Propiedades efectivas en materiales compuestos fibrosos en ...

Propiedades efectivas en materiales 

compuestos fibrosos en presencia de 

contacto imperfecto variable 

José Antonio Otero Hernández 1 , 

Reinaldo Rodríguez Ramos 2 , 

Guillermo Monsivais Galindo 3 . 

1 Instituto de Cibernética, Matemática y Física (ICIMAF), Cuba. 

2 Facultad de Matemática y Computación, Universidad de la Habana, Cuba. 

3 Instituto de Física, Universidad Nacional Autónoma de México, México. 

II Encuentro Cuba-México de Métodos Numéricos y Optimización. 

21 al 23 de enero de 2013, ICIMAF, La Habana, Cuba

Motivación y Objetivo Materiales Compuestos Resultados Publicaciones Conclusiones 

Tópicos 

1 Motivación y Objetivo 

Contacto imperfecto 

Objetivo de la presentación 

2 Materiales Compuestos 

Planteamiento del problema: Homogeneización 

Asintótica 

Planteamiento del problema: Problema antiplano 13 

Propuesta de solución: Método de Elemento Finito 

3 Resultados 

4 Publicaciones 

5 Conclusiones


Tópicos 






Asintótica 



3 Resultados 


5 Conclusiones



Contacto Imperfecto elástico 

Materiales compuestos 

Durante el proceso de fabricación de los materiales 

compuestos pueden ocurrir uniones imperfectas o la presencia 

de una tercera fase entre los materiales originando cambios en 

las propiedades del compuestos.



Contacto Imperfecto elástico 

Modelos teóricos 

Se necesitan modelos teóricos para estudiar las propiedades 

de los compuestos con imperfección constante y variable en 

las interfases



Objetivos 

Objetivo 1 

Presentar un modelo semi-analítico para obtener las 

propiedades efectivas en compuestos elásticos formados por 

fibras en presencia de contacto imperfecto. 

Objetivo 2 

Considerar un modelo de ”resorte” para estudiar la 

imperfección en las intercaras, el cual está caracterizado por 

tres parámetros de imperfección variables. 

Objetivo 3 

Presentar resultados numéricos considerando los parámetros 

de imperfección variable en las interfases.



Objetivos 

Objetivo 1 




Objetivo 2 




Objetivo 3 





Objetivos 

Objetivo 1 




Objetivo 2 




Objetivo 3 




Tópicos 






Asintótica 



3 Resultados 


5 Conclusiones


Planteamiento del problema: Homogeneización Asintótica 

Compuesto fibroso


Planteamiento del problema: Homogeneización Asintótica 

Homogeneización asintótica



Problema antiplano 13 

Energía potencial total 

Π = 1 ∫ ∫ 

σ T ε dV − 

2 

∫ 

u T f dV − 

u T T dS − ∑ i 

u T i P i 

V 

V 

S




Forma matricial del problema antiplano 13 

σ = D ε 

donde 

σ = [ ] T 

τ 13(13) τ 23(13) , 

ε = [ ε 13(13) 

] [ ] T T 

ε 23(13) = ∂ u3 ∂ u 3 

∂y 1 ∂y 2 

, u = u3 , 

[ ] 

C55 0 

D = 

. 

0 C 55




Condiciones contorno del problema antiplano 13 

u 3 = 0, para y 1 = 0 

u 3 = 1 2 , para y 1 = 1 2 

τ 23(13) 

= 0, para y 2 = 0 

τ 23(13) 

= 0, para y 2 = 1 2




Condiciones contacto del problema antiplano 13 

T (1) 

1313 

R 

3(13) | Γ = κ tc (2) 

T (2) 

1313 

R 

3(13) | Γ = κ tc (2) 

T (1) 

3(13) | Γ = T (2) 

3(13) | Γ 

( ) 

u (1) 

3 

− u (2) 

3 

( ) 

u (2) 

3 

− u (1) 

3




Condiciones contacto del problema antiplano 13 

∫ 

C55 ∗ ∂ u 3 

= 4 C 55 dA 

∂ y 1 

A




Mallado de 1/4 de la celda




Aproximación del Desplazamiento 

u 3 = N q, 

donde 

q = [q 31 q 32 . . . q 3,n−1 q 3,n ] T 

N = [N 1 N 2 . . . N n−1 N n ]




Funciones de interpolación 

a) Elemento cuadrilátero de cuatro nodos (n = 4) 

