U5 Circuitos de CA en estado estable.pdf

Circuitos de Corriente
Alterna en Estado Estable

Fuentes Senoidales
Las funciones de excitación senoidales son muy
importantes por cuanto las señales de fuentes de
alimentación y de comunicación se transmiten
generalmente en forma de senoides o senoides
modificadas.
La respuesta natural, causada por la dinámica interna
del circuito en general decae al cabo de cierto tiempo,
mientras que la forzada permanece, y es el interés de
nuestro estudio.
v = V sin wt; i = I sin wt
f m f m
12/1/2005
René Játiva Espinoza
renej@usfq.edu.ec

Fuentes senoidales: Nociones
Generales
Las fuentes senoidales son señales periódicas. Las
señales periódicas cumplen la siguiente propiedad:
x t+ T = x t
( ) ( )
T: es el período de la señal y en caso de fuentes de
excitación senoidales se denomina período de
excitación.
f: frecuencia de la señal en ciclos por segundo (Hz)
w: frecuencia angular en radianes por segundo (rad)
12/1/2005
1 f = ; w = 2 π f
T
René Játiva Espinoza
renej@usfq.edu.ec

Fuentes senoidales: Nociones
Generales
En forma general podemos expresar una señal
senosoidal como sigue, donde φ se conoce como
ángulo de fase y se mide en radianes.
v = V sin wt+φ
f
Si
:
m
( )
v= 2sin 3t+ 20 ° ; i = 4sin 3t− 10°
( ) ( )
La señal de voltaje v adelanta 30° a la señal
de corriente.
12/1/2005
René Játiva Espinoza
renej@usfq.edu.ec

Respuesta en estado estable de un circuito RL
a una función de excitación senoida.
En un circuito RL serie excitado por una fuente de
tensión senoidal tenemos:
12/1/2005
v = V cos wt
f
m
di
L + Ri = Vm
cos wt
dt
i = Acos
wt+
Bsin
wt
f
RV
wLV
⇒ A= ; B=
R + w L R + w L
m
m
2 2 2 2 2 2
René Játiva Espinoza
renej@usfq.edu.ec

Respuesta en estado estable de un circuito RL
a una función de excitación senoidal.
De donde la solución para la corriente en el estado
estable puede expresarse como:
Vm
⇒ i = cos wt− = Im
cos wt−
Z
2 2 2 1 wL
Z R w L ; β
−
= + = tan
R
Vm
Im
=
Z
12/1/2005
( β ) ( β )
René Játiva Espinoza
renej@usfq.edu.ec

Respuesta en estado estable de un circuito RL
a una función de excitación senoidal.
Si notamos que la excitación sinuoidal puede
expresarse en función de otra exponencial, la solución
de la ecuación diferencial se simplifica:
12/1/2005
René Játiva Espinoza
renej@usfq.edu.ec
( jwt
) ( )
v = V cos wt = Re V e = Re v
f m m e
di
dt
jwt
jwt
L + Ri = Vme ⇒ ie
= Ae
A
V
m
= =
V
m
R+
jwL Z
e
− jβ

Respuesta en estado estable de un circuito RL
a una función de excitación senoidal.
De donde la solución buscada es la siguiente:
Vm
− jβ
jwt jwt ( −β
)
⇒ ie
= e e = Ime
Z
2 2 2 −1
wL Vm
Z = R + w L ; β = tan ; Im
=
R Z
V
⇒ i = Re ie
= cos wt− β = Imcos
wt−β
Z
( )
m
( ) ( )
12/1/2005
René Játiva Espinoza
renej@usfq.edu.ec

Concepto de Fasor:
Una corriente o voltaje senoidal a una frecuencia
determinada se caracteriza por su amplitud y su
ángulo de fase, y puede representarse alternativamente
por la siguiente notación fasorial:
Si i () t = Re ⎡
⎣
Ime
I
jφ
⇒ = Ime
= Im∠
12/1/2005
( −φ
)
jwt
φ
Si i = 5sin 100t + 120° = 5cos 100t
+ 30°
( ) ( )
j30°
5e
Im
30
⇒ I = = ∠ °
⎤
⎦
René Játiva Espinoza
renej@usfq.edu.ec

Relaciones Fasoriales para los elementos
R, L y C:
A partir de las relacions i-v para los elementos R, L y
C, se puede demostrar las siguientes relaciones
fasoriales:
v= Ri→ V = RI
di
v= L → V = jwLI
dt
dv
1
i = C → I = jwCV→ V = I
dt
jwC
12/1/2005
René Játiva Espinoza
renej@usfq.edu.ec

Impedancia y Admitancia:
Se define la impedancia Z de un elemento como la
razón del voltaje fasorial a la corriente fasorial.
Se define la admitancia Y como el recíproco de la
impedancia.
V
Z= → V = ZI
I
Vm
Si V = Vm∠ ; I= Im∠ ⇒ Z = ; = −
I
1 1
⇒ Y = = ∠( β −φ)
Z Z
φ β θ φ β
m
12/1/2005
René Játiva Espinoza
renej@usfq.edu.ec

Impedancia y Admitancia:
Las partes real e imaginaria de la Impedancia se
denominan Resistencia (R) y Reactancia (X)
respectivamente:
Z
R
Z
= Z ∠ θ = R+
jX
= Z cos θ;
X =
Z
sinθ
X
R
2 2 −1
= R + X ; θ = tan ⎜ ⎟
⎛
⎝
⎞
⎠
12/1/2005
René Játiva Espinoza
renej@usfq.edu.ec

Impedancia y Admitancia:
Las partes real e imaginaria de la Admitancia se
denominan Conductancia (G) y Susceptancia (B)
respectivamente:
Y
G
G
1 1
= = ∠− θ = Y ∠ γ = G +
Z Z
= Y cos γ;
B=
Y
1 1
= cos θ;
B=−
Z
Z
sin γ
sinθ
jB
12/1/2005
René Játiva Espinoza
renej@usfq.edu.ec

Leyes de Kirchoff uando Fasores
Si las fuentes en el circuito trabajan a la misma
frecuencia de oscilación sinusoidal, el uso de fasores
es adecuado para resolver el circuito.
En caso de fuentes que trabajen a frecuencias
diferentes debería aplicarse el Teorema de
Superposición. Debería resolverse independientemente
cada circuito para cada excitación, y proceder a
sumar estas respuesta individuales para obtener la
respuesta total del circuito considerado.
Los Teoremas de Thevenin y Norton pueden aplicarse
también considerando que ahora se tendrá una
impedancia equivalente y una fuente de excitación
equivalente.
12/1/2005
René Játiva Espinoza
renej@usfq.edu.ec