Introducción al Análisis de Circuitos Eléctricos - Escuela Politécnica ...

Universidad Autónoma de Madrid
Escuela Politécnica Superior
Introducción al Análisis de Circuitos
Eléctricos
TEMA 2
ESTUDIO DE CIRCUITOS EN RÉGIMEN
PERMANENTE SINUSOIDAL
Jesús Bescós Cano
Fabrizio Tiburzi Paramio
Madrid, 2007

2.1 INTRODUCCIÓN ....................................................................................................................................... 1
2.2 CONCEPTOS BÁSICOS.............................................................................................................................. 2
2.2.1 TRIGONOMETRÍA ................................................................................................................................... 2
2.2.2 NÚMEROS COMPLEJOS........................................................................................................................... 2
2.3 SEÑALES SINUSOIDALES ......................................................................................................................... 3
2.3.1 DEFINICIONES........................................................................................................................................ 3
Señal periódica ............................................................................................................................................ 3
Señal sinusoidal........................................................................................................................................... 3
Desfase entre señales sinusoidales .............................................................................................................. 4
Valor medio y valor eficaz .......................................................................................................................... 5
2.3.2 RELACIÓN CON LOS NÚMEROS COMPLEJOS. CONCEPTO DE FASOR....................................................... 6
2.3.3 OPERACIONES. DIAGRAMAS FASORIALES. ............................................................................................ 8
Suma............................................................................................................................................................ 8
Derivación e integración ............................................................................................................................. 9
Conclusiones ............................................................................................................................................. 11
2.4 CIRCUITOS RLC EXCITADOS POR SEÑALES SINUSOIDALES............................................................... 13
2.4.1 OBTENCIÓN DE LA SOLUCIÓN EN RÉGIMEN PERMANENTE .................................................................. 13
2.4.2 IMPEDANCIA EN RPS........................................................................................................................... 14
Asociación de impedancias ....................................................................................................................... 16
2.5 ANÁLISIS DE CIRCUITOS RLC EN RPS ................................................................................................ 17
2.6 POTENCIA EN RPS ................................................................................................................................ 18
2.6.1 POTENCIA INSTANTÁNEA .................................................................................................................... 18
Potencia activa y potencia reactiva. Factor de potencia. ........................................................................... 18
2.6.2 POTENCIA MEDIA PUESTA EN JUEGO POR LOS DISPOSITIVOS CIRCUITALES ........................................ 19
Potencia en una impedancia genérica........................................................................................................ 20
Potencia en resistencias, bobinas y condensadores ................................................................................... 20
Potencia instantánea en dispositivos pasivos ............................................................................................ 20
APÉNDICE A: NÚMEROS COMPLEJOS ........................................................................................................... 23
A.1 HISTORIA Y DEFINICIONES..................................................................................................................... 23
A.2 OPERACIONES........................................................................................................................................ 25
Suma.......................................................................................................................................................... 25
Producto .................................................................................................................................................... 26
División:.................................................................................................................................................... 26
Sistemas de ecuaciones ............................................................................................................................. 27
A.3 EJERCICIOS ............................................................................................................................................ 28
Ejercicio 1 ................................................................................................................................................. 28
Ejercicio 2 ................................................................................................................................................. 29
Ejercicio 3 ................................................................................................................................................. 29
Ejercicio 4 ................................................................................................................................................. 29
Ejercicio 5 ................................................................................................................................................. 30
APÉNDICE B: POTENCIA COMPLEJA Y POTENCIA APARENTE ..................................................................... 31

Estudio de circuitos en RPS
2.1 Introducción
Por Régimen Permanente Sinusoidal (en adelante RPS) se entiende el estado en que se
encuentra un circuito excitado por señales sinusoidales una vez que el régimen libre es
despreciable. Si además se verifica que todas las excitaciones son de igual frecuencia, la
resolución del circuito se puede abordar sin grandes complicaciones operativas. En esta situación,
gracias a las especiales propiedades de las señales sinusoidales y a la linealidad de los modelos
presentados para resolver un circuito, todas las corrientes y tensiones presentes en el circuito van a
ser también señales sinusoidales, y de igual frecuencia que la de los generadores o excitaciones.
Las especiales propiedades a que nos referimos son esencialmente que la suma de dos
sinusoides de igual frecuencia es otra sinusoide de la misma frecuencia y que las sucesivas
integrales o derivadas de señales sinusoidales son también señales sinusoidales de la misma
frecuencia. Si tenemos en cuenta que tanto las características i-v de los dispositivos presentados
como las Leyes de Kirchhoff sólo involucran este tipo de operaciones, se entenderá que las
respuestas de circuitos excitados por sinusoides sean también sinusoides de igual frecuencia.
Aparte de estas propiedades, relevantes a efectos teóricos, las señales sinusoidales son fáciles de
generar (de ahí su uso en la generación de energía eléctrica ―alternador, turbina― y en su
transporte), y desempeñan un papel fundamental en el campo del proceso de señal y
comunicaciones (análisis de Fourier, modulaciones, etc.,).
1

Estudio de circuitos en RPS
2.2 Conceptos básicos
2.2.1 Trigonometría
Es la rama de la ciencia que estudia las relaciones que existen entre los lados y los ángulos de
un triángulo. De cara al análisis de circuitos, los conceptos que conviene dominar son:
• Unidades. Aunque en ocasiones se trabaja con ángulos expresados en grados, lo habitual es
operar con ángulos expresados en radianes. En cualquier caso ha de prestarse especial atención
para no mezclar ambas unidades (error habitual al sumar ángulos que provienen de velocidades
angulares, típicamente dadas en radianes por segundo, con fases iniciales, frecuentemente
dadas en grados).
• Funciones trigonométricas. Expresiones del seno, coseno y tangente de los ángulos agudos de
un triángulo rectángulo en función de sus catetos e hipotenusa.
• Circunferencia goniométrica o de radio unidad. Localización inmediata de ángulos expresados
en radianes e identificación ágil de sus senos y cosenos.
2.2.2 Números complejos
Tanto en la Ingeniería Eléctrica como en temas más directamente relacionados con la Teoría de
la Señal, existen multitud de fenómenos cuyo estudio es posible formalizar y abordar con relativa
sencillez a partir de la teoría de variables complejas. Por ello resulta fundamental saber manejar
con soltura las operaciones con números complejos, sus diversas representaciones y sus relaciones
con la geometría. El Apéndice A de este capítulo ofrece un resumen de lo que, a efectos de esta
asignatura, se considera necesario dominar.
2

Estudio de circuitos en RPS
2.3 Señales sinusoidales
2.3.1 Definiciones
SEÑAL PERIÓDICA
Es aquella que se repite cada cierto intervalo de tiempo fijo, T, al que se denomina periodo de la
señal (ver Fig. 2.1).
T
t
Fig. 2.1: Señal periódica de periodo T .
Analíticamente, una señal f()
t es periódica si se verifica:
+
∃T ∈ / f( t) = f( t+ nT),
∀n∈Ζ (2. 1)
Al mínimo valor de T que verifica esta relación (obsérvese que si la verifica un valor T,
también lo hará 2T, 3T, etc.) se le denomina periodo fundamental de la señal. Habitualmente, al
periodo fundamental se le denomina directamente periodo de la señal.
SEÑAL SINUSOIDAL
Es una señal periódica cuya expresión habitual viene dada por:
yt () = Asen( ω t+ ϕ )
(2. 2)
,donde:
0 0 0
• A0
es la amplitud máxima que alcanza la señal. Viene dada en las mismas unidades que la
señal. También se denomina amplitud de pico, y al doble de su valor amplitud pico-pico (ver
Fig. 2.2).
• ω0
es la velocidad de variación de fase, o pulsación. Viene dada en radianes/s. La pulsación
está directamente relacionada con el periodo de la señal que normalmente vendrá dado en
segundos:
yt () = yt ( + T) ⇒ Asen
0
( ω0t+ ϕ0) = Asen
0
( ω0( t+ T) + ϕ0)
⇒
2π
⇒ ω0t+ ϕ0 + 2 kπ = ω0( t+ T)
+ ϕ0
⇒ T = k
ω0
(2. 3)
, que toma valor mínimo para k = 1, de donde:
2π
T =
ω
0
(2. 4)
A partir del periodo se define la frecuencia de la señal, que se corresponde con el número de
ciclos o periodos por segundo, y se mide en hertzios (Hz):
3

