3. Ecuaciones de conservacion - Unidad de Ciencias de la Atmósfera
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Introducción a <strong>la</strong> Dinámica <strong>de</strong> <strong>la</strong> <strong>Atmósfera</strong> 2011 1<br />
<strong>3.</strong> <strong>Ecuaciones</strong> <strong>de</strong> conservación<br />
El comportamiento <strong>de</strong> <strong>la</strong> atmósfera se estudia consi<strong>de</strong>rando <strong>la</strong> evolución <strong>de</strong> su<br />
masa, su momento y su energía. Para ello es necesario <strong>de</strong>rivar ecuaciones <strong>de</strong><br />
conservación <strong>de</strong> estas cantida<strong>de</strong>s.<br />
<strong>3.</strong>1 Distribución <strong>de</strong> masa en <strong>la</strong> atmósfera<br />
La atmósfera <strong>de</strong> <strong>la</strong> Tierra tiene una masa <strong>de</strong> 5.265x10 18 kg. La presión ejercida<br />
disminuye con <strong>la</strong> altura a medida que existe menos masa por encima <strong>de</strong> un cierto nivel.<br />
Por lo tanto existe una fuerza <strong>de</strong> gradiente <strong>de</strong> presión vertical dada por<br />
que induce un movimiento <strong>de</strong>s<strong>de</strong> <strong>la</strong> alta presión a <strong>la</strong> baja presión, o sea hacia arriba.<br />
Este movimiento es contrarestado por <strong>la</strong> fuerza <strong>de</strong> <strong>la</strong> gravedad actuando sobre cada<br />
parce<strong>la</strong> <strong>de</strong> fluído<br />
Para una atmósfera en reposo estas dos fuerzas <strong>de</strong>ben ser iguales y opuestas por lo que<br />
en <strong>la</strong> dirección vertical vale<br />
Este ba<strong>la</strong>nce se <strong>de</strong>nomina ba<strong>la</strong>nce hidrostático y, si bien se cumple exactamente sólo<br />
en el caso <strong>de</strong> una atmósfera en reposo, es el ba<strong>la</strong>nce <strong>de</strong> primer ór<strong>de</strong>n en casi toda <strong>la</strong><br />
atmósfera real.<br />
Consi<strong>de</strong>remos ahora una columna <strong>de</strong> atmósfera <strong>de</strong> area unidad contenida entre<br />
los niveles <strong>de</strong> presión <strong>de</strong> 1000mb y 500mb (figura <strong>3.</strong>1). Como <strong>la</strong> presión se <strong>de</strong>fine como<br />
fuerza por unidad <strong>de</strong> área, hemos ais<strong>la</strong>do en esa columna una masa <strong>de</strong> atmósfera<br />
suficiente como para ejercer 500 hPa <strong>de</strong> presión. La masa <strong>de</strong> esa columna es <strong>la</strong> misma<br />
<strong>de</strong> otra columna que se extendiera entre los niveles <strong>de</strong> 710mb y 210mb. La masa <strong>de</strong> <strong>la</strong><br />
columna es<br />
Notas: Prof. Marcelo Barreiro
Introducción a <strong>la</strong> Dinámica <strong>de</strong> <strong>la</strong> <strong>Atmósfera</strong> 2011 2<br />
Masa= Fuerza<br />
g<br />
= Presión∗Área<br />
g<br />
= 500∗100 N /m2 ∗1 m 2<br />
=5102.04 kg<br />
9.8m 2 / s<br />
Figura <strong>3.</strong>1 – Columna <strong>de</strong> atmósfera entre los niveles <strong>de</strong> 1000 y 500 hPa.<br />
Mientras que <strong>la</strong> masa entre los niveles <strong>de</strong> 1000 y 500 hPa es <strong>la</strong> misma, el ancho <strong>de</strong> <strong>la</strong><br />
capa varía <strong>de</strong> un día a otro. Por lo tanto, el volumen y <strong>la</strong> <strong>de</strong>nsidad <strong>de</strong> <strong>la</strong> capa también<br />
varíarán día a día. Por <strong>la</strong> ley <strong>de</strong> gases i<strong>de</strong>ales, a aire menos (mas) <strong>de</strong>nso correspon<strong>de</strong><br />
una temperatura virtual promedio en <strong>la</strong> capa, T v , mayor (menor). (Recor<strong>de</strong>mos que<br />
T v =T(1+0.61w) y es <strong>la</strong> temperatura que <strong>de</strong>bería tener el aire seco para tener <strong>la</strong> misma<br />
presión y <strong>de</strong>nsidad que <strong>la</strong> muestra <strong>de</strong> aire húmedo a temperatura T.)<br />
Por lo tanto <strong>de</strong>be ser posible re<strong>la</strong>cionar <strong>la</strong> temperatura virtual con el ancho <strong>de</strong> <strong>la</strong> capa.<br />
Para ello combinamos <strong>la</strong> ley <strong>de</strong>l gas i<strong>de</strong>al (p=ρR d T v ) y <strong>la</strong> ecuación hidrostática:<br />
ó<br />
Notas: Prof. Marcelo Barreiro
Introducción a <strong>la</strong> Dinámica <strong>de</strong> <strong>la</strong> <strong>Atmósfera</strong> 2011 3<br />
Integrando esta ecuación entre los niveles p1 y p2 (p1>p2) a alturas z1 y z2 (z1
Introducción a <strong>la</strong> Dinámica <strong>de</strong> <strong>la</strong> <strong>Atmósfera</strong> 2011 4<br />
<strong>de</strong>l geopotencial (Z) son casi iguales en <strong>la</strong> tropósfera.<br />
La ecuación hipsométrica tiene múltiples aplicaciones en meteorología. Por ejemplo, es<br />
posible utilizar<strong>la</strong> para hal<strong>la</strong>r <strong>la</strong> presión a nivel <strong>de</strong>l mar que correspon<strong>de</strong> a <strong>la</strong> ubicación <strong>de</strong><br />
una estación meteorológica situada en una montaña. Asimismo, en los países don<strong>de</strong><br />
nieva se utiliza el ancho <strong>de</strong> <strong>la</strong> capa entre 500 y 1000mb como indicador <strong>de</strong> precipitación<br />
sólida.<br />
Por otro <strong>la</strong>do, <strong>la</strong> ecuación hipsométrica da información sobre <strong>la</strong> estructura vertical <strong>de</strong><br />
los sistemas meteorológicos <strong>de</strong> gran esca<strong>la</strong> en <strong>la</strong>titu<strong>de</strong>s medias. Por ejemplo,<br />
