5ª Prueba curso 11-12 - ETSI Topografia (UPM)

ETSI en Topografía, Geodesia y CartografíaPrueba de evaluación continua del tema “Interpolación Polinómica”1.- Dada la tabla de valores (funciones de Bessel):x 0 x 1 x 2 x 3 x 4x 1 1.3 1.6 1.9 2.2f (x) 0.7651977 0.620086 0.4554022 0.2818186 0.11036a) Comparar las aproximaciones de f(1.5) utilizando polinomios de interpolación degrado 1, 2, 3 y 4.b) Sabiendo que f(1.5) = 0.5118277, ¿con qué polinomio se ha obtenido la mejoraproximación?Solucióna) Polinomio de interpolación de grado1: p 1Como 1.5 se encuentra entre los nodos x 1 y x 2 , utilizamos éstos para lainterpolación lineal:>> format long>> x=[1.3 1.6];>> y=[0.620086 0.4554022];>> p1=polyfit(x,y,1)p1 = -0.548946000000001 1.333715800000002>> polyval(p1,1.5)ans = 0.510296800000000Polinomio de interpolación de grado 2.Con los nodos x 0 , x 1 y x 2 : p 2a>> x=[1 1.3 1.6];>> y=[0.7651977 0.620086 0.4554022];>> p2a=polyfit(x,y,2)p2a = -0.108733888888888 -0.233617722222224 1.107549311111114>> polyval(p2a,1.5)ans = 0.512471477777778Con los nodos x 1 , x 2 y x 3 : p 2b>> x=[1.3 1.6 1.9];U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Métodos Matemáticos 1

ETSI en Topografía, Geodesia y Cartografía>> y=[0.620086 0.4554022 0.2818186];>> p2b=polyfit(x,y,2)P2b = -0.049443333333334 -0.405560333333330 1.230873666666664>> polyval(p2b,1.5)ans = 0.511285666666667Polinomio de interpolación de grado 3.Con los nodos x 0 , x 1 , x 2 y x 3 : p 3a>> x=[1 1.3 1.6 1.9];>> y=[0.7651977 0.620086 0.4554022 0.2818186];>> p3a=polyfit(x,y,3)P3a = 0.065878395061728 -0.3656596296296240.094456685185174 0.970522249382723>> polyval(p3a,1.5)ans = 0.511812693827161Polinomio de interpolación de grado 3.Con los nodos x 1 , x 2 , x 3 y x 4 : p 3b>> x=[1.3 1.6 1.9 2.2];>> y=[0.620086 0.4554022 0.2818186 0.11036];>> p3b=polyfit(x,y,3)P3b = 0.068054320987657 -0.3761040740740880.110971962962986 0.961922990123445>> polyval(p3b,1.5)ans = 0.511830101234568Polinomio de interpolación de grado 4: p 4>> x=[1 1.3 1.6 1.9 2.2];>> y=[0.7651977 0.620086 0.4554022 0.2818186 0.11036];>> p4=polyfit(x,y,4)p4 = 0.001813271604944 0.055361419753045-0.343193194444342 0.073527904320876 0.977688298765476>> polyval(p6,1.5)ans = 0.511819946913580U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Métodos Matemáticos 2

ETSI en Topografía, Geodesia y Cartografíab) Sabiendo que f(1.5) = 0.5118277, los errores reales cometidos han sido:Con p 1 :>> abs(0.7848-0.5118277)ans = 0.272972300000000Con p 2a :>> abs(0.512471477777778-0.5118277)ans = 6.437777777780207e-004 = 0.000643777777778Con p 2b :>> abs(0.511285666666667-0.5118277)ans = 5.420333333330252e-004 = 0.000542033333333Con p 3a :>> abs(0.511812693827161-0.5118277)ans = 1.500617283900496e-005 = 0.000015006172839Con p 3b :>> abs(0.511830101234568-0.5118277)ans = 2.401234567961375e-006 = 0.000002401234568Con p 4 :>> abs(0.511819946913580-0.5118277)ans = 7.753086419981514e-006 = 0.000007753086420Por tanto, la mejor aproximación es p 3b (1.5) con el polinomio de grado 3. Si nose hubiera conocido el valor real de f(1.5), se hubiera aceptado p 4 (1.5) comomejor aproximación.2.- Se consideran los valores de la función y = arc tg x en los nodos x = -3, -2,…, 2, 3.a) Interpolar estos puntos mediante un spline cúbico cuya derivada primeraen los extremos coincida con la derivada primera de la función.b) Hallar el spline que pasa por dichos puntos y tiene derivada tercera en losnodos -2 y 2 (es decir, las dos primeras piezas del spline son el mismopolinomio, al igual que las dos últimas).c) Compara ambas aproximaciones.U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Métodos Matemáticos 3

