Tema 3. Señales y sistemas en tiempo discreto. Introducción: • Las ...

Tema 3. Señales y sistemas en tiempo discreto.Introducción:• Las señales discretas se representan con una secuencia denúmeros denominados muestras.• Una muestra de una señal o secuencia se denota por x[n] siendo nentero en el intervalo − ∞ < n < ∞ (x[n]=x[nT])• x[n] está definida únicamente para valores enteros de n.• Una señal en tiempo discreto se representa como {x[n]}• Las señales discretas se pueden representar como una secuenciade números entre paréntesis{ x[n]}= { − 0.2, 2.2,1.1,0.2, − 3.7, 2.9}; x(n)= ( 1 4) n• La flecha ↑indica la muestra con índice n=0↑La representación gráfica de una secuencia discreta es la siguiente:Extraído de: Digital Signal Processing. A computer-based approach. S. K, MitraEn muchas aplicaciones la secuencia discreta se obtiene muestreandouna señal continua x a (t) a intervalos de tiempo regulares:x[ n]= x ( t)= x ( nT ) n = Κ , − 2, −1,0,1,Κ ,=atnTaINTRODUCCIÓN. AL PROCESADO DIGITAL DE SEÑALES.MARCELINO MARTÍNEZ SOBER.ANTONIO J. SERRANO LÓPEZ3.1 JUAN GÓMEZ SANCHIS CURSO 2009-2010

Extraído de: Digital Signal Processing. A computer-based approach. S. K, MitraT es el período de muestreo y su inversa se denomina frecuencia demuestreo. Si T está en segundos las unidades de la frecuencia de muestreoson ciclos por segundo o Hertzios.Independientemente de que la secuencia {x[n]} se haya obtenido pormuestreo o no, se dice que x[n] es la n-ésima muestra de la secuencia.Si todos los valores de la secuencia {x[n]} son reales se dice que lasecuencia es real, en otro caso se dice que se trata de una secuenciacompleja.Una secuencia compleja {x[n]} puede escribirse como{ x[n]}= { x [ n]}j{x [ n]}re+siendo x re[n]y x im[n]las partes reales e imaginarias de la secuencia {x[n]}El complejo conjugado de una secuencia se denota porEj. Secuencia Real:{ x [ n]}= {cos0.25n}Ej Secuencia Compleja:{ y[n]}= { ej0.3n} = {cos0.3n+{ y re[ n]}= {cos0.3n};{ y im[ n]}= {sin 0.3n}{ x*[n]}= { x [ n]}− j{x [ n]}rej sin 0.3n}= {cos0.3n}+ j{sin 0.3n}− .3La secuencia { w[n]}= {cos0.3n}− j{sin 0.3n}= { ej0 n } es la conjugada de y [] n ,es decir { w [ n]}= { y *[ n]}Una señal discreta se dice que es finita o de longitud finita si está definidaúnicamente en un intervalo finito N1 ≤ n ≤ N2con − ∞ < N1, N2< ∞ yN ≤ .1N 2La longitud o duración de una secuencia es N = N − N 1.imim2 1+INTRODUCCIÓN. AL PROCESADO DIGITAL DE SEÑALES.MARCELINO MARTÍNEZ SOBER.ANTONIO J. SERRANO LÓPEZ3.2 JUAN GÓMEZ SANCHIS CURSO 2009-2010

Desplazamiento temporal: y[ n]= x[n − N ] (N>0: Retardo, N

DE BLOQUES e indica las operaciones realizadas y el sentido de flujo delos datos.Ej:Extraído de: Digital Signal Processing. A computer-based approach. S. K, Mitray[ n]= α1x[n]+ α2x[n −1]+ α3x[n − 2] + α4x[n − 3]Modificación de la frecuencia de muestreo:Dada una secuencia x[n] muestreada a una frecuencia F T nos permiteobtener una secuencia y[n] muestreada a una frecuencia F T’'FTLa relación entre frecuencias es: R =FTSi R>1 se habla de INTERPOLACIÓNSi R

INTERPOLACIÓNSi incrementamos la frecuencia de muestreo por un factor L>1, siendo L unentero, insertamos L-1 ceros entre muestras consecutivas.x u⎧ x[n / L],n = 0, ± L,± 2L,Λ[ n]= ⎨⎩ 0, en otro caso1Entrada1Salida0.80.80.60.60.40.4Amplitud0.20−0.2Amplitud0.20−0.2−0.4−0.4−0.6−0.6−0.8−0.8−10 10 20 30 40 50n−10 10 20 30 40 50nPosteriormente mediante un proceso de filtrado las muestras de valor cerose sustituirán por valores interpolados entre las muestras existentes.DIEZMADOSi decrementamos la frecuencia de muestreo por un factor M>1, siendo Mun entero, tomamos una de cada M muestras de la señal original ydescartamos las M-1 intermedias.y [ n]= x[nM ]EntradaSalidaAmplitud10.80.60.40.20−0.2−0.4−0.6−0.8−10 10 20 30 40 50nAmplitud10.80.60.40.20−0.2−0.4−0.6−0.8−10 10 20 30 40 50nINTRODUCCIÓN. AL PROCESADO DIGITAL DE SEÑALES.MARCELINO MARTÍNEZ SOBER.ANTONIO J. SERRANO LÓPEZ3.7 JUAN GÓMEZ SANCHIS CURSO 2009-2010

Clasificación de secuenciasLas secuencias se pueden clasificar atendiendo a diversos criteriosSimetría:SECUENCIA CONJUGADA SIMÉTRICA: x[ n]= x*[−n]x[0] es un número real. Si x[n] es REAL se dice que se trata de unasecuencia PAR.Ej. Secuencia PARExtraído de: Digital Signal Processing. A computer-based approach. S. K, MitraSECUENCIA CONJUGADA ANTISIMÉTRICA: x[ n]= −x*[ −n]x[0] es un número IMAGINARIO PURO. Si x[n] es real se dice que setrata de una secuencia IMPAR, en este caso x[0]=0.Ej. Secuencia IMPARExtraído de: Digital Signal Processing. A computer-based approach. S. K, MitraCualquier secuencia se puede poner como suma de dos secuencias unaconjugada simétrica y otra conjugada antisimétricax[ n]= x [ n]x [ n]x csx cacs+ca1[ n]=n2( x[n]+ x *[ − ])1[ n]=n2( x[n]− x *[ − ])INTRODUCCIÓN. AL PROCESADO DIGITAL DE SEÑALES.MARCELINO MARTÍNEZ SOBER.ANTONIO J. SERRANO LÓPEZ3.8 JUAN GÓMEZ SANCHIS CURSO 2009-2010

