TEMA 2 DUALIDAD DEL PROCESADO CONTINUO / DISCRETO ...
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<strong>TEMA</strong> 2<br />
<strong>DUALIDAD</strong> <strong>DEL</strong> <strong>PROCESADO</strong><br />
<strong>CONTINUO</strong> / <strong>DISCRETO</strong><br />
2.1 Procesado discreto de señales analógicas<br />
2.2 Procesado analógico de señales discretas<br />
2.3 Cambio de la frecuencia de muestreo en el<br />
dominio discreto.<br />
2.4 Aplicación del diezmado y de la interpolación a<br />
la conversión A/D y D/A<br />
Tema2.1<br />
T3.1
2.1 <strong>PROCESADO</strong> <strong>DISCRETO</strong> DE SEÑALES<br />
ANALÓGICAS<br />
Pretendemos realizar de forma ‘discreta’ un<br />
sistema contínuo, como podría ser la simulación por<br />
ordenador de un proceso físico conocido. Para ello:<br />
x c (t)<br />
x[n]<br />
y[n]<br />
y r (t)<br />
C / D<br />
Sistema<br />
Discreto<br />
D / C<br />
T<br />
T<br />
h(t), H(Ω)<br />
Teníamos: xn [ ] = x ( nT)<br />
Por otro lado:<br />
(<br />
j<br />
)<br />
Xe<br />
c<br />
ω ω π<br />
= 1 ⎛<br />
⋅ Xc<br />
− ⋅ ⎞<br />
∑ ⎜<br />
2 ⋅ k⎟<br />
T ⎝ T T ⎠<br />
k<br />
y<br />
r<br />
∞<br />
() t = ∑ y[ n]<br />
n=−∞<br />
sin<br />
⋅<br />
π<br />
[ π ( t − nT )/<br />
T ]<br />
( t − nT )/<br />
T<br />
=<br />
∞<br />
∑<br />
n=−∞<br />
y<br />
[ n]<br />
⎛<br />
⋅ sinc⎜<br />
⎝<br />
( t − nT )<br />
T<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
Además:<br />
⎧<br />
( ) ( ) ( )<br />
T Y( jΩT<br />
e )<br />
jΩT<br />
⎪<br />
Ω = Ω ⋅ =<br />
Y H Y e<br />
r<br />
r<br />
⎨<br />
⎩⎪ 0<br />
⋅ Ω <<br />
resto<br />
π / T<br />
Tema2.2<br />
T3.2
2.1 PROC. <strong>DISCRETO</strong> DE SEÑALES ANALÓGICAS (cont.)<br />
Si el sistema discreto es LTI: Y( e j ω<br />
) H( e j ω<br />
) X( e<br />
j ω<br />
= ⋅ )<br />
que junto a la expresión anterior resulta:<br />
( ) ( ) (<br />
jΩT) (<br />
jΩT<br />
Ω<br />
)<br />
r<br />
Ω<br />
Y = H ⋅H e ⋅ X e =<br />
r<br />
( ) (<br />
jΩT<br />
= H H e )<br />
r<br />
Ω ⋅ ⋅ 1 ⎛<br />
⋅ Xc<br />
Ω− ⋅ ⎞<br />
∑ ⎜<br />
2 π ⋅ k⎟<br />
T ⎝ T ⎠<br />
Si X c (Ω)=0 para |Ω|>π/T, entonces el filtro paso<br />
bajo ideal de reconstrucción H r (Ω) cancela el factor 1/T<br />
y selecciona sólo el término correspodiente a k=0:<br />
Y<br />
r<br />
⎧<br />
(<br />
jΩT) ⎪<br />
c ( Ω)<br />
( Ω) =<br />
k<br />
He ⋅ X Ω < π / T<br />
⎨<br />
⎩⎪ 0<br />
Ω > π / T<br />
De este modo, si: a) X c (Ω) está limitado en banda,<br />
y b) la frecuencia de muestreo es superior a la de<br />
Nyquist, la salida se relaciona con la entrada como:<br />
donde<br />
( Ω) = ( Ω) ⋅ ( Ω)<br />
Y H X<br />
r eff c<br />
H<br />
eff<br />
⎧<br />
(<br />
jΩT<br />
He ) ⎪<br />
( Ω) =<br />
⎨<br />
⎩⎪ 0<br />
Ω<br />
Ω<br />
<<br />
><br />
π<br />
π<br />
/ T<br />
/ T<br />
Tema2.3<br />
T3.3
2.1 PROC. <strong>DISCRETO</strong> DE SEÑALES ANALÓGICAS (cont.)<br />
⇒ vemos que el sistema contínuo total (entrada y<br />
salida contínuas) es equivalente a un sistema LTI cuya<br />
respuesta efectiva en frecuencia coincide con la<br />
anterior.<br />
Debemos destacar que el comportamiento LTI del<br />