consi<strong>de</strong>remos el ancho <strong>de</strong> <strong>la</strong> capa entre 500 y 1000 mb en una estación dada. Entonces<br />
nos queda<br />
y por lo tanto un cambio <strong>de</strong> 60 m en el ancho <strong>de</strong> <strong>la</strong> capa correspon<strong>de</strong> a un cambio<br />
promedio en <strong>la</strong> temperatura <strong>de</strong> 2.96 °C. Esto implica que <strong>la</strong> presión disminuye más<br />
rápidamente con <strong>la</strong> altura en una columna fría que en una columna cálida. Las<br />
consecuencias <strong>de</strong> este hecho se ilustran en <strong>la</strong> figura <strong>3.</strong>2 que muestra un corte vertical a<br />
través <strong>de</strong> un ciclón <strong>de</strong> núcleo frío. Como <strong>la</strong> columna en el medio <strong>de</strong>l ciclón es mas frío<br />
re<strong>la</strong>tivo a su entorno en todos los niveles su espesor es menor que en cualquier otro<br />
lugar. Por lo tanto <strong>la</strong> fuerza <strong>de</strong> gradiente <strong>de</strong> presión, dirigida hacia el centro <strong>de</strong>l ciclón<br />
aumenta en magnitud con <strong>la</strong> altura. Así, los ciclones <strong>de</strong> núcleo frío, los mas usuales en<br />
<strong>la</strong>titu<strong>de</strong>s medias, intensifican con <strong>la</strong> altura lo cual es una característica muy importante<br />
en <strong>la</strong> dinámica <strong>de</strong> estos ciclones.<br />
Notas: Prof. Marcelo Barreiro
Introducción a <strong>la</strong> Dinámica <strong>de</strong> <strong>la</strong> <strong>Atmósfera</strong> 2011 5<br />
Figura <strong>3.</strong>2 – Corte vertical a través <strong>de</strong> un ciclón <strong>de</strong> núcleo frío. Líneas sólidas son<br />
isóbaras, líneas finas son los niveles <strong>de</strong> 0.5 km y 5 km. Las flechas indican <strong>la</strong> fuerza <strong>de</strong>l<br />
gradiente <strong>de</strong> presión.<br />
<strong>3.</strong>2 Derivada total en un sistema rotante<br />
Como se mencionó anteriormente en meteorología se <strong>de</strong>scribe el movimiento <strong>de</strong> <strong>la</strong><br />
atmósfera con respecto a un sistema que rota con <strong>la</strong> Tierra. Por lo tanto para escribir <strong>la</strong><br />
ecuación <strong>de</strong> Newton es necesario hal<strong>la</strong>r <strong>la</strong> re<strong>la</strong>ción entre <strong>la</strong> <strong>de</strong>rivada total <strong>de</strong> un vector<br />
en un sistema <strong>de</strong> coor<strong>de</strong>nadas inercial y <strong>la</strong> <strong>de</strong>rivada total en un sistema rotante.<br />
Sea A un vector arbitrario cuyos componentes en el sistema inercial son<br />
y sus componentes en un sistema que rota a velocidad angu<strong>la</strong>r Ώ son<br />
Sea d a A/dt <strong>la</strong> <strong>de</strong>rivada total en el sistema inercial (absoluto), entonces<br />
Notas: Prof. Marcelo Barreiro
Introducción a <strong>la</strong> Dinámica <strong>de</strong> <strong>la</strong> <strong>Atmósfera</strong> 2011 6<br />
La misma <strong>de</strong>rivada en el sistema rotante es<br />
o<br />
don<strong>de</strong> dA/dt es <strong>la</strong> <strong>de</strong>rivada siguiendo el movimiento re<strong>la</strong>tivo <strong>de</strong> A. Los últimos tres<br />
términos aparecen pues los versores cambian <strong>de</strong> orientación con <strong>la</strong> rotación <strong>de</strong> <strong>la</strong> Tierra.<br />
Consi<strong>de</strong>remos el versor en <strong>la</strong> dirección zonal (i'); su cambio está dado por<br />
Para una rotación <strong>de</strong> cuerpo sólido<br />
i' = ∂ i ' ∂i ' ∂i '<br />
<br />
∂ ∂ ∂ z z<br />
por lo que<br />
i '<br />
t = ∂i '<br />
∂ y tomando el límite δt -> 0 se obtiene<br />
De <strong>la</strong> figura <strong>3.</strong>3 vale que<br />
d i'<br />
d t = ∂i '<br />
∂ <br />
∂i ´<br />
= j ' sin −k ' cos <br />
∂<br />
pero como (ver figura <strong>3.</strong>4)<br />
=0, cos , sin <br />
Notas: Prof. Marcelo Barreiro
Introducción a <strong>la</strong> Dinámica <strong>de</strong> <strong>la</strong> <strong>Atmósfera</strong> 2011 7<br />
se obtiene<br />
d i'<br />
dt =∧i ' .<br />
Figura <strong>3.</strong>3 – Descomposicion <strong>de</strong> δi' en sus componentes horizontal, meridional y<br />
vertical.<br />
Análogamente,<br />
d j'<br />
=∧ j '<br />
dt<br />
d k '<br />
=∧k '<br />
dt<br />
por lo que<br />
y se obtiene <strong>la</strong> siguiente expresion que re<strong>la</strong>ciona <strong>la</strong>s <strong>de</strong>rivadas totales en los sistemas<br />
inercial y rotante<br />
Notas: Prof. Marcelo Barreiro
Introducción a <strong>la</strong> Dinámica <strong>de</strong> <strong>la</strong> <strong>Atmósfera</strong> 2011 8<br />
<strong>3.</strong>3 Ecuación <strong>de</strong> conservación <strong>de</strong> momento en un sistema rotante<br />
Aplicando <strong>la</strong> re<strong>la</strong>ción anterior al vector posición r (r es el vector perpendicu<strong>la</strong>r al eje <strong>de</strong><br />
rotación <strong>de</strong> magnitud igual a <strong>la</strong> distancia entre el eje <strong>de</strong> rotación y <strong>la</strong> superficie terrestre)<br />
obtenemos que <strong>la</strong> velocidad absoluta es igual a <strong>la</strong> velocidad re<strong>la</strong>tiva mas <strong>la</strong> velocidad <strong>de</strong><br />
rotación <strong>de</strong> <strong>la</strong> Tierra. Si aplicamos <strong>la</strong> re<strong>la</strong>ción <strong>de</strong> transformacion <strong>de</strong> coor<strong>de</strong>nadas a <strong>la</strong><br />
velocidad absoluta obtenemos<br />