Si particularizamos para secuencias reales, la propiedad nos dice quecualquier secuencia real se puede poner como suma de una secuencia par yotra imparx[ n]= x [ n]x [ n]par+imparEjemplo:x parx impar1[ n]=n2( x[n]+ x[− ])1[ n]=n2( x[n]− x[− ])Consideremos la secuencia{ g[n]}= {0, 1+j4,−2+j3,4−j2,−5−j6,− j2,3}↑{ g * [ n]}= {0, 1−j4,−2−j3,4+j2,−5+j6,j2,↑3}{ g * [ −n]}= {3, j2,−5+j6,4+j 2, −2−j3,1−j4,↑La secuencia conjugada simétrica es:1gcs[n]}= { g[n]+ g *[ −n]}= {1.5,21ca[n]}= { g[n]− g *[ −n]}= { −2{ 0.5+j3,−3.5+j4.5,4, −3.5−j 4.5, 0.5−j3,{ g 1.5, 0.5+j,1.5−j1.5,− j2,−1.5−j1.5,−0.5+j,Se puede verificar fácilmente que g [ n]= g*[ −n]y g [ n]= −g*[ −n]cs cs ca ca0}↑↑1.5}1.5}PeriodicidadUna secuencia x[n] se dice que es periódica si se verifica quex [ n]= x[n ± N ]. El menor valor de N que verifica esta propiedad sedenomina período fundamental.Extraído de: Digital Signal Processing. A computer-based approach. S. K, MitraINTRODUCCIÓN. AL PROCESADO DIGITAL DE SEÑALES.MARCELINO MARTÍNEZ SOBER.ANTONIO J. SERRANO LÓPEZ3.9 JUAN GÓMEZ SANCHIS CURSO 2009-2010

Si no se verifica la propiedad anterior se dice que la secuencia esaperiódicaINTRODUCCIÓN. AL PROCESADO DIGITAL DE SEÑALES.MARCELINO MARTÍNEZ SOBER.ANTONIO J. SERRANO LÓPEZ3.10 JUAN GÓMEZ SANCHIS CURSO 2009-2010

Señales de energía y de potenciaEnergía de una secuencia:E∑ ∞ 2x= x[n]n=−∞Una secuencia infinita puede tener energía finita o no. Una secuencia finitasiempre tiene energía finita.x(n)= 1,3,5 , E = 36Ejemplos:{ }↑x(n)= 0.5nx(n)= u(n)u(n)E = ∞E = 2Potencia media de una secuencia aperiódica:PK12x= lim+ ∑ x[n]K →∞ 2K1n=−KSi definimos la Energía de una secuencia en un intervalo finitoK2Ex, K= ∑ x n]n=−K1Px= lim EK x.KK →∞ 2 + 1− K ≤ n ≤ K ,[ podemos expresar la potencia media comoPara una secuencia periódica de período N se define la Potencia mediaN121como: ∑ − Px= x[n]Nn=0La potencia media de una secuencia infinita puede ser finita o infinita.Ejemplo: Consideremos la secuencia causaln⎧3(−1), n ≥ 0x[n]= ⎨⎩ 0, n < 0Ex∞∞2n2 2[] n = 3( −1) = 3 = ∞= ∑ x ∑ ∑n= −∞n=0n=01 ⎛ ⎞ 9( + 1)= lim ⎜9∑ KKPx1⎟= lim = 4.5K → ∞ 2K+ 1K →∞⎝ = 0 ⎠ 2 Kn+ 1∞Una señal de Energía Infinita y Potencia media finita se dice que es unaseñal de Potencia. Por ejemplo una señal periódica.Una señal de Energía Finita y Potencia media cero se dice que es una señalde Energía. Ej. Cualquier secuencia de duración finitaINTRODUCCIÓN. AL PROCESADO DIGITAL DE SEÑALES.MARCELINO MARTÍNEZ SOBER.ANTONIO J. SERRANO LÓPEZ3.11 JUAN GÓMEZ SANCHIS CURSO 2009-2010

NOTA:Suma de términos de una progresión aritmética:SumaN2= ∑n=N1an5⎛ aN+ a1=⎜⎝ 2N2⎞⎟⎠( N − N + 1)Ej: Suma 2n−1= ⎜ ⎟( 5 − ( − 2)+ 1) = 16= ∑n=−22⎛ − 5 + 9 ⎞⎝ 2 ⎠1a n= a 0+ n ⋅ d :nSuma de términos de una progresión geométrica: an= a0 ⋅ r n ≥ 0N2aN⋅ r − a2 N1Suma = ∑an =si alguno de los límites,1 21N , N es infinito, paran= N r1−que se pueda realizar la suma es necesario que r ≤ 1Caso particulares:aSuma = ∑ ∞ 0an== 1−rn0Ej:Suma∞−1∞ −1−2−1n−2−1−2−1n−1−2( ) ( ) ( ) ( ) ( 3 ) − ( 3 ) − 2 ⋅= 2 ⋅ 3 ∑ 3 = 2 ⋅ 3=−1−11n=−2r = 3 < 1( 3 ) −1( 3 )∞= ∑ 2 3−n=−243= 3−15Otras clasificacionesSecuencia acotada: x [ n]≤Ej. x[ n]= cos0.3πn ≤1B x< ∞Secuencia absolutamente sumable: ∑ ∞ x [ n]n=−∞Ej:n⎧0.3,y[n]= ⎨⎩ 0,n ≥ 0n < 0∑ ∞n=00.3n< ∞1= = 1.42857 < ∞1−0.3Secuencia cuadrado sumable: ∑ ∞ x[n]= −∞n2< ∞INTRODUCCIÓN. AL PROCESADO DIGITAL DE SEÑALES.MARCELINO MARTÍNEZ SOBER.ANTONIO J. SERRANO LÓPEZ3.12 JUAN GÓMEZ SANCHIS CURSO 2009-2010

