1.3.3 Aplicaciones de Conjuntos: Encuestas

Aplicación de Conjuntos: Encuestas
Conceptos Básicos de Teoría de Conjuntos
Aplicación de Conjuntos: Encuestas
Ysela Ochoa Tapia
Ysela Ochoa Tapia — Conceptos Básicos de Teoría de Conjuntos 1/19

Aplicación de Conjuntos: Encuestas
Aplicación de Conjuntos: Encuestas
Veremos ahora algunos ejercicios de aplicación a la vida real.
Ejemplo 1
En una encuesta a los estudiantes de razonamiento
matemático, acerca de sus preferencias en el uso de las redes
sociales se obtuvieron los siguientes resultados:
55 prefieren facebook
60 prefieren twitter
20 usan ambos
10 no prefieren ninguno de los dos.
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Aplicación de Conjuntos: Encuestas
Aplicación de Conjuntos: Encuestas
Usa el diagrama de Venn para responder las siguientes
preguntas.
1 ¿ Cuántos estudiantes prefieren únicamente facebook?
2 ¿ Cuántos estudiantes prefieren únicamente twitter?
3 ¿ Cuántos estudiantes usan al menos uno de los dos?
4 ¿ Cuántos estudiantes fueron encuestados?
Solución:
Paso 1
Reconocer quienes y cuántos son los conjuntos
La encuesta es acerca de las preferencias de uso de las redes
sociales, las cuales lo conforman facebook y twitter; por lo que
tenemos dos conjuntos.
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Aplicación de Conjuntos: Encuestas
Aplicación de Conjuntos: Encuestas
Sean los conjuntos:
F = el conjunto de estudiantes que prefieren facebook.
T = el conjunto de estudiantes que prefieren twitter.
Además tenemos el conjunto:
F ∩ T = en conjunto de estudiantes que prefieren ambos.
Paso 2
Identificar la cardinalidad de los conjuntos
De los datos del problema tenemos:
card(F ) = 55
card(T ) = 60
card(F ∩ T ) = 20.
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Aplicación de Conjuntos: Encuestas
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Paso 3
Ubicar los números cardinales en el diagrama de Venn.
Estrategia: Empieza siempre por las intersecciones de todos
los conjuntos. Así card(F ∩ T ) = 20
U
F
T
20
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Para el conjunto F : como dentro del círculo de F tenemos
20 elementos y el card(F ) = 55, ¿ Cuánto le falta a 20 para
llegar a 55?. Ubica la respuesta como indica la gráfica.
U
F
T
35
20
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Para el conjunto T : repite el proceso anterior, ¿ Cuánto le
falta a 20 para llegar a 60?. Ubica la respuesta como indica la
gráfica.
U
F
T
35 20 40
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Finalmente ubicamos el dato que nos falta “10 no prefieren
ninguno”
U
F
T
35 20 40
10
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Ahora estamos preparados para responder las preguntas.
1 ¿Cuántos estudiantes
prefieren únicamente
facebook? Respuesta: 35
2 ¿Cuántos estudiantes
prefieren únicamente
twitter? Respuesta: 40
3 ¿Cuántos estudiantes usan
al menos uno de los dos?
Respuesta:35+20+40 = 95
4 ¿Cuántos estudiantes
fueron encuestados?
Respuesta: 105
F
T
35 20 40
10
U
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Aplicación de Conjuntos: Encuestas
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Ejemplo 2
Recientemente los estudiantes del colegio están empleando el
uso de tecnología para complementar su aprendizaje. Se
realizó una encuesta sobre el tipo de aparato tecnológico que
prefieren, los resultados fueron los siguientes :
60 prefieren laptop, 25 prefieren tablet, 10 prefieren
smartphone, 2 prefieren los tres aparatos, 10 prefieren laptop y
tablet, 4 prefieren tablet y smartphone, 4 ninguno, 70 no
prefieren smartphone.
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Aplicación de Conjuntos: Encuestas
Aplicación de Conjuntos: Encuestas
Preguntas:
1 ¿ Cuántos estudiantes prefieren únicamente laptop?
2 ¿ Cuántos estudiantes prefieren únicamente smartphone?
3 ¿ Cuántos estudiantes prefieren laptop y smartphone?
4 ¿ Cuántos estudiantes prefieren al menos un aparato?
5 ¿ Cuántos estudiantes prefieren a lo más un aparato?
6 ¿ Cuántos estudiantes fueron encuestados?
Solución:
Paso 1
Reconocer quienes y cuántos son los conjuntos
La encuesta es acerca de las preferencias de uso de aparatos
tecnológicos, los cuales son laptop, tablet y smartphone; por lo
que tenemos tres conjuntos.
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Aplicación de Conjuntos: Encuestas
Sean los conjuntos:
L = el conjunto de estudiantes que prefieren laptop.
T = el conjunto de estudiantes que prefieren tablet.
S = el conjunto de estudiantes que prefieren smartphone.
Paso 2
Identificar la cardinalidad de los conjuntos
De los datos del problema tenemos:
card(L) = 60
card(T ) = 25
card(S) = 10
card(L ∩ T ∩ S) = 2
card(L ∩ T ) = 10
card(T ∩ S) = 4
card(L ∪ T ∪ S) = 4
card(S) = 70
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Paso 3
Ubicar los números
cardinales en el diagrama
de Venn.
Estrategia:
Intersección de tres
card(L ∩ T ∩ S) = 2
Intersecciones de dos
card(L ∩ T ) = 10.
Tenemos 2 elementos,
entonces nos hace falta
8 elementos para
completar los 10.
L
8
2
T
S
U
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L
T
U
card(T ∩ S) = 4.
Tenemos 2 elementos,
entonces nos hace falta
2 elementos para
completar los 4.
De L ∩ S no tenemos
información.
8
2
2
S
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Llamemos x al espacio que falta en la intersección L ∩ S:
L
T
U
x
8
2
2
S
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Aplicación de Conjuntos: Encuestas
Si card(T ) = 25,
entonces el espacio que
falta debe ser 13.
Si card(L) = 60, entonces
el espacio que falta es
60 − (8 + 2 + x) = 50 − x
Si card(S) = 10, entonces
el espacio que falta es
10 − (2 + 2 + x) = 6 − x
card(L ∪ T ∪ S) = 4
L
50 − x
x
8
2
T
6 − x
4 S
2
13
U
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Aplicación de Conjuntos: Encuestas
L
T
Como nos falta usar
card(S) = 70, tenemos:
70 = 4 + (50 − x) + 8 + 13
resolviendo x = 5
50 − x
x
8
2
2
13
6 − x
4 S
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Aplicación de Conjuntos: Encuestas
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Finalmente tenemos:
L
T
U
45
8
13
5
2
2
4
1
S
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1 ¿ Cuántos estudiantes prefieren únicamente laptop?
Respuesta: 45
2 ¿ Cuántos estudiantes prefieren únicamente smartphone?
Respuesta: 1
3 ¿ Cuántos estudiantes prefieren laptop y smartphone?
Respuesta: 5 + 2 = 7
4 ¿ Cuántos estudiantes prefieren al menos un aparato?
Respuesta: 45+8+13+5+2+2+1=76
5 ¿ Cuántos estudiantes prefieren a lo más un aparato?
Respuesta: 4+45+1+13=63
6 ¿ Cuántos estudiantes fueron encuestados?
Respuesta: 80
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