ETSI en Topografía, Geodesia y CartografíaSolucióna) El interpolante pedido en este apartado es el spline completo, que seobtiene con la orden “spline” de Matlab, añadiendo a las ordenadas losvalores de la derivada de la función en los nodos inicial y final.1y'(x) y'( 3) 0.1, y'(3) 0.121xx 0 x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6-3 -2 -1 0 1 2 3>> x=-3:3;>> y=atan(x);>> ps=spline(x,[0.1 y 0.1]);Los coeficientes de cada pieza del spline están dados en la siguiente matriz:>> ps.coefsans =-0.0011 0.0430 0.1000 -1.24900.0994 0.0397 0.1827 -1.1071-0.1126 0.3378 0.5602 -0.7854-0.1126 -0.0000 0.8980 00.0994 -0.3378 0.5602 0.7854-0.0011 -0.0397 0.1827 1.1071Dibujamos la función (trazo continuo rojo) y el polinomio segmentario (trazodiscontinuo verde):1.51>> xx=-3:0.1:3;>> yy=ppval(ps,xx);>> plot(x,y,'*',xx,atan(xx))>> hold on>> plot(x,y,'*',xx,yy,'--')0.50-0.5-1-1.5-3 -2 -1 0 1 2 3b) Se trata de calcular el spline no nodo, con la función spline de Matlab:>> psnn=spline(x,y);Los coeficientes de cada pieza del spline están dados en la siguiente matriz:U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Métodos Matemáticos 4

ETSI en Topografía, Geodesia y Cartografía>> psnn.coefsans =0.0784 -0.1454 0.2089 -1.24900.0784 0.0899 0.1534 -1.1071-0.1084 0.3253 0.5686 -0.7854-0.1084 0 0.8938 00.0784 -0.3253 0.5686 0.78540.0784 -0.0899 0.1534 1.1071Dibujamos la función (trazo continuo rojo) y el spline no nodo (trazo discontinuoverde):1.5>> xx=-3:0.1:3;>> plot(x,y,'*',xx,atan(xx))>> hold on>> yynn=ppval(psnn,xx);>> plot(x,y,'*',xx,yynn,'--')10.50-0.5-1-1.5-3 -2 -1 0 1 2 3c) Diferencia entre la función y cada uno de los interpoladores (trazocontinuo la diferencia con el spline no nodo y discontinuo con elcompleto):0.04>> xx=-3:0.1:3;>> dif1=atan(xx)-ppval(ps,xx);>> dif2=atan(xx)-ppval(psnn,xx);>> plot(xx,dif1,':');hold on>> plot(xx,dif2)0.030.020.010-0.01-0.02-0.03-0.04-3 -2 -1 0 1 2 3U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Métodos Matemáticos 5

ETSI en Topografía, Geodesia y CartografíaSe observa en la figura que la diferencia máxima con ambos splines es muysimilar. El spline completo se adapta mejor en el sentido de que en las piezasextremas tiene la misma convexidad que la función.3.- La tabla siguiente refleja la demanda de energía eléctrica en España cadados horas de un día de invierno.Hora0 2 4 6 8 10 12MW 31250HoraMW 35500280002600026000340003750014 16 18 20 22 24345003850039500365003300038000a) Hallar el polinomio de grado 12 que interpola los valores dados. Analizarel comportamiento del polinomio de interpolación.b) Se propone mejorar la interpolación dividiendo el intervalo en dos, de 0 a12 y de 12 a 24, y hallando un polinomio para cada intervalo. Representarlos polinomios obtenidos y comparar el resultado con el del apartadoanterior.c) Interpolar los datos con un spline cúbico y comparar con los ajustesanteriores.Solucióna) Utilizamos la función polyfit de Matlab:>> h=[0:2:24];>> MW=[31250 28000 26000 26000 34000 37500 38000 35500 34500 3850039500 36500 33000];>> p=polyfit(h,MW,12)Avisa Matlab:Warning: Polynomial is badly conditioned. Add points with distinct X values,reduce the degree of the polynomial, or try centering and scaling as described inHELP POLYFIT. In polyfit at 80.Ocurre que los coeficientes del polinomio buscado varían mucho en magnitudunos de otros:U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Métodos Matemáticos 6