sin( 0.4πn)Ej: h[ n]= Esta serie no es absolutamente sumable pero síπn2πcuadrado sumable.(La suma es ) 6Secuencias Discretas BásicasImpulso unidad:1⎧1,δ [ n]= ⎨⎩0,n = 0n ≠ 0–4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6nEscalón unidad:⎧1,u [ n]= ⎨⎩0,1n ≥ 0,(causal)n < 0–4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6⎧0,n ≥ 0u [ −n−1]= ⎨ (anticausal)⎩1,n < 0⎧n,n ≥ 0Rampa unidad: r [ n]= n ⋅u(n)= ⎨⎩0,n < 0Rampa unidad5n4.543.53r(n)2.521.510.50−5 0 5nINTRODUCCIÓN. AL PROCESADO DIGITAL DE SEÑALES.MARCELINO MARTÍNEZ SOBER.ANTONIO J. SERRANO LÓPEZ3.13 JUAN GÓMEZ SANCHIS CURSO 2009-2010

Secuencia sinusoidal: [ n]= Acos(ω n + φ)xoω 0 : frecuencia angular en radianes/muestraA: Amplitudφ: FaseSecuencia exponencial:Si escribimosx[n]= A eejφ( σα = e( σ o + jωo), A =o + jωo) n= x [ n]+xxrereim[ n]=[ n]=j ximAeA ex[ n]= Aαn , −∞ < n < ∞jφy separamos en parte real e imaginaria[ n],obtenemos las secuencias:Aeσ noσ nocos( ω n + φ)osin( ω n + φ)Las partes reales e imaginarias son sinusoides puras para σ o =0, crecientespara σ o >0 y decrecientes para σ o

Las secuencias sinusoidales, Acos(ωon + φ)y las secuencias exponencialescomplejas B exp( jω on)son señales periódicas de período N si ωoN= 2πr,siendo N y r enteros; es decir, la frecuencia digital es un número racionalrf =NSi no se cumple la relación anterior la secuencia es no periódica. Ej:x [ n]= sin( 3n + φ).Secuencia sinc:El secuencia es muy utilizada en procesado de señales. Se trata de unasecuencia no causal de duración infinitaRepresentación se secuencias arbitrarias mediante impulsos.Cualquier secuencia discreta puede ser representada como una sumak∑ == ∞k −∞ponderada de secuencias impulso retardadas. x(n)= x(k)δ ( n − k)INTRODUCCIÓN. AL PROCESADO DIGITAL DE SEÑALES.MARCELINO MARTÍNEZ SOBER.ANTONIO J. SERRANO LÓPEZ3.15 JUAN GÓMEZ SANCHIS CURSO 2009-2010

x[ n]= 0.5δ[ n + 2] + 1.5δ[ n −1]− δ [ n − 2] + δ [ n − 4] + 0.75δ[ n − 6]Sistemas DiscretosUn sistema discreto procesa una secuencia de entrada x[n] para obtener unasecuencia de salida y[n] modificando su propiedades (salvo el sistemay(n)=x(n)).El número de entradas y salidas puede ser uno, como en un multiplicador, omúltiple como ocurre en un bloque sumador o modulador, retardo, etc.Ejemplos: y ( n)= 0.5( x(n)+ x(n −1))Sistema acumulador: La salida en un instante es la suma acumulada de lasnn−1muestras anteriores. y[n]= ∑ x[λ ] = ∑ x[λ]+ x[n]= y[n −1]+ x[n]λ= −∞ λ=−∞La relación entre la entrada y la salida también se puede escribir como:−1y[n]= ∑ x[λ ] + ∑ x[λ]= y[−1]+ ∑ x[λ],λ=−∞nλ=0nλ=0n > 0y[-1] se denomina condición inicial. La última expresión en la que n estádefinida para valores positivos se denomina acumulador causalINTRODUCCIÓN. AL PROCESADO DIGITAL DE SEÑALES.MARCELINO MARTÍNEZ SOBER.ANTONIO J. SERRANO LÓPEZ3.16 JUAN GÓMEZ SANCHIS CURSO 2009-2010

Promediado de M muestras (prom. móvil): la salida en un determinadoinstante es el promedio de la muestra actual y las M-1 muestras anteriores.M∑ − 11y [ n]= x[n − k]M k = 0Este tipo de promediado se utiliza para eliminar ruido de una señal.87d[n]s[n]x[n]87s[n]y[n]6565M=4Amplitude43Amplitude4231201−10 10 20 30 40 50Time index n00 10 20 30 40 50Time index nINTRODUCCIÓN. AL PROCESADO DIGITAL DE SEÑALES.MARCELINO MARTÍNEZ SOBER.ANTONIO J. SERRANO LÓPEZ3.17 JUAN GÓMEZ SANCHIS CURSO 2009-2010

Clasificación de Sistemas DiscretosSistemas Lineales:Si y 1 [n] es la salida de un sistema ante una entrada x 1 [n] e y 2 [n] es la salidade un sistema ante una entrada x 2 [n], entonces, si el sistema es lineal, anteuna entrada x[ n]= α x1[n]+ β x2[n], la salida es y[ n]= α y1[n]+ β y2[n]siendo α,β , x 1 [n] e x 2 [n] arbitrarios.Un sistema lineal verifica el principio de superposición.Ej1: Promediado de dos muestras: y [ n]= 0.5( x(n)+ x(n − 1) )Para dos entradas arbitrarias las salidas serán:y1[ n]= 0.5( x1( n)+ x1(n −1)),y2[n]= 0.5( x2( n)+ x2( n −1))Para una entrada x[ n]= α x1[n]+ β x2[n]α, β ∈RLa salida es:y1[n]= 0.5( α x1[n]+ β x2[n]+ α x1[n −1]+ β x2[n −1]) == α(0.5( x ( n)+ x ( n −1)) + β (0.5( x ( n)+ x ( n −1)))1Luego el sistema es lineal1Ej2: AcumuladorPara dos entradas arbitrarias las salidas serán:ynn1[ n]= ∑ x1[], y2[n]= ∑ x2λ=−∞λ=−∞λ [ λ]Para una entrada x[ n]= α x1[n]+ β x2[n]α, β ∈ RLa salida es:2nnn1nλ= −∞λ=−∞λ=−∞( α x [ λ ] + β x [ λ]) = α x [ λ]+ β x [ λ]= α y [ n]+ β y [ ]y[ n]= ∑2 ∑ ∑1212Luego el sistema es linealEj: Acumulador causalPara dos entradas arbitrarias tenemos:ynn1[ n]= y1[−1]+ ∑ x1[λ ] y2[n]= y2[−1]+ ∑ x2[λ]λ=0λ=0Para una entrada x n]= α x [ n]+ β x [ ]La salida es:[1 2ny[n]= y[−1]+n∑λ=0( α x1 [ λ]+ β x2[λ])Si ahora calculamos α y n]+ β y [ ] obtenemos1[ 2n2INTRODUCCIÓN. AL PROCESADO DIGITAL DE SEÑALES.MARCELINO MARTÍNEZ SOBER.ANTONIO J. SERRANO LÓPEZ3.18 JUAN GÓMEZ SANCHIS CURSO 2009-2010