sistema contínuo total depende de dos factores:<br />
1. El sistema discreto debe ser LTI.<br />
2. La señal de entrada debe ser limitada en<br />
banda y la frecuencia de muestreo<br />
suficientemente alta para que cualquier posible<br />
aliasing (solapamiento espectral) sea eliminado<br />
por el sistema discreto.<br />
Ejemplo: podemos ver en el siguiente ejemplo un filtro<br />
paso bajo discreto en el que, a pesar de existir aliasing,<br />
la salida es correcta:<br />
X c (Ω)<br />
H(Ω)<br />
Ω N<br />
X (e jω )<br />
H (e jω )<br />
Ω S
2.1 PROC. <strong>DISCRETO</strong> DE SEÑALES ANALÓGICAS (cont.)<br />
Ejemplo: queremos filtrar paso bajo una señal contínua.<br />
Para ello, haremos uso del sistema conversión C/D →<br />
Sistema discreto → conversión D/C, obteniendo las<br />
siguientes señales:<br />
a) Transf. de Fourier<br />
(TF) de una señal de<br />
entrada limitada en<br />
banda.<br />
b) TF de la señal<br />
muestreada, dibujada<br />
en función de la<br />
frecuencia contínua Ω.<br />
c) TF X(e jω ) de la<br />
secuencia x[n] y<br />
respta. en frecuencia<br />
H(e jω ) del sist. discreto<br />
d) TF de la salida del<br />
sistema discreto<br />
e) TF de la salida del<br />
sist. discreto y rpta. en<br />
frecuencia del filtro de<br />
reconstrucción ideal<br />
representadas en f(Ω).<br />
f) TF de la salida<br />
Tema2.5<br />
T3.5
2.2 <strong>PROCESADO</strong> CONTÍNUO DE SEÑALES<br />
DISCRETAS<br />
En este caso, disponemos de señal discreta y<br />
queremos que la salida también sea discreta (por<br />
ejemplo, obtener la respuesta impulsiva de un recinto<br />
acústico):<br />
x[n]<br />
x c (t)<br />
y c(t)<br />
y[n]<br />
D / C<br />
Sistema<br />
Contínuo<br />
C / D<br />
T<br />
h c (t), H c (Ω)<br />
T<br />
h[n], H(e jω )<br />
Si observamos las relaciones conocidas entre las<br />
distintas entradas y salidas en el margen de<br />
frecuencias indicado:<br />
( ) (<br />
jΩT<br />
Ω<br />
)<br />
X = T ⋅ X e Ω < π / T<br />
c<br />
( ) ( ) ( )<br />
Y Ω = H Ω ⋅ X Ω Ω < π / T<br />
c c c<br />
(<br />
jω<br />
)<br />
Y e<br />
1<br />
= ⋅<br />
T Y<br />
c<br />
⎛ ω⎞<br />
⎜ ⎟ ω < π<br />
⎝T<br />
⎠<br />
⇒ el sistema total se comporta como un sistema<br />
discreto con respuesta en frecuencia:<br />
He (<br />
jω<br />
) H ⎛ ω⎞<br />
=<br />
c ⎜ ⎟ ω <<br />
⎝ T ⎠<br />
π<br />
Tema2.6<br />
T3.6
2.2 PROC. CONTÍNUO DE SEÑALES DISCRETAS (cont.)<br />
Visto de otro modo, la respuesta en frecuencia total<br />
será igual a una H(e jω ) dada si la respuesta del sistema<br />
contínuo viene dada por:<br />
( ) (<br />
jΩT<br />
Ω )<br />
H = H e Ω < π / T<br />
c<br />
2.3 CAMBIO DE LA FRECUENCIA DE MUESTREO<br />
EN EL DOMINIO <strong>DISCRETO</strong><br />
Con cierta frecuencia, será necesario cambiar la<br />
frecuencia de muestreo de una señal discreta, es decir,<br />
obtener una nueva representación discreta de la señal<br />
contínua original:<br />
x[n] = x c (nT) → x’[n] = x c (nT’)<br />
La forma mas sencilla e intuitiva de hacerlo sería<br />
reconstruir la señal contínua x c (t) a partir de x[n], y<br />