N 1 = ξ 1 η 1 , N 2 = ξ 2 η 1 , N 3 = ξ 2 η 2 , N 4 = ξ 1 η 2 , 

donde 

ξ 1 = 1 2 (1 − ξ) , η 1 = 1 2 

(1 − η) , 

ξ 2 = 1 2 (1 + ξ) , η 2 = 1 2 

(1 + η) .





b) Elemento cuadrilátero de ocho nodos (n = 8) 

donde 

N 1 = ξ 1 η 1 c 1 , N 2 = ξ 3 η 1 , N 3 = ξ 2 η 1 c 2 , N 4 = ξ 2 η 3 , 

N 5 = ξ 2 η 2 c 3 , N 6 = ξ 3 η 3 , N 7 = ξ 1 η 2 c 4 , N 8 = ξ 1 η 3 , 

ξ 1 = 1 2 (1 − ξ) , 

η 2 = 1 2 (1 + η) , η 1 = 1 2 (1 − η) , 

3 = ( 1 − ξ 2) , ξ 2 = 1 2 

(1 + ξ) , 

η 3 = ( 1 − η 2) , 

c 1 = −1 − ξ − η, c 2 = −1 + ξ − η, c 3 = −1 + ξ + η, 

c 4 = −1 − ξ + η.





c) Elemento cuadrilátero de nueve nodos (n = 9) 

N 1 = ξ 1 η 1 , N 2 = ξ 3 η 1 , N 3 = ξ 2 η 1 , 

N 4 = ξ 2 η 3 , N 5 = ξ 2 η 2 , N 6 = ξ 3 η 2 , 

N 7 = ξ 1 η 2 , N 8 = ξ 1 η 3 , N 9 = ξ 3 η 3 , 

donde 

ξ 1 = − 1 2 ξ (1 − ξ) , η 1 = − 1 2η (1 − η) , 

ξ 2 = 1 2 ξ (1 + ξ) , η 2 = 1 2η (1 + η) , 

ξ 3 = ( 1 − ξ 2) , η 3 = ( 1 − η 2) .





d) Elemento cuadrilátero de dieciséis nodos (n = 16) 

N 1 = ξ 1 η 1 , N 2 = ξ 3 η 1 , N 3 = ξ 4 η 1 , N 4 = ξ 2 η 1 , 

N 5 = ξ 2 η 3 , N 6 = ξ 2 η 4 , N 7 = ξ 2 η 2 , N 8 = ξ 4 η 2 , 

N 9 = ξ 3 η 2 , N 10 = ξ 1 η 2 , N 11 = ξ 1 η 4 , N 12 = ξ 1 η 3 , 

N 13 = ξ 3 η 3 , N 14 = ξ 4 η 3 , N 15 = ξ 4 η 4 , N 16 = ξ 3 η 4 , 

donde 

ξ 1 = − 9 ( 1 

16 9 − ξ2) (1 − ξ) , η 1 = − 9 ( 1 

16 9 − η2) (1 − η) , 

ξ 2 = − 9 ( 1 

16 9 − ξ2) (1 + ξ) , η 2 = − 9 ( 1 

16 9 − η2) (1 + η) , 

ξ 3 = 27 ( 1 

16 3 − ξ) ( 1 − ξ 2) , η 3 = 27 ( 1 

16 3 − η) ( 1 − η 2) , 

ξ 4 = 27 ( 1 

16 3 + ξ) ( 1 − ξ 2) , η 4 = 27 ( 1 

16 3 + η) ( 1 − η 2) .




Relación deformación-desplazamiento 

[ ] ∂ u3 

∂y 

ε = 1 

∂ u 3 

= 1 [ ] [ ∂ u J22 −J 3 

12 ∂ξ 

det(J) −J 

∂y 21 J 

∂ u 3 

11 2 ∂η 

donde 

[ 

1 

B = 

det(J) 

J 22 −J 12 

−J 12 J 11 

] ⎡ ⎣ 

ε = B q, 

∂N 1 

∂ξ 

∂N 1 

∂η 

∂N 2 

∂ξ 

∂N 2 

∂η 

· · · 

· · · 

∂N n−1 

∂ξ 

∂N n−1 

∂η 

∂Nn 

∂ξ 

∂Nn 

∂η 

] 

, 

⎤ 

⎦ . 

Relación esfuerzo-deformación 

σ = D B q




Matriz de rigidez del elemento 

Energía de deformación elástica 

∫ 

Π e S = t 1 

e 

2 σT ε dA = 1 2 qT K e S q 

donde 

e 

∫1 

K e s = t e 

∫ 1 

−1 −1 

B T D B det J dξ dη 

Matriz de rigidez global 

Π S = ∑ e 

Π e S = ∑ e 

1 

2 qT K e S q = 1 2 QT K S Q




Matriz de imperfección 

∫ 

Π T = 

u T T dS. 