ya que x xr=− 2 r . La última ecuación establece que <strong>la</strong> aceleración<br />
<strong>la</strong>grangiana en un sistema inercial es igual a <strong>la</strong> suma <strong>de</strong> (1) <strong>la</strong> aceleración <strong>la</strong>grangiana<br />
re<strong>la</strong>tiva al sistema rotante, (2) <strong>la</strong> aceleración <strong>de</strong> Coriolis, y (3) <strong>la</strong> aceleración centrípeta.<br />
Notas: Prof. Marcelo Barreiro
Introducción a <strong>la</strong> Dinámica <strong>de</strong> <strong>la</strong> <strong>Atmósfera</strong> 2011 9<br />
De acuerdo a <strong>la</strong> 2da ley <strong>de</strong> Newton y recordando que <strong>la</strong>s fuerzas fundamentales que<br />
consi<strong>de</strong>raremos son el gradiente <strong>de</strong> presión, <strong>la</strong> gravedad y <strong>la</strong> fricción se obtiene<br />
o alternativamente<br />
don<strong>de</strong> <strong>la</strong> aceleración centrípeta ha sido combinada con <strong>la</strong> gravedad en una gravedad<br />
efectiva (sección 2.2).<br />
<strong>3.</strong><strong>3.</strong>1 Coor<strong>de</strong>nadas esféricas<br />
A los efectos meterológicos es posible consi<strong>de</strong>rar a <strong>la</strong> Tierra como una esfera perfecta.<br />
Por lo tanto consi<strong>de</strong>raremos un sistema <strong>de</strong> coor<strong>de</strong>nadas esférico <strong>de</strong> forma que <strong>la</strong><br />
superficie coincida con una superficie <strong>de</strong> <strong>la</strong>s coor<strong>de</strong>nadas. Los ejes <strong>de</strong> coor<strong>de</strong>nadas son<br />
entonces , , z =(longitud, <strong>la</strong>titud, altura). Es usual <strong>de</strong>finir x e y como <strong>la</strong>s<br />
distancias hacia el este y hacia el norte, respectivamente. Por lo tanto<br />
dx=acos d , dy=ad don<strong>de</strong> a es el radio terrestre y se <strong>de</strong>sprecia <strong>la</strong> distancia<br />
<strong>de</strong>s<strong>de</strong> <strong>la</strong> superficie hasta <strong>la</strong> altura <strong>de</strong> <strong>la</strong> parce<strong>la</strong> por ser muchisimo menor que a. La<br />
velocidad re<strong>la</strong>tiva se pue<strong>de</strong> escribir como V=ui+vj+wk, don<strong>de</strong> los componentes están<br />
<strong>de</strong>finidos por<br />
Notemos que este sistema <strong>de</strong> coor<strong>de</strong>nadas no es cartesiano pues <strong>la</strong> dirección <strong>de</strong> versores<br />
cambia con <strong>la</strong> posición en <strong>la</strong> superficie (por ej., todos los meridianos convergen en los<br />
polos). Esta <strong>de</strong>pen<strong>de</strong>ncia en <strong>la</strong> posición <strong>de</strong>be tomarse en cuenta cuando el vector<br />
aceleración se expan<strong>de</strong> en sus componentes<br />
Notas: Prof. Marcelo Barreiro
Introducción a <strong>la</strong> Dinámica <strong>de</strong> <strong>la</strong> <strong>Atmósfera</strong> 2011 10<br />
Por ejemplo, consi<strong>de</strong>remos el versor i. Expandimos <strong>la</strong> <strong>de</strong>rivada total y como i es solo<br />
función <strong>de</strong> x se tiene<br />
di ∂i<br />
=u<br />
dt ∂ x<br />
De acuerdo a <strong>la</strong> figura <strong>3.</strong>3 por simi<strong>la</strong>ridad <strong>de</strong> triángulos se tiene<br />
y<br />
Tomando el límite δx -> 0<br />
Por simi<strong>la</strong>res argumentos geométricos es posible <strong>de</strong>rivar <strong>la</strong>s siguientes expresiones para<br />
los cambios <strong>de</strong> los versores j y k<br />
Por lo tanto, combinando <strong>la</strong>s expresiones <strong>de</strong>rivadas anteriormente obtenemos<br />
Notas: Prof. Marcelo Barreiro
Introducción a <strong>la</strong> Dinámica <strong>de</strong> <strong>la</strong> <strong>Atmósfera</strong> 2011 11<br />
que <strong>de</strong>scribe <strong>la</strong>s componentes en el sistema <strong>de</strong> coor<strong>de</strong>nadas esférico <strong>de</strong> <strong>la</strong> <strong>de</strong>rivada total<br />
<strong>de</strong>l movimiento re<strong>la</strong>tivo.<br />
Consi<strong>de</strong>remos ahora <strong>la</strong> fuerza <strong>de</strong> Coriolis. Dado que Ώ solo tiene componentes vertical<br />
y meridional (figura <strong>3.</strong>4), el término <strong>de</strong> Coriolis queda <strong>de</strong> <strong>la</strong> forma<br />
Figura <strong>3.</strong>4 – Componentes <strong>de</strong> <strong>la</strong> velocidad angu<strong>la</strong>r Ώ.<br />
Notas: Prof. Marcelo Barreiro
Introducción a <strong>la</strong> Dinámica <strong>de</strong> <strong>la</strong> <strong>Atmósfera</strong> 2011 12<br />
Los componentes <strong>de</strong> <strong>la</strong> fuerza <strong>de</strong> gradiente <strong>de</strong> presión son<br />
mientras que <strong>la</strong> gravedad es<br />
y <strong>la</strong> fricción se representa como<br />
Combinando todas <strong>la</strong>s expresiones anteriores y separando por componente se encuentra<br />
que en un sistema rotante con <strong>la</strong> Tierra <strong>la</strong>s ecuaciones <strong>de</strong> conservación <strong>de</strong> momento son<br />
<strong>la</strong>s siguientes<br />
Los términos que involucran 1/a son resultado <strong>de</strong> <strong>la</strong> esfericidad terrestre y por lo tanto<br />
se <strong>de</strong>nominan términos <strong>de</strong> curvatura. Estos términos son cuadráticos en <strong>la</strong>s variables<br />
(u,v,w) y por lo tanto su no-linealidad dificulta el análisis. Por suerte, como se mostrará<br />
mas abajo, los términos <strong>de</strong> curvatura no juegan ningún papel en <strong>la</strong> dinámica <strong>de</strong> los<br />