Estudio de circuitos en RPS
1 ω0
f = =
T 2π
(2. 5)
• ω t ϕ 0
+ es la fase de la señal en cada instante, t. Puede venir dada en radianes o en grados,
aunque es conveniente expresarla en radianes para evitar mezclar unidades, ya que la pulsación
suele darse en rad/s. Varía linealmente entre 0 y 2π (ver Fig. 2.2). Al valorϕ0
se le denomina
fase inicial de la señal, ya que es el valor que toma la fase en el instante t = 0 . Puede venir
dada en radianes o en grados, aunque nuevamente es conveniente expresarla en radianes para
evitar complicaciones.
Amplitud
A 0
Amplitud
máxima
= A 0
Fase
t
2π
Fase
Señal
y(t)
ϕ 0
A 0
t
y(t) = A 0 sen(ω 0 t+ϕ 0 )
t
Fig. 2.2: Evolución de la amplitud y fase de una señal sinusoidal.
DESFASE ENTRE SEÑALES SINUSOIDALES
El desfase (o, dicho de otro modo, la diferencia instantánea entre fases) entre dos señales
sinusoidales de la misma frecuencia puede interpretarse como un retardo en el tiempo de una señal
respecto de la otra. Dadas dos señales sinusoidales y1 ( t)
e y
2
( t)
, podemos interpretar su fase
inicial como un tiempo inicial:
ϕ
y t = Asen t+ ⇒ y t = Asen t+ (2. 6)
1
1() 1
( ω0 ϕ1) 1() 1
( ω0( ))
ω0
ϕ
y t = A sen t+ ⇒ y t = A sen t+ (2. 7)
2
2() 2
( ω0 ϕ2) 2() 2
( ω0( ))
ω0
, lo que indica que la fase de la primera señal es nula para t 1
= −ϕ 1
ω 0
y la de la segunda para
t2 =− ϕ2 ω0
. Si t 1
> t 2
(es decir, si ϕ 2
> ϕ 1
), la señal y1
( t)
presenta fase nula después que y2
( t ) .
Dicho de otro modo, y1
() t decimos que está retrasada con respecto a y2
( t)
un tiempo t 0
= t 1
− t 2
, o
bien que y2
() t está adelantada respecto de y1
( t)
esa misma magnitud. También suele decirse que
y1
() t presenta un retardo de t 0
con respecto a y2
( t ) . La Fig. 2.3 ilustra gráficamente este concepto
suponiendo ϕ
1
= 0 y ϕ2 > ϕ1.
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Estudio de circuitos en RPS
y(t)
y 1 (t)
y 2 (t)
t 0
t
Fig. 2.3: Desfase o retardo temporal entre dos señales sinusoidales.
A partir del concepto de desfase es inmediato relacionar las funciones ‘seno’ y ‘coseno’.
Efectivamente, si representamos gráficamente la función seno tomando una fase inicial de π /2
radianes (ver Fig. 2.4), podemos comprobar que el resultado es precisamente la función coseno. De
aquí la identidad habitualmente estudiada en los cursos de trigonometría:
⎛ π ⎞
sen⎜ω0t + ⎟=
cos( ω0t)
⎝ 2 ⎠
y(t)
sen(ω 0 t)
cos(ω 0 t)
(2. 8)
t
π/(2ω 0 )
Fig. 2.4: Representación gráfica de las funciones seno y coseno.
Como veremos a lo largo de este tema, en la resolución de ciertos problemas no se asigna a las
señales un determinado origen de tiempos ya que no interesa conocer la fase absoluta de las señales
involucradas sino sus fases relativas (es decir, los desfases entre ellas). En estas situaciones se
habla sin embargo de la fase de una señal, indicando en realidad su desfase con respecto a una
señal que se considera o acuerda origen de fases o de fase nula.
VALOR MEDIO Y VALOR EFICAZ
El valor medio de una señal genérica y(t)
en un intervalo t
1
< t < t
2
se define como la media de
los valores instantáneos que y(t)
toma en dicho intervalo:
A
( t1,
t2)
m
t2
1
= ytdt ()
t − t
∫ (2. 9)
2 1 t1
En el caso de señales periódicas se habla simplemente de valor medio y se asume que el
intervalo de cálculo es t 2
− t 1
= T , su periodo. Dado que todos los periodos son iguales, la integral
se podrá calcular sobre cualquier periodo de la señal. Así, para una señal y (t)
periódica de periodo
T:
1
A
m
= ∫ y(
t)
dt
T
T
(2. 10)
5

Estudio de circuitos en RPS
Si y(t)
es además una función sinusoidal de pulsación ω
0
(y por tanto T = 2π ω0
) el valor medio
será siempre nulo:
2π
2π
ω0 ω0
0
ω ⎡
0
A
⎤
0
0
ω0 ϕ ⎢ ω0
ϕ ⎥
0 ⎣ 0
⎦ 0
ω
Am
= A sen( t ) dt cos( t ) 0
2π ∫ + =− + =
2π ω
(2. 11)
Nota: En el terreno de la electricidad el valor medio de una señal de corriente o tensión
puede interpretarse como el valor de señal continua que transportara la misma cantidad
neta de carga.
El valor eficaz al cuadrado de una señal genérica y(t)
en un intervalo t
1
< t < t
2
se define como
la media de los valores instantáneos al cuadrado 1 que la señal toma en dicho intervalo:
t2
( t1, t2)
1 2
ef
=
t2 t1
t
A y () t dt
− ∫ (2. 12)
1
Análogamente a lo visto para el valor medio, si y (t)
es una señal periódica se asumirá
directamente que t t = T
2
− 1
:
1 2
∫
A = y ( t)
dt
ef
T
T
(2. 13)
Si y(t)
es además una función sinusoidal de pulsación ω
0
el valor eficaz será:
2π 2π ω
2
0 2 ω
π
0
2
0
2 ω0 2 2
ω0A0 1 cos(2 ω0t ϕ) ω0A
ω
0 1
ef
0
( ω0 ϕ) sin( ω0
ϕ)
2π ∫
0
2π ∫
− + ⎡ ⎤
0
2 2π
⎢2
⎥
⎣
⎦ 0
A = A sen t+ dt = dt = t− t+ =
= ω A π
= A ⇒ = A
(2. 14)
2 2
0 0 0 0
Aef
2π
ω0
2 2
Nota: En el terreno de la electricidad el valor eficaz de una señal de corriente (o tensión)
alterna se corresponde con aquél que tendría una corriente (o tensión) continua que
produjera la misma potencia media al aplicarse sobre una misma resistencia .
Nota: Cuando medimos con un multímetro básico valores de tensiones o corrientes alternas,
las medidas obtenidas se refieren exclusivamente a sus valores eficaces.
2.3.2 Relación con los números complejos. Concepto de fasor.
Es posible establecer una relación directa entre los números complejos y las funciones
sinusoidales que nos va a permitir representar cualquier función sinusoidal con un número
complejo que gira entorno al origen a una velocidad constante.
jϕ0
Sea un número complejo z = A0e
. Si lo representamos en el plano complejo (ver Fig. 2.5) sus
partes real e imaginaria se corresponderán con las proyecciones sobre los ejes coordenados:
1 En lengua inglesa el valor eficaz recibe el nombre de Root Mean Square, cuyas siglas (RMS) han
pasado a ser un anglicismo de uso habitual.
6

Estudio de circuitos en RPS
Re[
z ] = A0cosϕ
0
(2. 15)
Im[
z ] = A0senϕ
0
(2. 16)
Im[z]
A 0
sen(ϕ 0
) A 0
e jϕ 0
O
ϕ 0
A 0
cos(ϕ 0
)
Re[z]
Fig. 2.5: Representación geométrica de un número complejo.
jφ
Si multiplicamos este número complejo z por otro e lo estaremos rotando φ radianes
respecto al origen. Si además φ varía con el tiempo de la forma φ()
t = ω0t
, el producto
j 0 j 0t
zt () Ae ϕ ω
=
0
e representa un número complejo de módulo A0
que gira a razón de ω
0
radianes por
unidad de tiempo en torno al origen del plano complejo (ver Fig. 2.6) . A este número complejo que
gira se le denomina fasor, y sus partes real e imaginaria son respectivamente:
j 0 j 0t
Re[ Ae ϕ ω
0
e ] A0cos( ω0t
ϕ0)
= + (2. 17)
j 0 j 0t
Im[ Ae ϕ ω
0
e ] A0sen( ω0t
ϕ0)
= + (2. 18)
Im[z]
Im[]
A
O
ω 0
jϕ
A 0
e
0
ejω 0 t
ϕ 0
Re[z]
ϕ 0
A 0
sen(ω 0 t+ϕ 0
)
ωt
Re[]
A
A 0
cos(ω 0 t+ϕ 0
)
ϕ 0
Fig. 2.6: Equivalencia entre funciones sinusoidales y números
complejos
7

