Tema 8: Integral de Riemann

1.3 Cambios de variableLos cambios de variable pueden aplicarse también en integrales definidas. De modo similar al de laintegración por partes, tenemos dos opciones: o bien hallamos una primitiva de la función que haydentro de la integral realizando un cambio de variable y después aplicamos la regla de Barrow, o bienRaplicamos el cambio de variable x = ϕ(t) directamente a la integral b f(x)dx, de donde obtenemosaZ baZ df(x)dx =cf(ϕ(t))ϕ 0 (t)dt.En la práctica normalmente los extremos c y d de la nueva integral son desconocidos y tendremosque calcularlos. Lo haremos teniendo en cuenta que ϕ(c) =a yqueϕ(d) =b. Además, hay quetener presente que los puntos c y d deben eligirse de modo que la función ϕ sea biyectiva, por lo queen general no sirven cualesquier puntos cumpliendo ϕ(c) =a yqueϕ(d) =b.Ejemplo 1.8 Calcular las siguientes integrales definidas mediante el cambio de variable dado:1. En la integral 3 R0√ x +1dx realizar el cambio x +1=t 2 , de donde t = √ x +1.Vamos a calcular previamente la primitiva de la función que aparece en el integrando. Se deduceque dx =2tdt, porloqueZ Z √x √t2Z+1dx = 2tdt = 2t 2 dt = 2 3 t3 = .EntoncesZ √x+1dx =[23 (√ x +1) 3 ] 3 0= 16 3 − 2 3 = 14 3 .2. En la integralπ2R0sen 3 x cos 8 xdx realizar el cambio cos x = t (con lo que t ∈ [0, 1]).Como −senxdx = dt se tiene queπZ20sen 3 x cos 8 xdx = −πZ20sen 2 x cos 8 x(−senxdx).Como x varía en el intervalo [0, π ] entonces, de la igualdad cos x = t, se obtiene que t varía2entre cos 0 = 1 y cos π = −1. Por tanto laintegral anterior quedaría así2−Z 01Z 1(1 − t 2 )t 8 dt =0(t 8 − t 10 )dt =[ t9 9 − t1111 ] 1 0= 1 9 − 1 11 − (0 − 0) = 2 99 .4