EXERCICIS DE DERIVADES - IES La Asunción de Elche

1BAT CCNNEXERCICIS DE DERIVADESDefinició de derivada. Recta tangent.1. Calcula la taxa de variació mitjana de la funció f(x) = x 2 − 2x + 1 en l’interval [−1, 2] il’equació de la recta secant al gràfic que passa pels punts d’abscisses x = −1 i x = 2.2. Calcula les TVM de les següents funcions als intervals indicats:⎡ π⎤a) f(x) = cos x, en⎢0 ,⎣ 3⎥⎦b) g(x) = 2 − x , [−2, 0]3. Calcula la taxa de variació instantània de la funció f(x) = 2x 2 − 3x + 1 en x = −1.4. L’altura, en metres, abastada al cap de t segons per un projectil llaçat verticalment capamunt ve donada per la funció f(t) = 20t − 2t 2 . Troba la velocitat mitjana en l’intervalde temps comprés entre t = 0 i t = 5 segons.5. La distància recorreguda per un autobús en els cinc primers segons des de que ix de laparada ve donada per la funció f(t) = t 2 .a) Calcula la velocitat mitjana entre els instants t = 3 s i t = 3,1 s.b) Quina és la velocitat de l’autobús en l’instant t = 3 segons?6. Calcula, aplicant la definició, la derivada de les següents funcions per als valors de xindicats:a) f(x) = x 3 , quan x = 1b) f(x) = x 2 + 5x − 2, quan x = −2c) f(x) = x + 2 , quan x = 22xd) f(x) =x − 3, quan x = 67. Escriu l’equació de la recta tangent per a cada una de les funcions de l’exercici 5 en elspunts indicats.1P ⎜ .⎝ 21 ⎛ ⎞8. Obtín l’equació de la recta tangent al gràfic de la funció f(x) = en el punt 2, ⎟ x ⎠Continuïtat i derivabilitat9. Quina és l’equació de la recta tangent al gràfic de la funció f(x) = x en x = 0?⎧ x10. 2 + 1Es considera la funció f(x) = ⎨⎩−x + 3a) És f continua en x = 1?b) Comprova que no existeix f ′(1)c) Existeix recta tangent en P(1, f(1))?si x ≤ 1si x > 11

1BAT CCNN11. Observa el gràfic de la funció y = f(x)i digues el signe de la derivada en:x = 0, x = 2, x = 4.YOXf12. Estudia la continuïtat i la derivabilitat de les següents funcions en els punts indicats:22⎧x+ 1 si x > 0⎧xsi − ∞ < x ≤ 0⎪⎪ 1a) f(x) = ⎨1si x = 0 en x=0 b) f(x) = ⎨ si 0 < x < 1 en x=0 i x=1⎪ 2⎩ 1 − x si x < 0⎪ x2⎩ x si 1 ≤ x < +∞⎧ kx − 5 si x ≤ 013. Calcula k perquè la funció f(x) = ⎨siga derivable en x = 0.3⎩x− 3x − 5 si x > 0Càlcul de derivades14. Troba la funció derivada de les funcions:x 2a) y = 5x 3 b) y = − c) y = 2 x d)8e) y = 2 x f) y = π x g) y = 2.ln x h)y =y =3xln x315. Calcula la derivada de les següents funcions:23x 32a) y = x − 3x + 2 b) y = + 4 x − c) y = 6x − 3ln x + 2 x2 x3 2 2d) y = (x + 3x )( −x+ 6x − 2)e) y = (2x − 7)(5 − 3x)f) y = 2 x.ln xg)2x −1= h)x + 1y22 xy = i)x + 316. Deriva les següents funcions aplicant la regla de la cadena:3x + 2x=x − 5y2a) y = 3x − 2b) y = ln(3x2 + 4)c) y = ln x2 − 2xd)y +2 3= (x 2x) e) y (3x + 5)3 −1y = x − xh)2g) ( ) 32⎛ x − 2 ⎞= f) y = ln⎜⎟2⎝ x + 2 ⎠2⎛ 3x − 4 ⎞y = ⎜ ⎟ i) y = 3x2 − 5x⎝ x −1⎠2

