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Respuesta Completa deCircuitos RL y RCCircuitos quecontienen elementosque almacenan energía

El Capacitor: Nociones GeneralesLa Capacitancia es una medida de la propiedad de undispositivo de almacenar energía en forma de cargasseparadas o de un campo eléctrico.La tensión a través de un capacitor no puede cambiarinstantáneamente.dqdvi = ; q = Cv;i = CdtdtC = C + C + … + C12/1/2005paralelo1 21 1 1 1= + + … +C C C Cserie1 2René Játiva Espinozarenej@usfq.edu.ecnn

El Capacitor: Nociones GeneralesLa energía almacenada por un capacitor puedecalcularse como sigue:w t = vidτc()∫t−∞1()2w ()ct = Cv t2Note que el capacitor en el instante inicial (t→-∞) secomporta como un corto circuito (v c→0), mientrasque su comportamiento en un circuito con condiciónde estado estable, a corriente constante corresponde alde un circuito abierto (i c→0), .12/1/2005René Játiva Espinozarenej@usfq.edu.ec

El Inductor: Nociones GeneralesLa energía almacenada por un inductor puedecalcularese como sigue:Ltw t = v τ i τ dτ( ) ( ) ( )∫−∞1()2w ()Lt = Li t2Note que en el instante inicial (t→-∞) el inductor secomporta como un circuito abierto (i L→0), mientrasque su comportamiento en un circuito con condiciónde estado estable, a voltaje constante corresponde alde un corto circuito (v L→0), .12/1/2005René Játiva Espinozarenej@usfq.edu.ec

Amplificador Operacional yCircuitos RCAñadiendo capacitores a circuitos que contienenamplificadores operacionales pueden conseguirsedispositivos de amplificaciones interesantes:Ct⎛ 1 ⎞R i 1 i C isal⎜ ∫ vdt()f ⎟v-salidat =− ⎜ RC0 ⎟+ +i⎜( )+ +vsal0 ⎟⎝+⎠v v f f+v 1R sv sal- --CircuitoIntegrador12/1/2005René Játiva Espinozarenej@usfq.edu.ec

Conmutación secuencial10AOcurre cuando un circuito tiene dos o másinterruptores que cambian de estado en instantesdiferentes:t=0V R-2mHi(t)i 22 Ω-t=1ms2 ΩEn el instantet=0 la fuentede corrientese retira delcircuito, y ent=1ms, seañade unaresistencia12/1/2005René Játiva Espinozarenej@usfq.edu.ec

Conmutación secuencialEn el circuito de la figura, el valor inicial de lacorriente del inductor es i L(0)=1mA. ¿Qué valor deinductancia, L, se necesita si el comparador debecambiar de V B=0 a V A=5V en el tiempo t 1=10ms.CL 200Ω+5V + v i L (t) - +f300Ω- v R (t) + 50kΩ v sal- 1,5V +-12/1/2005René Játiva Espinozarenej@usfq.edu.ec

La fuente escalón unitariaSe define la función forzante escalón unitario comouna función del tiempo que es cero para tto. En t=to la magnitud cambia decero a uno:⎧0t < t( )ou t− to=⎨⎩1t > toUn pulso puede conseguirse por la suma de dosescalones unitarios:o 1s t = s t = u t−to−u t−t1() () ( ) ( )12/1/2005⎧1;⎨⎩0;t < t < totro casoRené Játiva Espinozarenej@usfq.edu.ec

Circuitos con dos elementos quealmacenan energíaPara un circuito RLC paralelo a una fuente decorriente de valor i f, se tiene:vLRvLdv+ + =dtdiL= L dtLiLC if2diLL diL1 1⇒ + + i2L=dt RC dt C Cif12/1/2005René Játiva Espinozarenej@usfq.edu.ec

Circuitos con dos elementos quealmacenan energíaEn forma similar para un circuito RLC en serie a unafuente de tensión de valor v f, se tiene:CL vC RiC vfiCdi+ + =dtdvC= C dt2dvCR dvC1 1⇒ + + v2C=dt L dt LC LCvf12/1/2005René Játiva Espinozarenej@usfq.edu.ec

Solución de la EcuaciónDiferencial de Segundo OrdenLa ecuación diferencial que representa a un circuitocon dos elementos irreducibles que almacenan energíaes la siguiente:12/1/20052d x dxa2 + a2 1+ aox=f tdt dt⇒ x= x + xDonde:nfRené Játiva Espinozarenej@usfq.edu.ec()2d xndxna2 + a2 1+ aoxn = 0; xn= Aedt dtst

Solución de la EcuaciónDiferencial de Segundo OrdenDe donde resulta la ecuación característica (en funciónde s) que debe verificarse:Estas raíces2as2as1a 0 contienen toda laoinformación2− a1+ a1 −4a2anecesaria para01=determinar el2a2carácter de larespuesta natural⇒ + + =s−a − a −4a as x Ae Ae22=1 1 2 0st⇒n=1+2a22s t1 212/1/2005René Játiva Espinozarenej@usfq.edu.ec

Respuesta Natural del circuitoRLC en paralelo sin excitaciónConsideremos un circuito RLC paralelo donde se notapor i la corriente que atraviesa la bobina y v la tensiónsobre cualquiera de los componentes:C2dv 1 dv 12dt R dt L+ + v=1 1sRC LC2⇒ + + =s00Ecuacióncaracterística12/1/2005René Játiva Espinozarenej@usfq.edu.ec

