicio
Pearson Correlation
Sig. (2-tailed)
N
Pearson Correlation
Sig. (2-tailed)
N
Pearson Correlation
Sig. (2-tailed)
N
Correla tions
Tiempo de
Medida de la permanencia
Medida del Importancia laborando en
es tres del Servicio el Servicio Salariox100 Edad
1 .622* .355 .615* .479
. .013 .194 .015 .071
15 15 15 15 15
.622* 1 .501 .088 -.092
.013 . .057 .754 .745
15 15 15 15 15
.355 .501 1 .384 -.068
.194 .057 . .157 .810
15 15 15 15 15
Salariox100
Pearson Correlation .615* .088 .384 1 .288
Sig. (2-tailed)
.015 .754 .157 . .298
N
15 15 15 15 15
Edad
Pearson Correlation .479 -.092 -.068 .288 1
Sig. (2-tailed)
.071 .745 .810 .298 .
N
15 15 15 15 15
*. Correlation is significant at the 0.05 level (2-tailed).

Model
1
a.
Model Summary b
Adjusted Std. Error of
R R Square R Square the Estimate
.932 a .869 .816 21.93380
Predictors: (Constant), Edad, Tiempo de permanencia
laborando en el Servicio, Salariox100, Medida de la
Importancia del Servicio
b. Dependent Variable: Medida del estres
Model
1
a.
Regression
Residual
Total
ANOVA b
Sum of
Squares df Mean Square F Sig.
31837.483 4 7959.371 16.544 .000 a
4810.917 10 481.092
36648.400 14
Predictors: (Constant), Edad, Tiempo de permanencia laborando en el Servicio,
Salariox100, Medida de la Importancia del Servicio
b. Dependent Variable: Medida del estres

Model
1
(Constant)
Medida de la
Importancia
del Servicio
Tiempo de
permanencia
laborando en
el Servicio
Salariox100
Edad
Unstandardized
Coefficients
a. Dependent Variable: Medida del estres
Coefficients a
Standardized
Coefficients
95% Confidence
Interval for B
Std.
Lower Upper
B Error Beta t Sig. Bound Bound
-141.4 31.281 -4.521 .001 -211.11 -71.710
.189 .036 .692 5.181 .000 .108 .270
-1.949 1.801 -.158 -1.083 .304 -5.962 2.063
1.536 .406 .503 3.783 .004 .631 2.440
1.982 .625 .388 3.173 .010 .590 3.374

Coefficients a
Model
1
(Constant)
Medida de la
Importancia
del Servicio
Tiempo de
permanencia
laborando en
el Servicio
Salariox100
Edad
Unstandardized
Coefficients
a. Dependent Variable: Medida del estres
Standardized
Coefficients
Std.
B Error Beta t Sig.
-141.410 31.281 -4.521 .001
Correlations
Zeroorder
Partial Part
.189 .036 .692 5.181 .000 .622 .854 .594
-1.949 1.801 -.158 -1.083 .304 .355 -.324 -.124
1.536 .406 .503 3.783 .004 .615 .767 .433
1.982 .625 .388 3.173 .010 .479 .708 .363

Coefficient Correlations a
Model
1
Correlations
Covariances
Edad
Tiempo de permanencia
laborando en el Servicio
Salariox100
Medida de la Importancia
del Servicio
Edad
Tiempo de permanencia
laborando en el Servicio
Salariox100
Medida de la Importancia
del Servicio
a. Dependent Variable: Medida del estres
Tiempo de
permanencia
Medida de la
laborando en
Importancia
Edad el Servicio Salariox100 del Servicio
1.000 .163 -.336 .024
.163 1.000 -.421 -.497
-.336 -.421 1.000 .115
.024 -.497 .115 1.000
.390 .183 -.085 .001
.183 3.243 -.308 -.033
-.085 -.308 .165 .002
.001 -.033 .002 .001

(Constant)
Medida de la
Importancia
del Servicio
Tiempo de
permanenci
a laborando
en el
Servicio
Salariox100
Edad
Unstandardized
Coefficients
Coe fficie nts a
Standardized
Coefficients
Std.
B Error Beta Sig.
-141.41 31.281 .001
Correlations
Zeroorder
Partial Part
Toler
ance
.189 .036 .692 .000 .622 .854 .594 .736 1.359
-1.949 1.801 -.158 .304 .355 -.324 -.12 .616 1.624
1.536 .406 .503 .004 .615 .767 .433 .744 1.345
1.982 .625 .388 .010 .479 .708 .363 .879 1.137
a. Dependent Variable: Medida del estres
Collinearity
Statistics
Si tolerancia tiende a cero, la variable es mas redundante (superflua)
Si la FIV es alta denota una variable redundante:
Tiempo de permanencia Laborando en el servicio, aunque se debe
considerar que la tolerancia es alta, ya que es superior a 0.50
V IF

Quitamos variable tiempo de permanencia en el servicio
Model Summary b
Model
1
a.
Adjusted Std. Error of
R R Square R Square the Estimate
.924 a .853 .813 22.10445
Predictors: (Constant), Edad, Medida de la Importancia
del Servicio, Salariox100
b. Dependent Variable: Medida del estres
Modelo 1 R 2 = 0,869
Modelo 2 R 2 = 0,85.3
No hubo mejoras, pero R2 bajo
De 0,869 a 0,853

Quitamos variable tiempo de permanencia en el servicio
Model
1
Regression
Residual
Total
ANOVA b
Sum of
Squares df Mean Square F Sig.
31273.725 3 10424.575 21.335 .000 a
5374.675 11 488.607
36648.400 14
a. Predictors: (Constant), Edad, Medida de la Importancia del Servicio, Salariox100
b. Dependent Variable: Medida del estres
Aunque sigue siendo significativo

Quitamos variable edad y dejamos
tiempo de permanencia en el servicio
Model Summary b
Model
1
a.
Adjusted Std. Error of
R R Square R Square the Estimate
.858 a .737 .665 29.62360
Predictors: (Constant), Tiempo de permanencia
laborando en el Servicio, Salariox100, Medida de la
Importancia del Servicio
b. Dependent Variable: Medida del estres
Modelo 1 R 2 = 0,869
Modelo 2 R 2 = 0,853
Modelo 3 R 2 = 0,737
No hubo mejoras
R 2 bajo mucho más
Por tanto Edad contribuye mucho mas
al modelo

Quitamos variable edad y tiempo de permanencia en el servicio
Model Summary b
Model
1
a.
Adjusted Std. Error of
R R Square R Square the Estimate
.838 a .702 .652 30.16344
Predictors: (Constant), Salariox100, Medida de la
Importancia del Servicio
b. Dependent Variable: Medida del estres
Modelo 1 R 2 = 0,869
Modelo 2 R 2 = 0,853
Modelo 3 R 2 = 0,737
Modelo 4 R 2 = 0,702
Al quitar ambas variables R2 baja
de 0,869 a 0,702.
Por tanto ambas variables
Contribuyen al modelo

TEMA
• INFERENCIA DE UNA
MUESTRA
¿