sistemas meteorológicos en <strong>la</strong>titu<strong>de</strong>s medias. No obstante, aún en ausencia <strong>de</strong> esos<br />
términos, <strong>la</strong>s ecuaciones anteriores son no lineales <strong>de</strong>bido a <strong>la</strong> presencia <strong>de</strong> los términos<br />
advectivos.<br />
Notas: Prof. Marcelo Barreiro
Introducción a <strong>la</strong> Dinámica <strong>de</strong> <strong>la</strong> <strong>Atmósfera</strong> 2011 13<br />
<strong>3.</strong><strong>3.</strong>2 Análisis <strong>de</strong> esca<strong>la</strong><br />
Las ecuaciones <strong>de</strong> movimiento <strong>de</strong>scriben todos los tipos y esca<strong>la</strong>s <strong>de</strong><br />
movimientos atmosféricos. Incluyen, por ejemplo, <strong>la</strong>s ondas <strong>de</strong> sonido que son, no<br />
obstante, <strong>de</strong> importancia menor en meteorología dinámica. El análisis <strong>de</strong> esca<strong>la</strong> es una<br />
técnica que permite estimar el or<strong>de</strong>n <strong>de</strong> magnitud <strong>de</strong> los términos que componen <strong>la</strong><br />
ecuación <strong>de</strong> movimiento para el tipo <strong>de</strong> movimiento que nos interesa y retener sólo<br />
aquellos que sean significativos. En esta sección realizaremos un análisis <strong>de</strong> esca<strong>la</strong> que<br />
tiene como objetivo <strong>de</strong>scribir los sistemas sinópticos y que filtra aquel<strong>la</strong>s soluciones,<br />
como <strong>la</strong>s ondas sonoras, que no juegan un papel importante en <strong>la</strong> dinámica <strong>de</strong> estos<br />
sistemas.<br />
Las caracteristicas <strong>de</strong>l movimiento atmosférico <strong>de</strong>pen<strong>de</strong>n en gran medida <strong>de</strong> <strong>la</strong><br />
esca<strong>la</strong> horizontal por lo que su consi<strong>de</strong>racion es un método conveniente para c<strong>la</strong>sificar<br />
distintos sistemas <strong>de</strong> movimiento. La tab<strong>la</strong> <strong>3.</strong>1 muestra algunos tipos <strong>de</strong> movimientos<br />
comunes en <strong>la</strong> atmósfera.<br />
Tab<strong>la</strong> <strong>3.</strong>1 – Esca<strong>la</strong>s horizontales caracteristicas <strong>de</strong> movimientos atmosfericos.<br />
En forma general es posible <strong>de</strong>finir rangos <strong>de</strong> variaciones espaciales con límites<br />
aproximados, que se muestran en <strong>la</strong> tab<strong>la</strong> <strong>3.</strong>2.<br />
Notas: Prof. Marcelo Barreiro
Introducción a <strong>la</strong> Dinámica <strong>de</strong> <strong>la</strong> <strong>Atmósfera</strong> 2011 14<br />
Tab<strong>la</strong> <strong>3.</strong>2 – Esca<strong>la</strong>s <strong>de</strong> movimiento atmosferico.<br />
Notar <strong>la</strong> gran diferencia en esca<strong>la</strong>s horizontal y vertical dado por <strong>la</strong>s extensiones<br />
horizontal y vertical <strong>de</strong> <strong>la</strong> troposfera. Para esca<strong>la</strong>s sinópticas los sistemas en <strong>la</strong>titu<strong>de</strong>s<br />
medias tienen <strong>la</strong>s siguientes características:<br />
La esca<strong>la</strong> para <strong>la</strong>s fluctuaciones horizontales <strong>de</strong> presión está normalizada por <strong>la</strong><br />
<strong>de</strong>nsidad para que produzca una estimación que sea válida en todas <strong>la</strong>s alturas <strong>de</strong> <strong>la</strong><br />
tropósfera a pesar <strong>de</strong> que δp y ρ <strong>de</strong>crecen exponencialmente con <strong>la</strong> altura. Esta esca<strong>la</strong><br />
indica que <strong>la</strong> diferencia <strong>de</strong> presión entre altas o bajas adyacentes es <strong>de</strong>l ór<strong>de</strong>n <strong>de</strong> 10 mb.<br />
La esca<strong>la</strong> temporal es una esca<strong>la</strong> advectiva apropiada para sistemas que se mueve<br />
aproximadamente a <strong>la</strong> misma velocidad que el viento horizontal, lo cual se observa a<br />
esca<strong>la</strong> sinóptica. Por lo tanto L/U es el tiempo requerido para recorrer una distancia L a<br />
Notas: Prof. Marcelo Barreiro
Introducción a <strong>la</strong> Dinámica <strong>de</strong> <strong>la</strong> <strong>Atmósfera</strong> 2011 15<br />
velocidad U y <strong>la</strong> <strong>de</strong>rivada total esca<strong>la</strong> d/dt ~ U/L para estos movimientos.<br />
Asumiendo una <strong>la</strong>titud media <strong>de</strong> 45° el parámetro <strong>de</strong> Coriolis es <strong>de</strong>l ór<strong>de</strong>n <strong>de</strong> 10 -4 s -1 , y<br />
po<strong>de</strong>mos calcu<strong>la</strong>r los ór<strong>de</strong>nes <strong>de</strong> magnitud <strong>de</strong> todos los términos involucrados en <strong>la</strong>s<br />
ecuaciones <strong>de</strong> conservación <strong>de</strong> momento (ver figura <strong>3.</strong>5). Notar que el término <strong>de</strong><br />
fricción molecu<strong>la</strong>r es tan pequeño que pue<strong>de</strong> <strong>de</strong>spreciarse en todos los casos excepto<br />
cerca <strong>de</strong>l suelo.<br />
Figura <strong>3.</strong>5 – Esca<strong>la</strong>s <strong>de</strong> los términos en <strong>la</strong>s ecuaciones horizontales <strong>de</strong> conservación <strong>de</strong><br />
momento.<br />
De este análisis se <strong>de</strong>spren<strong>de</strong> c<strong>la</strong>ramente que a primer ór<strong>de</strong>n el ba<strong>la</strong>nce <strong>de</strong> momento se<br />