Estudio de circuitos en RPS
En conclusión, podemos expresar cualquier señal sinusoidal como la parte real o imaginaria de
un fasor de módulo igual a la amplitud máxima de la señal, de argumento igual a su fase inicial, y
que gira a una velocidad angular igual a la pulsación de la señal.
2.3.3 Operaciones. Diagramas fasoriales.
Según se ha visto en el capítulo anterior, la resolución de circuitos se obtiene de la aplicación
conjunta de las Leyes de Kirchhoff y de las características i-v de los dispositivos involucrados. En
nuestro caso, ello supone sumas, escalados, derivaciones e integraciones de señales de tensión o
corriente.
En esta sección se pretende demostrar que si las señales involucradas son sinusoides de igual
pulsación o frecuencia, es posible efectuar todas las operaciones con fasores en vez de con
sinusoides, lo que simplifica enormemente la operativa.
SUMA
San dos sinusoides y ( ) e y ( ) de la forma:
1
t
2
t
y () t = A cos( ω t+ ϕ )
(2. 19)
1 1 1 1
y () t = A cos( ω t+ ϕ )
(2. 20)
2 2 2 2
Si definimos y S
(t)
como la función suma de y1(
t)
e y
2
( t)
y expresamos ambas señales en función de
sus fasores, podemos escribir:.
y () t = y () t + y () t = Re[ Ae e ] + Re[ Ae e ] = Re[ Ae e + Ae e ] (2. 21)
S
jϕ1 jω1t jϕ2 jω2t jϕ1 jω1t jϕ2 jω2t
1 2 1 2 1 2
Si imponemos que las pulsaciones de las dos señales sinusoidales sean iguales ( ω1 = ω2 = ω0) y
jϕS
jϕ1 jϕ2
definimos el número complejo suma AS
e = Ae
1
+ A2e
, la última expresión puede
simplificarse:
y ( t) = Re[( Ae + A e ) e ] = Re[ A e e ] = A cos( ω t+ ϕ ))
(2. 22)
jϕ1 jϕ2
jω0t jϕS
jωSt
S 1 2 S S 0 S
De este desarrollo puede concluirse, en primer lugar, que la suma de dos sinusoides de la misma
frecuencia es igual a otra sinusoide de la misma frecuencia. En segundo lugar, que la amplitud
máxima y la fase inicial de la señal suma ( AS,
ϕ
S
) pueden obtenerse respectivamente como el
j S
módulo y argumento del número complejo ( AS
e ϕ ) resultante de sumar las partes fijas
jϕ j
A e , A e ϕ
) de los fasores que representan a las señales que se suman.
1 2
(
1 2
Obsérvese que este desarrollo es igualmente válido si las señales que se suman son ambas
sinusoides en forma ‘seno’. Tomando la parte imaginaria de sus fasores en vez de la parte real
llegaríamos exactamente a las mismas conclusiones. Por lo tanto, una tercera conclusión es que la
obtención de amplitud máxima y fase inicial por este procedimiento asume que las señales que se
suman tienen igual forma (ambas ‘seno’ o ambas ‘coseno’) y que ésta misma es la forma que tiene
el resultado. Si las señales a sumar tuvieran distinta forma habría que cambiar la de una de ellas
(sumando o restando π 2 a su fase inicial, según la relación (2.8)).
Por lo tanto, para sumar señales sinusoidales de igual pulsación basta con expresar ambas en la
misma forma y a continuación sumar los números complejos que representan sus respectivas
amplitudes máximas y fases iniciales. Dado que la parte giratoria de los fasores (es decir, el
j 0t
término e ω ) no se utiliza para llevar a cabo la suma (ya que se asumen señales de igual
pulsación), el término fasor suele aplicarse sólo a la parte fija de éste. De este modo, asumiremos
de ahora en adelante que los fasores de las señales involucradas (representados siempre en letras
mayúsculas) son:
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Estudio de circuitos en RPS
y t A t Y Ae ϕ
j 1
1() =
1cos( ω
0
+ ϕ1)
→
1
=
1
(2. 23)
y t A t Y A e ϕ
j 2
2() =
2cos( ω
0
+ ϕ2)
→
2
=
2
(2. 24)
S
y () t = A cos( ω t+ ϕ ) → Y = A e = Y + Y
(2. 25)
j ϕ
S S 0 S S S
2 2
En conclusión, la suma de señales sinusoidales de igual pulsación se puede llevar a cabo
sumando sus fasores. Dicho de otro modo, la operación puede realizarse en el dominio fasorial con
mayor facilidad que en el dominio temporal.
La Fig. 2.7 muestra gráficamente el proceso de obtención de la señal suma. En ella es inmediato
comprobar que para sumar dos señales sinusoidales es imprescindible tener en cuenta tanto sus
amplitudes como sus fases. Esto explica por qué cuando se miden corrientes o tensiones
sinusoidales con un multímetro (que lo que mide es sólo sus valores eficaces, es decir, un valor
proporcional a sus amplitudes) no es posible aplicar directamente las Leyes de Kirchhoff sobre
estos valores: también es necesario conocer las fases relativas de dichas tensiones o corrientes.
Im[z]
Ae
1
jϕ
1
A e
2
jϕ
2
Re[z]
Fig. 2.7: Diagrama fasorial: representación gráfica de la suma de
dos fasores.
DERIVACIÓN E INTEGRACIÓN
Sea una señal sinusoidal yt () = A0cos( ωt+
ϕ0)
2 . La derivada de esta señal con respecto al tiempo
puede expresarse como:
dy()
t
π
=−A0ω⋅ sen( ωt+ ϕ0) = A0ω⋅ sen( ωt+ ϕ0 + π) = A0ω⋅ cos( ωt+ ϕ0
+ ) (2. 26)
dt
2
, es decir otra señal sinusoidal con la misma frecuencia que y (t)
, escalada por ω y adelantada π / 2
radianes.
Aunque las operaciones involucradas para llegar a este resultado no son demasiado complicadas,
esta misma operación, efectuada en el dominio fasorial, resulta bastante más sencilla. En efecto,
representando y (t)
en función de su fasor giratorio:
jϕ0
jwt
dy()
t d
jϕ0 jwt
⎡dA e e ⎤
0
jϕ0
jwt
π
= Re[ Ae
0
e ] = Re ⎢ ⎥ = Re[ Ae
0
jwe ] = A0ω⋅ cos( ωt+ ϕ0
+ ) (2. 27)
dt dt ⎣ dt ⎦
2
j 2
Si observamos el último paso de este desarrollo (para el que se ha utilizado la relación j = e π )
se puede concluir que el fasor de la señal derivada se puede obtener directamente escalando o
multiplicando por jω el fasor de la señal original. En conclusión:
2 Dado que a partir de ahora trabajaremos con señales de igual pulsación, por razones de claridad se
omitirán los subíndices y se hará referencia a ella como ω .
9

Estudio de circuitos en RPS
y() t A cos( t ) A e ϕ
j 0
=
0
ω + ϕ0 →
0
(2. 28)
dy()
t
dt
π
2
jϕ0
= A0ω⋅ cos( ω
0t+ ϕ1+ ) → jωA0e
(2. 29)
Respecto a la integración, la integral de la misma señal sinusoidal y(t)
puede expresarse como
sigue:
A
∫ 0 0
ytdt ( ) = ∫ A0cos( ωt+ ϕ0) dt= sen( ωt+ ϕ0) = cos⎜ωt+ ϕ0
− ⎟
(2. 30)
ω
, que se corresponde con otra señal sinusoidal de la misma frecuencia que y (t)
, escalada por 1/ω y
retrasada π / 2 radianes. Si efectuamos esta operación utilizando el fasor giratorio de la señal:
A
ω
⎛
⎝
π ⎞
2 ⎠
jϕ0 jωt jϕ 1
0 jωt jϕ0 jωt A0
⎛ π
0 0 0
ω ϕ0
⎞
yt ( ) dt= Re[ Ae e ] = Re[ Ae e ] = Re[ Ae e ] = cos⎜
t+ − ⎟
jω
ω ⎝ 2 ⎠
∫ ∫ ∫ (2. 31)
j 2
, desarrollo en el que se ha utilizado la relación 1 j = e − π . Análogamente al caso de la derivación,
se puede concluir que el fasor de la señal integral se puede obtener directamente escalando o
multiplicando por 1 jω el fasor de la señal original. En conclusión:
yt () Acos( t ) Ae ϕ
j 0
=
0
ω + ϕ0 →
0
(2. 32)
A
π
2
0
() 0 cos( )
0 jϕ
= ⋅ ω + ϕ − →
A
∫ y t dt t
1
e
(2. 33)
ω
jω
A modo de ejemplo y con el fin de contrastar las representaciones temporal y fasorial aplicadas
a magnitudes circuitales, supongamos la rama de la Fig. 2.8, recorrida por una corriente sinusoidal
it (). Según las características i-v de los dispositivos involucrados, las tensiones en la resistencia, la
bobina y el condensador en régimen permanente sinusoidal son respectivamente:
v () t = Ri()
t
(2. 34)
R
() di()
t
vL t = L (2. 35)
dt
1
vC () t = i()
t dt
C
∫ (2. 36)
v R (t) v L (t) v C (t)
i(t)
Fig. 2.8: Caídas de tensión en una rama RLC serie.
En la Fig. 2.9 se representa esta corriente y estas tensiones en el dominio del tiempo y la Fig. 2.10
ofrece una representación de sus respectivos fasores (lo que se denomina un diagrama fasorial).
10