S 

Π (Υ) 

T 

= t e 

∫ 

l (Υ) 

1···m 

u (Υ) 

3 

T (Υ) 

3 

dl





donde 

u (Υ) 

3 

= N 3 q (Υ) = 3 q (Υ)T N T , 

T (Υ) 

3 

= N 3 T (Υ) , 

N = [ N 1 N 2 · · · N m−1 

] 

N m , 

[ 

3 q (Υ) = q (Υ) 

31 

q (Υ) 

32 

· · · q (Υ) 

3,m−1 

[ 

3 T (Υ) = 

T (Υ) 

31 

T (Υ) 

32 

· · · T (Υ) 

3,m−1 

q (Υ) 

3,m 

T (Υ) 

3,m 

] T 

, 

] T 

,





i) funciones de interpolación lineal (m=2) 

N 1 = 1 2 

(1 − ξ), N 

2 = 1 2 

(1 + ξ), 

ii) funciones de interpolación cuadrática (m=3) 

N 1 = − 1 2 ξ (1 − ξ), N 2 = (1 − ξ)(1 + ξ), N 3 = 1 2 

ξ(1 + ξ). 

iii) funciones de interpolación cúbica (m=4) 

N 1 = − 9 ( 1 

16 9 − ξ2) (1 − ξ) , N 2 = 27 ( 1 

16 3 − ξ) ( 1 − ξ 2) , 

N 3 = 27 ( 1 

16 3 + ξ) ( 1 − ξ 2) , N 4 = − 9 ( 1 

16 9 − ξ2) (1 + ξ) .





[ 

3 T (Υ) = 

donde 

K (Υ) 

1 

K (Υ) 

2 

] [ 3 q (2) 

3 q (1) ] 

, 

K (Υ) 

1 

K (Υ) 

2 

⎡ 

= 

⎢ 

⎣ 

⎡ 

= 

⎢ 

⎣ 

−κ t (Υ − 1) 0 · · · 0 κ t (2 − Υ) 

0 −κ t (Υ − 1) · · · κ t (2 − Υ) 0 

. 

. 

. . . 

. .. 

. .. 

0 κ t (2 − Υ) · · · −κ t (Υ − 1) 0 

κ t (2 − Υ) 0 · · · 0 −κ t (Υ − 1) 

−κ t (2 − Υ) 0 · · · 0 κ t (Υ − 1) 

0 −κ t (2 − Υ) · · · κ t (Υ − 1) 0 

. 

. 

. . . 

. .. 

. .. 

0 κ t (Υ − 1) · · · −κ t (2 − Υ) 0 

κ t (Υ − 1) 0 · · · 0 −κ t (2 − Υ) 

⎤ 

, 

⎥ 

⎦ 

⎤ 

, 

⎥ 

⎦ 

κ t = κ t C (2) 

55 /R





l (2) 

1···m 

( 

Π (1) 

T 

) 

+ Π(2) T 

= 1 2 ¯qT K l T ¯q 

Π l T = 1 2 

donde 

q = [ 3 q (2) 3 q ] (1) T 

[ 

K l T = t Am×m 

e 

C m×m 

] 

B m×m 

, 

D m×m 

A m×m = ∫ 

N T NK (2) 

1 

dl, B m×m = ∫ 

C m×m = ∫ 

l (1) 

1···m 

l (2) 

1···m 

N T NK (1) 

1 

dl, D m×m = ∫ 

l (1) 

1···m 

N T NK (2) 

2 

dl, 

N T NK (1) 

2 

dl.




Matriz de imperfección global 

Π T = ∑ l 

Π l T = 1 2 ¯Q T K T ¯Q




Coeficiente efectivo asociado a un elemento 

donde 

1 

B = 

det(J) 

∫ 1 

e C55 ∗ = 4 

∫ 1 

−1 −1 

⎡ 

[ J22 −J 12 

] 

⎣ 

D B q det (J) dξ dη, 

D = e C 55 

∂N 1 

∂ξ 

∂N 1 

∂η 

∂N 2 

∂ξ 

∂N 2 

∂η 

· · · 

· · · 

∂N n−1 

∂ξ 

∂N n−1 

∂η 

∂Nn 

∂ξ 

∂Nn 

∂η 

⎤ 

⎦ 

Coeficiente efectivo 

C ∗ 55 = ∑ e 

e C ∗ 55


Tópicos 






Asintótica 



3 Resultados 


5 Conclusiones


Validación del módelo: Fibras vacias 

Table: Coeficientes efectivos C ∗ ij (GPa) para κ t = κ n = 0 

γ 1 C11 ∗ -Semi-Analítico C∗ 11 -Analítico C∗ 12 -Semi-Analítico C∗ 12 -Analítico 