realiza entre <strong>la</strong> fuerza <strong>de</strong>l gradiente <strong>de</strong> presión horizontal y <strong>la</strong> fuerza <strong>de</strong> Coriolis. Este<br />
ba<strong>la</strong>nce se conoce como ba<strong>la</strong>nce geostrófico y representa <strong>la</strong> re<strong>la</strong>ción <strong>de</strong> diagnóstico<br />
fundamental para el flujo <strong>de</strong> <strong>la</strong>titu<strong>de</strong>s medias. Esta aproximación <strong>de</strong> <strong>la</strong>s ecuaciones no<br />
tiene referencia al tiempo y por lo tanto no pue<strong>de</strong> ser usada para pre<strong>de</strong>cir <strong>la</strong> evolución<br />
<strong>de</strong>l campo <strong>de</strong> velocida<strong>de</strong>s.<br />
Para <strong>de</strong>terminar el tipo <strong>de</strong> flujo que <strong>de</strong>scribe el ba<strong>la</strong>nce geostrófico es necesario<br />
consi<strong>de</strong>rar el ba<strong>la</strong>nce <strong>de</strong> <strong>la</strong>s fuerzas que actúan. La fuerza <strong>de</strong>l gradiente <strong>de</strong> presión está<br />
dirigida siempre <strong>de</strong> alta a baja presión en forma perpendicu<strong>la</strong>r a <strong>la</strong>s isóbaras. Para que <strong>la</strong><br />
fuerza <strong>de</strong> Coriolis ba<strong>la</strong>ncee esa fuerza <strong>de</strong>be estar dirigida en forma perpendicu<strong>la</strong>r a <strong>la</strong><br />
dirección <strong>de</strong>l movimiento <strong>de</strong> <strong>la</strong> parce<strong>la</strong> <strong>de</strong> aire y hacia <strong>la</strong> <strong>de</strong>recha (izquierda) en el H.N.<br />
(H.S.) (figura <strong>3.</strong>6). Por lo tanto el movimiento <strong>de</strong> <strong>la</strong> parce<strong>la</strong> será a lo <strong>la</strong>rgo <strong>de</strong> <strong>la</strong>s<br />
isóbaras y el sentido estará dado por f.<br />
Notas: Prof. Marcelo Barreiro
Introducción a <strong>la</strong> Dinámica <strong>de</strong> <strong>la</strong> <strong>Atmósfera</strong> 2011 16<br />
La expresión <strong>de</strong>l viento geostrófico es<br />
Figura <strong>3.</strong>6 – Viento geostrófico.<br />
En forma vectorial<br />
lo cual muestra c<strong>la</strong>ramente que el viento geostrófico <strong>de</strong>be ser siempre paralelo a <strong>la</strong>s<br />
isóbaras y <strong>de</strong> magnitud proporcional al gradiente <strong>de</strong> presión e inversamente<br />
proporcional a <strong>la</strong> <strong>de</strong>nsidad y al parámetro <strong>de</strong> Coriolis.<br />
Para <strong>la</strong>titu<strong>de</strong>s medias el viento geostrófico es muy cercano al observado, quizas <strong>de</strong>ntro<br />
<strong>de</strong> un márgen <strong>de</strong>l 10-15%, mientras que cerca <strong>de</strong>l Ecuador el ba<strong>la</strong>nce no es válido ya<br />
que f 0 y el viento geostrófico no se parece en nada al real.<br />
Notas: Prof. Marcelo Barreiro
Introducción a <strong>la</strong> Dinámica <strong>de</strong> <strong>la</strong> <strong>Atmósfera</strong> 2011 17<br />
Dado que el ba<strong>la</strong>nce geostrófico no hace referencia a <strong>de</strong>rivadas temporales el viento<br />
geostrófico es estrictamente válido so<strong>la</strong>mente en regiones <strong>de</strong> aceleración nu<strong>la</strong>, lo cual<br />
implica que ni <strong>la</strong> magnitud ni <strong>la</strong> dirección <strong>de</strong>l viento pue<strong>de</strong>n cambiar. La figura <strong>3.</strong>7<br />
muestra <strong>la</strong> situación sinóptica en 250 mb para el 15 <strong>de</strong> febrero <strong>de</strong> 2011 incluyendo <strong>la</strong>s<br />
isotacas. Como se observa en <strong>la</strong> mayor parte <strong>de</strong> <strong>la</strong> región <strong>la</strong> magnitud y/o <strong>la</strong> dirección <strong>de</strong><br />
<strong>la</strong> velocidad cambia.<br />
Figura <strong>3.</strong>7 – Situación sinóptica en 250 mb para el 15/02/2011. Se muestran los<br />
contornos <strong>de</strong> altura (b<strong>la</strong>nco, dam) y en ver<strong>de</strong> <strong>la</strong>s isotacas mayores a 70 nudos.<br />
Los cambios en <strong>la</strong> magnitud <strong>de</strong>l viento son mas prominentes en <strong>la</strong> vecindad <strong>de</strong> máximos<br />
<strong>de</strong> vientos l<strong>la</strong>mados “jet streaks”, mientras que cambios en <strong>la</strong> dirección <strong>de</strong>l viento<br />
(máximos <strong>de</strong> curvatura) son c<strong>la</strong>ros cerca <strong>de</strong> <strong>la</strong>s vaguadas y cuñas que se distinguen en el<br />
campo <strong>de</strong> presión. El grado <strong>de</strong> alejamiento <strong>de</strong>l ba<strong>la</strong>nce geostrófico que caracteriza estas<br />
regiones pue<strong>de</strong> ser <strong>de</strong>terminado consi<strong>de</strong>rando <strong>la</strong> diferencia entre el viento real y el<br />
geostrófico calcu<strong>la</strong>do en el mismo punto. Esta diferencia se conoce como viento<br />
Notas: Prof. Marcelo Barreiro
Introducción a <strong>la</strong> Dinámica <strong>de</strong> <strong>la</strong> <strong>Atmósfera</strong> 2011 18<br />
ageostrófico V ag y se <strong>de</strong>fine matemáticamente como<br />
El valor <strong>de</strong> esta <strong>de</strong>finición proviene <strong>de</strong>l hecho que es posible introducir <strong>la</strong> posibilidad <strong>de</strong><br />
pronóstico. Para ello consi<strong>de</strong>remos los términos mayores o iguales a 10 -4 <strong>de</strong> <strong>la</strong>s<br />
ecuaciones <strong>de</strong> momento. Entonces,<br />
Sustituyendo el ba<strong>la</strong>nce geostrófico en estas ecuaciones<br />