Estudio de circuitos en RPS
v,i
I 0 ωL
I 0 R
I 0
I 0 /(ωC)
i(t)
v R (t)
v C (t)
v L (t)
t
Fig. 2.9: Representación en el dominio del tiempo de la corriente y
de las caídas de tensión en una resistencia, un condensador y una
bobina, en régimen permanente sinusoidal.
I ω Le
0
⎛ π ⎞
j ⎜ϕ0
+ ⎟
⎝ 2 ⎠
Im[z]
O
Ie ϕ
v L (t)
ϕ 0
0
j 0
I Re ϕ
0
j 0
i(t)
Re[z]
v R (t)
I
0
e
ωC
⎛ π ⎞
j⎜ϕ0
− ⎟
⎝ 2 ⎠
v C
(t)
Fig. 2.10: Representación en el dominio fasorial de la corriente y
de las caídas de tensión en una resistencia, un condensador y una
bobina.
Obsérvese que la tensión que cae en bornes de una bobina está siempre adelantada π / 2
respecto de la corriente que la atraviesa (en el diagrama fasorial se aprecia observando que su fasor
tiene un argumento π / 2 mayor), la tensión que cae en bornes de un condensador esta retrasada
π / 2 respecto de la corriente que la atraviesa (en el diagrama fasorial se aprecia observando que su
fasor tiene un argumento π / 2 menor), y la tensión en una resistencia se encuentra en fase con la
corriente que la atraviesa (en el diagrama fasorial se aprecia observando que su fasor tiene igual
argumento).
CONCLUSIONES
Dado que las señales sinusoidales resultantes de las operaciones anteriores conservan la
pulsación de las señales originales, se suele aplicar el concepto de fasor de una señal al número
complejo invariante o fijo en el tiempo que sólo aporta información del módulo y la fase de la señal
que representa. No debe olvidarse, sin embargo, que aunque no aparezca explícitamente en su
expresión, un fasor siempre llevará asociada una frecuencia angular, que en última instancia deberá
de tenerse en cuenta para expresar la señal en el dominio del tiempo.
En la siguiente tabla se resumen las operaciones que se han explicado en los apartados
anteriores y se muestra su resultado tanto en el dominio del tiempo como en el dominio fasorial.
Debe de quedar claro que el único objetivo de cambiar de dominio es, como veremos en secciones
11

Estudio de circuitos en RPS
posteriores, simplificar la operativa de resolución de un circuito en régimen permanente sinusoidal.
Por ello, aunque para realizar las operaciones intermedias trabajemos en el dominio complejo, los
resultados finales deberán expresarse siempre en el dominio del tiempo.
Operación
Dominio del tiempo
Dominio fasorial
OPERANDOS RESULTADO OPERANDOS RESULTADO
y1() t = A1cos( ωt+
ϕ1)
Suma
y () t = A cos( ωt+
ϕ )
2 2 2
y () t = A cos( ωt+
ϕ )
s s s
j 1
A1
e ϕ jϕS
jϕ1 jϕ2
A
j 2
A e ϕ Se = Ae
1
+ A2e
2
Derivación π
j 0
yt () = A0cos( ωt+ ϕ0)
A0ωcos( ωt+ ϕ0
+ ) A0
e ϕ j 0
jω
A0
e ϕ
2
Integración
A0
⎛ π ⎞
yt () = A0cos( ωt+ ϕ0)
cos⎜ωt
+ ϕ0
− ⎟
ω ⎝ 2 ⎠
1
j 0
A0
e ϕ jϕ
A0
e
0
jω
12

Estudio de circuitos en RPS
2.4 Circuitos RLC excitados por señales sinusoidales
2.4.1 Obtención de la solución en régimen permanente
Sea el circuito de la Fig. 2.11 excitado por una fuente sinusoidal de valor et ():
+
i(t)
e(t)
v R (t)
R
C
v C (t)
L
v L
(t)
Fig. 2.11: Circuito RLC de una malla con una excitación
sinusoidal.
Si aplicamos la segunda ley de Kirchhoff sobre la única malla del circuito obtenemos:
t
di() t 1
et () = Rit () + L () t + i( τ ) dτ
dt C
∫ (2. 37)
0
Como se vio en el Tema 1, se trata de una ecuación diferencial lineal con coeficientes reales
constantes y positivos cuya solución, una vez que el régimen libre resulta despreciable, es una
corriente en régimen permanente o forzado. Dado que este régimen corresponde a la solución
particular de la ecuación diferencial sabemos (por la teoría de ecuaciones diferenciales) que la
corriente presenta la misma forma que la excitación. Por lo tanto si et () es una sinusoide de una
frecuencia dada, it () lo será también.
Sea, por tanto, et () = E0
cos( ωt+ ϕ)
la tensión conocida del generador. La corriente i (t)
deberá
de ser de la forma it () = I0
cos( ωt+ β)
, expresión en la que I 0
y β son incógnitas. Reemplazando
estos valores e incógnitas en la ecuación 2.37:
d
1
E cos( ω t+ ϕ ) = L I cos( ω t+ β ) + RI cos( ω t+ β ) + ∫ I cos( ωτ + β ) ⋅d
τ (2. 38)
0 0 0 0
dt
C
0
Si derivamos los términos correspondientes e igualamos por un lado las partes dependientes del
tiempo y por el otro las independientes podemos llegar a una solución para I 0
y β . Sin embargo,
el procedimiento de resolución puede simplificarse sustancialmente si observamos que la ecuación
únicamente involucra sumas de señales sinusoidales con la misma pulsación, derivaciones e
integraciones, operaciones todas que se ha visto cómo llevar a cabo en el dominio fasorial o
complejo. Por lo tanto, si sustituimos en la ecuación 2.37 cada término por su fasor podemos
escribir una nueva ecuación en este nuevo dominio:
jϕ jβ jβ 1 1 jβ
Ee
0
= RIe
0
+ LjωIe 0
+ Ie
0
(2. 39)
C jω
jϕ
Denotando los fasores corriente y tensión respectivamente como E (= E 0
e ) e I (=
ecuación puede rescribirse como:
t
I 0
jβ
e
) la
13

Estudio de circuitos en RPS
1
E = RI + jωLI + I
(2. 40)
jωC
, ecuación que relaciona fasores de tensión, de acuerdo con la 2ª Ley de Kirchhoff y en la que
podemos despejar el fasor de corriente buscado:
E
I =
R+ jωL+
1
jωC
(2. 41)
Una vez obtenido el fasor resultante (como resultado de una operación con números complejos),
y teniendo en cuenta que las señales estaban expresadas en forma ‘coseno’, la expresión temporal
de la corriente buscada queda:
jωt
it () = Re[ Ie ] = I cos( ωt+ β)
(2. 42)
0
Si esta corriente está adelantada respecto a la tensión ( β > α ) se dice que el circuito presenta
carácter capacitivo (dado que en un condensador la corriente que lo atraviesa está adelantada
respecto a a tensión que en él cae), mientras que si está restrasada se dice que presenta carácter
inductivo (por similar motivo). En la Fig. 2.12 se muestran los diagramas de los fasores de
corriente y tensión para ambas situaciones. Este tipo de diagramas, además de ofrecer una visión
clara y concisa de las relaciones entre todas las tensiones y corrientes, permiten en ocasiones
resolver problemas geométricamente.
V R
Im[z]
Im[z]
E
V L
E V R
V C
V L -V C
O
ϕ
β
I
Re[z]
V L
O
I
ϕ
β
Re[z]
V C -V L
V C
(a)
(b)
Fig. 2.12: Representación fasorial de un circuito RLC inductivo (a)
y capacitivo (b)
2.4.2 Impedancia en RPS
En la ecuación 2. 40 puede observarse que el fasor de tensión asociado a cada uno de los
dispositivos de la malla es siempre proporcional al fasor de corriente:
V = RI = Z I ⇒ Z = R
R R R
V = jωLI = Z I ⇒ Z = ωLe
L L L
1 1
VC = I = ZCI ⇒ ZC
= e
jωC
ωC
π
j
2
π
− j
2
(2. 43)
14