0.05 80.525367267475 80.525340039910 33.149806825864 33.149802552080 

0.20 53.390014041054 53.390011091840 18.365994181923 18.365993438240 

0.35 36.536035848067 36.536034852230 9.781059283943 9.781059178809 

0.55 20.498584257763 20.498583869870 3.378678373826 3.378679162697 

0.75 5.849941587920 5.849968639273 0.289122177387 0.289123725301 


0.05 34.102552228002 34.102542777600 86.961531878495 86.961525666560 

0.20 21.526802466893 21.526801359020 68.916081923221 68.916080815410 

0.35 13.895128539603 13.895128209310 53.837077459125 53.837076925590 

0.55 7.163178789477 7.163178909770 35.797907446184 35.797907345860 

0.75 1.841719129592 1.841727709372 18.605034667715 18.605036625620 


0.05 24.358970441296 24.358969691260 23.209442250086 23.209425304530 

0.20 17.945057074195 17.945056708350 13.422077906961 13.422075628730 

0.35 12.915297272467 12.915297045270 6.616326760747 6.616325536051 

0.55 7.459089293901 7.459089118081 1.808770619416 1.808766466272 

0.75 2.111431016424 2.111428077125 0.078900908542 0.078817876229


Validación del módelo: Cantacto perfecto 

Table: Coeficientes efectivos normalizados C ij para κ t = κ n = ∞ 

γ 1 C 11 -Semi-Analítico C 11 -Analítico C 12 -Semi-Analítico C 12 -Analítico 

0.05 1.055613195746 1.055613441112 1.040485293402 1.040483818823 

0.20 1.260696273098 1.260704666692 1.156459827399 1.156485577346 

0.35 1.543615667429 1.543584712192 1.259934265506 1.259936217747 

0.55 2.114481246274 2.114487722074 1.395770805810 1.395764597872 

0.75 3.126404413003 3.126400805895 1.785169589159 1.785150605411 


0.05 1.022294039366 1.022293921242 1.200995351432 1.200995459529 

0.20 1.100143613682 1.100149550268 1.805212872676 1.805213569382 

0.35 1.200139066138 1.200129863461 2.411916019504 2.411915003437 

0.55 1.392353788874 1.392354954620 3.227463196494 3.227463338156 

0.75 1.752536715912 1.752533127859 4.061863498663 4.061863103712 


0.05 1.078377140607 1.078395713051 1.062477573412 1.062476469054 

0.20 1.355509551192 1.355488493290 1.261921629590 1.261942999424 

0.35 1.720073829280 1.720078399086 1.504115686223 1.504107158517 

0.55 2.458415214418 2.458433864300 2.005299536116 2.005303251731 

0.75 4.044105820407 4.044095981454 3.335487513251 3.335494113348


Validación del módelo: Problema antiplano 13 

Table: Coeficiente efectivo normalizado C 44 

κ t 5 5 10 10 


0.05 1.050497283000 1.050497329395 1.063227927489 1.063227983128 

0.20 1.218551766000 1.218551776258 1.279448900256 1.279448911100 

0.35 1.416761447000 1.416761454190 1.546963064155 1.546963086275 

0.55 1.745183922000 1.745184682879 2.027389195300 2.027397880582 

0.75 2.184697494000 2.184743450944 2.778602364788 2.779576843989 

κ t 50 50 ∞ ∞ 


0.05 1.075134177545 1.075134240093 1.078377140607 1.078395713051 

0.20 1.338803259987 1.338803271256 1.355509551192 1.355488493290 

0.35 1.681006228453 1.681006257241 1.720073829280 1.720078399086 

0.55 2.354450215382 2.354464076114 2.458415214418 2.458433863448 

0.75 3.675314446315 3.677499910115 4.044105820407 4.043962317514


Coeficientes efectivos


Coeficientes efectivos


Coeficientes efectivos 

Table: Coeficientes efectivos C ∗ ij 

para κ t = κ n = κ variable 

( π 4 − π 2 ) κ = 112 κ = 1 12 κ = 1 12 κ = 1 12 κ = 1 12 κ = 1 12 κ = 1 12 κ = 1 12 

