Trabajo práctico 1: Combinatoria - Materias.unq.edu.ar

UNQ/Dip.CyT/Probabilidades y Estadística/Primer Cuatrimestre de 2007 pág. 23
a) Podemos pensar en una sucesión de n = 4 ensayos de Bernoulli, con probabilidad de
éxito en cada ensayo igual a p, que determinaremos luego. Acá, cada ensayo consiste
en ver si la muestra tiene o no al menos una colonia. Se trata efectivamente de ensayos
de Bernoulli dado que las muestras de agua son independientes entre sí y además la
probabilidad de éxito (”hallar al menos una colonia en la muestra”) p es la misma para
las cuatro muestras de agua (porque se supone que se toman las cuatro muestras de la
misma agua). Por lo tanto, si Y cuenta cuántas de las 4 muestras presentan al menos
una colonia, entonces Y ∼ Bi(4, p) y lo que se pretende es calcular P (Y ≥ 1)
Ahora, para determinar p utilizamos la distribución de Poisson puesto que p representa
la probabilidad de hallar al menos una colonia en la muestra de agua considerada. Es
decir:
Luego:
p = P (X 1 ≥ 1) = 1 − P (X 1 = 0) = 1 − e −2 · 20
0! = 1 − e−2 ≈ 0.8647
P (Y ≥ 1) = 1 − P (Y = 0) = 1 − (1 − p) 4 = 1 − ( e −2) 4
= 1 − e −8 ≈ 0.9997
b) En este caso se pretende averiguar la cantidad n de muestras a tomar, es decir la
cantidad n de ensayos de Bernoulli necesarios. El requerimiento del enunciado se
expresa como (donde p = 1 − e −2 ):
Y ∼ Bi(n, p) ∧ P (Y ≥ 1) ≈ 0.95 ⇒ n =?
Es decir que debemos determinar n de modo que: 1 − (1 − p) n ≈ 0.95 O sea:
1 − e − 2n ≈ 0.95
Despejando la exponencial, tomando logaritmo natural y despejando n se deduce que:
n ≈ −(0.5) ln(0.05) ≈ 1.5 Entonces basta tomar n = 2 muestras de agua.
23. ME CANSÉ. Después se los hago!
Prof: J.Gastón Argeri 23