Estudio de circuitos en RPS
Al factor de proporcionalidad Z
R
, Z
L
o Z
C
que en cada caso relaciona el fasor de corriente con
el fasor de tensión se le denomina impedancia y se denota con la letra Z . Su inverso se denomina
admitancia y se denota con la letra Y . La impedancia relaciona, por tanto, los fasores de corriente
y tensión de acuerdo a una ley similar a la Ley de Ohm en el dominio del tiempo, generalizando así
la característica I-V de cualquier dispositivo en el dominio fasorial. Dado que la impedancia es un
número complejo afecta tanto al módulo como a la fase de la magnitud sobre la que opere.
Obsérvese que la impedancia asociada a una resistencia es siempre real (ya que es precisamente
el valor de la resistencia), mientras que la asociada a bobinas y condensadores es siempre
imaginaria. Como veremos a continuación, es posible definir impedancias con parte real e
imaginaria. A la parte real la denominamos resistencia, mientras que a la parte imaginara se le
denomina reactancia (análogamente, a la parte real de la admitancia se le denomina conductancia
y a su parte imaginaria susceptancia). La reactancia se denota con la letra χ y es positiva para las
bobinas y negativa en los condensadores. En el caso de los dispositivos anteriores:
χ = 0
(2. 44)
R
χ = ωL
(2. 45)
L
1
χ = C
ωC
(2. 46)
Un aspecto fundamental a tener en cuenta es que la impedancia de un dispositivo reactivo
depende de la pulsación ω a la que trabaje el circuito, según se desprende de las relaciones vistas.
Por ejemplo, si se duplica la pulsación de trabajo la impedancia de todas las bobinas se duplica y la
de los condensadores se reduce a la mitad.
Si una impedancia tiene sólo parte real positiva se dice que es puramente resistiva (en el
contexto de esta asignatura no tiene sentido hablar de impedancias con parte real negativa); cuando
tiene parte imaginaria positiva, se dice que tiene carácter inductivo; y cuando tiene parte imaginaria
negativa, que tiene carácter capacitivo. Esta apreciación guarda relación directa con el hecho de
que la impedancia de un dispositivo indica la relación de amplitud y fase entre la corriente que lo
atraviesa y la tensión que cae en sus bornes. Efectivamente, dado un dispositivo con impedancia
Z :
⎧ V
Z
jϕ
V ⎪ =
Z = Ze Z , V= Z⋅ I⇒ Z= ⇒ ⎨ I
I ⎪
⎩ϕ Z
= ϕV −ϕI
Así, para los dispositivos vistos (ver eq. (2. 43)):
(2. 47)
• La tensión y corriente en bornes de una resistencia están en fase (es decir, su diferencia
de fases es nula).
• La tensión en una bobina tiene una fase π / 2 mayor que la corriente que la atraviesa, es
decir, la tensión está adelantada respecto de la corriente.
• La tensión en un condensador tiene una fase π / 2 menor que la corriente que lo
atraviesa, es decir, la tensión está retrasada respecto de la corriente.
En el caso de una impedancia genérica, con parte real e imaginaria, el argumento de la
impedancia indicaría el desfase entre tensión y corriente. Observe que al no considerar la
posibilidad de partes reales negativas, este desfase ha de mantenerse siempre en el intervalo
− π /2, π /2 .
[ ]
15

Estudio de circuitos en RPS
ASOCIACIÓN DE IMPEDANCIAS
Aplicando los mismos procedimientos vistos en el Tema 1 sobre Equivalencia y Asociación, a
las Leyes de Kirchhoff expresadas con fasores y al concepto de impedancia como expresión
generalizada de la característica I-V de un dispositivo en este dominio, es posible definir el
concepto de impedancia equivalente. Así, para el caso de N impedancias (es decir, dispositivos
analizados en RPS) conectadas en serie:
N
Z = Z =∑ Z
(2. 48)
eq s i
i=
1
Y para el de N impedancias conectadas en paralelo:
N
1 1 1
= =∑ (2. 49)
Z Z Z
eq p i=
1 i
o bien, en función de las admitancias Y
i
1
= :
Z
i
N
Y = Y =∑ Y
(2. 50)
eq p i
i=
1
Obsérvese, en primer lugar, que el concepto de impedancia permite asociar dispositivos de
distinta naturaleza (resistencias, bobinas o condensadores); de ahí la posibilidad de obtener
impedancias que no son reales (resistencias) ni imaginarias (bobinas o condensadores). En segundo
lugar, el cálculo de impedancias equivalentes involucra operaciones con números complejos,
operaciones que en muchos casos resulta ventajoso representar e incluso llevar a cabo gráficamente
en un plano complejo (diagrama de impedancias), según muestra la Fig. 2.13.
Im[z]
Z L -Z C
O
Z L
Z C
Z R
Z EQ
β
Re[z]
Fig. 2.13: Impedancia equivalente de un circuito serie RLC con
carácter inductivo.
16

Estudio de circuitos en RPS
2.5 Análisis de circuitos RLC en RPS
Según lo expuesto hasta ahora, la representación de señales sinusoidales a través de fasores
permite trasladar el problema del análisis de un circuito al dominio fasorial: se plantea el problema
en este dominio aplicando las Leyes de Kirchhoff sobre fasores, utilizando el concepto de
impedancia como característica I-V; se resuelve el sistema de ecuaciones de números complejos; y
se interpretan los fasores resultantes como las sinusoides a que representan.
El análisis fasorial es una herramienta que permite abordar de un modo sencillo el problema de
análisis de circuitos en RPS, trasladándolo del dominio temporal al de los fasores. Es fundamental,
por lo tanto, no mezclar en ningún caso elementos de ambos dominios. En este sentido, se ha hecho
especial hincapié en adoptar una notación (ampliamente extendida) que en RPS ayude a
distinguirlos: representaremos con letras minúsculas todos los datos dependientes del tiempo y con
letras mayúsculas los fasores.
A modo de resumen y compendio de los procedimientos explicados, así como de su relación
con las técnicas generales de análisis de circuitos vistas en el Tema 1, los siguientes puntos indican
el procedimiento a seguir para analizar un circuito en RPS:
a) Expresar todos los generadores sinusoidales con la misma forma (‘seno’ o ‘coseno’), para
lo cual deberá hacerse uso de la equivalencia (2. 8). Esto garantiza que las operaciones con
sinusoides puedan efectuarse operando sólo con sus fasores.
b) Representar todas las señales sinusoidales de tensión y corriente (tanto los datos como las
incógnitas) mediante sus respectivos fasores, y representar todos los dispositivos pasivos
(resistencias, bobinas y condensadores) mediante sus correspondientes impedancias. Con
ello tendremos el circuito expresado en el dominio fasorial o complejo.
c) Aplicar las Leyes de Kirchhoff sobre los fasores de tensión y corriente y las características
I-V de los dispositivos para plantear las ecuaciones que permitan obtener las incógnitas
buscadas (fasores de corriente, fasores de tensión o impedancias). Resolver las ecuaciones
complejas.
d) Una vez obtenidos los resultados, si son fasores de tensión o de corriente obtener la señal
de corriente o tensión que representan, es decir, una sinusoide de igual forma (‘seno’ o
‘coseno’) que la adoptada en el apartado primero y cuya amplitud máxima y fase inicial se
corresponde con el módulo y argumento del fasor que la representa. Si los resultados son
impedancias, obtener los valores de los dispositivos a que corresponden (la parte real
corresponderá directamente a resistencias y la imaginaria a bobinas o condensadores cuyos
parámetros L y C dependerán de la pulsación de trabajo).
17