1BAT CCNN17. Calcula la derivada de les següents funcions potencials i exponencials:4a) y = 3 3 2xb) y = 4 x − 3 x + x +x1 c) y =2xx + 1d) 3x2xy = e) y = 2f) y = 52x + 1g)y23−x= eh)y+ 4x= 4i)18. Calcula la derivada de les següents funcions trigonomètriques:x 2y = x2a) y = sin 2xb) y = cos(2x + 1)c) y = cos(3x + 4x − 1)d) y = x.cos 2xe) y = ln (sin x)f) y = sin x.cos 2xxg) y = e . tgxh) y = tg(2x2 + x)i) y = tg(sin x)3.2x.ex3 23 3 2j) y = sin (x − 4)k) y = x .tg (x − x)l)y = e−x.sin x319. Calcula la derivada de les següents funcions logarítmiques:23a) = log xb) y = log (3x 1)c) y = ln(x − 2x + 1)y3d) y = 5x.log xe)2−y +2 x2= ln x e f) y = ln (6x + 4)20. Calcula la derivada de les següents funcions potencial-exponencials:a)yx+1= xb)y2x+3= (3x + 1)c)xy = (sin x)d)sin 3xy = xe)sin xy = (sin x)f)y = (x +ln x)x21. Calcula la derivada de les següents funcions trigonomètriques inverses:a) y = arc sin 2xb) y arc cos(x2 2= + 1)c) y = arc tg(3x )xd) y = arc sin(e ) e) y = arc cos x f) y = ln(sin x + arc sin x)22. Deriva les següents funcions simplificant al màxim el resultat:a)1 − sin xy = b)1 + sin x21 − cos x2x= lnc) y = − 4 1 + x1 + cos x1 + xy22d) y = ln(x . 1 − 2x ) e) y ln(x + x2 −1)x 2x= f) y = ln( e + e −1)2xx1 − xg) y = arc tgh) y = arc tgi) y = arc tg21 − x21 − x1 + x21 + xln(x − 9) 1 x − 3j) y = arc tg − arc tg xk) y = + ln1 − x2 6 x + 3xl) y 4 x2 2 2 2 x= − + 2.arc sinm) y = x. a − x + a .arc sin2a3

1BAT CCNNAplicacions derivades23. Calcula les rectes tangent i normal a les següents corbes en els punts indicats:πxa) y = ln(tg2x)en x = b) y = en x = 4.8 x2 + 924. La recta tangent a una corba en un punt pot tallar a la corba en altre punt. La tangent a la corbaf(x) = x 3 en T(1, 1) la talla en un altre punt. Quin és?x25. Calcula les tangents a la corba y = que formen un angle de 45 o amb la part positiva de21 − xl’eix OX.26. En quins punts de la corba y = 2 + x − x 2 la tangent:a) és horitzontal? b) té per pendent 2?27. Troba en quin punt la recta tangent a la corba y = ln 3 (2x) és paral·lela a l’eix d’abscisses.28. Troba l’equació de la recta tangent a la paràbola y = x 2 − 5x + 6 paral·lela a la recta3x + y − 2 = 0.29. En quin punt de la corba f(x) = ln x la tangent és paral·lela a la corda que uneix el punts(1, 0) i (e, 1)?30. Calcula l’àrea del triangle format per els eixos de coordenades i la recta tangent a la2hipèrbola y = en el punt d’abscissa x = 1.x31. Troba el valor de c perquè el mínim de la funció f(x) = x 2 + 2x + c siga igual a 8.32. La funció f(x) = x 3 + ax 2 + b té un mínim relatiu en el punt P(2, 3). Troba els nombres a i b.33. La corba d’equació y = x 2 + bx + c passa pel punt A(−2, 1) i té un extrem relatiu en el puntd’abscissa x = −3. Troba els nombres b i c.34. Calcula els extrems relatius, els intervals de creixement i decreixement, els punts d’inflexiói els intervals de curvatura de les següents funcions:4 23x2 + 1a) y = x − 2xb) y = 4x − 5x + 1 c) y =x22x + 1x −1xd) y = e) y = f) y =22x −1x − 21 + xxxg) y = e .(x −1)h) y = x ⋅ei) y = ln(x2 + 1)j)yx= x ⋅ ek)1ln xy = l)x35. Representa gràficament les següents funcions:33 2a) y = (x + 1)b) y = x − 6x + 9xc)4 2x + 1d) y = −x+ 2x −1e) y = f)x − 3xey =x4y = 3x − 4xy 1=x2 + 13− 12x24