volver a muestrear con T’. Sin embargo, esto no es<br />
deseable debido a que ni el filtro de reconstrucción ni<br />
los conversores A/D y D/A son ideales.<br />
⇒ buscaremos entonces el modo de hacerlo en el<br />
dominio discreto, sin necesidad de conversiones.<br />
Tema2.7<br />
T3.7
2.3.1. Reducción de f s por un factor entero:<br />
Diezmado<br />
La frecuencia de muestreo de una secuencia puede<br />
reducirse de forma directa mediante un nuevo ‘muestreo’<br />
de la secuencia original:<br />
x d [n] = x [n⋅N] = x c (n⋅N⋅T)<br />
⇒ sin embargo, esta manipulación directa no sabemos<br />
qué efectos tiene en el dominio de la frecuencia, ya que<br />
podemos estar inframuestreando (muestreando por<br />
debajo de la frecuencia de Nyquist) la señal original, con<br />
lo que nos aparecerían solapes espectrales.<br />
Para realizar este análisis, haremos uso de una<br />
señal intermedia z[n], en la que hacemos cero, pero no<br />
eliminamos, las muestras que no nos interesan.<br />
x[n]<br />
x[0]<br />
z[n]<br />
x[0]<br />
x d [n]<br />
x[N]<br />
x[N]<br />
x[2N<br />
[ ] = [ ] ⋅ ∑δ[ − ]<br />
zn xn n lN<br />
∞<br />
∑<br />
δ<br />
l = −∞<br />
1<br />
− = ⋅<br />
N<br />
[ n lN]<br />
∞<br />
l =−∞<br />
DSF<br />
N −1<br />
∑<br />
k = 0<br />
e<br />
2π<br />
j<br />
N nk<br />
x[2N<br />
Tema2.8<br />
T3.8
2.3.1. Reducción de f s por un factor entero:<br />
Diezmado (cont.)<br />
Vamos a demostrar (no obtener) la igualdad<br />
anterior, obtenida mediante desarrollo en serie de<br />
Fourier (DSF):<br />
N−1<br />
∑<br />
k = 0<br />
e<br />
2π<br />
j nk<br />
N<br />
•<br />
Si n = N ⇒<br />
=<br />
0<br />
0<br />
1−<br />
e<br />
1−<br />
e<br />
⇒<br />
j 2πn<br />
2π<br />
j n<br />
N<br />
N−1<br />
∑<br />
k = 0<br />
e<br />
⎧NUM = 0 siempre<br />
⎪<br />
⎨<br />
2π<br />
j n<br />
⎪<br />
⎩DEN = 0 sii e N = 1<br />
2π<br />
j nk<br />
N<br />
n=<br />
N<br />
=<br />
•<br />
N−1<br />
k = 0<br />
⎧<br />
•<br />
1<br />
N−1<br />
2π<br />
j nk ⎪0<br />
si n ≠ N<br />
⇒ ∑ e N = ⎨<br />
N<br />
•<br />
k = 0 ⎪<br />
⎩1<br />
si n = N<br />
Una vez demostrada la igualdad, tenemos entonces:<br />
[ ] [ ]<br />
zn<br />
1<br />
= ⋅<br />
N xn ⋅<br />
∑<br />
e<br />
j 2πk<br />
=<br />
N−1<br />
∑<br />
k = 0<br />
•<br />
n = N<br />
1 = N<br />
2π<br />
N−1<br />
ej N<br />
∑<br />
nk<br />
k = 0<br />
⎛ 2π<br />
∞ N<br />
−j⎜ω<br />
−<br />
N k ⎞<br />
−1<br />
∞<br />
⎟ n<br />
(<br />
jω) − jωn<br />
1<br />
⎝ ⎠<br />
Ze = ∑zn [ ] ⋅ e = ⋅ ∑ ⋅ ∑xn<br />
[ ] ⋅e<br />
n =−∞<br />
N<br />
k = 0 n1=−∞<br />
4444244443<br />
⎛<br />
⎜<br />
X⎜e<br />
⎜<br />
⎝<br />
⎛ 2π<br />
j ⎜ ω −<br />
⎝ N k ⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
⇒ repeticiones periódicas de X(e jω ) cada 2π/N<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎠<br />
⇒<br />
Tema2.9<br />
T3.9
2.3.1. Reducción de f s por un factor entero:<br />
Diezmado (cont.)<br />
X c (Ω)<br />
1<br />
Gráficamente:<br />
X (e jω )<br />
-Ω N Ω N<br />
Ω<br />
1/T<br />
-2⋅π<br />
ω a<br />
2⋅π<br />
ω<br />
1/(N·T)<br />
Z (e jω )<br />
-2⋅π<br />