lo cual pue<strong>de</strong> ser escrito como<br />
lo cual indica que el viento ageostrófico está asociado a regiones <strong>de</strong> aceleración<br />
Lagrangiana <strong>de</strong>l viento, y predice <strong>la</strong> evolución temporal <strong>de</strong>l viento total. Notemos que <strong>la</strong><br />
aceleración está siempre a 90° <strong>de</strong> Vag. Asimismo, en un “jet streak” <strong>la</strong> ecuación anterior<br />
indica que a <strong>la</strong> entrada el flujo <strong>de</strong>be <strong>de</strong>sviarse hacia alturas <strong>de</strong> geopotencial mas bajas,<br />
mientras que a <strong>la</strong> salida <strong>de</strong>be <strong>de</strong>sviarse hacia alturas <strong>de</strong> geopotencial mas altas. Mas<br />
a<strong>de</strong><strong>la</strong>nte veremos <strong>la</strong> gran importancia <strong>de</strong>l viento ageostrófico en <strong>la</strong> comprensión <strong>de</strong> <strong>la</strong><br />
dinámica <strong>de</strong> <strong>la</strong> atmósfera <strong>de</strong> <strong>la</strong>titu<strong>de</strong>s medias.<br />
Notas: Prof. Marcelo Barreiro
Introducción a <strong>la</strong> Dinámica <strong>de</strong> <strong>la</strong> <strong>Atmósfera</strong> 2011 19<br />
Por lo que vimos mas arriba, para <strong>de</strong>terminar si un flujo estará cercano al ba<strong>la</strong>nce<br />
geostrófico es necesario comparar el término <strong>de</strong> aceleración <strong>la</strong>grangiano con el término<br />
<strong>de</strong> Coriolis. Recordando que el término <strong>de</strong> aceleración esca<strong>la</strong> como U 2 /L y el <strong>de</strong><br />
Coriolis como f 0 U entonces el cociente entre estas aceleraciones es<br />
Este cociente es adimensional y se <strong>de</strong>nomina número <strong>de</strong> Rossby (Ro). Para valores <strong>de</strong><br />
Ro < 0.1 <strong>la</strong> aceleracion <strong>la</strong>grangiana es <strong>de</strong>spreciable frente a <strong>la</strong> <strong>de</strong> Coriolis y el flujo es<br />
aproximadamente geostrófico.<br />
La figura <strong>3.</strong>8 muestra un análisis <strong>de</strong> esca<strong>la</strong> para <strong>la</strong> componente vertical <strong>de</strong> <strong>la</strong>s<br />
ecuaciones <strong>de</strong> movimiento. En este caso está muy c<strong>la</strong>ro que el ba<strong>la</strong>nce predominante es<br />
entre <strong>la</strong> gravedad y <strong>la</strong> componente vertical <strong>de</strong>l gradiente <strong>de</strong> presión, o sea domina el<br />
ba<strong>la</strong>nce hidrostático.<br />
Figura <strong>3.</strong>8 – Esca<strong>la</strong>s <strong>de</strong> los términos <strong>de</strong> <strong>la</strong> componente vertical <strong>de</strong> <strong>la</strong> ecuación <strong>de</strong><br />
conservación <strong>de</strong> momento.<br />
Por todo lo anterior se <strong>de</strong>spren<strong>de</strong> que a primer or<strong>de</strong>n <strong>la</strong> atmósfera en <strong>la</strong>titu<strong>de</strong>s medias se<br />
encuentra en ba<strong>la</strong>nce hidrostático y geostrófico.<br />
<strong>3.</strong>4 Ecuación <strong>de</strong> conservación <strong>de</strong> masa<br />
La conservación <strong>de</strong> <strong>la</strong> masa <strong>de</strong> un fluido en su movimiento está dado por <strong>la</strong> ecuación <strong>de</strong><br />
continuidad. El flujo <strong>de</strong> masa que entra y que sale <strong>de</strong> un elemento <strong>de</strong> volumen δxδyδz<br />
Notas: Prof. Marcelo Barreiro
Introducción a <strong>la</strong> Dinámica <strong>de</strong> <strong>la</strong> <strong>Atmósfera</strong> 2011 20<br />
en <strong>la</strong> dirección x pue<strong>de</strong> escribirse como<br />
Figura <strong>3.</strong>6- Ba<strong>la</strong>nce <strong>de</strong> masa <strong>de</strong> un elemento <strong>de</strong> volumen.<br />
Flujo <strong>de</strong> masa que entra u z y<br />
Flujo <strong>de</strong> masa que sale ∂ <br />
∂ x xu ∂ u x z y<br />
∂ x<br />
El flujo <strong>de</strong> masa neto (sale-entra) es entonces<br />
∂u<br />
∂ x ∂ ∂ u<br />
∂ x ∂ x xu ∂ <br />
∂ x x z y ,<br />
Cuando δx -> 0, el segundo término es <strong>de</strong>spreciable comparado con los otros dos y<br />
obtenemos<br />
En tres dimensiones<br />
∂u<br />
∂ x u ∂ <br />
u<br />
x z y=∂<br />
∂ x ∂ x x y z .<br />
∂ u<br />
∂ x ∂ v<br />
∂ y<br />
∂<br />
w<br />
∂ z x y z<br />
Notas: Prof. Marcelo Barreiro
Introducción a <strong>la</strong> Dinámica <strong>de</strong> <strong>la</strong> <strong>Atmósfera</strong> 2011 21<br />
El flujo <strong>de</strong> masa <strong>de</strong>be estar ba<strong>la</strong>nceado por el cambio <strong>de</strong> masa en el elemento <strong>de</strong><br />
volumen<br />
∂<br />
∂ t x y z<br />
y por lo tanto <strong>la</strong> ecuacion <strong>de</strong> <strong>conservacion</strong> <strong>de</strong> masa queda<br />
∂<br />
∂ t ∂ u<br />
∂ x ∂ v<br />
∂ y ∂ w<br />
∂ z =0 .<br />
Esta ecuación fue <strong>de</strong>rivada por primera vez por L. Euler (1707-1783).<br />
Es posible también escribir esta ecuación <strong>de</strong> <strong>la</strong> siguiente forma<br />
Un fluido cuyas parce<strong>la</strong>s individuales no experimenten un cambio en su <strong>de</strong>nsidad<br />
siguiendo el movimiento (dρ/dt=0) se conoce como fluído incompresible. Es c<strong>la</strong>ro que<br />
<strong>la</strong> atmósfera es un fluído compresible. No obstante para muchos procesos atmosféricos<br />
<strong>la</strong> compresibilidad no juega un papel importante. En estos casos <strong>la</strong> ecuación <strong>de</strong><br />