1BAT CCNNxg) y = h)21 + xxy = i)x2 −1y =2xx −1Problemes d’optimització36. Descompon el nombre 25 en dos sumands tals que el doble del quadrat del primer mésel triple del quadrat del segon siga mínim.37. Calcula les dimensions del major rectangle de perímetre 40 m.38. Un pastor vol tancar un camp rectangular de 3600 m 2 de superfície per fer una pleta.Indica les dimensions perquè el cost siga mínim?39. Un nombre més el quadrat d’un altre sumen 48. Com han de triar-se eixos nombresperquè el seu producte siga màxim?40. Es vol tancar un camp rectangular que està a la vora d’un camí. Si la tanca del costat delcamí costa 80 €/m i la del altres costats 10 €/m, troba les dimensions del camp ambmajor àrea que es pot envoltar amb 28800 euros.SOLUCIONS1. TVM f [−1,2] = −1 ⇒ y = −x + 332. a) TVM f [0,π/3] = 2π3. TVI f (−1) = −74. 10 m/s5. a) v m = 6,1 m/s b) v i = 6 m/s6. a) f (1) = 3′ b) f ′(−2)= 1 c)7. a) y = 3x − 2 b) y = x − 6 c)x48. y = − + 1b) TVM g [−2,0] =2 − 2212f ′(2)= d) f ′(6)= −43x 3 2y = + d) y = − x + 84 2 39. No hi ha recta tangent en x = 0 ja que f −′ (0) = −1≠ f +′ (0) = 110. a) Sí, ja que lim f (x) = f (1) 2f (1) = 2 ≠ f ′ (1) = −111. f (0) > 0=x →′+b) No existeix ja que − 1 c) No, ja que no és derivable en x=1′ ; f ′(2)= 0 ; f ′(4)< 012. a) Continua i derivable en x = 0 b) En x = 0 no és continua ⇒ tampoc és derivable; En x = 1 és continua però no ésderivable13. k = −314. a)2y ′ = 15x b)xy′ = − c) y ′ = 2 d)43y′ = − e)2x1y ′ = f) y ′ = π g)x2y ′ = h)xy ′ =13x5

1BAT CCNN15. a) y = 3x2 − 316. a)f)17. a)′ b)32+ (x + 3x )( −2x+ 6)=g)4xy′ = h)2 2(x + 1)3y′ = b)2 3x − 22 3y ′ = x + + c)2x x433 122y ′ = 12x − + d) y′ = (3x + 6x)( −x+ 6x − 2)+x x2− 5x + 12x + 12x + 24x e) y ′ = −12x+ 36 f)3 − xy′ =i)2x (x + 3)6xy′ = c)3x2 + 4y′ =2xg)x4ln.(x − 4)2x 2⎝ + ⎠⎛⎜2− 2 ⎞⎟11 2y ′ = b) y′ = − + 1 c)3 24 3 33 x4 x x2xf) y′ = 2.5 .ln 5 g)xy′=4−17x(x22− 5)−102ln xy ′ = +xx −12 2y′ = d) y′ = 3(x + 2x) (2x + 2)e)x2 − 2x23(x − x)(2x −1)y′ =h)22 x − x23−xy7y′ = − d)2 4 34x xx 2 + 4x′ +y′ = −2x.eh) y = 4 .ln 4.(2x 4)2(3x − 4)′2 xxy′=29(3x + 5)(3x + 5)32−1′ =3(x −1)i) y =⋅⎜6x− ⎟ 2⎝ 2 5x ⎠223x1−5xy′ =1 − 2x − xxe) y′= 2 .ln 22⎛ x + 1 ⎞32 23 ⎜ ⋅ (x + 1)2⎟⎝ x + 1⎠2xxi) y′= x .2 .e (3 + x.ln 2 + x)218. a) y ′ = 2.cos2xb) y ′ = −2.sin(2x+ 1)c) y′ = −(6x+ 4).sin(3x + 4x −1)d) y′= cos2x − 2x.sin 2xcosxx 2 x sin x.cos x + 1e) y ′ = f) y′ = cos x.cos2x − 2.sin x.sin 2xg) y′= e (1 + tgx + tg x) = esin x2cos x4x + 1cos x2 22h) y′ =i) y′ =j) y′= 6x.sin (x − 4).cos(x − 4)2 22cos (2x + x) cos (sin x)19. a)23232k) y = 3x .tg (x − x) + x .3tg (x − x) ( 1+tg (x − x) ).(2x−1)222−x′′ l) y = e ( −sin x + 3x .cos x )1y ′ = b)x.ln36xy′ =(3x2 c)−1).ln223x − 2y′ =d)3x − 2x + 15xy ′ = 5.logx + e)x.ln106.ln(6x + 4)f) y′=3x + 2x2x+22x+320. a) y′ = x (x + 1+x.ln x)b) y′ = 3(2x + 3)(3x + 1) + 2(3x + 1) .ln(3x + 1)21. a)f)22. a)xsin 3x−1′sin 3x+ (sin x) .ln(sin x) d) y = sin3x.x + 3x .ln x.cos3xf)y′x −1=x.(x + ln x)2y′ = b)21−4x⎛ 1 ⎞. ⎜1+ ⎟ + (x + ln x)⎝ x ⎠−2xy′ =c)4 2− x − 2xx1.ln(x + ln x).2 x6xy′ = d)41+9x1 ⎡ 1 ⎤y ′ =⋅ ⎢cosx+ ⎥sin x + arcsin x2⎢⎣1 − x ⎥⎦−1sin2x−xy′ = b) y′ = c) y′ =d)41 + sin x 1−cos x (1 + x) 1+xf)ey′ = g)2xe −1x2y′ = h)21 + x1y′ = i)21−x323x⎛2x + ey′=2 x2(x + e )x−1′c) y = x(sinx) .cosx +sin xe) y′= (sinx) .cosx.[ 1+ln(sinx) ]ey′ = e)2x1 − ex2 − 5xy′ = e)x(1 − 2x)y′=2y′=−1y′ = j) y ′ = 0 k)22 1 − x−12arccosx. 1 − xx12 −1x + 1y′=x2 − 92 − x2 2l) y′ = m) y′= 2 a − x24 − xπx π4 94 12523. a) t ≡ y = 4x − ; n ≡ y = − + b) t ≡ y − = (x − 4); n ≡ y − = − (x − 4)24 325 1255 924. (−2, −8)5⎞6