2⋅π/N<br />
2⋅π<br />
ω<br />
Si observamos:<br />
∞<br />
j<br />
( ) ∑ d [ ] [ 0] [ ] [ 2 ]<br />
X e = x n ⋅ e = ... + x + x N ⋅ e + x N ⋅ e + ...<br />
d<br />
ω −jωn −jω −j2ω<br />
n =−∞<br />
∞<br />
j<br />
( ) ∑ [ ] [ 0] [ ] [ 2 ]<br />
ω −jωn −jωN −j2ωN<br />
Ze = zn⋅ e = ... + x + xN⋅ e + x N⋅ e + ...<br />
n =−∞<br />
⎛<br />
X e = Z ⎜<br />
⎜<br />
e<br />
⎝<br />
⇒ (<br />
jω<br />
) d<br />
ω ⎛ ω 2π<br />
j j⎜<br />
−<br />
N<br />
⎝ N N k ⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
1/T’=1/(N·T)<br />
⎞ N−1<br />
⎛<br />
⎟ X e<br />
⎟ = 1<br />
N<br />
⋅ ⎜<br />
∑<br />
⎠ k = 0 ⎜<br />
⎝<br />
X d (e jω )<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎠<br />
-2⋅π -π N·ω a π<br />
2⋅π<br />
Tema2.10<br />
T3.10
2.3.1. Reducción de f s por un factor entero:<br />
Diezmado (cont.)<br />
⇒ si aparecen solapes en Z(e jω ), también aparecerán<br />
en X d (e jω ), ya que sólo hemos cambiado la graduación<br />
del eje de abscisas.<br />
Por tanto, un esquema práctico de diezmado<br />
deberá incluir una etapa de prefiltrado que evite la<br />
aparición de solapes aunque perdamos información:<br />
v[n]<br />
π / N<br />
x[n]<br />
↓ N<br />
y[n]<br />
1<br />
H(e jω )<br />
-π / N<br />
π / N<br />
ω<br />
Tema2.11<br />
T3.11
2.3.2. Aumento de f s por un factor entero:<br />
Interpolación<br />
Si queremos aumentar la frecuencia de muestreo<br />
de la señal x c (t):<br />
x[0]<br />
x [n]<br />
x[1]<br />
x[n]=x c (nT)<br />
x i [n]= x c (nT’) con T=T’⋅L<br />
x[2]<br />
z[n]<br />
x[0]<br />
x[1]<br />
x[2]<br />
⇒ x i [nL]= x[n]<br />
La secuencia intermedia:<br />
x i [n]<br />
[ ]<br />
zn<br />
=<br />
⎧<br />
⎪xn<br />
⎨<br />
⎪<br />
⎩0<br />
•<br />
/ si n = L<br />
[ L]<br />
si n<br />
≠<br />
•<br />
L<br />
Podemos expresar:<br />
∞<br />
[ ] = [ ] ⋅ [ − ]<br />
zn ∑ xk δ n kL<br />
k =−∞<br />
∞<br />
jω<br />
( ) ∑ ∑ [ ] δ[ ]<br />
Ze = xk⋅ n− kL⋅ e =<br />
n=−∞1k<br />
=−∞ 444 24443<br />
zn [ ]<br />
∞<br />
∑<br />
− jωkL<br />
[ ] (<br />
jωL)<br />
= xk ⋅ e = Xe<br />
k =−∞<br />
∞<br />
− jωn<br />
Tema2.12<br />
T3.12
2.3.2. Aumento de f s por un factor entero:<br />
Interpolación (cont.)<br />
X c (Ω)<br />
1<br />
Gráficamente:<br />
-Ω N Ω N<br />
Ω<br />
X (e jω )<br />
1/T<br />
-2⋅π -π π<br />
L<br />
1/T<br />
Z (e jω )<br />
2⋅π<br />
-2⋅π<br />
2⋅π/L<br />
X i (e jω )<br />
π<br />
2⋅π<br />
ω<br />
L/T=1/T’<br />
-2⋅π<br />
2⋅π<br />
ω<br />
Por tanto, un esquema práctico de interpolación:<br />
x[n]<br />
z[n]<br />
x i [n]<br />
↑ L<br />
π / L<br />
L<br />
H(e jω )<br />
-π / L<br />
π / L<br />
ω<br />
Tema2.13<br />
T3.13
2.3.3. Cambio de f s por un factor no entero<br />
Combinando el diezmado y la interpolación es<br />
posible cambiar la frecuencia de muestreo por un factor<br />
no entero:<br />
x[n]<br />
x i [n]<br />
x id [n]<br />
↑ L<br />
π / L π / N ↓ N<br />
G=L G=1<br />
'<br />
s<br />
De este modo: f = f ⋅<br />
s<br />
⇒ Eligiendo de forma adecuada L y N, podemos<br />
acercarnos a cualquier relación entre períodos de<br />
muestreo deseada (al menos, idealmente).<br />