continuidad simplemente establece que <strong>la</strong> divergencia <strong>de</strong>l campo <strong>de</strong> velocida<strong>de</strong>s es nu<strong>la</strong>.<br />
<strong>3.</strong>5 Ecuación <strong>de</strong> conservación <strong>de</strong> energía<br />
La atmósfera pue<strong>de</strong> guardar energía en forma <strong>de</strong> calor <strong>la</strong>tente, energía cinética, energía<br />
interna y energía potencial. Uno <strong>de</strong> los mayores problemas en el estudio <strong>de</strong> los procesos<br />
atmosféricos es <strong>de</strong>terminar cómo es <strong>la</strong> conversión entre <strong>la</strong>s diferentes formas <strong>de</strong><br />
energía.<br />
Para <strong>de</strong>rivar <strong>la</strong> ecuación <strong>de</strong> conservación <strong>de</strong> <strong>la</strong> energía comenzamos multiplicando <strong>la</strong>s<br />
ecuaciones <strong>de</strong> momento por <strong>la</strong> velocidad, y obtenemos<br />
Notas: Prof. Marcelo Barreiro
Introducción a <strong>la</strong> Dinámica <strong>de</strong> <strong>la</strong> <strong>Atmósfera</strong> 2011 22<br />
Sumando estas tres ecuaciones y notando que los términos <strong>de</strong> Coriolis y <strong>de</strong> curvatura<br />
suman cero (recor<strong>de</strong>mos que Coriolis no realiza trabajo) resulta<br />
El término <strong>de</strong> <strong>la</strong> izquierda representa <strong>la</strong> razón <strong>de</strong> cambio <strong>de</strong> <strong>la</strong> energía cinética total <strong>de</strong>l<br />
flujo. El primer término <strong>de</strong> <strong>la</strong> <strong>de</strong>recha representa el trabajo realizado por <strong>la</strong> velocidad<br />
ageostrófica contra el gradiente <strong>de</strong> presión. Cuando <strong>la</strong> velocidad está dirigida a través <strong>de</strong><br />
<strong>la</strong>s isóbaras <strong>de</strong> alta a baja (<strong>de</strong> baja a alta) presión se produce (consume) energía cinética.<br />
Notar que en el caso <strong>de</strong> un flujo exactamente geostrófico V es paralelo al gradiente <strong>de</strong> <strong>la</strong><br />
presión y el término se anu<strong>la</strong>.<br />
Por <strong>de</strong>finición w=dz/dt y -gw pue<strong>de</strong> escribirse como<br />
don<strong>de</strong> es el geopotencial, una medida <strong>de</strong>l trabajo necesario para elevar una unidad<br />
<strong>de</strong> masa una distancia z por encima <strong>de</strong>l nivel <strong>de</strong>l mar. Entonces vale<br />
don<strong>de</strong> el <strong>la</strong>do izquierdo representa <strong>la</strong> suma <strong>de</strong> <strong>la</strong> energia cinética y potencial por unidad<br />
<strong>de</strong> masa <strong>de</strong> una parce<strong>la</strong> <strong>de</strong> atmósfera. El último término a <strong>la</strong> <strong>de</strong>recha representa <strong>la</strong><br />
energía disipada por <strong>la</strong> fricción. Notar que como V y F son en general opuestas el<br />
producto V.F será negativo y <strong>la</strong> energía <strong>de</strong> <strong>la</strong> parce<strong>la</strong> <strong>de</strong>crecerá en presencia <strong>de</strong> fricción<br />
como es esperable.<br />
Notas: Prof. Marcelo Barreiro
Introducción a <strong>la</strong> Dinámica <strong>de</strong> <strong>la</strong> <strong>Atmósfera</strong> 2011 23<br />
Como <strong>la</strong> ecuación anterior se <strong>de</strong>rivó <strong>de</strong> <strong>la</strong>s ecuaciones <strong>de</strong> movimiento re<strong>la</strong>ciona<br />
únicamente formas <strong>de</strong> energía mećanicas y se <strong>de</strong>nomina ecuación <strong>de</strong> energía mecánica.<br />
Para incluir <strong>la</strong>s otras formas <strong>de</strong> energía en <strong>la</strong> atmósfera es necesario consi<strong>de</strong>rar <strong>la</strong><br />
primera ley <strong>de</strong> <strong>la</strong> termodinámica<br />
que re<strong>la</strong>ciona <strong>la</strong> razón <strong>de</strong>l calentamiento con cambios en <strong>la</strong> energía interna y el trabajo<br />
<strong>de</strong> expansión. Cv es el calor específico <strong>de</strong>l aire seco a volumen constante (717 J/kg/K) y<br />
α es el volumen específico.<br />
Reor<strong>de</strong>nando <strong>la</strong> ecuación <strong>de</strong> energía mecánica<br />
y sumándose<strong>la</strong> a <strong>la</strong> 1a ley obtenemos<br />
Notando que<br />
y que<br />
1<br />
V<br />
. ∇ p= dp<br />
dt − ∂ p<br />
∂t <br />
es posible reagrupar los términos <strong>de</strong> <strong>la</strong> forma<br />
Notas: Prof. Marcelo Barreiro
Introducción a <strong>la</strong> Dinámica <strong>de</strong> <strong>la</strong> <strong>Atmósfera</strong> 2011 24<br />
que se conoce como <strong>la</strong> ecuación <strong>de</strong> conservación <strong>de</strong> <strong>la</strong> energía. Esta ecuación implica<br />
que para un flujo adiabático, estacionario y sin fricción se conserva <strong>la</strong> siguiente cantidad<br />
<strong>la</strong> cual es simi<strong>la</strong>r a <strong>la</strong> ecuación <strong>de</strong> Bernoulli para un fluído incompresible<br />
Esta re<strong>la</strong>ción sugiere que para una atmósfera en reposo un incremento en <strong>la</strong> elevación<br />
resulta en una disminución <strong>de</strong> <strong>la</strong> presión hidrostática (obvio!). Si <strong>la</strong> atmósfera, por el<br />
contrario, está en movimiento aparece una mayor diferencia <strong>de</strong> presión aún<br />
consi<strong>de</strong>rando el mismo incremento <strong>de</strong> elevación pues en este caso es una diferencia en<br />