1BAT CCNN325. y = x; y = 1(x − 3)2⎛ 1 9 ⎞ 1 5 ⎞26. a) , ⎟ b) , ⎟⎠ ⎠⎜⎝ 2⎛ 1 ⎞27. ⎜ ,0⎟ ⎝ 2 ⎠28. 3x + y − 5 = 0T e − 1, ln(e −1)+ ; y −3= 1(x +23)⎜4 ⎝ 2 429. ( )30. 4 u 231. c = 932. a = −3; b = 733. b = 6, c = 934. a) ]−∞,−1[∪]0,1[ decreixent; ]−1,0[∪]1,+∞[ creixent; en x=0 màxim rel; en x=±1 mínim rel;35.]−∞,− 3 /3[∪] 3 /3,+∞[ còncava; ]− 3 /3, 3 /3[ convexa; en x=± 3 /3 punts d’inflexiób) ]−∞,− 15 /6[∪] 15 /6,+∞[ creixent; ]− 15 /6, 15 /6[ decreixent; en x=− 15 /6 màxim rel;en x= 15 /6 mínim rel; ]−∞,0 [ convexa; ]0,+∞[ còncava; en x=0 punt d’inflexióc) ]−∞,−1[∪]1,+∞[ creixent; ]−1,0[∪]0,1[ decreixent; en x=−1 màxim rel; en x=1 mínim rel;]−∞,0[ convexa; ]0,+∞[ còncava; no té punt d’inflexiód) ]−∞,−1[∪]−1,0[ creixent; ]0,1[∪]1,+∞[ decreixent; en x=0 màxim rel;]−∞,−1[∪]1,+∞[ còncava; ]−1,1[ convexa; no té punt d’inflexióe) ]−∞,2[∪]2,+∞[ decreixent; no té extrems relatius;]−∞,2[ convexa; ]2,+∞[ còncava; no té punt d’inflexióf) ]−∞,0[ decreixent; ]0,+∞[ creixent; en x=0 mínim rel;]−∞,− 3 /3[∪] 3 /3,+∞[ convexa; ]− 3 /3, 3 /3[ còncava; en x=± 3 /3 punts d’inflexióg) ]−∞,0[ decreixent; ]0,+∞[ creixent; en x=0 mínim rel;]−∞,−1[ convexa; ]−1,+∞[ còncava; en x=−1 punt d’inflexióh) ]−∞,0[∪]1,+∞[ creixent; ]0,1[ decreixent; en x=1 mínim rel;]−∞,0[ convexa; ]0,+∞[ còncava; no té punt d’inflexiói) ]−∞,0[ decreixent; ]0,+∞[ creixent; en x=0 mínim rel;]−∞,−1[∪]1,+∞[ convexa; ]−1,1[ còncava; en x=±1 punts d’inflexiój) ]−∞,−1[ decreixent; ]−1,+∞[ creixent; en x=−1 mínim rel;]−∞,−2[ convexa; ]−2,+∞[ còncava; en x=−2 punt d’inflexiók) ]0,e[ creixent; ]e,+∞[ decreixent; en x=e màxim rel;3/ 23/ 23/ 2]0, e [ convexa; ] e ,+∞[ còncava; en x= e punt d’inflexiól) ]−∞,0[∪]0,1[ decreixent; ]1,+∞[ creixent; en x=1 mínim rel;]−∞,0[ convexa; ]0,+∞[ còncava; no té punt d’inflexióa) b) c)7

1BAT CCNNd) e)f) g)h) i)36. El 15 i el 1037. Base = altura = 10 m38. 60x6039. El 4 i el 3240. Costat del camí = 160 m; l’altre = 720 m8