Tema 8: Integral de Riemann

Ejemplo 3.8 Estudiar el área limitada por la función f(x) = √ 1xyelejeOX en el intervalo (0, 1].REl área se calcularía mediante la integral impropia 1 ¯√ x¯¯¯ dx. DeestemodoeláreaesZ 101¯√ dx = x¯¯¯¯Z 100¯ 11√ xdx =[2 √ x] 1 0=2− 0=2.Ejemplo 3.9 Calcular el área de la función 11+x 2 en R. ÉstaseríaZR+∞ Z11+x dx = 2−∞4 Apéndice1+∞dx = [arctan x]1+x2 −∞4.1 Otras aplicaciones geométricas de la integral4.1.1 Volumen de un sólido de revolución= [ lim arctan x− lim arctan x] =πx→+∞ x→−∞ 2 − (−π 2 )=π.El volumen del sólido obtenido al revolucionar (o girar) una curva y = f(x) continua alrededorbRdel eje OX alolargodelintervalo[a, b] se calcula mediante la integral πf(x) 2 dx. A veces seadenomina sólido de revolución. Si el giro se hace alrededor de un eje de ecuación y = c la fórmulaRes b π[f(x) − c] 2 dx. (Notemos que el giro a lo largo del eje OX es un caso particular de lo anteriorapues este eje tiene por ecuación y =0.) También es posible girar la curva alrededor del eje OY .Suponiendo que en el intervalo la curva es siempre creciente o siempre decreciente, la integral queRnos da ese volumen es b 2πxf(x)dx. Si el giro se realiza alrededor de un eje de la forma x = c elavolumen del sólido de revolución obtenido es b−c R2πxf(x + c)dx.a−cEjemplo 4.1 Hallemos el volumen de un cono de radio r ydealturah. Podemos obtenerlo comorevolución alrededor del eje OX de la recta que pasa por los puntos (0, 0) y (h, r), esdecirdelacurva de ecuación y = r x en el intervalo [0,h]. Deestemodoeláreasería R h π r2 x 2 dx = π r2 [ x3h h 2 h 2 3 ]h 0 =0π r2 h 3= 1h 2 3 3 πr2 h.4.1.2 Volumen de un sólido por secciones planasSupongamos que tenemos un sólido del que se conoce A(c), el área de la sección plana obtenida alintersectar el cuerpo con el plano x = c (donde c es una constante). Entonces, (si A es continua)bRpodemos calcular el volumen del sólido mediante la integral A(c)dc, dondea y b son los valoresmínimo y máximo, respectivamente, que tiene la coordenada x de alguno de los puntos del sólido.12a