α y1[n]+ β y2[n]= α(y1[−1]+ ∑ x1[λ])+ β ( y2[−1]+ ∑ xnλ=0= ( α y1[−1]+ β y2[−1])+ ( α∑x1[λ]+ β∑nλ=0nλ=0x [ λ])2nλ=02[ λ])=Para que se verifique y[ n]= α y1[n]+ β y2[n]se debe cumplir,y[ −1]= α y1[−1]+ β y2[−1]para cualquier valor de α, β luego solo si lascondiciones iniciales son nulas el sistema será lineal en otro caso no loserá.2Ejercicio. Determina si el sistema y [ n]= x [ n]− x[n −1]x[n + 1]es lineal.INTRODUCCIÓN. AL PROCESADO DIGITAL DE SEÑALES.MARCELINO MARTÍNEZ SOBER.ANTONIO J. SERRANO LÓPEZ3.19 JUAN GÓMEZ SANCHIS CURSO 2009-2010

Verificación de la linealidad de un sistema utilizando Matlab%Determina si el sistema y[n]=x[n]-2*x[n-1]-y[n-2] es lineal%Considera que las condiciones inciales son y[-1]=0.5;y[0]=2%Hemos considerado que el primer elemento es el n=1%para evitar problemas de índices en Matlabclearclose allset(0, 'defaultaxesfontsize', 18)%Generamos 2 secuencia arbitrarias con los mismos elementosN=100;x1=0:N-1;x2=sin(2*pi*0.3*(1:N));%Condiciones inicialesy_1=0.5; y0=2;%Generamos una secuencia que sea una Comb. Lineal de ambasalfa=3; beta=0.5;x3=alfa*x1+beta*x2;%Hemos de calcular las salidas para las entradas anteriores y1[n],y1[n] ey3[n]%Determinamos fuera del bucle la salida para índices problemáticos%n=1 y n=2%Para n=1n=1;y1(n)=x1(1)-2*0-y_1;%Análogo para el resto de entradasy2(n)=x2(1)-2*0-y_1;y3(n)=x3(1)-2*0-y_1;%Para n=2n=2;y1(n)=x1(2)-2*x1(2-1)-y0;%Análogo para el resto de entradasy2(n)=x2(2)-2*x2(2-1)-y0;y3(n)=x3(2)-2*x3(2-1)-y0;%Realizamos los cálculos para n>2for(n=3:N)y1(n)=x1(n)-2*x1(n-1)-y1(n-2);%Análogo para el resto de entradasy2(n)=x2(n)-2*x2(n-1)-y2(n-2);y3(n)=x3(n)-2*x3(n-1)-y3(n-2);end%Dibujamos las salidasplot(y3,'ro')hold onplot(alfa*y1+beta*y2,'g*');title('El sistema NO es lineal')xlabel('n')legend('y_3(n)','\alphay_1(n)+\betay_2(n)')INTRODUCCIÓN. AL PROCESADO DIGITAL DE SEÑALES.MARCELINO MARTÍNEZ SOBER.ANTONIO J. SERRANO LÓPEZ3.20 JUAN GÓMEZ SANCHIS CURSO 2009-2010

%Repetir el ejercicio considerando Condiciones iniciales (ccii) nulasINTRODUCCIÓN. AL PROCESADO DIGITAL DE SEÑALES.MARCELINO MARTÍNEZ SOBER.ANTONIO J. SERRANO LÓPEZ3.21 JUAN GÓMEZ SANCHIS CURSO 2009-2010

Sistema: y [] n = x[] n − 2 x[ n −1] − y[ n − 2] ccii : y[ − 2] = 0.5 y[ −1] = 2200El sistema NO es linealy 3(n)αy 1(n)+βy 2(n)−20−40−60−80−100−120−140−1600 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100nSi consideramos el mismo sistema con ccii nulas obtenemos.200El sistema SÍ es linealy 3(n)αy 1(n)+βy 2(n)−20−40−60−80−100−120−140−1600 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100nINTRODUCCIÓN. AL PROCESADO DIGITAL DE SEÑALES.MARCELINO MARTÍNEZ SOBER.ANTONIO J. SERRANO LÓPEZ3.22 JUAN GÓMEZ SANCHIS CURSO 2009-2010