(0 − π ) κ = 0 κ = 1 κ = 5 κ = 10 κ = 20 κ = 50 κ = 100 κ = 500 

4 

C11 ∗ (GPa) 70.56 83.13 105.90 116.29 124.20 130.46 132.89 135.01 

C12 ∗ (GPa) 31.08 34.39 40.66 43.67 46.02 47.94 48.70 49.37 

C13 ∗ (GPa) 36.06 38.14 41.95 43.70 45.04 46.11 46.53 46.90 

C22 ∗ (GPa) 122.7 124.8 129.04 131.15 132.87 134.31 134.89 135.42 

C23 ∗ (GPa) 42.89 43.60 44.98 45.65 46.18 46.62 46.79 46.95 

C33 ∗ (GPa) 204.6 205.3 206.53 207.09 207.53 207.89 208.03 208.15 

C44 ∗ (GPa) 41.16 41.52 42.07 42.30 42.47 42.59 42.64 42.69 

C55 ∗ (GPa) 25.28 31.08 37.70 39.77 41.09 42.02 42.35 42.63 

C66 ∗ (GPa) 26.13 30.74 35.16 36.41 37.19 37.72 37.92 38.08




para κ t = κ n = κ variable 

( π 4 − π ) 

2 

κ = 0 κ = 1 κ = 5 κ = 10 κ = 20 κ = 50 κ = 100 κ = 500 

(0 − π 4 ) κ = 112 κ = 1 12 κ = 1 12 κ = 1 12 κ = 1 12 κ = 1 12 κ = 1 12 κ = 1 12 

C11 ∗ (GPa) 122.70 124.83 129.04 131.15 132.87 134.31 134.89 135.42 

C12 ∗ (GPa) 31.09 34.39 40.67 43.67 46.02 47.94 48.70 49.37 

C13 ∗ (GPa) 42.89 43.60 44.98 45.65 46.18 46.62 46.79 46.95 

C22 ∗ (GPa) 70.56 83.13 105.90 116.29 124.20 130.46 132.89 135.00 

C23 ∗ (GPa) 36.06 38.14 41.95 43.70 45.04 46.11 46.53 46.90 

C33 ∗ (GPa) 204.66 205.31 206.53 207.09 207.53 207.89 208.03 208.15 

C44 ∗ (GPa) 25.28 31.08 37.70 39.77 41.09 42.02 42.35 42.63 

C55 ∗ (GPa) 41.16 41.52 42.07 42.30 42.47 42.59 42.64 42.69 

C66 ∗ (GPa) 26.13 30.74 35.16 36.41 37.19 37.72 37.92 38.08



κ varía linealmente con respecto a θ 

κ = 2 π (κ 2 − κ 1 )θ + κ 1 

θ = sin −1 ((N 1 y 1 + N 2 y 2 + · · · + N m−1 y m−1 + N m y m )/R) 


para κ t = κ n = κ variable: κ 1 = 1 y 

κ 2 = 1000 

γ 1 0.05 0.10 0.30 0.50 0.70 0.75 

C11 ∗ (GPa) 99.22 104.71 132.92 175.14 240.94 264.38 

C12 ∗ (GPa) 41.91 43.40 48.73 53.11 60.90 65.54 

C13 ∗ (GPa) 41.23 42.15 46.54 52.64 62.28 65.96 

C22 ∗ (GPa) 99.38 105.08 134.87 181.55 260.29 289.18 

C23 ∗ (GPa) 41.26 42.20 46.80 53.48 64.81 69.20 

C33 ∗ (GPa) 113.15 132.08 208.03 284.45 361.90 381.63 

C44 ∗ (GPa) 29.02 31.30 42.63 59.95 93.02 108.20 

C55 ∗ (GPa) 28.99 31.23 42.34 58.99 89.04 101.75 

C66 ∗ (GPa) 28.57 30.27 37.92 49.19 73.01 85.42


Comparación del módelo imperfecto y modelo 

trifasico



trifasico



trifasico



trifasico


Tópicos 






Asintótica 



3 Resultados 


5 Conclusiones


Publicada


Publicada


Tópicos 






Asintótica 



3 Resultados 


5 Conclusiones


1 Se presentó un modelo semi-analítico para determinar los 

coeficientes efectivos en materiales compuestos elásticos 

formados por fibras con condiciones de contacto 

imperfecto 

2 Se concluye que las propiedades efectivas del compuesto 

fibroso dependen fuertemente del tipo de contacto en las 

interfases.

Propiedades efectivas en materiales compuestos fibrosos en ...

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