Si de los dos filtros intermedios, nos quedamos<br />
con el mas exigente:<br />
L<br />
N<br />
x[n]<br />
↑ L<br />
min ( π / L , π / N )<br />
G=L<br />
↓ N<br />
x id [n]<br />
Tema2.14<br />
T3.14
• Ejemplo: tenemos una señal discreta, con ω max =4π/5,<br />
y queremos modificar su f s de modo que:<br />
a) f s ’ = 3/2 ⋅ f s<br />
b) f s ’ = 2/3 ⋅ f s<br />
X (e jω )<br />
-2⋅π -π 4π/5 π<br />
2⋅π ω<br />
(a) L=3, N=2<br />
X i (e jω )<br />
-2⋅π -π<br />
π/3<br />
4π/15<br />
π<br />
2⋅π<br />
ω<br />
X id (e jω )<br />
-2⋅π<br />
-π<br />
(b) L=2, N=3<br />
8π/15<br />
π<br />
2⋅π<br />
ω<br />
X i (e jω )<br />
-2⋅π -π<br />
π/3<br />
X id (e jω )<br />
π<br />
2π/5<br />
2⋅π<br />
ω<br />
-2⋅π<br />
-π<br />
π<br />
2⋅π<br />
ω<br />
Tema2.15<br />
T3.15
⇒ si x[n] fue fruto de muestrear cumpliendo el criterio<br />
de Nyquist, siempre podremos aumentar la frecuencia<br />
de muestreo sin perder información.<br />
Sin embargo, para bajar la frec. de muestreo, sólo<br />
podremos hacerlo sin perder información en la misma<br />
medida que la señal estuviera sobremuestreada.<br />
2.4 Aplicación del diezmado y de la interpolación a<br />
la conversión A/D y D/A<br />
En la conversión A/D siempre vamos a necesitar<br />
un filtro antialiasing, en teoría ideal. En la práctica,<br />
estos filtros tienen una pendiente de caída mas o<br />
menos abrupta.<br />
X (Ω), H(Ω)<br />
-Ω s /2 Ω s /2 Ω<br />
En los filtros analógicos, una pendiente (orden) mayor<br />
significa:<br />
* Coste mayor<br />
* Mayor distorsión de fase<br />
La atenuación requerida a estos filtros es de<br />
alrededor de 60 dB en Ω s /2.<br />
Tema2.16<br />
T3.16
2.4 Aplicación del diezmado y de la interpolación a la<br />
conversión A/D y D/A (cont.)<br />
Para reducir la complejidad de los filtros, podemos<br />
muestrear a una frecuencia muy superior a la necesaria<br />
(sobremuestreo), con lo que tendremos la misma<br />
atenuación en Ω s /2, pero con un orden del filtro mucho<br />
menor.<br />
X (Ω), H(Ω)<br />
-Ω s /2 Ω s /2 Ω<br />
Además, el ruido de cuantificación es un proceso<br />
del tipo ‘ruido blanco’, que se extiende en toda la banda<br />
[-π, π], con potencia de ruido Δ 2 /12.<br />
X (Ω)<br />
-Ω s /2 Ω s /2<br />
Ω<br />
X (Ω)<br />
-Ω s /2 Ω s /2 Ω<br />
⇒ la SNR de cuantificación, en la banda de interés<br />
quedará multiplicada por el factor de sobremuestreo.<br />
Tema2.17<br />
T3.17
2.4 Aplicación del diezmado y de la interpolación a la<br />
conversión A/D y D/A (cont.)<br />
Ejemplo: N=2 ⇒ +3 dB<br />
N=4 ⇒ +6 dB<br />
Por tanto, un posible esquema para mejorar el sistema<br />
de adquisición sería:<br />
x c (t)<br />
x [n]<br />
x d [n]<br />
Filtro<br />
A / D π / N ↓ N<br />
antialiasing<br />
(orden bajo)<br />
T
* Disminuye el nivel de ruido ⇒ mejor SNR (1 bit<br />
cada 4 veces de aumento de f s )<br />
2.4 Aplicación del diezmado y de la interpolación a la<br />
conversión A/D y D/A (cont.)<br />
y[n] El esquema de salida y i [n] con interpolación quedaría: y r (t)<br />
↑L<br />
π / L<br />
D / A<br />
H r (Ω)<br />
corrección<br />
sen(x)/x<br />
T