Sistema invariante temporal.Un sistema que ante una entrada x 1 [n] produce una salida y 1 [n] esinvariante temporal si ante una entrada x[ n]= x1[n − no] la salida esy[ n]= y1[n − no].Es decir que si la secuencia de entrada se retarda o adelanta, la secuencia desalida estará retardada o adelantada ese mismo número de muestras.También podemos decir que la salida del sistema será la mismaindependientemente del instante en que se aplique la entrada.Ej.: Consideremos el sistema interpolador⎧ x[n / L],n = 0, ± L,± 2L,.....x u[ n]= ⎨para una entrada retardada x1[n]= x[n − no]⎩ 0, en otro casola salida es:⎧ x1[n / L],n = 0, ± L,± 2L,.....⎧ x[n / L − no], n = 0, ± L,± 2L,.....x1,u[ n]= ⎨= ⎨⎩ 0, en otro caso ⎩ 0, en otro casosin embargo si calculamos la salida retardada⎧x[(n − no) / L],n = no,no± L,no± 2L,.....xu [ n − no] = ⎨≠ x 1 , u[n]⎩ 0,en otro casopor lo que essistema es VARIANTE TEMPORALEj.: Sistema acumuladorn∑y[ n]= x1[λ],ante una entrada retardada x[n]=x 1 [n-n o ]yλ=−∞nn−non−no1[ n]= ∑ x1[− no] = ∑ x1[λ']= ∑ x1l'= l−nol=l'λ=−∞λ'=−∞λ=−∞λ [ λ]Si retardamos directamente la salida tenemosyn∑ − n0[ n − n o] = x1λ=−∞[ λ ] expresión que coincide con la anterior por lo que elacumulador es un sistema INVARIANTE TEMPORALINTRODUCCIÓN. AL PROCESADO DIGITAL DE SEÑALES.MARCELINO MARTÍNEZ SOBER.ANTONIO J. SERRANO LÓPEZ3.23 JUAN GÓMEZ SANCHIS CURSO 2009-2010

Sistemas LIT (LTI)Es un sistema que verifica simultáneamente las propiedades de linealidad einvarianza temporal.Estos sistemas son sencillos de caracterizar matemáticamente y por tantofáciles de usar. Un gran número de algoritmos de procesado digital deseñales han sido diseñados utilizando este tipo de sistemas. Son los queestudiaremos más detenidamente en capítulos posteriores.Ej: el sistema acumuladorSistemas Causal (LTI)Es aquel en el que la salida en un determinado instante n o (y[n o ]) dependesolo de muestras de entrada en instantes n ≤ noy/o salidas en instantesanteriores n < no, pero no de entradas posteriores n > no(SISTEMA NOANTICIPATIVO)Ej.: Sistemas causalesy n]= α x[n]+ α x[n −1]+ α x[n − 2] + α x[n[1 234−y [ n]= y[n −1]+ x[n]Sistema acumulador.Promediado móvil.Ej.: Sistemas no causales1y n]= x [ n]+ ( x [ n −1]+ x [ n + 1])[u 2y[n]= x[ − n]uEjercicio: Determina si el sistema y n]= x[ − n]causal ?u3][ es invariante temporal. ¿EsEn muchas ocasiones un sistema no causal puede transformarse en unocausal retardando las señales un determinado número de muestras. Así el1sistema no causal y[ n]= xu[n]+ ( x [ n −1]+ x [ n + 1])2 uuse puede transformar en1y n]= x [ n −1]+ ( x [ n − 2] x [ n]).[u 2 u+uINTRODUCCIÓN. AL PROCESADO DIGITAL DE SEÑALES.MARCELINO MARTÍNEZ SOBER.ANTONIO J. SERRANO LÓPEZ3.24 JUAN GÓMEZ SANCHIS CURSO 2009-2010

Sistemas estable BIBOUn sistema se dice que es estable BIBO (Bounded Input Bounded Output)si ante cualquier entrada acotada x[ n]≤ Bx< ∞ − ∞ < n < ∞ , la salida estatambién acotada y[ n]≤ By< ∞ − ∞ < n < ∞ .Ej. Promediado Móvil de M múestras:M∑ − 11Mk = 0y [ n]= x[n − k], si x[ n]≤ BxentoncesM −1M −1111y [ n]= ∑ x[n − k]≤ ∑ x[n − k]≤ ( MBx) ≤ Bx< ∞ ESTABLEMMMk = 0Ej: y[] n log( x[]n )k = 0= , aunque se verifique x[ n]≤ Bx, la salida no está acotadapara todas aquellas secuencias que tengan muestras iguales a 0. Ya que enestos puntos el logaritmo se hace infinito.Sistemas sin memoria o estáticos.Es aquel en el que la salida solo depende de entradas actuales.En caso contrario se dice que el sistema tiene memoria o es DINÁMICO.Ej:y[] n sin( x[]n )= Sistema sin memoria1∑ N − 1N k = o[] n = x[ n − k]y Sistema con memoria.Sistemas Pasivos.Son aquellos en los que para cualquier secuencia de entrada x[n] de energíafinita, la salida tiene como máximo la misma energía∞∑y[n]∞≤ ∑ x[n]n= −∞n=−∞22< ∞Cuando en la expresión anterior se verifica la igualdad se dice que elsistema es SIN PÉRDIDAS (LOSSLESS)INTRODUCCIÓN. AL PROCESADO DIGITAL DE SEÑALES.MARCELINO MARTÍNEZ SOBER.ANTONIO J. SERRANO LÓPEZ3.25 JUAN GÓMEZ SANCHIS CURSO 2009-2010

Ej.El sistema y[ n]= α x[n − N], con N un entero positivo.La energía viene dada por∞∑n=−∞para α ≤1y sin pérdidas para α = 1∞∑2 22y[ n]= α x[n]luego el sistema es pasivon=−∞Respuesta impulsional.La respuesta de un sistema ante una entrada x[ n] δ [ n]respuesta impulsional y la denotaremos por h [ n].Respuesta escalón.La respuesta de un sistema ante una entrada [ n] u[ n]respuesta escalón y la denotaremos por s [ n]Ej: Respuesta impulsional= se denominax = se denominay[ n]= α1x[n]+ α2x[n −1]+ α3x[n − 2] + α4x[n − 3]x n = δ n tenemoshaciendo [] []h n]= α δ[n]+ α δ[n −1]+ α δ[n − 2] + α δ[n 3] que podemos expresar como[1 234−{ h [ n]}= { α1,α2,α3,α4}↑Respuesta impulsional del sistema acumuladoryn[ n]= ∑ x[λ], haciendo x[] n δ [ n]λ=−∞n= tenemosh[ n]= ∑δ [ λ]= u[n]que es una de las definiciones de función escalón.λ=−∞CARACTERIZACIÓN TEMPORAL DE LOS SISTEMAS LTI.Como consecuencia de las propiedades de linealidad e invarianza temporalla relación entrada salida para un sistema de estas características estácompletamente especificada por su respuesta impulsional.Luego si conocemos la respuesta impulsional de un sistema LTI podemosconocer la respuesta del mismo ante cualquier entrada.INTRODUCCIÓN. AL PROCESADO DIGITAL DE SEÑALES.MARCELINO MARTÍNEZ SOBER.ANTONIO J. SERRANO LÓPEZ3.26 JUAN GÓMEZ SANCHIS CURSO 2009-2010