presion dinámica. Por ejemplo, para un flujo sobre una montaña, a medida que el aire<br />
sube <strong>la</strong> velocidad <strong>de</strong>l viento aumenta. Por lo tanto <strong>la</strong> diferencia <strong>de</strong> presión entre el pico<br />
y <strong>la</strong> base <strong>de</strong> <strong>la</strong> montaña (p2-p1) <strong>de</strong>be ser mayor que su diferencia hidrostática pues <strong>la</strong><br />
velocidad <strong>de</strong>l viento es mayor en el pico que en <strong>la</strong> base (u2>u1).<br />
<strong>3.</strong>5.1 Temperatura potencial y estabilidad estática<br />
Consi<strong>de</strong>remos nuevamente <strong>la</strong> 1a ley <strong>de</strong> <strong>la</strong> termodinamica y sustituyamos el termino <strong>de</strong><br />
trabajo usando una versión diferencial <strong>de</strong> <strong>la</strong> ley <strong>de</strong> gases i<strong>de</strong>ales<br />
y don<strong>de</strong> también usamos cp=cv+R. Dividiendo pot T y recordando que α/T=R/p<br />
don<strong>de</strong> el término <strong>de</strong> <strong>la</strong> <strong>de</strong>recha es <strong>la</strong> entropía. Consi<strong>de</strong>remos un proceso isentrópico<br />
don<strong>de</strong> una parce<strong>la</strong> se mueve <strong>de</strong>s<strong>de</strong> una presión p y temperatura T a un nivel <strong>de</strong> presión<br />
p0 <strong>de</strong> referencia con una temperatura <strong>de</strong> referencia. Este proceso <strong>de</strong>fine <strong>la</strong><br />
temperatura potencial ; integrando<br />
Notas: Prof. Marcelo Barreiro
Introducción a <strong>la</strong> Dinámica <strong>de</strong> <strong>la</strong> <strong>Atmósfera</strong> 2011 25<br />
Esta última se <strong>de</strong>nomina ecuación <strong>de</strong> Poisson. Físicamente es <strong>la</strong> temperatura que<br />
tendría una parce<strong>la</strong> <strong>de</strong> aire si fuera comprimida (o expandida) adiabáticamente <strong>de</strong>s<strong>de</strong> su<br />
presión original p (altura) hasta una presión (altura) <strong>de</strong> referencia p0 (en general<br />
1000mb). Líneas <strong>de</strong> constante se <strong>de</strong>nominan isentrópicas.<br />
La temperatura potencial permite estudiar <strong>la</strong> estabilidad vertical <strong>de</strong> <strong>la</strong> atmósfera.<br />
Tomando el diferencial <strong>de</strong>l logaritmo <strong>de</strong> <br />
Sustituyendo dp/dz con <strong>la</strong> ecuación hidrostática y usando ley gases i<strong>de</strong>ales<br />
Si <strong>la</strong> temperatura potencial es constante con <strong>la</strong> altura se hal<strong>la</strong> una expresión para el<br />
“<strong>la</strong>pse rate” seco<br />
d<br />
= −∂T<br />
∂ z = g c p<br />
=9.8C / km<br />
Notas: Prof. Marcelo Barreiro
Introducción a <strong>la</strong> Dinámica <strong>de</strong> <strong>la</strong> <strong>Atmósfera</strong> 2011 26<br />
en otro caso ( = −∂T<br />
∂ z<br />
)<br />
= d<br />
− T <br />
∂<br />
∂ z<br />
Esta expresión permite estudiar <strong>la</strong> estabilidad <strong>de</strong> parce<strong>la</strong>s <strong>de</strong> aire no saturadas frente a<br />
∂<br />
perturbaciones verticales. Si > 0 entonces Γ < Γd y correspon<strong>de</strong> a una<br />
∂ z<br />
estratificación estable. En este caso una parce<strong>la</strong> <strong>de</strong> aire seco (que <strong>de</strong>be enfriarse a 9.8<br />
°C/km) que ascienda se enfriará a una razón mayor que el entorno. Dado que <strong>la</strong> parce<strong>la</strong><br />
se ajusta inmediatamente a <strong>la</strong> presión <strong>de</strong>l entorno, <strong>de</strong> <strong>la</strong> ecuación <strong>de</strong> estado está c<strong>la</strong>ro<br />
∂<br />
que <strong>la</strong> parce<strong>la</strong> será mas <strong>de</strong>nsa que el aire a su alre<strong>de</strong>dor y ten<strong>de</strong>rá a bajar. Si = 0,<br />
∂ z<br />
Γ = Γd, correspon<strong>de</strong> a una estratificación neutra y <strong>la</strong> temperatura <strong>de</strong> <strong>la</strong> parce<strong>la</strong> tendrá<br />
∂<br />
siempre <strong>la</strong> misma temperatura que el entorno. Finalmente, si < 0, Γ > Γd,<br />
∂ z<br />
correspon<strong>de</strong> a una estratificación inestable y <strong>la</strong> parce<strong>la</strong> estará siempre mas cálida que el<br />
entorno por lo que podrá realizar convección libre. Esta situación no es muy común<br />
pues <strong>la</strong> atmósfera ten<strong>de</strong>rá a mezc<strong>la</strong>rse rápidamente hacia una condición <strong>de</strong> estabilidad<br />
neutra.<br />
En el caso estable una parce<strong>la</strong> que es elevada a cierta altitud será forzada a volver a su<br />
posición original y, <strong>de</strong>spreciando <strong>la</strong> fricción, ten<strong>de</strong>rá a osci<strong>la</strong>r alre<strong>de</strong>dor <strong>de</strong> su posición<br />
<strong>de</strong> equilibrio original. La frecuencia <strong>de</strong> osci<strong>la</strong>ción <strong>de</strong>pen<strong>de</strong>ra <strong>de</strong> <strong>la</strong> fuerza restitutiva, que<br />
será <strong>la</strong> gravedad multiplicada por <strong>la</strong> diferencia <strong>de</strong> <strong>de</strong>nsida<strong>de</strong>s <strong>de</strong> <strong>la</strong> parce<strong>la</strong> y el entorno.<br />
La expresión para <strong>la</strong> frecuencia es<br />
y se conoce como frecuencia <strong>de</strong> Brunt-Vaisa<strong>la</strong>.<br />
Referencias<br />
– An Introduction to Dynamical Meteorology, Holton, 2004.<br />
– Mid-Latitu<strong>de</strong> Atmospheric Dynamics, Martin, 2006.<br />
Notas: Prof. Marcelo Barreiro