Estudio de circuitos en RPS
2.6 Potencia en RPS
2.6.1 Potencia instantánea
Como se presentó en el Tema 1, la potencia puesta en juego por un dispositivo de un circuito en
cualquier instante se obtiene como el producto de la tensión por la corriente en dicho instante; si
alguna de estas dos magnitudes es variable con el tiempo la potencia también lo será.
En RPS la tensión y la corriente vienen dadas en general por expresiones del tipo:
vt () = V0
cos( ωt+
ϕv
)
(2. 51)
it () = I cos( ωt+
ϕ )
0
i
Si establecemos como origen de tiempos un instante en el que la corriente sea máxima, las
expresiones anteriores pueden rescribirse, sin perder generalidad, como:
vt () = V0
cos( ωt+ ϕv
−ϕi)
(2. 52)
it () = I cos( ωt)
0
La potencia en cada instante o potencia instantánea vendrá dada por la expresión:
pt () = vt () ⋅ it () = VI cos( ωt+ ϕ − ϕ )cos( ωt)
(2. 53)
0 0
v
i
POTENCIA ACTIVA Y POTENCIA REACTIVA. FACTOR DE POTENCIA.
Habitualmente el conocimiento de la potencia instantánea no resulta de especial interés para el
análisis de un circuito o instalación. En la práctica se utilizan otros parámetros directamente
relacionados con ella, que permiten evaluar directamente aspectos como la eficiencia de conversión
energética o la potencia media.
En este sentido, desarrollando el producto de cosenos de la expresión anterior obtenemos:
1 1
pt () = VI
0 0cos( ϕv − ϕi) + VI
0 0cos(2 ωt+ ϕv − ϕi)
(2. 54)
2 2
, expresión cuyo primer término es constante y cuyo segundo término varía con el tiempo con
una pulsación doble que la de las señales de tensión y corriente. Si ahora descomponemos el
segundo término desarrollando el coseno de la suma de dos ángulos, obtenemos la expresión:
1 1 1
pt ( ) = VI
0 0cos( ϕv − ϕi) + VI
0 0cos( ϕv −ϕi)cos(2 ωt) − VI
0 0sen( ϕv − ϕi)sen(2 ωt)
(2. 55)
2 2 2
En esta expresión es posible identificar dos parámetros que, aparte de la pulsación, caracterizan
íntegramente la potencia:
1
⎫
P
⎬
1
Q =− V0I0sen( ϕv
−ϕi)
⎪
2
⎪⎭
= V0I0cos( ϕv
−ϕi)
2
⎪ ⇒ = + +
pt ( ) P Pcos(2 ωt) Qsen(2 ωt)
La interpretación de estas magnitudes es la siguiente:
(2. 56)
• Al parámetro P se le denomina potencia media, potencia activa o potencia real.
Teniendo en cuenta que las sinusoides tienen valor medio nulo, es evidente que P es el
valor medio de la potencia instantánea. Sus otros apelativos se refieren al hecho de que
representa el valor máximo o de pico de la parte de la potencia eléctrica transformada en
energía no eléctrica (calor, trabajo, etc.), habitualmente asociada a energía aprovechable.
18

Estudio de circuitos en RPS
• Al parámetro Q se le denomina potencia reactiva 3 . Su valor absoluto 4 representa el valor
máximo o de pico de la parte de la potencia eléctrica que no se transforma en energía no
eléctrica, sino que únicamente se intercambia entre los dispositivos capaces de almacenar
energía (bobinas y condensadores) y las fuentes. Representa energía no aprovechable que
sin embargo provoca pérdidas por efecto Joule en los conductores (no ideales) de un
circuito o instalación.
• Al término cos( ϕv
− ϕi
) se le denomina factor de potencia y ofrece una medida del grado
de aprovechamiento de energía eléctrica obtenido de una tensión y una corriente dadas, es
decir, la proporción de P y Q que caracteriza la potencia que ponen en juego (motivo por
el que en una instalación eléctrica se buscan factores de potencia cercanos a la unidad, es
decir, desfases mínimos entre tensión y corriente).
De cara a los objetivos de análisis de circuitos eléctricos con aplicaciones en proceso de señal la
potencia media es la única componente de la potencia en RPS que resulta de utilidad, por lo que de
ahora en adelante nos centraremos en ella. El Apéndice B amplía y generaliza el análisis de
potencias presentando conceptos como el de potencia compleja y potencia aparente, de especial
relevancia en el diseño de grandes instalaciones eléctricas.
2.6.2 Potencia media puesta en juego por los dispositivos circuitales
Sea un dispositivo circuital sometido a una diferencia de potencial representada por el fasor
jϕV
jϕI
V = | V | e = a+ jb y atravesado por una corriente I = | I | e = c+ jd , ambos tomados en el
sentido positivo del criterio de signos del dispositivo (ver Fig. 2.14) . Según se ha visto, la potencia
media puesta en juego por el dispositivo vendrá dada por la expresión:
1
P = | V || I |cos( ϕV
− ϕI
)
(2. 57)
2
v ( t ) >
0
v ( t ) >
0
i( t ) >
0
i( t ) >
0
(a)
(b)
Fig. 2.14: Criterio de signos para los dispositivos pasivos (a) y
activos (b)
Teniendo en cuenta que los fasores de tensión y corriente pueden interpretarse como vectores en
el plano complejo, la expresión de potencia es proporcional al producto escalar de dichos vectores.
Por lo tanto, también es posible obtenerla directamente a partir de la expresión de los fasores en
forma canónica:
3 Aunque la potencia reactiva tiene las mismas dimensiones que la potencia media (vatios), para evitar
que se confundan y dejar claro que no son directamente aditivas (sólo se deben sumar por medio de la
fórmula de potencia instantánea) se define una nueva unidad para la potencia reactiva: el voltio-amperio
reactivo (VAR).
4 Al tomar la corriente como referencia en los cálculos de potencia el signo de la potencia reactiva será
positivo para las bobinas y negativo para los condensadores. Este signo se interpreta habitualmente diciendo
que las bobinas absorben VARS magnetizantes y que los condensadores liberan VARS magnetizantes.
19

Estudio de circuitos en RPS
1 1
P = V o I = ( ac+
bd)
(2. 58)
2 2
Ambas expresiones de potencia son aplicables a cualquier dispositivo circuital. En el caso de los
generadores, este es el modo más directo de obtener la potencia que ponen en juego. Sin embargo,
en el caso de las impedancias es posible obtener, a partir de su característica I-V expresiones más
prácticas.
POTENCIA EN UNA IMPEDANCIA GENÉRICA
j z
Sea una impedancia Z = a+ jb= | Z | e ϕ . Según se ha visto en el apartado 2.4.2, el módulo y
argumento de la impedancia relaciona los módulos y argumentos de la tensión y corriente. Ello
permite obtener diversas expresiones adicionales para el cálculo de la potencia:
⎧1 2 1 2
| I | | Z |cos ϕ
[ ]
Z
= | I | Re Z
| V | = | Z || I | ⎫ 1 ⎪2 2
⎬⇒ P = | V || I |cos ( ϕV
− ϕI)
= ⎨
2 2
ϕZ = ϕV −ϕI⎭ 2
⎪ 1| V | 1| V |
cosϕ
Re[ ]
Z
= Z
2
⎪⎩ 2| Z | 2| Z |
(2. 59)
POTENCIA EN RESISTENCIAS, BOBINAS Y CONDENSADORES
Particularizando las expresiones genéricas de potencia en una impedancia al caso de
resistencias, bobinas y condensadores es posible profundizar en el comportamiento de este tipo de
dispositivos en RPS.
En el caso de una resistencia, = R :
ZR
⎧1 |
2
I | R
| V | = R| I | ⎫ 1 ⎪2
⎬⇒ P = | V || I |cos( ϕV
− ϕI)
= ⎨ 2
ϕZ
= 0 ⎭ 2 ⎪ 1| V |
⎪ ⎩ 2 R
(2. 60)
j π
2
En el caso de una bobina, Z = ωLe
:
L
| V | = ωL| I | ⎫ 1
⎬ ⇒ P = | V || I |cos ( ϕ − V
ϕI)
= 0
ϕZ
= π 2 ⎭ 2
(2. 61)
π
1 − j
2
En el caso de un condensador, ZC
= e :
ωC
| V | = | I | ωC
⎫ 1
⎬ ⇒ P = | V || I |cos ( ϕ − V
ϕI)
= 0
(2. 62)
ϕZ
=−π
2 ⎭ 2
Como conclusión, en RPS la potencia media que ponen en juego los dispositivos inductivos y
capacitivos es nula. Por lo tanto, la potencia media se absorbe o disipa exclusivamente en las partes
resistivas de las impedancias.
POTENCIA INSTANTÁNEA EN DISPOSITIVOS PASIVOS
Resulta especialmente interesante observar la potencia instantánea en resistencias, bobinas y
condensadores, para así profundizar en el comportamiento de estos dispositivos e interpretar
adecuadamente las conclusiones obtenidas en el apartado anterior.
La Fig. 2.15 muestra la relación existente entre la tensión, la corriente y la potencia instantánea
que tienen lugar en una resistencia. Nótese que la potencia es siempre positiva, lo cual indica que
en todo momento se está desarrollando una transformación de energía eléctrica en energía no
eléctrica, que en este caso se disipa por efecto Joule en forma de calor. Adicionalmente, es
inmediato observar que la potencia varía sinusoidalmente, con pulsación doble y con valor medio
P .
20