La justificación es sencilla, ya que cualquier entrada la podemos ponercomo una suma de impulsos retardados y por ser el sistema LTI podemoscalcular la salida para cada uno de estos impulsos retardados, queproporcionarán salidas retardadas el mismo número de muestras (por serInvariante temporal) y posteriormente sumar las salidas ya que se verificael principio de superposición (sistema Lineal).Para una entrada genérica expresada como suma de impulsos retardados:∑ ∞k = −∞x [ n]= x[k]δ [ n − k]Si el sistema es LTI ante una entrada x[ k]δ [ n − k]la salida será x[ k]h[n − k]luego la salida total seráque podemos expresar como∑ ∞k = −∞y [ n]= x[k]h[n − k]∑ ∞k = −∞y [ n]= x[n − k]h[k]haciendo un cambio de índices en el sumatorioLa expresión:∞∑k=−∞∞∑y [ n]= x[k]h[n − k]= x[n − k]h[k]k=−∞se denomina SUMA DE CONVOLUCIÓN de las secuencia x[n] y h[n] yse representa de forma compacta como:[ n] = x[ n] h[ n]y *Expresión muy importante ya que permite calcular la salida de un sistemaLTI ante cualquier entrada, conociendo su respuesta impulsional.Propiedades:Conmutativa: x [] n * h[] n = x[ n] * h[ n]Asociativa: ( x [] n * h[]n )*s[ n] = x[ n] *( h[ n] * s[ n])Distributiva respecto de la suma: ( x [ n] + h[ n])* s[ n] = x[ n] * s[ n] + h[ n] * s[ n]INTRODUCCIÓN. AL PROCESADO DIGITAL DE SEÑALES.MARCELINO MARTÍNEZ SOBER.ANTONIO J. SERRANO LÓPEZ3.27 JUAN GÓMEZ SANCHIS CURSO 2009-2010

Interpretación y cálculo de la suma de convolución:1. Invertir temporalmente la secuencia h[k] para obtener h[-k].2. Desplazar h[-k] n muestras a la derecha si n>0 o hacia la izda si n

3. Convolución de secuencias infinitas Aplicar la definición.INTRODUCCIÓN. AL PROCESADO DIGITAL DE SEÑALES.MARCELINO MARTÍNEZ SOBER.ANTONIO J. SERRANO LÓPEZ3.29 JUAN GÓMEZ SANCHIS CURSO 2009-2010

Podemos hacer los cálculos mediante la siguiente tabla.N1+ NM21+ M2↓↓n -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8x(n) -2 0 1 -1 3h(n) 1 2 0 -1h(-n) -1 0 2 1h(1-n) -1 0 2 1h(2-n) -1 0 2 1h(3-n) -1 0 2 1h(4-n) -1 0 2 1h(5-n) -1 0 2 1h(6-n) -1 0 2 1h(7-n) -1 0 2 1h(8-n) -1 0 2 1y(n)=x(n)*h(n) 0 0 0 -2 -4 1 3 1 5 1 -3 0La última fila contiene los productos acumulados.Ejercicio: Calcula la salida de un sistema LTI con respuesta impulsionalnh( n)= a u( n) a < 1 ante una entrada escalón unidad.Ejemplo: Calcula la salida al convolucionar cualquier secuencia conδ ( n − n 0)INTRODUCCIÓN. AL PROCESADO DIGITAL DE SEÑALES.MARCELINO MARTÍNEZ SOBER.ANTONIO J. SERRANO LÓPEZ3.30 JUAN GÓMEZ SANCHIS CURSO 2009-2010

Representación gráfica del cálculo de la convolución:Extraído de: Tratamiento Digital de Señales. J.G. ProakisEj:y [ 3] = x[0]h[3]+ x[1]h[2]+ x[2]h[1]+ x[3]h[0]= 2 + 0 + 0 + 1 = 3y [ 5] = x[2]h[3]+ x[3]h[2]+ x[4]h[1]= −1+0 + 6 = 5y [ 7] = x[4]h[3]= −3Regla:Para el calculo de la salida y(n), intervendrán todos los productos x(n) h(nk)cuya suma de términos sea n. Ej y(3) intervienen los productosx(0)h(3)x(1)h(2), x(2)y(1),x(3)h(0)INTRODUCCIÓN. AL PROCESADO DIGITAL DE SEÑALES.MARCELINO MARTÍNEZ SOBER.ANTONIO J. SERRANO LÓPEZ3.31 JUAN GÓMEZ SANCHIS CURSO 2009-2010

La convolución de una secuencia de longitud N y una de longitud M es unasecuencia de longitud N+M-1En Matlab la función y=conv(a,b) realiza la convolución de dos secuenciasEj: La convolución puede utilizarse para calcular el producto entrepolinomios.Interconexión de sistemas:Serie o Cascada:Se verifica: h n]= h [ n]*h [ ][1 2nPropiedades:La interconexión de sistemas en serie es conmutativa, de acuerdo con laspropiedades de la convolución.La interconexión de sistemas estables es un sistema estable.Si la conexión de dos sistemas verifica h n]*h [ n]= δ ( n)[21 se dice que elsistema h [ ] es el inverso de h [ ] y viceversa1 n2nEjemplo de aplicación: Ecualización de canalesINTRODUCCIÓN. AL PROCESADO DIGITAL DE SEÑALES.MARCELINO MARTÍNEZ SOBER.ANTONIO J. SERRANO LÓPEZ3.32 JUAN GÓMEZ SANCHIS CURSO 2009-2010

