Tema 8: Integral de Riemann

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extremos. Así nos encontraremos con integrales impropias de la forma +∞ Raf, donde el problema estáen que el intervalo de definición es [a, +∞[, encuyocasoclaramentelafunciónnoestádefinida enel infinito. Entonces el cálculo de la integral se realiza mediante el límiteDiremos que la integral +∞ Ra+∞ Zaf = limt→+∞tRaf .f es convergente si el límite anterior existe y es finito. Encaso de ser infinito tal límite diremos que la integral es divergente. Finalmente si dicho límite noexiste diremos que la integral no existe.De modo similar ocurre para integrales impropias de la formarealiza mediante el límiteEjemplo 2.1 1. +∞ R2.11dx = limx 3 t→+∞tR1Z b−∞1dxx 3f = limt→−∞bRt= limt→+∞f .tR1x −3 dxb R−∞f, encuyocasosucálculose=limt→+∞[ x−2−2 ] t 1=t−2=lim [− t−2)] = lim [− )] = limt→+∞ 2 2 t→+∞ 2 2 t→+∞ [− 1 + 1] 2t 2 2 =0+ 1 2 = 1. La 2integral es convergente y su valor es 1.20RtR1dx x1dx = lim= lim [log |x|] t = limx−1 t→0 − −1t→0 − 1t→0−∞ − 0=−∞. La integral es divergente y su valor es −∞.Habitualmente para calcular el valor de una integral impropiaabreviaelmododeescribir,poniendoque +∞ Ra−[log |t| − log |1|] =log0− log 1 =+∞ Raf, siendoG una primitiva, sef =[G(x)] +∞ a = lim G(x) − G(a) directamente, yx→+∞no tener que realizar el paso intermedio con la otra variable auxiliar t. Veámoslo en los siguientesejemplos:Ejemplo 2.2 1. +∞ R2. +∞ R1√1xdx = +∞ Res divergente y su valor es +∞.0e −2x dx =[ 1 −2 e−2x ] +∞ 0valor es 1 2 .1x − 1 2 dx =[ x 1 212= limx→+∞] +∞ x= lim1 211 x→+∞ 2− 1 12=+∞−2=+∞. Laintegral1−2 e−2x − 1 −2 =0+1 = 1 . La integral es convergente y su2 23.−1 R−∞1dx =[log|x|] −1x −∞integral es divergente y su valor es −∞.=log|−1| − lim log |x| =log1− log(+∞) =0− (+∞) =−∞. Lax→−∞6
4.1R0R1dx = 1 x 20x −2 dx =[ x−1 ] 1 =[− 1] 1 = −1 − ( lim − 1 )=−1 − (−∞) =−1+∞ =+∞. La−1 0 x 0x→0 + xintegral es divergente y su valor es +∞.5.1R0R√1xdx = 10x − 1 2 dx =[ x 1 212] 1 0= 1 12− 0=2. La integral es convergente y su valor es 2.6.1Rlog xdx =[x(log |x| − 1)] 1 =log|1| − 1− lim x(log |x| − 1) =00x→0 +=log1− 1− lim x log |x| − lim x =0− 1 − 0 − 0=−1. La integral es convergente y su valorx→0 + x→0 +es 1.Nota: El cálculo de la integral indefinida R log xdx = x(log |x|−1) lo hemos realizado por partesy el límite indeterminado lim x log |x| (del tipo 0 · (−∞)) lohemoscalculadoponiéndoloenla+forma limx→0 +log|x|1xx→0(que es del tipo ∞ ) y aplicando l’Hôpital.∞Si observamos, las integrales impropias anteriores tenían algún extremo conflictivo. Puede darseel caso en que los dos extremos sean conflictivos. En tal caso se separa en suma de dos integralesEjemplo 2.3 1. +∞ R0R√1xdx = 10√1xdx+ +∞ R1√1xdx =[2 √ x] 1 +[2 √ x] +∞ =[2− 0] + [ lim0 1 x→+∞2 √ x − 2] = 2 + [+∞−2] = 2 + ∞ =+∞. La integral es divergente con valor +∞.2. +∞ R1dx = [arctan x] +∞1+x 2−∞−∞ = [ limes convergente con valor π.x→+∞arctan x− limarctan x] = π − (− π )=π. Laintegralx→−∞ 2 2Incluso puede ocurrir que la función f tenga algunos puntos de discontinuidad dentro del intervalo.En tal caso se descompone la integral como suma de integrales en cuyo interior la función sea continua.Veamos los siguientes ejemplos:Ejemplo 2.4 1. +∞ R−∞R1dx = 0 x 2−∞1dx+ +∞ Rx 201dx =[− 1] 0+[− 1] +∞ =x 2 x −∞ x 0=[lim − 1x→0 − x − lim −1 x→−∞ x ] + [ lim − 1 x→+∞ x − lim − 1 x→0 + x ]==[+∞−0] + [0 − (−∞)] = +∞ + ∞ =+∞,con lo que la integral no es convergente. Para más precisión, en este caso es divergente y suvalor es +∞.(e x si x ≤ 02. Para la función f(x) =calculemos la integrale −x si x>0+∞ ZZ 0f(x)dx =f(x)dx++∞ ZZ 0f(x)dx =e x dx++∞ Ze −x dx =−∞−∞0−∞07
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