Estudio de circuitos en RPS
p(t)
v(t)
i(t)
p
v
i
t
Fig. 2.15: Tensión, corriente y potencia en una resistencia en RPS.
En la Fig. 2.16 se muestra la relación existente entre la tensión, la corriente y la potencia
instantánea en un condensador que trabaja en RPS. Es inmediato observar, como ya se ha
demostrado, que la potencia media es nula. Adicionalmente, este dispositivo absorbe potencia del
circuito (en los semiciclos en que ésta es positiva) y la almacena en forma de energía eléctrica;
pero, también entrega potencia al circuito (en los semiciclos en que esta es negativa), la que ha
almacenado en el semiciclo anterior. Esta potencia que pone en juego el condensador es potencia
reactiva, según puede verificarse aplicando la expresiones vistas al principio de este apartado.
p(t)
v(t)
i(t)
i
p
v
t
Fig. 2.16: Tensión, corriente y potencia desarrollados en un
condensador en RPS.
La situación en una bobina (ver Fig. 2.17) es similar a la que se da en el condensador. La
principal diferencia es que en este caso la potencia que absorbe el dispositivo se almacena en forma
de energía magnética. En ambos casos la potencia que ponen en juego no se transforma en una
energía aprovechable.
21

Estudio de circuitos en RPS
p(t)
v(t)
i(t)
v
p
i
t
Fig. 2.17: Tensión, corriente y potencia desarrollados en una
bobina en RPS
22

Estudio de circuitos en RPS
Apéndice A: Números complejos
A.1 Historia y definiciones
Los matemáticos han venido utilizando números complejos mucho antes de que se definieran
con propiedad. Por lo tanto, no es fácil determinar su origen con exactitud.
Una de las primeras referencias a los números complejos data de 1545, cuando Cardan realizaba
investigaciones sobre las raíces de los polinomios. En efecto, se vio cómo ecuaciones del tipo
2
x + 16 = 7 no tenían solución en la realidad, pero sí numéricamente si se aceptaba la existencia de
un número ficticio que por entonces se expresó como − 1 . Esta expresión se utilizaba para
estudiar el comportamiento de las raíces de un polinomio (número, orden, simetría, etc.), y así
caracterizarlos, a pesar de que dichas raíces a veces no existieran en el dominio real. − 1 era más
bien un elemento notacional que una entidad matemática como tal y este hecho daba lugar a una
serie de problemas (falacias matemáticas).
Más tarde, en 1777, Leonhard Euler resolvió parte de estos problemas con la introducción de la
notación i y –i para la raíz cuadrada positiva y negativa de –1 respectivamente. Con él se originó la
notación o forma canónica según la cual un número complejo, z, se puede expresar como una
pareja de números reales:
z = a + bi
,donde a se denomina parte real del número complejo z, y b se denomina parte imaginaria del
número complejo z. Analíticamente:
a = Re[z] , b = Im[Z]
Además, Euler comenzó a estudiar la extensión de funciones como las exponenciales cuando su
exponente es un número complejo. En cualquier caso, los números complejos i y –i se
denominaron imaginarios debido a que su existencia aún no se comprendía con claridad.
Wessel en 1797 y Gauss en 1799 introdujeron la interpretación geométrica de los números
complejos como puntos de un plano con dos ejes reales × , algo que los hacía más
comprensibles. Esta forma de representar un número complejo, denominada forma cartesiana o
binómica, asume que cada número complejo, z=a+bi ,puede representarse en el plano × por
un punto o afijo A z de coordenadas (a,b), de modo que el eje horizontal representa la parte real, y el
vertical la parte imaginaria (ver Fig. 2.A.1).
Im[z]
b
|z|
A z
(a,b)
O
ϕ z
a
Re[z]
Fig. 2.A.1: Interpretación geométrica de los números complejos
A partir de esta representación gráfica es posible introducir dos nuevas formas de identificar un
número complejo. Sea un vector OA que une el origen de coordenadas O con el afijo de un
z
23

Estudio de circuitos en RPS
número complejo A z , de coordenadas (a,b). El punto A z , y por lo tanto el número complejo z,
puede identificarse a través del módulo y argumento de dicho vector, de modo que:
2
z = a + b
2
b
arg( z)
= ϕ z = arctg (ojo con esta operación al usar calculadoras)
a
A partir de estas magnitudes, un número complejo se puede expresar en forma móduloargumento
mediante la notación:
z = Z
ϕ
z
De un modo similar, a partir de las funciones trigonométricas que relacionan el módulo del
vector OAz
y el ángulo que forma con el eje real, es posible expresar un número complejo en forma
trigonométrica:
a = z cosϕ
z
b =
z sinϕ
z
Por lo tanto:
z =
Z
cosϕ
z
+ i ⋅ Z sin ϕ
z
ϕ
Por último, aplicando la relación de Euler, según la cual e i = cos ϕ + i ⋅ senϕ
, sobre la notación
trigonométrica de un número complejo, se puede expresar éste en forma exponencial:
z =
Z e
iϕ
z
De cara al análisis de circuitos, las formas más utilizadas son la canónica y la exponencial. Por
ello, resulta especialmente importante saber alternar de una a otra forma con soltura. En este
sentido, hay conversiones básicas que el alumno debe reconocer y aplicar de forma inmediata (ver
Fig. 2.A.2):
e i0 = 1, e i π 2
= i , iπ −
e = −1, e i π 2
= −i
π 4
2e i = 1+ i
( ), e i 3π 4
2 = ( −1+ i)
, e i 5π 4
−
2 = ( −1− i)
, e i π 4
2 = ( 1− i)
2 , etc.
Im[z]
2 e i3π/4
(-1+i)
i
e iπ/2
2 e iπ/4
(1+i)
e iπ
-1
O
e i0
1
Re[z]
(-1-i)
(1-i)
2 ei5π/4 -i e -iπ/2 2 e-iπ/4
Fig. 2.A.2: Ejemplos de números complejos básicos en forma
binómica y exponencial
24

Estudio de circuitos en RPS
A.2 Operaciones
Hasta este punto se han expuesto diversas formas de representar los números complejos, pero no
lo que se puede hacer con ellos. Hamilton, en 1833, definió una serie de operaciones que dotaban a
los números complejos de la entidad matemática de cuerpo conmutativo:
• La adición, con propiedades asociativa, conmutativa, y elemento neutro, el 0+0i.
• El producto, con propiedades asociativa, conmutativa, y elemento neutro, el 1+0i.
• La propiedad distributiva de la suma con respecto al producto.
En este nuevo ámbito, la unidad imaginaria identificada por Euler no es más que uno de los
elementos de este nuevo cuerpo: el elemento 0+1i. A partir de este momento se puede considerar
que comenzó la formulación moderna de los números complejos. Sin embargo, el empleo de los
números complejos en la ingeniería eléctrica lo introdujo en 1894 Charles Steinmetz. Dado que en
este área del conocimiento la letra i está reservada para la intensidad de corriente, a la unidad
imaginaria en este ámbito se la designa j.
En el análisis de circuitos vamos a trabajar habitualmente con números complejos expresados en
forma exponencial; por ello, se hará especial hincapié en realizar todas las operaciones a partir de
elementos expresados de dicha forma.
SUMA
Para sumar o restar números complejos es conveniente que estén expresados en forma canónica.
Dados dos números complejos, expresados en forma canónica, la suma de ambos se calcula
sumando respectivamente y por separado partes reales e imaginarias:
z +
1 = a1
jb1
z +
2 = a2
jb2
z = z1 + z2
= ( a1
+ a2
) + j(
b1
+ b2
)
Esta operación da una idea del significado geométrico de la suma de números complejos: sumar
un número complejo a otro significa trasladar este último en el plano complejo (ver Fig. 2.A.3).
Im[z]
b 1 + b 2 z +
z 1
z 2
b 1
b 2
a 2
1 z 2
b 2
a +
a 1
a 2
1 a 2
Re[z]
Fig. 2.A.3: Interpretación geométrica de la suma de números
complejos
Si los números complejos hubieran venido expresados en forma exponencial, antes de realizar la
suma es conveniente expresarlos en forma canónica a través de la forma trigonométrica.
25