Ejercicio: Un sistema causal tiene por respuesta impulsional una secuenciaescalón. Determina su sistema inverso.Paralelo:Se verifica: h n]= h [ n]+ h [ ][1 2nEjercicio:Determina la respuesta impulsional del sistema resultante de la siguienteinterconexión a partir de las respuestas impulsionales de cada uno de losbloquesh [ n]= δ[n]+ 0.5δ[ n −1]1h [ n]= 0.5δ[ n]− 0.25δ[ n −1]2h [ n]= 2δ[ n]3h [ n]= −2(0.5)4nu[n]Solución: h( n) = δ ( n)ESTABILIDAD BIBO PARA SISTEMAS LTIUn sistema LTI es estable BIBO si y solo si su respuesta impulsional esabsolutamente sumable:Probar como ejercicio.= ∑ ∞ S h[n]n= −∞< ∞INTRODUCCIÓN. AL PROCESADO DIGITAL DE SEÑALES.MARCELINO MARTÍNEZ SOBER.ANTONIO J. SERRANO LÓPEZ3.33 JUAN GÓMEZ SANCHIS CURSO 2009-2010

Ejemplo: determina para qué valores de α el siguiente sistema LTI esnestable, h[ n]= ( α)u[n]∞∞nn 1S = ∑ α u[n]= ∑ α =si α < 11−αn=−∞n=0Luego si α

Al valor máximo entre N y M se le denomina ORDEN DEL SISTEMA.Aunque estos sistemas pueden tener una respuesta impulsional finita oinfinita, la salida del sistema siempre puede calcularse ya que esta implicaun número finito de operaciones (M+N+1 productos y M+N sumas)Para calcular la salida del sistema a partir de un instante n=n 0 es necesarioconocer los valores en los instantes y[ no− 1 ],y[ no− 2] ,... y[ no− N ], estosvalores son lo que se denominan CONDICIONES INICIALES DELSISTEMA.Se dice que un sistema está ORIGINALMENTE EN REPOSO oRELAJADO si las condiciones iniciales (ccii) son nulas( y[ no −1 ] = y[ no− 2] = ... = y[ no− N ] = 0 ).Resolución de una ecuación en diferencias con coeficientes constantes.Para calcular la salida de un sistema descrito por una ecuación endiferencias con coeficientes constante se emplea un procedimiento análogoal utilizado para la resolución de ecuaciones diferenciales con coeficientesconstantes.y( n)= y ( n)y ( n)yhh+p: Solución homogénea. Se obtiene considerando x[n]=0, es la soluciónN∑de a y[n − k]= 0k=0kyp: Solución particular. Es la solución específica para nuestra entrada( x [] n ≠ 0 ), también se llama solución forzada, ya que la ha provocado laentradaLa suma de ambas soluciones es la solución total y[n](Ver Ejemplos en Proakis Pag 100-108)Respuesta a entrada nula y respuesta en estado nulo.Una forma alternativa de calcular la solución total de una ecuación endiferencias es determinando la respuesta ante una entrada nula y en estadonulo que se definen de la siguiente forma:INTRODUCCIÓN. AL PROCESADO DIGITAL DE SEÑALES.MARCELINO MARTÍNEZ SOBER.ANTONIO J. SERRANO LÓPEZ3.35 JUAN GÓMEZ SANCHIS CURSO 2009-2010

Respuesta ante entrada nula o respuesta natural yzi : es la respuesta delsistema ante una entrada nula; es decir, es debida a las condicionesiniciales.Respuesta en estado nulo yzs : es la respuesta del sistema ante nuestraentrada considerando condiciones iniciales nulas.La respuesta total del sistema se puede escribir como:y[ n] = y [ n] y [ n]zi+Profundizaremos en el cálculo de la salida de un sistema ante una entradadeterminada en el siguiente capítulo cuando introduzcamos la transformadaZ.CLASIFICACIÓN DE LOS SISTEMA LTI DISCRETOS:Existen diversos criterios de clasificación:Según su respuesta impulsional:• Un sistema cuya respuesta impulsional h[n] tiene un númerofinito de términos no nulosh [ n]= 0 for n < N1 y n > N2,N1< N2se denomina SISTEMA DERESPUESTA IMPULSIONAL FINITA (FIR). Su salida sepuede calcular directamente de la suma de convolución como:y [ n]N∑= 2 k = N1zsh[k]x[n − k]Si comparamos esta ecuación con la expresión general de lossistemas LTI de coeficientes constantes observamos que h [ k]= bkEj. y n]= α x[n]+ α x[n −1]+ α x[n − 2] + α x[n 3][1 234−• Si la respuesta impulsional no es finita se dice que es unSISTEMA DE RESPUESTA IMPULSIONAL INFINITA(IIR)y n = y n −1+ x nEj.: [] [ ] []INTRODUCCIÓN. AL PROCESADO DIGITAL DE SEÑALES.MARCELINO MARTÍNEZ SOBER.ANTONIO J. SERRANO LÓPEZ3.36 JUAN GÓMEZ SANCHIS CURSO 2009-2010

Según el procedimiento para calcular su salida:• NO RECURSIVOS. Son aquellos en los que la salida se puedecalcular secuencialmente conociendo únicamente las entradasy n = F( x n , x n −1,..., x n − N )presentes y pasadas. [ ] [ ] [ ] [ ]Ej: y n]= α x[n]+ α x[n −1]+ α x[n − 2] + α x[n 3][1 234−• RECURSIVOS. Son aquellos en los que la salida en un instantedado depende de entradas presentes y pasadas y también dey n = F( x n , x n −1 ,..., x n − M , y n −1,..., y n − N )salidas pasadas. [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]Ej: y [] n = y[ n −1] + x[]nUN SISTEMA IIR SIEMPRE SE IMPLEMENTA DE FORMARECURSIVA, SIN EMBARGO UN SISTEMA RECURSIVO NOSIEMPRE ES DE TIPO IIR.Ej. y [] n = x[] n − x[ n − 4] + y[ n −1]Ejercicio: Calcula la respuesta impulsional del sistema anterior.Según sus coeficientes:• Sistema en tiempo discreto real. Es aquel cuya respuestaimpulsional es REAL.Ej: y [] n = x[] n − x[ n − 4] + y[ n −1]• Sistema en tiempo discreto complejo. Es aquel cuya respuestaimpulsional es COMPLEJA.j• Ej: y[] n = y[ n −1] + e 3x[]nπINTRODUCCIÓN. AL PROCESADO DIGITAL DE SEÑALES.MARCELINO MARTÍNEZ SOBER.ANTONIO J. SERRANO LÓPEZ3.37 JUAN GÓMEZ SANCHIS CURSO 2009-2010