Respuesta Natural del circuitoRLC en paralelo sin excitaciónLas raíces de la ecuación característica y la forma dela solución son:ss1221 ⎡⎛1 ⎞ 1 ⎤=− + ⎢⎜⎟ − ⎥2RC ⎢⎣⎝2RC ⎠ LC ⎥⎦21 ⎡⎛1 ⎞ 1 ⎤=− −⎢⎜⎟ − ⎥2RC ⎢⎣⎝2RC ⎠ LC ⎥⎦Si s ≠ s ⇒ v = A e + A est1 2 n 1 2s t1 21/21/212/1/2005René Játiva Espinozarenej@usfq.edu.ec

Respuesta Natural del circuitoRLC en paralelo sin excitaciónDe donde:s =− α + α − w ; s =−α − α −w2 2 2 21 o 2oDonde12/1/2005:1 2 1α = ; wo=2RCLCSi α > w →s ≠ s y s , s son reales2 2o2 2o2 2o1 2 1 2Si α = w → s = s y s , s son reales1 2 1 2Si α < w →s ≠ s y s , s son complejas1 2 1 2René Játiva Espinozarenej@usfq.edu.ecw oes la frecuenciade resonancia delcircuito

Respuesta Natural del circuitoRLC en paralelo sin excitaciónCuando:s ≠ s y s , s son reales →Circuito1 2 1 2s = s y s , s son reales →Circuito1 2 1 2s ≠ s y s , s son complejas →Circuito1 2 1 2sobreamortiguadocriticamente amortiguadosubamortiguado12/1/2005René Játiva Espinozarenej@usfq.edu.ec

Respuesta Natural del circuitoRLC en paralelo sin excitaciónAplicando condiciones iniciales (caso sobreamortiguado):v 0 = v 0 ⇒ A + A = v 0( ) ( ) ( )12/1/2005n1 2LCK en t = 0: i ( ) ( ) ( )R0 + i 0 + iC0 = 0;v( 0)dv( 0)Se tiene dos+ i( 0)+ C = 0 ecuaciones conRdtdos incógnitas.dv( 0) ⎡v( 0)1 ⎤ El problema está→ =− ⎢ + i ( 0)⎥dt ⎣ RC Cresuelto⎦dv ( ) ( )n0 ⎡v0 1⇒ = sA1 1+ sA2 2=− ⎢ + idt ⎣ RC CRené Játiva Espinozarenej@usfq.edu.ec0( )⎤⎥⎦

Respuesta Natural del circuitoRLC en paralelo sin excitaciónPara el caso críticamente amortiguado, la forma de lasolución cambia:() ( )st 1vnt = At1+ A2e Se tiene dos ecuacionescon dos incógnitas. Elv( 0) = v ( 0) ( )n⇒ A2= v 0problema está resueltoLCK en t = 0: i 0 + i 0 + i 0 = 0;dv( 0) ⎡v( 0)1→ =− ⎢ + idt ⎣ RC C12/1/2005R( ) ( ) ( )0( )dv ( ) ( )n0 ⎡v0 1⇒ = A1+ s1A2=− ⎢ + idt ⎣ RC CC⎤⎥⎦René Játiva Espinozarenej@usfq.edu.ec0( )⎤⎥⎦

Respuesta Natural del circuitoRLC en paralelo sin excitaciónPara el caso sub-amortiguado, la forma de la soluciónadmite simplificaciones:v t = B cos w t+B sin w t e( ) ( )n 1 a 2 acon w = w −αFrecuencia resonante amortiguadaa2 2o1α = Coeficiente de amortiguamiento2RCv 0 = v 0 ⇒ B = v 0( ) ( ) ( )n1−αt12/1/2005René Játiva Espinozarenej@usfq.edu.ec

Respuesta Natural del circuitoRLC en paralelo sin excitaciónLCK en t = 0: i 0 + i 0 + i 0 = 0;dv( 0) ⎡v( 0)1→ =− ⎢ +dt ⎣ RC CR( ) ( ) ( )0( )dv ( ) ( )n0 ⎡v0 1⇒ = wBa 2− α B1=− ⎢ + idt ⎣ RC CiC⎤⎥⎦0( )Se tiene dos ecuaciones con dos incógnitas. Elproblema está resuelto⎤⎥⎦12/1/2005René Játiva Espinozarenej@usfq.edu.ec

Respuesta Forzada de un circuitoRLCLa respuesta forzada de un circuito RLC descrito por unaecuación diferencial de segundo orden debe satisfacer laecuación diferencial y no debe contener constantesarbitrarias.Función de excitaciónSolución Propuesta12/1/2005KKtKt 2KsinwtKe -atRené Játiva Espinozarenej@usfq.edu.ecAAt+BAt 2 +Bt+CAsinwt+BcoswtAe -at

Respuesta Completa de uncircuito RLCLa respuesta completa de un circuito RLC descrito poruna ecuación diferencial de segundo orden corresponde ala suma de la respuesta natural y de la forzada. Y seobtiene en forma similar a los casos anteriores evaluandox(t) y dx(t)/dt en t=0.x= x + xnf12/1/2005René Játiva Espinozarenej@usfq.edu.ec

Raíces en el Plano ComplejoEl carácter de la respuesta natural de un sistema desegundo orden está determinado por las raíces de laecuación característica.En general las raíces se ubican en el plano complejo,definiéndose su posición por las coordenadas medidassobre el eje real σ, y el eje imaginario jw.jwXjw aσRaíces para el casosubamortiguadoX-jw a12/1/2005René Játiva Espinozarenej@usfq.edu.ec