Estudio de circuitos en RPS
PRODUCTO
Dados dos números complejos expresados en forma canónica, el producto de ambos es el
resultado de multiplicar los dos binomios:
z = z1 ⋅ z2
= ( a1
+ jb1
)( a2
+ jb2
) = ( a1a2
− b1b
2 ) + j(
a1b2
+ b1a
2 )
Esta operación no ofrece una idea clara del significado geométrico del producto. Si los números
complejos vienen dados en forma exponencial, su producto será un número complejo cuyo módulo
es el producto de los módulos de los factores y su argumento la suma de argumentos de los
factores:
z
1
=
z
1
e
jϕz1
z
2
=
z
2
e
jϕz
2
z = z ⋅ z
1
2
=
z
1
z
2
j(
ϕ z1+ϕ
z 2 )
e
El significado geométrico queda en este caso mucho más claro: multiplicar un número
complejo por otro supone un escalado y un giro (ver Fig. 2.A.4 izda.), en sentido antihorario si el
segundo tiene fase positiva. Un caso particular del producto de dos números complejos es el giro.
Efectivamente, el resultado de multiplicar un número complejo por otro de módulo unidad y un
determinado argumento, supone girar el primero un ángulo igual al argumento del segundo (ver
Fig. 2.A.4 dcha.).
DIVISIÓN:
La división de dos números complejos es el resultado de multiplicar uno por el inverso del otro.
Si un número complejo viene expresado en forma exponencial, el cálculo de su inverso es
inmediato:
1 1
z2 = z2
e ⇒ = e
z z
jϕz
2 − jϕ
z 2
2 2
La división de dos números complejos se calcularía entonces:
z
1
=
z
1
e
jϕz1
z
z =
z
z
1 1 j(
ϕz1−ϕ
z 2 )
= e
2 z2
Sin embargo, si un número complejo está expresado en forma canónica, para obtener su inverso
hay que racionalizarlo (es decir, evitar que el denominador sea complejo), multiplicándolo y
dividiéndolo por su conjugado * :
z
z =
z
1 ( a1
+ jb1
) ( a1
+ jb1
) ( a2
− jb2
) ( a1a2
+ b1b2
) + j(
b1a
2 − a1b2
)
= =
=
2 2
2 ( a2
+ jb2
) ( a2
+ jb2
) ( a2
− jb2
)
a2
+ b2
Análogamente al caso del producto, esta operación no ofrece una idea clara del significado
geométrico de la operación. Si los números complejos vienen dados en forma exponencial, su
división será un número complejo cuyo módulo es la división de los módulos de los factores y su
argumento la resta de argumentos de los factores:
* El conjugado de un número complejo es otro número complejo con igual parte real pero con la parte
imaginaria cambiada de signo.
26

Estudio de circuitos en RPS
z = z e ⎫⎪ z z
⇒ = =
z = z e ⎪⎭ z z
jϕ
z1
1 1 1 1 j( ϕz1−ϕz2)
z e
jϕ
⎬
z 2
2 2 2 2
El significado geométrico resulta hora mucho más claro: la división de un número complejo por
otro supone un escalado y un giro, en sentido horario si éste último tiene fase positiva.
Im[z]
1
. z 1 z 2
Im[z]
|z | |z |
z 1 z 2
1 2
z 2 |z
ϕ
z 1 |
z1 +ϕ 2
z2
ϕz2
Re[z]
1
.
Re[z]
z 1
z 1
Fig. 2.A.4: Interpretación geométrica del producto de números
complejos (izda). Caso particular en que se multiplica por un
número complejo de módulo unidad (dcha). En ambos casos se
representa la circunferencia de radio unidad.
SISTEMAS DE ECUACIONES
Los números complejos se utilizan en la resolución de circuitos como herramienta para analizar
el régimen permanente sinusoidal (RPS). En este ámbito, aparte de operaciones básicas como las
expuestas hasta el momento, en las que uno debe seleccionar la forma en que resulta más
conveniente operar, suele ser necesario resolver sistemas de ecuaciones de variables y coeficientes
complejos. Ello suele involucrar sucesivas operaciones de sumas, multiplicaciones y divisiones,
con independencia del método de resolución que se aplique. Por lo general, en estos casos es
conveniente operar siempre en forma binómica.
27

Estudio de circuitos en RPS
A.3 Ejercicios
Se proponen a continuación una serie de ejercicios básicos especialmente orientados al
entrenamiento en operaciones relacionadas con el análisis de circuitos en RPS.
EJERCICIO 1
La tabla muestra una serie de números complejos expresados unos en forma canónica y otros en
forma exponencial. Rellenar los huecos de la primera tabla y representar en el plano complejo
todos los elementos. Repetir el ejercicio con la segunda tabla, pero esta vez sin utilizar una
calculadora.
Forma canónica
Forma exponencial
z 1 2+3j
z 2 3-j
Im[z]
z 3
-1+2j
z 4
-3-2j
3.2e
j0.
67
z 5
Re[z]
3.32e
j2.
55
z 6
2. 16
z 7 3.32e − j
z 8
3.16e
j2π
Forma canónica
Forma exponencial
z 1 1+j
Im[z]
z 2 1-j
z 3
-1+j
z 4
z 5
-1-j
jπ
e
Re[z]
z 6
z 7
π
j
2
e
π
2
e − j
z 8
j2π
e
28

Estudio de circuitos en RPS
EJERCICIO 2
π
j t
e 3
Sea el número z= , de módulo unidad y argumento variable con el tiempo. Calcular el valor
que toma z para los instantes t={1,2,3,4,5}, tanto en forma exponencial como en forma canónica, y
representarlos en el plano complejo. Indicar el tipo de movimiento que experimenta el afijo de z
conforme avanza t.
EJERCICIO 3
Operando siempre en forma canónica, efectuar las operaciones que se indica en la tabla. Una
vez obtenido el resultado, expresarlo también en forma exponencial.
DATOS:
z 1 =2+3j, z 2 =4-3j, z 3 = 7+5j, z 4 =4-7j
Forma canónica
Forma exponencial
z
+ ( z ⋅ 3)
1 2
z
z
2
+ ( z3
/ z4
)
z1
+ z
z ⋅ z
1
2
2
1
z
1
+
1
z
2
+
1
z
3
+
1
z
4
EJERCICIO 4
Resolver el siguiente sistema de ecuaciones. Expresar el resultado en forma canónica y en forma
exponencial.
⎧ 5 2
⎪z1
+ z2
= (3 − 2 j)
⎨ 6
⎪
⎩(1
+ j)
z1
− (1 − j)
z2
= 0
Sol.:
5 2
− j1,373
1 = (1 − 5 j)
= 3e
z
z
12
5 2
− j0,197
2 = (5 + j)
= 3e
12
29

Estudio de circuitos en RPS
EJERCICIO 5
Resolver el siguiente sistema de ecuaciones. Expresar el resultado en forma canónica y en forma
exponencial.
⎧2z1
− (2 − 2 j)
z2
= 8
⎨
⎩(2
− 2 j)
z1
− (6 + 2 j)
z
Sol.:
1 − 0,197
1 = (5 − j)
= 1, 7e
j
z
3
−
z2
= (3 + 4 j)
= e
3 3
2
= 6 + 6 j
1 5 − j 2,21
30

Estudio de circuitos en RPS
Apéndice B: Potencia compleja y potencia aparente
Las magnitudes P y Q pueden utilizarse para definir una tercera magnitud S = P+ jQ a la que
se denomina potencia compleja. A partir de ésta pueden obtenerse algunas relaciones de interés. En
primer lugar, la potencia compleja es posible calcularla directamente a partir de los fasores de
tensión y corriente (con lo que de un plumazo obtenemos tanto la potencia media o activa como la
reactiva):
1 *
S = VI
2
Adicionalmente, la potencia compleja ofrece una interpretación geométrica muy intuitiva. Para
ello, en base a la interpretación geométrica de un número complejo, obsérvese que P y Q son los
lados de un triángulo rectángulo de hipotenusa S (ver Fig. 2.B.1). Además, es posible demostrar
que el ángulo θ es precisamente el desfase entre tensión y corriente. Este triángulo, al que se
conoce habitualmente como “triángulo de potencias”, es particularmente interesante ya que en él
aparecen relacionadas cuatro magnitudes de potencia básicas, con lo que sólo conociendo dos de
ellas es posible llegar a las otras dos simplemente aplicando relaciones geométricas.
θ
S
P
Q
Fig. 2.B.1: Triángulo de potencias: potencia compleja (S), potencia
activa (P) y potencia reactiva (Q).
Al módulo de la potencia compleja se le denomina potencia aparente y de cara al diseño de
redes a nivel industrial juega un papel crucial, muchísimo más importante que el de la potencia
media. Esto es así porque la potencia media tan sólo refleja la potencia que se transforma en
energía, no realmente toda la que se está desarrollando en los conductores (para lo que es necesario
considerar también la potencia reactiva), que es la que realmente se necesita conocer para
dimensionar correctamente dichas redes.
31