I Regiones del Plano Complejo II Funciones Complejas

I Regiones del Plano Complejo
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ACADEMIA DE MATEMÁTICAS DE ICE
GUÍA DE VARIABLE COMPLEJA
1.- Describir el siguiente lugar geométrico, diciendo si es acotado o no, abierto u
cerrado, conexo, región y/o dominio. Y graficarlo
a) Im (z) ≥ Re ( z 2 )
b) Re z ≥ 3 Im z
c) ⏐ z ⏐ 2 + Im (z) ≤ 16
⎛ z + 1 ⎞
d) Im⎜
⎟ ≤ 2
⎝ z − 1 ⎠
z + 1
e) ≥ 2
z − 1
f) 3 < z + 1 + i < 4
g) − 1 < Re z ≤ 1
II Funciones Complejas
2.- Expresar a las funciones f(z) = w en la forma f(z) = u(x,y) + i v(x,y)
1
a) f ( z)
=
z
z − 2i
b) f ( z)
=
z − i
c) f ( z)
= z
1
d) f ( z)
=
2
1 + z
3.- Obtener la parte real e imaginaria de la siguiente función
f(z) =
z
2
+
i
4.- Obtener el dominio de definición de la siguiente función:
a)
f ( z)
=
z
2
( z + i)
2
b) f(z)= 1 z
5.- Calcular f ( 1 + 2i )
z
a) f(z) =
z − z
1
b) f(z) =
s en x + i cos y
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6.- Sea f (z) = z 2 + 1
⎛
Determinar f ⎜
⎝
7.- Sea f (z) = z 2 + 1
f
⎛ 1 ⎞ ⎞
⎜ ⎟
1 + i
⎟
⎝ ⎠ ⎠
Determinar f ( f (i) )
8.-Expresar la siguiente función en términos de z
a) x 2 + 3y 2 – i xy
b) x 2 + y 2 – i ( 3x + 2y )
c) –i + x + iy
d) x 2 + y 2
9.- Hallar la imagen de la región y > -1 bajo la transformación:
w = ( 1- i ) z + 2i
10.- Hallar la imagen de la región x > 2 bajo la transformación: w = z
1
11.- Encontrar la imagen de la región y > 1 bajo la transformación
w = ( 1 - i ) z
12.- Determine la imagen en el plano w de la región
3 7
z + + i =
4 4
1
bajo la transformación w = z
1
13.- Hallar la imagen de la región y > -1 bajo la transformación: w = z
1
14.- Encuentre la imagen del circulo z − 1 − i = 1 bajo la transformación w = z
15.- Encontrar la imagen de la franja infinita
Re z < 1
bajo la transformación
w
= z +
16.- Encontrar la imagen de la franja infinita
3
bajo la transformación
Im z < π / 2
w = - i z
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III Límites y Continuidad
17.- Encontrar el siguiente límite:
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a)
b)
c)
2
z + 16
lím
z + 4i
z → − 4i
2
z + 2z
+ 2
lím z + 1−
i
z → − 1+
i
lim
z → − i
z
z
2
+ 1
+ i
d)
2
lim (1 + z − )
x→ ∞
⎡
e) lim ⎢
z → 0
⎢⎣
xy
2 2
( x + y )
⎤
⎥
⎥⎦
18.- Analizar la continuidad de la siguiente función:
a) f ( z)
=
Re
2
( z )
z
b) f ( z)
=
z
z − z
c) f ( z)
=
z Re z
2
z
2
d)
f ( z)
=
Im z
( 1+
z )
f ( z)
=
Re z
( x − y + z)
e) 2 2
19.- ¿En que puntos de la función es continua?
3
⎧ z − 1
2 , z ≠ ± 1
⎪
f ( z)
=
z − 1
⎨
⎪ 3 , z = ± 1
⎪⎩ 2
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20.- Demuestre que las siguientes funciones son continuas para z≠0. ¿Puede definirse
la función como para hacerla continua en z 0 = 0?
a)
b)
c)
IV Derivada de Funciones Complejas
21.- Determinar si la siguiente función es analítica, entera, donde es derivable, si lo es,
calcular la derivada.