ETSI en Topografía, Geodesia y Cartografía>> format long>> p=polyfit(h,MW,12)Warning: Polynomial is badly conditioned. Add points with distinct X values,reduce the degree of the polynomial, or try centering and scaling as described inHELP POLYFIT. In polyfit at 80p =1.0e+005 *Columns 1 through 20.000000000003194 -0.000000000491669Columns 3 through 40.000000033422949 -0.000001320675776Columns 5 through 60.000033588279532 -0.000574933611469Columns 7 through 80.006723751451460 -0.053355005873978Columns 9 through 100.278829344344224 -0.901583331723715Columns 11 through 121.596506887689424 -1.162227227277939Column 130.312500000735327Efectivamente se obtiene un polinomio cuyos coeficientes varían mucho deescala:p(t) =3 .1944610x 4.91669 10x 0.00334229 x 0.132068 x 3.35883 x7125111098 57.4934 x7 672.375 x6 5335.5 x5 27882.9 x4 90158.3 x3159651 x2116223 x 312504 x 104Lo dibujamos junto con losnodos:>> hh=0:0.1:24;>> MMW=polyval(p,hh);3.532.521.510.5U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Métodos Matemáticos 700 5 10 15 20 25

ETSI en Topografía, Geodesia y Cartografía>> plot(h,MW,'*',hh,MMW)Presenta oscilaciones en los extremos del intervalo, particularmente en elizquierdo, como se observa en la figura.b) Interpolamos dos polinomios dividiendo el intervalo por la mitad:>> p1=polyfit(h(1:7),MW(1:7),6)p1 =1.0e+004 *Columns 1 through 30.000122070312500 -0.004280598958333 0.055240885416664Columns 4 through 6-0.321158854166649 0.848958333333274 -0.953124999999938Column 73.125000000000038>> p2=polyfit(h(7:13),MW(7:13),6)Warning: Polynomial is badly conditioned. Add points with distinct Xvalues, reduce the degree of the polynomial, or try centeringand scaling as described in HELP POLYFIT.> In polyfit at 80p2 =1.0e+007 *Columns 1 through 3-0.000000045572917 0.000005130208333 -0.000237499999996Columns 4 through 60.005780208333237 -0.077911770832061 0.550972083324486Column 7-1.592449999974678Hacemos la gráfica con Matlab:>> hh1=0:0.1:12;>> MMW1=polyval(p1,hh1);>> hh2=12:0.1:24;>> MMW2=polyval(p2,hh2);4 x 1043.83.63.43.232.82.6U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Métodos Matemáticos 82.40 5 10 15 20 25

ETSI en Topografía, Geodesia y Cartografía>> plot(h,MW,'*',hh1,MMW1,':',hh2,MMW2,'-')Los sistemas a resolver en este caso no son tan mal condicionados.Casualmente la unión de los dos subintervalos es “suave”.c) Ajustemos un polinomio segmentario cúbico:Al tratarse de datos experimentales no tenemos información acerca de lasderivadas, por lo que utilizamos un spline no nodo.>> ps=spline(h,MW);>> s=ps.coefss =1.0e+004 *Columns 1 through 3-0.004723596507750 0.043966579046499 -0.231538772061998-0.004723596507750 0.015625000000000 -0.1123556139690010.032992982538749 -0.012716579046499 -0.106538772061998-0.052248333647246 0.185241316185995 0.2385107022169940.019750352050235 -0.128248685697481 0.352495963194022-0.008003074553693 -0.009746573396072 0.0765054450069170.012261946164539 -0.057765020718232 -0.0585177432216910.015205289895539 0.015806656269000 -0.142434472120155-0.029333105746693 0.107038395642232 0.1032556317023090.002127133091235 -0.068960238837929 0.1794119453109170.008324573381753 -0.056197440290518 -0.0709034129459760.008324573381753 -0.006250000000000 -0.195798293527012Column 43.1250000000000002.8000000000000002.6000000000000002.6000000000000003.4000000000000003.7500000000000003.8000000000000003.550000000000000U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Métodos Matemáticos 9

ETSI en Topografía, Geodesia y Cartografía3.4500000000000003.8500000000000003.9500000000000003.650000000000000>> MWs=ppval(ps,hh);>> plot(h,MW,'*',hh,MWs)>>4 x 1043.532.50 5 10 15 20 25Los coeficientes del spline están mejor escalados que los del polinomio y lagráfica sugiere una evolución más razonable de la demanda eléctrica.U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Métodos Matemáticos 10