CORRELACIÓN DE SEÑALESEn ocasiones necesitamos determinar el grado de similitud entre dosseñales. Por ejemplo:Comunicaciones: las señales que se deben transmitir se codifican comosímbolos que posteriormente deben ser recuperados al pasar por el canal decomunicaciones. El receptor compará las señales recibidas con los patronesde los símbolos que pueden ser enviados para su detección.Radar y sonar: las señales enviadas son reflejadas por el objeto ydevueltas de nuevo al emisor. Comparando estas señales con las originalesse puede obtener información del objeto.SONARRADAREn muchas ocasiones las señales recibidas están contaminadas con ruidoaditivo por lo que la detección es más compleja. La herramientamatemática para evaluar la similitud entre señales es la CORRELACIÓN.INTRODUCCIÓN. AL PROCESADO DIGITAL DE SEÑALES.MARCELINO MARTÍNEZ SOBER.ANTONIO J. SERRANO LÓPEZ3.38 JUAN GÓMEZ SANCHIS CURSO 2009-2010

Se define la CORRELACIÓN CRUZADA entre dos secuencia x[n] ey[n] y lo denotamos como r ] a la secuencia:rxyxy [λ[ ] = ∑ ∞ λ x[n]y[n − λ],λ = 0, ± 1, ± 2,...= −∞n• El parámetro λ se denomina desplazamiento (lag) y representa eldesplazamiento temporal entre ambas señales.• La secuencia y[n- λ] se desplaza λ muestras a la derecha respecto dex[n] para λ >0 y λ muestras hacia la izquierda para λ

∞∑n=−∞∞∑r [ λ ] = x[n]y[n − λ]= x[n]y[−(λ−n)]= x *xyn=−∞[] n y[ − n]obtenemos que la correlación cruzada entre dos secuencia x[n] e y[n] sepuede obtener mediante la convolución de x[n] con la versión invertidatemporalmente de y[n].x [n]y [ −n]r xy [n]Análogamente para la autocorrelacion de la secuencia x[n]Para el cálculo de la correlación entre dos secuencias podemos utilizar losmismos procedimientos que para la convolución.Nota: Hay similitudes en el cálculo de la correlación y la convolución perosu significado es COMPLETAMENTE DISTINOPROPIEDADES DE LA CORRELACIÓNConsideremos dos secuencias x[n] e y[n] de energía finita. La energía deuna combinación lineal de ellas a x[ n]+ y[n − λ]también debe ser finita,calculémosla:∑∞= an=−∞2∑( a x[n]+ y[n − λ])∞n=−∞x [n] x[ −n][n]2x [ n]+ 2a∑2∞=n=−∞x[n]y[n − λ]+Que podemos poner de forma más compacta como:ar2xxrxx[0] + 2a r[0] = Exxy> 0, r[ λ]+ ryyyy[0] = E∑[0] ≥ 0y∞> 0n=−∞y2[ n − λ]≥ 0Observamos que se trata de una ecuación de 2º grado para la variable a.Como se debe verificar la desigualdad para todos los valores de a, laecuación no debe tener ninguna solución real, luego se verificará que:r xxINTRODUCCIÓN. AL PROCESADO DIGITAL DE SEÑALES.MARCELINO MARTÍNEZ SOBER.ANTONIO J. SERRANO LÓPEZ3.40 JUAN GÓMEZ SANCHIS CURSO 2009-2010

xx[0] ryy[0] −r2xy[ λ]≥ 0De donde obtenemos:| r [ λ ]| ≤ r [0] r [0] =xyxxyyExEyEn el caso particular que x[n]=y[n]| r [ λ ]| ≤ [0] =xxr xxExCONCLUSIÓN: LA SECUENCIA DE AUTOCORRELACIÓNALCANZA SU VALOR MÁXIMO CUANDO EL DESPLAZAMIENTOES CEROLa conclusión anterior indica que una señal se adapta consigo misma pararetardo 0.Para evitar que el resultado de la correlación dependa de las secuenciasconsideradas se definen los coeficientes de autocorrelación y correlaciónnormalizada de la siguiente forma:rxx[λ]Autocorrelación normalizada : ρxx[λ]=rxx[0]rxy[λ]Correlación normalizada : ρxy[λ]=r [0] r [0]Con estas definiciones los coeficientes están acotados al intervalo[ λ] , ρ [ λ] 1−1 ≤ ρ ≤Independientemente de las secuencias consideradas.Calculo de la correlación con Matlab:xxxyxxyyAutocorrelación:Correlación cruzada:Coeficiente de autocorrelación:Coeficiente de correlación:xcorr(x)xcorr(x,y)xcorr(x,’coeff’)xcorr(x,y,’coeff’)INTRODUCCIÓN. AL PROCESADO DIGITAL DE SEÑALES.MARCELINO MARTÍNEZ SOBER.ANTONIO J. SERRANO LÓPEZ3.41 JUAN GÓMEZ SANCHIS CURSO 2009-2010

Ejercicio:Se define la correlación cruzada de dos secuencias periódicas de periodo NN 11como [ ] = ∑ − rxyλ x[n]y[n − λ],λ = 0, ± 1, ± 2, ... .N n=0Comprueba que la correlación cruzada de dos secuencias periódicas es unasecuencia periódica del mismo período.Ejercicio:Determina la relación existente entre la autocorrelación de la salida y laautocorrelación de la entrada para un sistema LTIEjercicio:Determina la expresión general de la autocorrelación de la secuencianx( n)= a u(n)a < 1 y represéntala gráficamente en el intervalo [-10,10],para a=0.8. ¿Cuál es la energía de la señal de entrada?Ejercicio:Determina el intervalo de valores para los que el sistema LTI de respuestan⎧an ≥ 0impulsional h[]n = ⎨ a)Es estableb)Es causal.n⎩bn < 0INTRODUCCIÓN. AL PROCESADO DIGITAL DE SEÑALES.MARCELINO MARTÍNEZ SOBER.ANTONIO J. SERRANO LÓPEZ3.42 JUAN GÓMEZ SANCHIS CURSO 2009-2010