1
a) f(z) =
1 + z
b) f(z) = Re (z 2 )
c) f(z) = |z| 2
d) f(z) = (cos 2xy + i sen 2xy) e
1 3 2 2
e) f(z) = ( 16 )
3 x + xy + i x + y
2
− i y
f) f ( z)
= ( z − 2) e
1
h) f ( z)
=
2
senh z
i) f ( z) = csc h z
( )
2 2
x − y
22.- Derivar la siguiente función usando la definición
f(z) = z 3
23.- Demostrar que la sig función es armónica y hallar la función analítica
correspondiente f(z)= u(x,y) + i v(x,y)
a) u = e x cos y
b) v = e y cos x
c) u = x 2 - y 2
d) v = -sen x senh y
e) v= 6x 2 y 2 - x 4 - y 4 + y – x + 1
f) u = x 4 – 6 x 2 y 2 + y 4
y
g) u =
2 2
x + y
24.- Sea f(z) = x 2 – y 2 – 2xy – i (-x 2 + y 2 – 2xy)
a) ¿Es armónica Im f (z)?
b) Existe f ‘ (z) en algún dominio
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V. Funciones Elementales
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25.- Encontrar todas las raíces de la ecuación
a) cos z = 2
b) cosh z = ½
c) senh (z) = -5
d) e z = 1 – i
e) cos z = 2
f) sen z = cosh 4
26.- Encuentre el valor numérico de la expresión
a)
b) sin(i sin i)
c)
Proponga su(s) resultado(s) en la forma estándar de los complejos.
27.- Hallar todas las raíces de la ecuación
a) tan -1 ( 1+ i )
−
b) cosh 1 ( − 1)
c) tan -1 (2i)
d) cosh -1 (-1)
e) tanh -1 0
28.- Demostrar que:
e
z + π i
=
− e
z
29.- Encontrar el valor principal del siguiente logaritmo:
30.- Demostrar que:
a) ln( 1 − i )
b) ln (-3+4i)
ln (-1) = (2n + 1) π i
31.- Hallar el valor principal de:
a) i i
b) ( 1 - i ) 4i
32.- Expresar el siguiente en la forma a + ib
a)(1 - i) 2 - 3i
b) 2 i
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VI Integral de Línea
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33.- Evaluar la siguiente integral donde la trayectoria de integración es un contorno
arbitrario entre los límites que se indican
34.- Evaluar la siguiente integral:
1
a) ∫ dz, z − i = 2
2
z + 4
C
z
b) ∫ dz,
C : z = 4
z
1 − e
C
sen z
c) ∫ , 2 2
2 dz z − i =
z + 1
d)
C
∫
C
cos z dz , z − 2 = 2
z − 1
cos z
e) ∫ , 3
2 dz z =
( z − 1)
C
i
z
∫ / 2
π
e
i
dz
35.- Se denota por medio de C a la frontera del cuadrado cuyos lados se encuentran a
lo largo de las rectas x =± 2 y y =± 2, donde C está descrita en sentido
positivo. Hallar el valor de la integral
∫
C
− z
e
z − π i / 2
dz
VI I Series de Potencias
36.- Encontrar la serie de Maclaurin de la siguiente función:
a)f (z) = e Z
b)f (z) = cosh z
c) f ( z) = sen( π z)
37.- Encontrar la serie de Taylor de la siguiente función:
a) f (z) = cos z alrededor del punto z 0 = π.
b) f (z) = e z π
alrededor del punto z 0 = 2
c)
f z e z i
2
( ) = z ,
0
= 2
38.- Obtener el desarrollo de la serie de Laurent para la siguiente función:
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f ( z)
=
1
( z − 1)( z − 2)
en torno al anillo: 2 < z
39.- Obtener el desarrollo de la serie de Laurent para la siguiente función:
f ( z)
=
1
2
(1 − z )
en torno al anillo: 0 < z − 1 < 2
40.- Obtener el desarrollo de la serie de Laurent para la siguiente función:
en torno al anillo: 2 < z
41.- Sea
f ( z)
=
f ( z)
=
1
( z − 1)( z − 2)
1
( ) 2 2
z − 3 z
Hallar la serie de Laurent de la función alrededor de |z| = 3
42.- Hállense todas las series de Taylor y de Laurent con centro en a, y determínese las
regiones precisas de convergencia.
1
a) , a = 1
z + 3
1
b) , a = − 1
z − 3
43.- Sea
f ( z)
=
2
7z
+ 9z
− 18
z
3
− 9z
Obtener la serie de Laurent de la función en el anillo 0 < | z |

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Calcular su serie de Laurent en el dominio anular
las singularidades.
1 < | z - 2 | < 3. Graficar la región y
46.- Evalúese la siguiente integral:
1
a) ∫ dz
2 , si C es el círculo z = 2
z sen z
C
3
4z
+ 7z b) ∫ dz , si C es el círculo z + 1 = 1
cos( z)
c)
C
∫
C
3
z + 2
dz , si C es el círculo unitario
4z
+ π
− z
e
d) ∫ dz
2 , si C es el círculo z = 2
z
C
VIII Polos y Residuos
47.- Por el Teorema de Residuos calcular la siguiente integral en el contorno indicado
(tomado en sentido positivo). Y graficar el contorno y las singularidades.
z + 1
a) ∫ dz
2
en | z | = 4
z z − 2
C
( )
b) ∫ dz
2
C ( z + 4)
z
en |z| = 3
c) ∫ dz
2
z + 4 z
en | z - i | = 2
C
( )
8i
− z
d) ∫ dz
2
en | z | = 2
z + 2z
+ 1
C
48.- Evaluar la siguiente integral impropia y graficar el contorno C
∞
dx
a) ∫ 2 3
(1 x )
+
− ∞
∞
cos(2 x)
b) ∫ 2 2
( x + 4)
− ∞
∞
dx
c) 2 2
∫
dx
( x + 1)( x + 9)
− ∞
∞ x senx dx
d) ∫ 0 2
x + 1
∞ xdx
e) ∫ − ∞ 2
x + 2x
+ 2
( ) 2
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∞ dx
f) ∫ − ∞ 2
x + x +
2
49.- Evaluar la siguiente integral real definida
2π
dθ
a) ∫
(5 − 3 sen θ )
0
2π
dθ
b) ∫
(13 − 5 sin θ )
0
2π
dθ
c) ∫
(5 + 4 sin θ )
0
d)
2π
∫
0
cosθ
(3 2cos ) d θ
+ θ
50.- Clasificar el tipo de singularidad de la siguiente serie y justificar la respuesta:
a)
z
2
− 2z
+ 3 3
= 2 + ( z − 2) +
z − 2 z − 2
b)
senh z
z
1 1 1 1 1
z 3! z 5! 7!
= + + 3
z + z +
4 3
...
c)
1
e z
= 1 1 1 1 1 1 1
1 + ...
2 3 4
z + 2! z + 3! z + 4! z
+
d)
z
2
e − 1 z z
f ( z) = = 1 + + + ...
z 2! 3!
Elaboraron los profesores:
Mónica Sedeño Juárez
Gloria Juárez Villarreal
Juan J. Ponce Cortés
Miguel Pimentel León
Patricia Camarena Gallardo
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BIBLIOGRAFÍA
VARIABLE COMPLEJA Y APLICACIONES
Churchill, Ruel
Mc Graw Hill
7 a edición, 2004
VARIABLE COMPLEJA CON APLICACIONES
Wunsch, David
Pearson Educación
2 a edición, 1999
VARIABLE COMPLEJA
Polya y Latta
Limusa
MATEMÁTICAS AVANZADAS PARA INGENIERÍA
James, Glyn
Prentice Hall
2 a edición, pags. 2-84
MATEMÁTICAS AVANZADAS PARA INGENIERÍA
O’ Neil, Peter
Thomson
5 a edición, pags. 381-569
MATEMÁTICAS AVANZADAS PARA INGENIERÍA
Kreyszig, Erwin
Limusa Wiley
3 a edición, vol. II, pags. 171-334
MATEMÁTICAS SUPERIORES PARA INGENIERÍA
Wylie, Ray
Mc Graw Hill
4 a edición, pags. 812-905
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